Module Mathématiques pour l Informatique_ partie 10

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1 Module Mathématques pour l Informatque_ parte 0 Zahra Royer-SafouanaTabou Rappel : On appelle ans les ensembles de nombres : (cf. Wpéda), ensemble des enters naturels., ensemble des enters relatfs., ensemble des nombres décmaux., ensemble des ratonnels., ensemble des nombres réels., ensemble des nombres réels postfs ou nuls., ensemble des nombres réels négatfs ou nuls., ensemble des nombres complexes., les mêmes ensembles prvés de zéro. Par constructon on a. Exemples fondamentaux (sute) Les ensembles numérques a,,, et muns de l ordre naturel sont des trells dstrbutfs non complémentés car ls ne sont pas bornés ; l n y a pas d opératon de complémentaton non plus. En effet, x, y, z IR, en dstnguant les 3 cas possbles : x y z ; y x z et z x y, on montre que : mn ( x,max( y, z ) ) = max( mn( x, y),mn( x, z ) ). De manère générale, l est clar que tout ensemble totalement ordonné est un trell dstrbutf. * mun de l ordre dvse est un trells dstrbutf borné mas non complémenté. En effet : PGCD ( a, b) = a b et PPCM ( a, b) = a b. Le trells est dstrbutf : on le démontre faclement en utlsant les décompostons en facteurs premers et la dstrbutvté de l ordre naturel. De plus le trells est borné car tout élément dvse 0 c est le plus grand élément et dvse tout élément, c est le plus pett élément. Etant donné x, on ne peut trouver d enter n ( x) tel que PGCD ( x, n( x) ) = et PPCM ( x, n( x) ) = 0 donc ce trells n est pas complémenté.

2 ( ( ), ) E est un trells dstrbutf et complémenté. En effet pour tous A, B E, A B = A B et A B = A B ; est le plus pett élément et E le plus grand élément. D autre part s A est le complémentare de A dans E alors on a A A = et A A = E. S E n est pas vde ou un sngleton, ( ( E ), ) est une algèbre de Boole. On démontre que toute algèbre de Boole fne peut être vue comme un ( ( E ), ) Ce sont donc des prototypes. Remarque : On sat que dans ( ( E ), ) toute parte admet une borne nféreure et une borne supéreure. Un trells qu a cette proprété est dt complet. Nous ne développons pas les proprétés de ces trells. Chaptre 3 : Arthmétque Exercces Tests : Voc une lste d exercces. S vous êtes capables de les résoudre alors vous n avez pas beson du cours, dans le cas contrare, le chaptre suvant vous apporte les compétences savor et savor fare, pour résoudre ces exercces et tout problème qu se ramène aux équatons de congruence ou aux équatons dophantennes, et plus généralement à un problème d arthmétque. Le premer janver 0 sera un samed. Quel jour de la semane sera le 0 ème jour de l année 0? Un objet vaut x et y centmes. Par erreur vous payez y euros et x centmes sot deux fos le prx plus 5 centmes. Quel est le prx de l objet? Deux enfants ont 00 blles à eux deux. S le premer met ses bllets par paquets de 8, l lu en reste 7, et le second met ses bllets par paquets de 0, l lu en reste 7. Comben ont-ls de blles chacun? Un restaurant propose un menu à euros pour les adultes et à 7 euros pour les enfants. A la fn de la journée, la recette est de 657 euros. Quel est le nombre mnmum de personnes qu ont été serves dans cette journée? Le nombre maxmum? Une compagne pétrolère dot lvrer ltres d essence. Ses camons cternes ont une capacté ont une 400 ltres ou de 4600 ltres. Chaque

3 cterne dot être plene avant de prendre la route, autrement le rouls pourrat représenter un danger. Est-l possble pour la compagne d effectuer sa lvrason? Quel est le nombre mnmal de camons qu elle dot utlser? Détermner les trplets d enters ( x y, z ), tel que 5 x + 7y + z = Sophe vend des bllets d avon. Dans son agence, ouverte 7 jours 7, le rythme de traval a une pérodcté de 5 jours : elle travalle 4 jours de sute, pus elle a drot à une journée de congé et pus ça recommence encore et toujours... Ce qu elle ame surtout c est avor son congé le mercred car ce jour-là les musées sont ouverts tard le sor et elle a le temps d en vster pluseurs. Aujourd hu lund, elle n a pas le moral car elle est à son 4 ème jour de traval d afflé et ce n est de stôt que son congé tombera un mercred. Dans comben de jours cette crconstance favorable va t-elle se produre et comben de jours faudra-t-l attendre pour qu elle se produse à nouveau? L arthmétque est l étude des nombres en consdérant la relaton de dvsblté. Elle est de nos jours redevenue centrale car les ordnateurs ne connassent que les nombres enters. La programmaton utlse généralement le codage en bnare, les théores s appuent donc sur l ensemble / noté souvent {0,} mun des opératons que nous avons ntrodut dans un précédent exemple. Plus généralement, la cryptographe, les théores des codes détecteurs et des codes correcteurs utlsent les ensembles /n appelés enters modulo n. Les équatons de congruences, c est à dre des équatons à coeffcents les problèmes. Le but de ce chaptre est de se famlarser aux notons, méthodes et technques de l arthmétque, et leurs applcatons à l étude de problèmes de congruence. Beaucoup de problèmes condusent à des équatons dophantennes, ce sont des équatons polynomales à coeffcents enters dont on cherche des solutons entères. La plus célèbre de ces équatons étant l équaton de Fermat n n n x + y = z, n IN, n.

4 Ce chaptre utlse les acqus des deux chaptres précédents. Son but est de rappeler et de compléter les bases élémentares d arthmétque : la dvson eucldenne, la décomposton en facteurs premers, l algorthme d Euclde pour le calcul du PGCD, PPCM. Nous pourrons alors apporter des méthodes et technques de résoluton des équaton de Bezout : équaton lnéare à coeffcents enters dont on cherche des solutons entères. Nous revendrons pour fnr sur les congruences et nous complèterons nos connassances sur les ensembles /n La dvson eucldenne sur Théorème 6(rappel) : Soent ( a, b) x *. Il exste un unque couple ( q, r ) 9 tels que a = bq + r et 0 r < b. La formule a = bq + r et 0 r < b s appelle dvson eucldenne de a par b ; q s appelle le quotent et r le reste de a par b. b dvse a s et seulement s r = 0. Prenons par exemple : a = 0 et b = 6 ; on a 0 = ( 6) ( 3) + = ( 6) ( ) + 8 = ( 6) ; on vot qu l exste pluseurs relatons du type a = bq + r, ( q, r ) s l on mpose pas la condton 0 r < b. 0 = ( 6) ( 3) + est la dvson eucldenne de 0 par -6, la quotent est -3 et le reste mas 0 = ( 6) ( ) + 8 et 0 = ( 6) ne sont pas des dvsons eucldenne. Montrons que la condton 0 r < b assure effectvement l uncté de ( q, r ). Supposons qu l exste deux couples ( q, r ) et ( q r ) a = bq + r = bq + r. Il vent alors b( q q ) = r r et, vérfant 0 r < b ; 0 r < b. S q n état pas égal à q on r r = b q q or 0 r < b ; 0 r < b mplque r r < b et aurat ( ) b

5 r r < b donc r r < b. On aboutt donc à une contradcton par conséquent on nécessarement q = q et par sute r = r. Nous admettons l exstence du couple ( q, r ) par la pratque que nous supposons acquse. Enfn, la dvson eucldenne permet de savor mettre en évdence la relaton «dvse» entre enters non nuls. Rappelons auss que «dvse» est une relaton d ordre sur * et seulement un préordre sur *. Car sur *, a dvse a et a dvse a donc la relaton n est pas antsymétrque). De manère générale, sur *, on a a dvse b et b dvse a s et seulement s a = b. En effet : a dvse b a = bq et b dvse a b = q a. Il vent a = ( qq )a sot q q =. D où q = q =. Ensemble des multples d un enters : S a dvse b, on dt que b est un a. = =, } c est l ensemble des enters pars. multple de a. L ensemble des multples de a est noté a 9 ou ( ) Par exemple ( ) { On a les proprétés suvantes a ( a) 3. Nombres premers =. S a dvse b alors b a Cec est le début du dagramme de Hasse (qu est nfn) de la relaton «dvse sur *. Il met en évdence une certane organsaton des enters naturels. En deuxème lgne apparassent des enters qu ne possèdent pour seuls dvseurs que et eux mêmes. On les appelle des nombres premers. Ces nombres ont des proprétés qu les mettent au centre de l arthmétque sur ou.

6 n La colonne centrale est occupée par les enters de la forme, à gauche ceux de la forme n 3 m. En contnuant on observera qu l est possble d écrre tout enter naturel sous forme de produts de nombres premers. Cette proprété peut s étendre sans pene aux enters relatfs, et le concept de nombre premer peut être généralsé à. Nous allons rappeler la noton de nombre premer, donner les moyens de les dentfer et de les utlser. Dans, on appelle nombre premer tout enter naturel qu n admet pour dvseurs que et lu- même. Voc les nombres premers nféreurs à 00 ; l y en a Dans, on appelle nombre premer un enter a dont la valeur absolue est un nombre premer. Autrement dt a est premer s a n admet que 3 dvseurs :, a et a. L ensemble des nombres premers dans est la réunon de l ensemble des nombres premers enters naturels et de l ensemble de leurs opposés. Auss les proprétés seront énoncés sans perte de généralté pour les nombres premers naturels. Les lemmes suvants seront souvent utles. Lemme : Sot n, n > ; le plus pett dvseur de n strctement supéreur à est un nombre premer. Donc tout enter admet au mons un dvseur premer. En effet, sot n >. n dvse n donc l ensemble des dvseurs de n strctement supéreur à n est pas vde. Par conséquent l admet un plus pett élément, dsons. S n état pas premer l admettrat un dvseur u >, qu dvserat auss n et qu serat plus pett que donc ne serat plus le plus pett dvseur strctement supéreur à de n. Observons quelques ensembles de dvseurs d enters naturels. Ensemble des dvseurs de : 6 : {,, 4, 8, 6} 45 : {, 3, 5, 9, 5, 45} 00 : {,,, 4, 5, 0, 0, 5, 50, 00} 458 : {,, 9, 458} 458 : {, 3, 9, 509, 57, 458} On observe que s dvse n alors n = q, q dvse n et et q sont stués symétrquement par rapport au mleu de la lste ; cette observaton condut au lemme suvant :

7 Lemme : Sot n *, dans la lste des dvseurs de n, le produt de deux dvseurs stués symétrquement par rapport au mleu de la lste est égal à n. En effet : supposons que n = q,, q < n. Alors q n ou ben q n car s q n on a = n q n. On en dédut dès lors le premer test de prmalté suvant : Théorème 7: Sot n, n 3. S n n est dvsble par aucun des enters comprs entre et n alors n est premer. Exemple : 9 est premer car 9 = 5, 3 et aucun des nombres premers nféreurs à 5 à savor et 3 ne dvse 9. On vérfe de même que 509 est premer. D après le lemme, tout enter naturel n admet au mons un dvseur premer. On peut dès lors par l algorthme suvant trouver les dvseurs premers pus factorer n en produts de nombres premers. Méthode pour décomposer un enter en facteurs premers Détermner le plus pett dvseur de n autre que. Sot p Dvser n par p. n S m = >, recommencer à partr de avec m. p Nous pouvons énoncer : Théorème 8: Tout enter naturel n est sot un nombre premer sot un produt de nombres premers. Dès lors n s écrt sous la forme n α α α α = p = p p... p où = p sont des nombres premers et les α * La décomposton est unque à une permutaton près des facteurs, autrement dt elle est détermnée de manère unque par les facteurs premers p et leur exposant α que l on note v ( n) On obtent ans la décomposton en facteurs premers de n. Pour un enter négatf a, s α α α α a = p = p p... p alors = = décomposton de a en facteurs premers p α α α α a = p = p p... p est par défnton la

8 Dsposton pratque : pour exécuter cet algorthme on adopte dsposton suvante dans laquelle les facteurs premers sont à drote, à la fn l sufft de multpler tous ces facteurs l vent 6 = l vent 45 = 3 5 = l vent = l vent 458 = 9 (nous montré que 9 est premer) l vent 458 = (nous montré que 509 est premer) l vent 4585 = 5 7 7

9 Il est évdent que cet algorthme de factorsaton n est pas très effcace pour des grands nombres(car trop lent). C est sur ce constat que s appue les clés de sécurté en cryptographe. Voc un corollare fondamental du théorème : Corollare : l exste une nfnté de nombre premers. Preuve : D après ce qu précède l ensemble des nombres premers (naturels) n est pas vde. Supposons qu l exste nombres premers p,..., p. Posons n = p... p. n + admet un dvseur premer p. Alors p est dstnct de tous les p car snon p dvserat n et n + donc auss leur dfférence c est à dre. Ce qu est mpossble! Rappelons que a dvse b et a dvse c alors a dvse b ± c. Cette démonstraton donne auss un moyen de lster de nouveaux nombres premers à partr de ce qu on connat déjà. Il sufft de prendre p,..., p, de calculer N = p... p + et de factorser N. Posons n = p... p. n + auss gan lon que l on veut. Par exemple de, on construt 3 qu est premer, pus 7 pus 43 qu sont premers pus = 807 = On obtent deux nouveaux nombres premers : 3 et 39, et ans de sute. 3.3 PGCD et PPCM : dentté de Bezout ; algorthme d Euclde Nous avons vu que a, b = a * mun de l ordre dvse est un trells dstrbutf borné et PPCM a, b = a (plus pett PGCD ( ) b (plus grand commun dvseur) et ( ) b commun multple). Le plus pett et plus grand sont au sens de l ordre dvse, on peut alors généralser les deux concepts aux enters relatfs. PGCD et PPCM dans :Sot a,...,a n, On appelle pgcd (plus grand commun dvseur ) de a,...,an tout enter d vérfant : d dvse chacun des a ; tout dvseur commun à tous les a dvse d. Dès lors : s d est un pgcd de a,..., an alors d auss Par conséquent le seul enter postf vérfant ) et ) s appelle le PGCD de a,...,a n. On le note PGCD ( a,..., a n ) ou a... an.

10 On appelle ppcm (plus pett commun multple ) de a,...,an tout enter m vérfant : m ( a ), a tout multple commun aux a est un multple de m. Autrement dt m = a a... ( ) ( ) ( ) ( ) a n Dès lors : s m est un ppcm de a,...,an alors m auss. Par conséquent le seul enter postf vérfant. et. s appelle le PPCM de a,...,an. On le note PPCM a,..., a... a ( ) a n ou n. Dans ce qu sut on convent d écrre la décomposton en facteurs premers sous forme d un produt contenant une nfnté de termes en utlsant tous les nombres premers et en acceptant l exposant 0. Donc s a, on écrra seulement s p dvse a. v p Seulement un nombre fn des v ( a) Dès lors s b ( a ) v p ( a ) v ( a ) v ( a ) p... p = p p p... a = p où v p ( a) = 0 s et = r γ γ γ γ = q = q q... q où j j = p ne sont pas nuls. q sont des nombres premers et les γ j * alors pour trouver l ensemble des dvseurs communs l sufft de consdérer les facteurs premers communs à a et b. Enfn /n { 0,,..., } = n. Par défnton s r { 0,,..., n }, r = { qn + r q Z } reste de la dvson euclden par n est égal à r. Généralement on écrt r = n + r. Par exemple n = 0 = n ; n + = ans de sute., ensemble des enters dont le Fn.

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