Les lieux géométriques. Prendre les deux côtés, par exemple [AB] et [BC] et montrer que. Pour montrer qu un triangle ABC est isocèle en A :

Transcription

1 Démonstrations de base Pour montrer qu il y a un angle droit : Prendre les deux côtés, par exemple [] et [C] et montrer que arg C = ± Lieux du type Pour montrer qu un triangle C est isocèle en : Montrer que = C Pour montrer qu un triangle est équilatéral Soit montrer qu il a trois côtés égaux Soit montrer qu il est isocèle avec un angle de 60. Pour montrer que CD est un parallélogramme Montrer que = DC c'est-à-dire = C D a = b Le grand classique : a = b : L ensemble des points M d affixe est la médiatrice de []. Les originaux : Toujours essayer de se ramener au cas classique, soit en factorisant, soit en remplaçant par x + i y et en développant ensuite Remplacer par x + iy est une méthode qui donnera toujours des résultats mais qui est souvent la plus longue ; il faut donc bien peser les risques et les avantages quand on ne veut pas chercher l astuce! a b = a c : factoriser dans les deux modules par a, puis simplifier a = b : utiliser Z = Z qui permet de remplacer b par b Exemple 1 On pose le point d affixe et le point d affixe 6 i. lors, on cherche M tel que M = M M est donc sur la médiatrice de [] = + 6i Exemple = + 5 8i Puisque Z = Z, alors = + 5 8i = i On pose le point d affixe et le point d affixe 5 8 i. lors on cherche M tel que M = M M est sur la médiatrice de []

2 Exemple Cette égalité est équivalente à : i i i = i 8 5 i = i On pose le point d affixe [] i i + = i + i i Exemple 4 On pose = x + i y. Il n y a pas d autre astuce ici! x ( y ) i = x (1 + y) i ( x + 5) ² + ( y ) ² = ( x + 7) ² + ( 1+ y)² i + 8 = i 5 + 9i 8 5 i et le point d affixe + i alors M est sur la médiatrice de + 5 i = i 5 x ² + x + 8y + 16 = y = x² x Donc M appartient à la courbe de la fonction f définie par f(x) = x ² x 8 4 Lieux de la forme a = b avec b réel Si b est un réel positif, alors on a un cercle de centre et de rayon b Si b est négatif, il n y a pas de solution Exemple : 8 + 7i = + 5i On remarque d abord que + 5i = = 4. On cherche donc M tel que 8 + 7i = 4. On pose le point d affixe 8 7i. lors M appartient au cercle de centre de rayon 4. Lieux avec des arguments On cherche l ensemble des points M d affixe tels que : arg = ± : Cercle de diamètre [] avec peut-être des points à enlever. arg = k : Droite () avec des points à supprimer.

3 Exemple 1 + 8i arg = 1 i On pose le point d affixe 8 i et le point d affixe 1 + i. lors on cherche M tel que : ( M ; M ) =. Le triangle M est donc rectangle en M donc M est sur le cercle de diamètre []. Etudions plus précisément la situation Tout d abord, il ne faut pas que soit égal à 1 + i car sinon le dénominateur est nul donc M doit être différent de. Ensuite, le point M peut-il être sur les deux demi-cercles de diamètre []? Faisons une figure Premier cas possible deuxième cas possible Dans le premier cas : ( C ; C) = (angle rose) et dans le deuxième cas ( ; C) C =. Donc le deuxième cas ne convient pas. La solution est donc le demi-cercle bleu privé de. On peut aussi dire : le demi-cercle de diamètre [] partant de dans le sens direct, privé du point. Exemple + 8i arg =. 1 i vec les mêmes notations que dans l exemple précédent, on doit trouver M tel que ( M; M ) =. On doit donc avoir les points, et M alignés. Etudions de plus près la situation : M ne doit pas être en comme précédemment.

4 Maintenant, M peut être sur le segment [] ou en dehors du segment. Là encore, aidons nous d une figure : On voit clairement que dans le premier cas, les deux vecteurs ont le même sens et donc ( C ; C) = 0 alors que dans le deuxième cas les vecteurs sont de sens opposés et ( C; C) = On doit donc choisir M sur le segment [] privé du point Lieux qui utilisent les caractéristiques de On souhaite réel On utilise = Ou arg = k Ou Im = 0 On souhaite imaginaire pur On utilise = - Ou arg = ± Ou Re() = 0 Exemple le nombre complexe positif + i 8i soit réel Vu la forme de ce nombre complexe, on utilise l argument : + i arg = = 0 (à cause de positif). 8i On note le point d affixe + i et le point d affixe 8i. lors on a ( M ; M ) = 0 donc M est sur la droite () et comme dans le paragraphe précédent, avec une figure on détermine précisément la position de M. On a M sur la droite () privée du segment [], M pouvant être en.

5 Quelques conseils de bon sens ien lire les questions précédentes : parfois il y a des indications S il y a des conjugués dans l expression, préférer des méthodes avec des conjugués Poser = x + i y uniquement lorsqu on ne sait plus quoi faire : on peut commencer une autre méthode et à un certain stade passer à x + i y mais les calculs seront plus simples. C est sans doute la partie la plus délicate du chapitre, alors pas de découragement mais de la persévérance. Exercices Dans les exercices 1 à 4, déterminer l ensemble des points M d affixe tels que : Exercice 1 Exercice 1) i = + 1 1) ( + 1)( ) est réel ) i 1 = + i + i ) est réel ) i = 4i 4) ) est réel + 1 = 1 i Exercice 4) + est réel 1) + 1 i = Exercice 4 ) i + i = ) i = 5 1) arg = + 5i ) arg( i) = ) arg = Exercice 5 Soient,, C et D d affixes respectives, 4i, - + i et 1 i 1) Déterminer la nature de CD ) Montrer que l équation ² (1 + i) 6 + 9i = 0 admet une solution réelle et l équation ² (1 + i) i = 0 une solution imaginaire pure. Développer ( )( + i) puis ( 4i)( 1+ i). En déduire les solutions de l équation ( ² (1 + i) 6 + 9i)( ² (1 + i) i) = 0. Soit w la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de w ) On appelle f l application qui au point d affixe associe le point M d affixe telle que = ² (1 + i) 6 + 9i. On pose = x + i y et = x + i y. Exprimer x et y en fonction de x et y. Déterminer une équation de l ensemble des points M pour lesquels f(m) appartient à l axe des ordonnées.