Université de Rennes1 Master1-H02 Année Exercices. Exercice 1.4 Montrer qu une sous-variété connexe est connexe par arcs.

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1 Université de Rennes1 Master1-H02 Année Variétés plongées Exercices Exercice 1.1 Trouver un difféomorphisme de ]0, + [ dans R Soient C 0 le cylindre S 1 ]0, + [ R 3 et C le cylindre S 1 R R 3. Trouver des difféomorphismes de C 0 dans R 2 \ {(0, 0)} et de C dans R 2 \ {(0, 0)}. Soit n le simplexe {(t 1,..., t n+1 ) R n+1 ; n i=1 t i = 1, t i 0, i {1,..., n + 1}} et B n = {(x 1,..., x n) R n ; 0 x 1... x n 1}. Trouver un difféomorphisme de B n dans n. Exercice 1.2 Soit X 0 le sous-ensemble de R 2 réunion des trois droites {x = 0}, {y = 0} et {x = y}. Soient l 1, l 2 et l 3 trois droites vectorielles distinctes de R 2, on pose X = l 1 l 2 l 3. Trouver un difféomorphisme de X 0 dans X. Exercice 1.3 (i) Montrer que R n et R m ne sont pas difféomorphes si n m. (ii) Montrer que deux sous-variétés M R m et N R n ne sont pas difféomorphes si dimm dimn. Exercice 1.4 Montrer qu une sous-variété connexe est connexe par arcs. Exercice 1.5 Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-variétés? Si oui, donner le plus grand entier k pour lequel c est une sous-variété de classe C k. a) La réunion des axes de coordonnées dans R 2. b) {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 + z 2 = 1 et x 2 + y 2 x = 0}; c) {(t, t 2 ) R 2 ; t 0} {(t, t 2 ) R 2 ; t 0}; d) {(t 3, t 2 ) R 2 ; t R}; e) {(x, y) R 2 ; y = x }; f) Le cône double {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 = z 2 }. Exercice 1.6 Montrer que X = {(x, y) R 2 ; 0 < x < 1, y = sin( 1 )} est x une sous-variété de R 2 de dimension 1, qu en est-il de son adhérence? 1

2 Exercice 1.7 1) Montrer que H 1 = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 z 2 1 = 0} et H 2 = {(x, y, z) R 3 ; x 2 y 2 z 2 1 = 0} sont des sous-variétés de R 3 de classe C. 2) Montrer que l inclusion canonique j : H 2 R 3 est de rang 2. Exercice 1.8 Soit M m R l et N n R k deux sous-variétés. Montrer que M N est une sous-variétés de R l+k de dimension m + n et que T (x,y) M N = T x M T y N. En déduire que le tore T n := S 1... S 1 (n fois) est une sous-variété de R 2n Exercice 1.9 Soit V un sous-espace vectoriel de dimension p de R n. Montrer que V est une sous-variété de R n difféomorphe à R p. Pour tout v V, donner un isomorphisme naturel entre V et T v V. Exercice Soient X Y R n des sous-variétés et i : X Y l inclusion canonique, montrer que T x i : T x X T x Y est aussi l inclusion. 2. Soient X Y R n des sous-variétés. On suppose que dim X = dim Y. Montrer que X est un ouvert de Y. 3. Montrer que S 1 S 1 n est pas difféomorphe à une sous-variété de R 2. Exercice 1.11 Un groupe de Lie est une variété G qui est aussi un groupe, telle que les opérations { { m : G G G i : G G de multiplication et d inversion sont 1 (g 1, g 2 ) g 1 g 2 g g des application de classe C k pour un certain k 1. 1) Soit e l élément neutre de G. Montrer que l application tangente T e m : T e G T e G T e G est l addition T e (v, w) = v + w, et que l application tangent T e i : T e G T e G est la multiplication par 1, T e i(v) = v. 2) Dans un groupe de Lie G, tout élément g détermine une multiplication à gauche γ g : G G, γ g (g ) = gg et une multiplication à droite δ g : G G, δ g (g ) = g g. Utiliser ces applications et leurs applications tangentes pour déterminer les applications tangents de m et i en tout g G. 2

3 Exercice 1.12 Soit d un entier positif. La variété de Brieskorn V 2n 1 d l ensemble des points (z 0,..., z n ) C n+1 tels que z d 0 + z z 2 n = 0 et z 0 z z n z n = 1. est Montrer que V 2n 1 d (réelle) 2n 1. est une variété différentielle classe C et de dimension Exercice 1.13 Soient w 1,, w n et d des entiers > 0. Une fonction f : R n R est dite quasihomogène de type (w 1,, w n ; d) si pour tout λ R et tout (x 1,, x n ) R n on a : f(λ w 1 x 1,, λ wn x n ) = λ d f(x 1,, x n ). a) Montrer que si f est de classe C 1 et quasihomogène de type (w 1,, w n ; d) alors pour tout (x 1,, x n ) R n on a : d.f(x 1,, x n ) = n i=1 w i x i f x i (x 1,, x n ). b) En déduire que pour tout y R {0}, V y = f 1 ({y}) est une sousvariété de R n de dimension n 1. c) On suppose que f a une singularité isolée en 0. Montrer qu il existe ɛ 0 > 0, pour tout ɛ ɛ 0, W ɛ = f 1 ({0}) S n ɛ est une sous-variété de R n de dimension n 2. En déduire que pour d 1[2], V d = {(x 0,, x n ) R n+1 ; x d 0 + x 2a x 2an n = 0 et x x 2 n = 1} est une sous-variété de R n+1 de dimension n 1. Exercice a) Montrer que l ensemble SL n (R) = {M M n (R), det(m) = 1} est une sous-variété de M n (R) R n2 de dimension n 2 1. b) Montrer que l ensemble Mn p r = {M M n p (R); rang(m) = r} des matrices de rang r est une sous-variété de M n p (R) et calculer sa dimension. ( ) A B (Indication : Soit M = M C D n p avec A Mr r. r montrer que M Mn p r si et seulement si D C.A 1.B = 0.) 3

4 Exercice 1.15 Soient V et V deux variétés différentiables de classe C k, k 1, de même dimension n, et soit f une application de classe C k de V dans V. Un point y V est dit valeur régulière de f si f 1 (y) = ou si x f 1 (y), f est une submersion en x. On suppose V compacte. 1) Montrer que quelque soit y V valeur régulière de f, l ensemble f 1 (y) est fini. 2) Montrer que y V, valeur régulière de f, il existe un voisinage ouvert W y de y tel que pour tout y W y, y est une valeur régulière et Card{f 1 (y )} = Card{f 1 (y)} 3) En déduire que si l ensemble des valeurs régulières de f est connexe, Card{f 1 (y)} est constant. 4

5 Exercice 1.16 Soit P (z) = a n z n + + a 1 z + a 0, où les a k sont des constantes complexes, a n 0 et n 1, z C. P détermine une application analytique de C dans C, donc une application analytique de R 2 dans R 2, en particulier de classe C k, notée h. Soit S 2 la sphère unité, sous-variété de R 3. On désigne par φ N et φ S les projections stéréographiques de pôle Nord et Sud respectivement. 1) Montrer que l application f : S 2 S 2 définie par : { φ 1 N f(x) = h φ N(x) pour x N N pour x = N est une application de classe C k, ( même analytique.) (pour démontrer l assertion au voisinage de N, on considérera l application Q(z) = φ S f φ 1 S (z) de C C.) 2) Montrer que tous les points de S 2 sauf un nombre fini sont des valeurs régulières de f (on démontrera d abord l assertion analogue pour l application h.) 3) Montrer que S 2 moins un nombre fini de points est connexe par arcs. 4) En déduire que f 1 (y) est non vide pour tout y S 2. (on pourra appliquer le 3) de l exercice précédent). 5) En déduire qu il existe z C tel que P (z) = 0 ( Théorème de d Alembert ). Exercice 1.17 Montrer que l ensemble A = {(x, x ); x R} n est pas l image de R par une immersion. Donner un exemple d une application de classe C 1 de R dans R 2 dont l image est A. Exercice 1.18 Soit f une application injective de classe C 1 de R n dans R m. Montrer que n m et que d x f est injective sur un ouvert dense. d x f est-elle nécessairement injective partout? Exercice 1.19 Montrer qu il n existe pas d immersion de S n dans R n Exercice 1.20 Soit φ : S 2 R 6 donnée par φ(x, y, z) = (x 2, y 2, z 2, yz, zx, xy). a) Soit S 2 / l espace quotient de S 2 par la relation d équivalence (x, y, z) (x, y, z) (antipodie) 5

6 Montrer que f passe au quotient en une application continue et injective f : S 2 / R 6 b) En déduire que l image de S 2, f(s 2 ) est une sous-variété de R 6 de dimension 2. 6

7 Exercice 1.21 Soient M R N une sous-variété connexe et f : M M une application de classe C 1, telle que f f = f. Montrer que f(m) est une sous-variété connexe et fermée de M. Quelle est sa dimension? Exercice ) Soient f : M m N n et g : N n P p des applications de classe C 1, soit V P une sous-variété telle que g V. Montrer que f g 1 (V ) si et seulement si g f V. b) (produit fibré de variétés)soient f : M m P p et g : N n P p des applications de classes C 1, telles que l application (f, g) : M N P P soit transverse à la diagonale de P P. Montrer que l ensemble défini par M P N = {(x, y) M N; f(x) = g(y)} est une sousvariétés et déterminer sa dimension. Exercice 1.23 (Théorème de Sard) a) Trouver une application C de R dans R dont l ensemble des valeurs critiques est dense. b) Montrer qu il n existe pas d application de classe C 1 f : R n R n telle que pour tout x R n, f 1 (x) soit non dénombrable. c) Soient f : X Y une application de classe C, bijective et de rang maximum ( on ne fait pas d hypothèse sur les dimensions des variétés). Montrer que f est un difféomorphisme. d) Soient f : X n Y n une application de classe C 1. Si X est compacte et Y n est pas compacte, alors f a nécessairement un point critique. Exercice 1.24 (Lemme de Morse) Soit f une application de classe C 3 définie sur un ouvert de R n contenant 0 et à valeurs dans R, avec f(0) = 0. On suppose que d 0 f = 0 et que d 2 0f ( qui est une application bilinéaire sur R n ) est non-dégénérée, de signature (p, q). le but de cet exercice est de montrer que, après un changement de coordonnées, f s écrit f(x 1,..., x n ) = x x 2 p x 2 p+1... x 2 n. 1) Montrer l existence de fonctions h ij (1 i, j n) de classe C 1 n telles que f(x) = x i x j h ij (x). Autrement dit, en notant A(x) = i,j (h ij (x)) 1 i,j n, on a f(x) =< A(x)x, x > et A(0) = d 2 0f. 7

8 2) Soient M n (R) l espace des matrices carrées dse vtaille n et S n (R) l espace des matrices symétriques de taille n. Soit Q S n (R) non dégénérée. En considérant l application L de M n (R) dans S n (R) définie par L(A) = t AQA, montrer l existence d une fonction ϕ de classe C définie dans un voisinage U de Q dans S n (R) à valeurs dans M n (R) telle que, pour tout x U, t ϕ(x)qϕ(x) = x. dans 3) Conclure. 4) Montrer que l application de f : S 3 R définie par (x, y, z) z est une fonction de Morse. 5) Soit g : R n R une application de classe C 3. On considère pour tout a R n l application g a (x) = g(x)+ < x, a >. (<.,. > est le produit scalaire usuel dans R n ) Montrer que l ensemble {a R n ; g a est une fonction de Morse} est dense dans R n. 8

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