IMN359. Chapitre 2 Nombres complexes. Olivier Godin. 13 septembre Université de Sherbrooke. Nombres complexes 1 / 28

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1 IMN359 Chapitre 2 Nombres complexes Olivier Godin Université de Sherbrooke 13 septembre 2016 Nombres complexes 1 / 28

2 Plan du chapitre 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 2 / 28

3 Définition Définition 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 3 / 28

4 Définition Définition En mathématiques, les nombres complexes forment une extension de l ensemble des nombres réels. Ils permettent entre autres de trouver des solutions à toutes les équations polynomiales à coefficients réels. À titre d exemple, aucun nombre réel ne vérifie l équation x = 0, mais on pourra lui trouver une solution dans l ensemble des nombres complexes, noté C. Un nombre complexe z se présente en général sous forme cartésienne, c est-à-dire sous la forme z = a + bi, où a et b sont des nombres réels et i = 1 est l unité imaginaire. Le nombre réel a est appelé partie réelle de z et est notée R(z), tandis que le nombre réel b est appelé partie imaginaire de z et est notée I(z). Nombres complexes 4 / 28

5 Définition Définition À chaque nombre complexe z = a + bi C, nous pouvons associer le point P situé à la position (a, b) et le vecteur position OP que nous pouvons représenter dans le plan complexe, aussi appelé plan d Argand. La partie réelle a est portée sur l axe horizontal (axe réel) et la partie imaginaire b est portée sur l axe vertical (axe imaginaire). Nombres complexes 5 / 28

6 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 6 / 28

7 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes On peut définir pour les nombres complexes plusieurs opérations qui sont similaires à celles qui s appliquent sur les nombres réels. Soient z 1 = a 1 + b 1 i et z 2 = a 2 + b 2 i, des nombres complexes et k un nombre réel. On définit les opérations suivantes : 1 Égalité de deux nombres complexes : z 1 = z 2 si et seulement si a 1 = a 2 et b 1 = b 2. 2 Addition de deux nombres complexes : z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 )i C. 3 Soustraction de deux nombres complexes : z 1 z 2 = (a 1 a 2 ) + (b 1 b 2 )i C. 4 Multiplication d un nombre complexe par un scalaire : kz 1 = ka 1 + kb 1 i C. 5 Multiplication de deux nombres complexes : z 1 z 2 = (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = a 1 a 2 + a 1 b 2 i + a 2 b 1 i + b 1 b 2 i 2 = (a 1 a 2 b 1 b 2 ) + (a 1 b 2 + a 2 b 1 )i Nombres complexes 7 / 28

8 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Une opération qui n existait pas pour les nombres réels, mais qui prend un sens pour les nombres complexes est celle du conjugué d un nombre complexe. Pour z = a + bi C, on définit son conjugué comme étant z = a bi. On définit aussi le module d un nombre complexe z = a + bi C comme étant le nombre réel z = a 2 + b 2. Notons que z = z. Nombres complexes 8 / 28

9 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Si z 0, on a que z z = z 2 = a 2 + b 2. De cela, on tire que z z z 2 = 1, ce qui nous amène à définie l inverse multiplicatif de z, noté z 1 (ou 1 z ) et donné par z 1 = z z 2. Ainsi, la division de z 1 par z 2 est donnée par z 1 z 2 = z 1 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2 = (a 1a 2 + b 1 b 2 ) + (a 2 b 1 a 1 b 2 )i a2 2 + b2 2. Nombres complexes 9 / 28

10 Opérations sur les nombres complexes Opérations sur les nombres complexes Nombres complexes 10 / 28

11 Forme polaire d un nombre complexe Forme polaire d un nombre complexe 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 11 / 28

12 Forme polaire d un nombre complexe Forme polaire d un nombre complexe Soit z C et z 0. Alors, on peut écrire z = a + bi avec z = a 2 + b 2 > 0. On a donc ( a z = z z + b ) z i ( ) de sorte que le couple a z, b z est sur le cercle trigonométrique. Ainsi, il existe θ R (déterminé à 2kπ près) tel que cos θ = a z et sin θ = b z. Nombres complexes 12 / 28

13 Forme polaire d un nombre complexe Forme polaire d un nombre complexe On peut donc écrire tout nombre complexe sous forme polaire : z = z (cos θ + i sin θ) = r(cos θ + i sin θ), où r = z est le module de z et θ est l argument de z Comme θ n est pas uniquement déterminé, on pose Arg(z) comme étant l unique argument de z dans l intervalle ] π, π]. On l appelle l argument principal de z. De manière générale, l argument de z est noté arg(z) = Arg(z) + 2kπ, avec k Z. Nombres complexes 13 / 28

14 Forme polaire d un nombre complexe Forme polaire d un nombre complexe Pour z = r(cos θ + i sin θ) 0, on a que z = r(cos θ i sin θ) = r(cos( θ) + i sin( θ)). On trouve donc que arg( z) = arg(z). Nombres complexes 14 / 28

15 Forme polaire d un nombre complexe Forme polaire d un nombre complexe Une des utilités de la forme polaire est de faciliter la multiplication et la division des nombres complexes. Ainsi, si z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ), alors on a z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )) (si z 2 0) Nombres complexes 15 / 28

16 La notation d Euler La notation d Euler 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 16 / 28

17 La notation d Euler La notation d Euler En utilisant les séries de Taylor pour les fonctions sin θ et cos θ, nous pouvons écrire cos θ + i sin θ = = = ( 1) l θ2l (2l)! + i ( 1) l θ 2l+1 (2l + 1)! l=0 l=0 i 2l θ2l (2l)! + i l=0 l=0 i 2l θ2l (2l)! + l=0 l=0 = = k 0 pair i k θk k! + (iθ) k = e iθ k! k=0 i 2l θ 2l+1 (2l + 1)! i 2l+1 θ 2l+1 (2l + 1)! k 0 impair i k θk k! Nombres complexes 17 / 28

18 La notation d Euler La notation d Euler Ainsi, pour un nombre complexe z = r(cos θ + i sin θ), nous pouvons écrire z = re iθ qui est la notation d Euler des nombres complexes. On a alors que z = re iθ De même, pour z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) = r 1 e iθ 1 et z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 2 e iθ 2, on a que z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) z 1 z 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) (si z 2 0). De la notation d Euler, nous obtenons aussi les résultats suivants : cos θ = 1 2 ( e iθ + e iθ) et sin θ = 1 ( e iθ e iθ). 2i Nombres complexes 18 / 28

19 La notation d Euler La notation d Euler Finalement, on trouve que d dθ eiθ = d (cos θ + i sin θ) dθ = sin θ + i cos θ = i (cos θ + i sin θ) = ie iθ et e iθ dθ = (cos θ + i sin θ) dθ = sin θ i cos θ + C = i (cos θ + i sin θ) + C = ie iθ + C = 1 i eiθ + C Nombres complexes 19 / 28

20 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes d un nombre complexe 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 20 / 28

21 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes d un nombre complexe La puissance n-ième d un nombre complexe z écrit sous la forme z = re iθ est donnée par z n = ( re iθ) n = r n e inθ. La racine n-ième d un nombre complexe z est le nombre complexe w tel que w n = z. Si on écrit z = re i(θ+2kπ) (avec k Z), on en déduit que w n = re i(θ+2kπ) (avec k Z), et donc que w = r 1 n e i θ+2kπ n (avec k Z). Nombres complexes 21 / 28

22 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes d un nombre complexe Il existe seument n valeurs distinctes possibles pour w et celles-ci sont car w k+n = w k (avec k Z). w k = r 1 n e i θ+2kπ n (avec k = 1, 2, 3,..., n 1), Les w k (avec k = 1, 2, 3,..., n 1) sont les n racines de z. Ainsi, par exemple, les n racines de l unité z = 1 sont w k = e i 2π n k (avec k = 1, 2, 3,..., n 1). Nombres complexes 22 / 28

23 C n et produit hermitien C n et produit hermitien 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 23 / 28

24 C n et produit hermitien C n et produit hermitien Comme pour R n, on définit l espace vectoriel C n sur C par C n = {z = (z 1,..., z n ) z i C} avec les opérations d addition et de multiplication par un scalaire dans C données par z 1 + z 2 = (z 11,..., z 1n ) + (z 21,..., z 2n ) = (z 11 + z 21,..., z 1n + z 2n ) λz = λ(z 1,..., z n ) = (λz 1,..., λz n ) Le produit hermitien (ou produit scalaire) sur C n est défini par z 1, z 2 = n z 1i z 2i C. i=1 Nombres complexes 24 / 28

25 C n et produit hermitien C n et produit hermitien Ce produit hermitien possède les propriétés suivantes : 1 z, z 0 et z, z = 0 si et seulement si z = 0 ; 2 λz 1, z 2 = λ z 1, z 2 et z 1, λz 2 = λ z 1, z 2 ; 3 z, z 1 + z 2 = z, z 1 + z, z 2 ; 4 z 2, z 1 = z 1, z 2 Nous disons que deux éléments de C n, z 1 et z 2, sont orthogonaux (ou perpendiculaires) si z 1, z 2 = 0. On écrira alors z 1 z 2. Nombres complexes 25 / 28

26 C n et produit hermitien C n et produit hermitien La norme (ou longueur) d un élément de C n est définie par z = z, z. De plus, notons que 1 z 0 et z = 0 si et seulement si z = 0 ; 2 λz = λ z 3 z 1, z 2 z 1 z 2 (inégalité de Cauchy-Schwarz) 4 z 1 + z 2 z 1 + z 2 5 z 1 + z 2 2 z z 2 2 si z 1, z 2 = 0 (théorème de Pythagore) Nombres complexes 26 / 28

27 Références Références 1 Définition 2 Opérations sur les nombres complexes 3 Forme polaire d un nombre complexe 4 La notation d Euler 5 Racines n-ièmes d un nombre complexe 6 C n et produit hermitien 7 Références Nombres complexes 27 / 28

28 Références Références M. Descoteaux. Outils mathématiques du traitement d images. Université de Sherbrooke, F. Dubeau. Outils mathématiques du traitement d images. Université de Sherbrooke, Nombres complexes 28 / 28