7. Base et dimension

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1 7. Base et dimension Sections 3.5 et 3.6 MTH1007 J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2017 (v1) MTH1007: algèbre linéaire 1/17

2 Plan 1. Indépendance, base et dimension 2. La dimension des quatre sous-espaces MTH1007: algèbre linéaire 2/17

3 1. Indépendance, base et dimension 2. La dimension des quatre sous-espaces MTH1007: algèbre linéaire 3/17

4 Indépendance linéaire Définition Les colonnes d une matrice A sont linéairement indépendantes si la seule solution de Ax = 0 est x = 0. Autrement dit, N(A) = {0}. Définition Les vecteurs v 1, v 2,..., v n sont linéairement indépendants si x 1 v 1 + x 2 v x n v n = 0 implique que x i = 0 pour chaque i. S il existe une combinaison linéaire des v i avec des coefficients non nuls qui donne 0 alors ces vecteurs sont linéairement dépendants. MTH1007: algèbre linéaire 4/17

5 Lien avec le rang Théorème Les colonnes de la matrice A m n sont linéairement indépendantes si et seulement si r(a) = n. Conséquence de ce théorème : Théorème Si n > m alors n vecteurs de R m sont nécessairement dépendants. MTH1007: algèbre linéaire 5/17

6 Ensemble générateur et base Définition Un ensemble de vecteurs v 1, v 2,..., v n engendre (ou génère) un espace vectoriel V si tout vecteur de V est combinaison linéaire des vecteurs v i, i {1, 2,..., n}. Définition Un ensemble de vecteurs {v 1, v 2,..., v n } est une base d un espace vectoriel V si 1. les vecteurs v i sont linéairement indépendants et 2. les vecteurs v i engendrent V. MTH1007: algèbre linéaire 6/17

7 Bases et colonnes de A Pour une matrice A de taille n n qui est inversible : Les colonnes sont linéairement indépendantes. C(A) = R n. Autrement dit, les colonnes de A forment une base de R n. Pour une matrice A de taille m n : Les colonnes ne sont pas nécessairement linéairement indépendantes. Les colonnes pivots forment une base de C(A). MTH1007: algèbre linéaire 7/17

8 Lien avec un SEL Théorème n vecteurs linéairement indépendants de R n engendrent R n. n vecteurs qui engendrent R n sont nécessairement linéairement indépendants. Ce théorème peut être reformulé comme suit en termes de SEL : Théorème Si les colones d une matrice A de taille n n sont linéairement indépendantes alors elles engendrent R n (c est-à-dire que C(A) = R n ) et Ax = b possède une solution unique. Si les colones d une matrice A de taille n n engendrent R n alors elles sont linéairement indépendantes et Ax = b possède une solution unique. MTH1007: algèbre linéaire 8/17

9 Dimension Théorème Si les vecteurs v 1, v 2,..., v n forment une base de l espace vectoriel V alors tout vecteur de V s écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs v i. Théorème Si {u 1, u 2,..., u n } et {v 1, v 2,..., v m } sont deux bases d un espace vectoriel donné alors m = n. Autrement dit, toute base d un espace vectoriel contient le même nombre de vecteurs. Définition La dimension d un espace vectoriel V est le nombre de vecteurs dans une base de V. On la note dim V. MTH1007: algèbre linéaire 9/17

10 1. Indépendance, base et dimension 2. La dimension des quatre sous-espaces MTH1007: algèbre linéaire 10/17

11 Espace des colonnes de A : C(A) On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). 1. C est le sous-espace de R m engendré par les colonnes de A. 2. En général, C(A) C(R). 3. Les r colonnes pivots de A forment une base de C(A). 4. La dimension de C(A) et de C(R) est égale au rang r de A : dim C(A) = dim C(R) = r. MTH1007: algèbre linéaire 11/17

12 Espace des lignes de A : C(A ) On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). 1. L espace des lignes de A, noté C(A ), est le sous-espace de R n engendré par les lignes de A. 2. A et R ont le même espace des lignes : C(A ) = C(R ). 3. Les r premières lignes de R (lignes pivots) forment une base de C(R ). 4. Les lignes pivots de A forment une base de C(A ). 5. La dimension de C(A ) et de C(R ) est égale au rang r de A : dim C(A ) = dim C(R ) = r. MTH1007: algèbre linéaire 12/17

13 Noyau de A : N(A) On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). 1. C est le sous-espace de R n constitué des vecteurs x tels que Ax = A et R ont le même noyau : N(A) = N(R). 3. Les solutions spéciales forment une base de N(A) et de N(R). 4. On a dim N(A) = dim N(R) = n r. MTH1007: algèbre linéaire 13/17

14 Noyau à gauche de A : N(A ) On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). 1. Le noyau à gauche de A, noté N(A ), est le sous-espace de R m constitué des vecteurs y tels que A y = On a dim N(A ) = m r. MTH1007: algèbre linéaire 14/17

15 Dimensions des quatre sous-espaces C(A) sous-espace de R m et dim C(A) = r. C(A ) sous-espace de R n et dim C(A ) = r. N(A) sous-espace de R n et dim N(A) = n r. N(A ) sous-espace de R m et dim N(A ) = m r. Théorème Pour toute matrice A de taille m n on a : 1. dim C(A ) + dim N(A) = n. 2. dim C(A) + dim N(A ) = m. MTH1007: algèbre linéaire 15/17

16 Matrices de rang 1 Soit A R m n avec r(a) = 1. Alors : A = uv avec u R m et v R n. Les colonnes de A sont des multiples de u. Les lignes de A sont des multiples de v. C(A) est la droite de R m générée par u. C(A ) est la droite de R n générée par v. N(A) est perpendiculaire à C(A ). N(A ) est perpendiculaire à C(A). MTH1007: algèbre linéaire 16/17

17 Exemples Illustrer les différents concepts sur 1 4 A = 2 7, 3 5 B = [ ], C = [ ]. MTH1007: algèbre linéaire 17/17

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