Nombres complexes. 1 Dé nitions. 2 Interprétation géométrique

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1 Nomres complexes 1 Dé nitions Dé nition 1 On ppelle ensemle des nomres complexes et on note C l ensemle des nomres qui s écrivent sous l forme + i vec R; R et où i est un nomre tel que i = 1 : est l prtie réelle de z: On note =Re(z) estlprtieimginiredez. On note =Im(z) + i est l forme lgérique de z: Un nomre de l forme i vec R est dit imginire pur. Remrque 1 8 R : = +0:i C.DoncR½C ½ = Eglité de deux complexes : + i = 0 + i 0 0, = 0 Exemple 1 On pose z 1 =+3i et =1 i: Clculer : 1. z 1 +. z z 1 4. z 1 : Interpréttion géométrique 5. z 1. Im (z 1 +3 ) On se plce dns le pln muni d un repère orthonormé (O;~e 1 ;~e ) qu on ppelle dns cette sitution pln complexe. Dé nition L xe z d un µ point M (; ) est le complexe z = + i. L xe z d un vecteur ~u est le complexe z = + i M (; ) est ppelé imge du complexe z = + i L xe des scisses est ppelé xe des réels, l xe des ordonnées : xe des imginires. ~e O ~e 1 z = + i Remrque Les points M et M 0 d xes respectives z et z sont symétriques pr rpport à O: Théorème 1 z! AB = z B z A Démonstrtion. Si z A = x A + iy A et z B = x B + iy B : A (x A ; y A ) et B (x B ; y B ) : D où! µ xb x AB A puis z! y B y AB =(x B x A )+i(y B y A )=z B z A A

2 Nomres complexes Théorème! AB =! CD, z B z A = z D z C Démonstrtion. Deux vecteurs sont égux si et seulement si ils ont mêmes coordonnées, donc mêmes xes. 3 Complexe conjugué Dé nition 3 Le complexe conjugué de z = + i est ¹z = i Proposition 1 R, ¹z = z ir, ¹z = z Proposition (¹z) =z ; z 1 + =¹z 1 +¹ ; z 1 : =¹z 1 :¹ ; si =0: Remrque 3 z n =(¹z) n Remrque 4 Les points d xes z; z; ¹z et ¹z présentent des symétries (voir gure). M ( ¹z) M( z) 5(1 i) Exemple On pose z = +i Clculer ¹z Exemple 3 Montrer que 8 C : +3z¹z z +¹z O ~e ~e 1 i + z ¹z R et ir 3+z¹z M (¹z) µ z1 = ¹z 1 ¹ Exemple 4 Dns le pln complexe, on donne les points A; M et M 0 d xes respectives ; z et z 0 : On suppose que ces trois points distincts et que M et M 0 sont symétriques pr rpport à l prllèle à l xe des scisses pssnt pr A: Déterminer z 0 en fonction de z et de : 4 Module d un complexe Dé nition 4 Le module du complexe z = + i est le réel positif p + : On le note jzj : Théorème 3 Si M pour xez : jzj = OM Théorème 4 jzj =0, z =0 Remrque 5 jzj = j zj = j¹zj = j ¹zj (Utiliser l gure précédente). Théorème 5 z:¹z = jzj

3 Nomres complexes 3 Remrque Si jzj =1: 1 z =¹z (on évidemment z = 0): Proposition 3 jz 1 : j = jz 1 j : j j et z 1 = jz 1j j j Démonstrtion. Utiliser jzj = z:¹z pour l première églité et z = z 1, z 1 = z: pour l seconde. Remrque 7 jz 1 + j jz 1 j + j j (utiliser l interpréttion géométrique du module) i Exemple 5 Soit ¼ ; ¼ h et z un complexe tel que (1 + iz)(1 i tn ) =(1 iz)(1+itn ) Montrer que j1+izj = j1 izj et en déduire que R: 5 Forme trigonométrique 5.1 Arguments d un complexe Dé nition 5 Si z complexe non nul pour imge M; on ppelle rgument de z et on note rg (z) toute mesure, en rdins, de l ngle ~e 1 ;! OM ½ ~e µ O ~e 1 Remrque 8 rg (z) est dé ni à k¼ près. z = + i ½ = jzj = OM =! OM = p + µ =rg(z) = ~e 1 ;! OM = ½ cos µ et = ½ sin µ Exemple Clculer module et rgument de 1; 1;i; i; 1+i; 1 i; 1+i; 1 i Remrque 9 rg (¹z) = rg (z) Remrque 10 R, µ = k¼ et ir, µ = ¼ + k¼ ½ jz1 j = jz Remrque 11 z 1 =, j rg(z 1 )=rg( )+k¼ Remrque 1 On z = + i = ½ cos µ + i½ sin µ = ½(cos µ + i sin µ): Cette dernière forme d écriture de z est ppelée forme trigonométrique. Elle se note ussi sous forme condensée: [½; µ]: z = + i = ½(cos µ + i sin µ) =[½; µ] Exemple 7 Déterminer module et rgument de z = p 3+i

4 Nomres complexes 4 5. Produit et quotient de nomres complexes Le développement du produit ½ 1 (cos µ 1 + i sin µ 1 ) ½ (cos µ + i sin µ ) montre que On en déduit (pr récurrence) : Si n Z : rg(z 1 )=rg(z 1 ) + rg( )+k¼ rg (z n )=n rg (z)+k¼ Remrque 13 FormuledeMoivre: (cos µ + i sin µ) n =cosnµ + i sin nµ Théorème rg( z 1 )=rg(z 1 ) rg( )+k¼ Démonstrtion. Utiliser z = z 1, z 1 = z: Exemple 8 Déterminer module et rgument de z 1 = 1+ip 3 1 i Nottion exponentielle Dé nition Si µ R : e iµ =cosµ + i sin µ Remrque 14 e 0 =1 e i¼ = 1 e i¼= = i et = p 3 i 3 : e iµ =1 rg e iµ = µ Dé nition 7 Si C pour module ½ et pour rgument µ : z = ½e iµ est l forme exponentielle de z: Théorème 7 ½eiµ :½ 0 e iµ 0 = ½½ 0 e i(µ+µ0 ) ½e iµ ½ 0 = ½ 0 e iµ0 ½ 0 ei(µ µ ) (½e iµ )=½e iµ e iµ n = e inµ cos µ = 1 e iµ + e iµ sin µ = 1 e iµ e iµ i i Exemple 9 Soit µ 0; ¼ h : Ecrire sous forme exponentielle : 1. 1+e iµ. 1 e iµ 3. 1+e iµ 4. 1+ie iµ 5. 1+cosµ + i sin µ 1+cosµ i sin µ 7 EqutionduseconddegrédnsC. 1 cos µ i sin µ 1 sin µ + i cos µ Soit à résoudre + z + c =0vec ; et c réels. ( = 0): Soit = 4c: En procédnt comme dns R mis en remrqunt que, lorsque < 0; = i p 1. Si > 0; l éqution + z + c =0possède deux solutions réelles : z 1 = p et = + p. Si =0; l éqution + z + c =0possède une rcine doule réelle : z = 3. Si < 0; l éqution + z + c =0possède deux rcines complexes conjuguées : z 1 = ip et = + ip Exemple 10 Résoudre dns C :

5 Nomres complexes =0. + z +1=0 3. z 4 =9 8 Complexes et géométrie 8.1 Distnces et ngles Théorème 8 Si A; B; C; D ont pour xes respectives z A ;z B ;z C ;z D :! AB = jz B z A j (~e 1 ;! AB) =rg(z B z A ) rg z D z C!! = AB; CD z B z A Démonstrtion. Soit M tel que! AB =! OM: Notons z M l xe de M: z M = z! OM = z! AB = z B z A : D où :! AB =! OM = jz M j = jz B z A j : rg (z B z A )=rg(z M )= ~e 1 ;! OM = ~u;! AB.!! AB; CD = ~e 1 ;! CD ~e 1 ;! AB =rg(z D z C ) rg (z B z A )=rg z D z C z B z A Exemple 11 Le pln complexe est rpporté u repère orthonorml direct (O;~e 1 ;~e ) : Soient A; B; C les points d xes respectives z A = p 3;z B = p 3+3i et z C = p 3 3i: 1. Clculer les longueurs AB; BC et AC: Conclusion µ!! zc z A. Donner une mesure de AB; AC et en déduire que rg = ¼ z B z A 3 3. Justi er que z C z A z B z A =1: 4. Retrouver les vleurs de cos ¼ 3 et de sin ¼ 3 en montrnt que z C z A =cos ¼ z B z A 3 + i sin ¼ 3 8. Trnsformtions Théorème 9 Soit ~u le vecteur d xe : M le point d xe z; M 0 celui d xe z 0 : M 0 = t ~u (M), z 0 = z + Théorème 10 Soit r l rottion de centre O et d ngle µ: M le point d xe z; M 0 celui d xe z 0 : M 0 = r (M), z 0 = e iµ z Exemple 1 Identi er les trnsformtions qui à tout point M d xe z ssocient le point M 0 d xe z 0 telle que : Ãp! 3 1. z 0 = i. z 0 = i 3 z 3. z 0 = z + i (1 + i) z Exemple 13 Soit r l rottion de centre O d ngle 3¼ 4 : Soit M (x; y) un point du pln. Soit M 0 (x 0 ;y 0 ) l imge de M pr r: Déterminer x 0 et y 0 en fonction de x et y: