Médiatrices 1. Que sais-tu sur les 3 médiatrices d un triangle? 2. Quel objet mathématique ces 3 médiatrices permettent-elles de construire?
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- Julie Goudreau
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1 Droites remarquables du triangle : ctivité Médiatrices 1. Que sais-tu sur les 3 médiatrices d un triangle? 2. Quel objet mathématique ces 3 médiatrices permettent-elles de construire? auteurs Soit un triangle quelconque et le point d intersection des hauteurs issues de et dans le triangle. Les droites (E ), ( ) et (E) sont parallèles respectivement à (), () et (). 1. ombien peux-tu citer de hauteurs dans le triangle? 2. (a) Quelle est la nature des quadrilatères E et? Justifie. (b) Déduis-en alors la position particulière du point sur le segment [E ]. (c) Que peux-tu dire de la droite () et du segment [E ]? Justifie. 3. Que peux-tu dire de la droite () et du segment [E]? Justifie. E Médianes 4. Que peux-tu dire de la droite () et du segment [ ]? Justifie. 5. Que représente alors la droite () pour le triangle? Justifie. 6. Quelle est la synthèse de cet exercice? D issectrices Soit un triangle quelconque et, les milieux respectifs des segments [] et []. Soit le point d intersection des droites ( ) et ( ) et D le symétrique de par rapport à. Soit le point d intersection des droites () et (). 1. Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. ombien peux-tu citer de médianes dans le triangle? Justifie. 2. (a) Quelle est la nature du quadrilatère D? Justifie. (b) Déduis-en alors la position du point sur le segment []. 3. Quelle est la synthèse de cet exercice? Soit un triangle quelconque. 1. onstuis les bissectrices des ansgles Â, Ĉ et. Que remarques-tu? a 2. Soit I le point d intersection des bissectrices. La perpendiculaire à la droite () passant par I coupe la droite () en P. Trace le cercle de centre I et de rayon IP. Que remarques-tu? a n admettra ce résultat dans le cahier de leçons.
2 Droites remarquables du triangle : ours Droites remarquables du triangle Les hauteurs Définition 1 Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé. Notation : Dans le triangle, si la hauteur passe par le sommet on dit alors hauteur issue de. Théorème 1 Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle. Les médiatrices Définition 2 La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Les médiatrices dans un triangle sont donc les médiatrices des côtés de ce triangle. Propriété 1 Si M est un point de la médiatrice du segment [] alors M est équidistant de et de c est à dire M = M. Propriété 2 Si M est équidistant de et de alors M appartient à la médiatrice du segment []. Théorème 2 Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle. Les médianes Définition 3 Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé. Théorème 3 Dans un triangle, les médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. De plus, on a = 2 3, = 2 3, = 2 3 Les bissectrices. R I Q Définition 4 La bissectrice d un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure. est également l axe de symétrie de cet angle. Théorème 4 Dans un triangle, les bissectrices sont concourantes en un point I appelé centre du cercle inscrit au triangle. De plus, IP = IQ = IR P
3 Droites remarquables du triangle : Exercices Exercice 1 : Les 3 questions sont indépendantes. 1. (a) onstruis un triangle E tel que E = 7 cm, = 6 cm, et E = 3 cm. (b) onstruis la hauteur (d) issue de dans le triangle E. (c) onstruis la hauteur (d ) issue de E dans le triangle E. (d) Que représente le point d intersection des droites (d) et (d )? 2. (a) onstruis un triangle ERL tel que ER = 6 cm, RL = 5 cm et ÊRL = 60. (b) onstruis la médiane (d) issue de R dans le triangle ERL. (c) onstruis la médiane (d ) issue de L dans le triangle ERL. (d) Que représente le point d intersection des droites (d) et (d )? 3. (a) ontruis un triangle SER tel que SE = 6 cm, RSE = 50, RES = 60. (b) onstruis son cercle inscrit Exercice 2 : Soit un triangle tel que = 10 cm, = 11 cm et = 12 cm. 1. onstruis l orthocentre du triangle. 2. (a) Soit I le point d intersection des droites () et () ; J le point d intersection des droites () et () ; K le point d intersection des droites () et (). onstruis le centre du cercle inscrit au triangle IJK. (b) Que constate-t-on? Exercice 3 : 1. onstruis un cercle de diamètre [] et de centre. Soit M un point du cercle distinct de et. onstruis le symétrique L du point par rapport au point M. 2. Soit I le point d intersection des droites (L) et (M). Que représente le point I pour le triangle L? Justifie la réponse. 3. La droite (I) coupe le segment [L] en J. Que peut-on dire qu point J? Pourquoi? Exercice 4 : Soit D un parallélogramme de centre. Le point E est le milieu du segment [] et les segments [] et [DE] se coupent en. 1. (a) Que représente le segment [] pour le triangle D? Justifie. (b) Que représente le point pour le triangle D? Justifie. 2. Démontre que la droite () coupe le segment [D] en son milieu. Exercice 5 : Soit un triangle et D, E, les milieux respectifs des segments [], [] et []. 1. (a) Quelle est la nature du quadrilatère ED? Justifie. (b) Démontre que la droite (D) est à la fois une médiane du triangle et du triangle E D. 2. Soit le centre de gravité du triangle. Démontre que est aussi le centre de gravité du triangle E D.
4 Droites remarquables du triangle : pprofondissement Droite D Euler 1 M K onstruction 1. Soit un triangle supposé non équilatéral. 2. Soit le centre du cercle () circonscrit au triangle. 3. Soit le point diamètralement opposé à. 4. Soit K le point d intersection de la hauteur issue de avec le cercle () 5. Soit M le milieu du segment []. 6. Soit le point d intersection des droites ( M) et (K). 7. Soit le point d intersection des droites () et (M). Démonstration 1. Montre que les triangles K et sont rectangles. 2. (a) Montre que la droite (M) est la médiatrice du segment []. (b) Montre que les droites (M) et (K) sont parallèles. 3. (a) Montre que M est le milieu du segment [ ]. (b) Montre que le quadrilatère est un parallélogramme. 4. (a) Montre que les droites () et () sont perpendiculaires. (b) Montre que est l orthocentre du triangle. 5. (a) Montre que est le centre de gravité du triangle. (b) Quelle est la position remarquable de sur le segment []? (c) Montre que est aussi le centre de gravité du triangle. 1 Leonhard Euler, Mathématicien suisse ( )
5 Droites remarquables du triangle : pprofondissement ercle D Euler ou cercle des neuf points D N J 3 M Ω I 1 2 P L E onstruction 1. n reprend la construction précédente. 2. n appelle Ω le milieu du segment [] ; N et P les milieux respectifs des segments [] et [] ; D et E le symétriques respectifs de et par rapport à ; I, J, L les points d intersection respectifs entres la hauteur issue de et la droite (), la hauteur issue de et la droite (), la hauteur issue de et la droite () ; 1, 2, 3 les milieux respectifs des segments [], [] et []. Démonstration Démontre que les points M, N, P, I, J, L, 1, 2 et 3 sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. Indication : n cherchera par expérimentation quel pourrait être le centre de ce cercle et on déterminera ensuite la valeur du rayon à l aide d un des points. Restera ensuite à prouver que tous les autres points donnent la même valeur du rayon. hose «simple» pour les points M, N, P, 1, 2, 3. Pour le point I, on pourra considérer la parallèle à la droite () passant par Ω et démontrer qu elle coupe le segment [IM] en son milieu.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
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