Langages Rationnels. Licence Informatique Parcours Miage-2010/2011

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1 Licence Informatique Parcours Miage-2010/2011 Langages Rationnels 1 Langages : généralités Un alphabet est un ensemble non vide dont les éléments sont appelés lettres. Exemples : A = {a,b,d} B = {0, 1} G = {alpha, delta, sigma, ksi} Un mot est une suite finie de lettres. Exemples : m 1 = aba est un mot sur l alphabet A. m 2 = mot sur B. m 3 = sigma.delta.delta mot sur G Le mot vide est la suite vide de lettre. On le note ε. (Attention, ne pas confondre ε avec une lettre : c est un mot). Opération de concaténation : Soient deux mots m 1 = α 1 α n et m 2 = β 1,,β p, avec les α i et les β j lettres d un alphabet donnée X. Alors, le résultat de la concaténation de m 1 et m 2, noté m 1.m 2 est le mot : m 1.m 2 = α 1 α n β 1,,β p Cette opération est associative, n est pas commutative, et admet le mot vide pour élément neutre. La longueur du mot m, notée m est le nombre de lettres du mot m. Exemples : m 1 = aba = 3 = m 3 m 2 = = 5 ε = 0 Un langage sur un alphabet X est un ensemble d emots sur X. Exemples : Sur l alphabet B L 1 = {00,010,11,1010} L 2 = {m / m est un multiple de 3 en base 2} L 3 = {m / m se termine par 0} 1

2 2 Les langages rationnels Les langages rationnels sont les langages définissables par une expression rationnelle. On définit les expressions rationnelles par induction : Soit X un alphabet. est une expression rationnelle. ε est une expression rationnelle. si a lettre de X alors a est une expression rationnelle. si e 1 et e 2 sont des expressions rationnelles, alors e 1.e 2, e 1 + e 2 sont des expressions rationnelles. si e expression rationnelle, alors (e) et e sont des expressions rationnelles. concaténation de langages : L 1.L 2 = {m 1.m 2 / m 1 L 1,m 2 L 2 } puissance d un langage : Soit L un langage sur un alphabet X L 0 = {ε} L 1 = L L i = L i 1.L pour i > 0 L = i 0 Li L + = i>0 Li = L.L Les expressions rationnelles définissent les langages rationnels, de la façon suivante : définit le langage vide. ε définit le langage {ε}. si a lettre de X alors a définit le langage {a}. si e 1 et e 2 sont des expressions rationnelles qui définissent respectivement L 1 et L 2, alors e 1.e 2 définit L 1.L 2, et e 1 + e 2 définit L 1 L 2. si e expression rationnelle qui définit L, alors (e) définit L et e définit L. 2

3 Langages reconnaissables 3 Automates finis Un automate fini de mots est un quintuplet (A, Q, I, F, δ) avec A alphabet Q ensemble d états I ensemble non vide d états initiaux. I Q. F ensemble d états finaux. F Q δ fonction de transition. δ : Q A 2 Q On note δ (q,m) l ensemble des états atteints en lisant m à partir de q. Si m = ε, δ (q,ε) = {q} Sinon, m = a.m et alors δ (q,m) = e δ(q,a) δ (e,m ) Un mot est reconnu par l automate M = (A,Q,I,F,δ) si et seulement si q 0 I δ (q 0,m) F Le langage L(M) reconnu par un automate M est l ensemble des mots reconnus par M. 4 Langages reconnaissables Un langage est reconnaissable s il existe un automate qui le reconnaît. Un automate M = (A,Q,I,F,δ) est déterministe si I est un singleton {q 0 } q Q, a A, δ(q,a) a au plus 1 élément. Un automate M = (A,Q,I,F,δ) est complet si q Q, a A, δ(q,a) a au moins 1 élément. Théorème : Soit M un automate non déterministe. Il existe un automate M déterministe qui reconnaît L(M). Propriétés de clôture : On note Rec(X ) la famille des langages reconnaissables sur un alphabet X. Par définition, un langage L sur l alphabet X est dans cette famille s il existe un automate M qui le reconnaît. Rec(X ) est fermée par produit de concaténation Rec(X ) est fermée par étoile Rec(X ) est fermée par complémentaire Rec(X ) est fermée par union Rec(X ) est fermée par intersection. Théorème de Kleene On note Rat(X ) la famille des langages rationnels sur l alphabet X. Rat(X ) = Rec(X ) 3

4 Grammaires algébriques Une grammaire algébrique (ou hors-contexte) G est définie par un quadruplet (Σ,V,S,P) où : Σ est un ensemble fini de symboles terminaux, V est un ensemble fini de variables (symboles non terminaux), S est un élément distingué de V, appelé axiome, P V (Σ V ) est un ensemble fini de règles de production. On suppose que Σ V =. (Σ V ) est l ensembles des mots écrits sur l alphabet Σ V. Une règle de production (A,aAb) P sera notée A aab. Un mot u se dérive en un pas en un mot v par G s il existe une règle X w de P, une décompostion u 1 Xu 2 de u, une décomposition u 1 wu 2 de v. On note u G v si u se dérive en un pas en v par G. Proposition Pour toute grammaire algébrique G = (Σ,V,S,P), et pour tout u, v, α, β (Σ V ), si u G v alors αuβ G αvβ. La dérivation d un mot u est non déterministe puuisqu on a deux sources de choix : choix d un non terminal X dans u, choix d une règle de production de membre gauche X. Un mot u se dérive en k pas en un mot v (noté u k G v) par G si k = 0 et u = v, k > 0 et il existe un mot u tel que u G u et u k 1 G v. Un mot u se dérive en un mot v par G (noté u G v) si il existe un entier naturel k tel que u k G v. La relation G est la clôture réflexive et transitive de la relation G. Proposition Pour toute grammaire algébrique G = (Σ,V,S,P), et pour tout u, v, α, β (Σ V ), pour tout entier k, si u k G v alors αuβ k G αvβ. si u G v alors αuβ G αvβ. Proposition Pour toute grammaire algébrique G = (Σ,V,S,P), et pour tout u 1, u 2, v 1, v2 (Σ V ) et k 1, k 2 N si u 1 k 1 G v 1 et u 2 k 2 G v 2 alors u 1 u 2 k G v 1v 2 avec k = k 1 + k 2. Le langage engendré par la grammaire G = (Σ,V,S,P), noté L(G) est l ensemble des mots w composés uniquement de terminaux que l on peut dériver à partir de l axiome de G. L(G) = {w / S G w, w Σ } Le langage étendu engendré par la grammaire G = (Σ,V,S,P), noté L(G) est l ensemble de tous les mots w que l on peut dériver à partir de l axiome de G. L(G) = {w / S G w, w (Σ V ) } 4

5 Un langage L est algébrique si et seulement si il existe une grammaire algébrique G engandrant L (L = L(G)). Deux grammaires G 1 et G 2 sont équivalentes si et seulement si elles engendrent le même langage (L(G 1 ) = L(G 2 )). Lemme fondamental Soit G = (Σ,V,S,P) une grammaire algébrique. Soient u 1,u 2, v (Σ V ) et k N. Si u 1 u 2 k G v alors il existe v 1, v 2 (Σ V ) et k 1, k 2 N tels que v = v 1 v 2, u 1 k 1 G v 1, u 2 k 2 G v 2 et k = k 1 + k 2. Exemple Le langage L = {a n b n /n N} n est pas un langage rationnel, mais c est un langage algébrique engendré par la grammaire G = ({a,b}, {S},S,P) avec P = {S asb,s ǫ}. Pour montrer que L(G) L, on montre que si w L(G), alors il existe k N tel que S k G w. Montrons par récurrence sur k que, si S k G w, alors w = ak 1 b k 1. Si k = 1, alors w = ǫ. Supposons la propriété vraie pour k. Pour k + 1, on a S G asb k G w. On applique le lemme fondamental avec u 1 = a et u 2 = Sb : il existe v 1, v 2, k 1, k 2 tels que u 1 k 1 G w 1 et u 2 k 2 G w 2, k 1 + k 2 = k et w = w 1 w 2. Comme u 1 = a, w 1 = a et k 1 = 0 donc u 2 = Sb k 2 G w 2 avec k 2 = k. On applique à nouveau le lemme fondamental avec u 1 = S et u 2 = b : il existe v 1, v 2, k 1, k 2 tels que u 1 k 1 G w 2, G w 1 et u 2 k 2 k 1 + k 2 = k et w 2 = w 1 w 2. Comme u 2 = b, on a w 2 = b et k 2 = 0, et donc S k G w 1. Par hypothèse de récurrence, on a w 1 = ak 1 b k 1 donc asb k G ak b k soit S k+1 G ak b k. Pour montrer que L L(G), on montre par récurrence sur n, que pour tout n, a n b n L(G). Pour n = 0, S G ǫ donc ǫ(= a 0 b 0 ) L(G). Si la propriété est vraie pour n, on a donc a n b n L(G) soit S G an b n. Donc asb G aan b n b (par la 2ème proposition). Comme S asb P, S G an+1 b n+1. 5

6 Propriétés de clôture Les langages algébriques sont clos par union : si L et L sont algébriques, alors L L est algébrique. concaténation : si L et L sont algébriques, alors L.L est algébrique. étoile : si L est algébrique, alors L = i n Li est algébrique, Attention : les langages algébriques ne sont pas clos par intersection : il existe deux langages algébriques L et L tels que L L n est pas algébrique. complémentaire : il existe un langage algébrique L tel L n est pas algébrique. Grammaires régulières Une grammaire G = (Σ,V,S,P) est régulière (ou linéaire) si toute règle X de production de P est soit de la forme X ǫ, soit de la forme X ay avec a un terminal (a Σ) et Y un non-terminal (Y V ). Un langage est régulier si il peut être engendré par une grammaire régulière. Un langage est régulier si et seulement si il est rationnel. Il existe des grammaires non régulières qui engendrent des langages réguliers 1. Classification des grammaires Une grammaire formelle est donnée par (Σ, V, S, P) avec P (Σ V ) (Σ V ). La hiérarchie de Chomsky classe les grammaires suivant ce qu il est possible de spécifier dans les règles de production α β de P. Grammaire arbitraire Grammaire contextuelle Grammaire algébrique Grammaire régulière α,β (Σ V ) α,β (Σ V ) et α < β α V, β (Σ V ) α V, β ΣV {ǫ} Les grammaires algébriques restent insuffisantes pour spécifier tous les aspects des langages de programmation (comme le problème du nombre de paramètres a n b m c n d m ). Arbres de dérivation Soit G = (Σ,V,S,P) une grammaire algébrique. Un arbre de dérivation relatif à G est un arbre dont les nœuds sont étiquetés par des symboles de Σ V {ǫ} et dont les fils de tout nœud interne sont ordonnés. De plus, il vérifie que : la racine est étiquetée par l axiome de la grammaire, les nœuds internes sont étiquetés par des non-terminaux, les feuilles sont étiquetées par des terminaux ou ǫ, un nœud interne et ses fils correspondent à une règle de production. Construction d un arbre de dérivation à partir d une dérivation : On part d un arbre n ayant qu un seul nœud, la racine étiquetée par l axiome. pour une dérivation en un pas α G β, il existe un non-terminal A dans α et une production A δ dans P tels que la dérivation remplace A par δ dans α (en produisant β). Si A est le ième symbole de α, alors on étend l arbre en ajoutant à sa ième feuille les fils correspondant à la règle A δ. Exemple : G = ({i,+,,(,)}, {E},E,P) avec P = {E E + E E E E (E) i}. Dériver i + i et i + i i. 1 G = ({a}, {S}, S, P = {S asa ǫ}) par exemple 6

7 Dérivations gauches Ambiguité Proposition Soit G = (Σ,V,S,P) une grammaire algébrique. Un mot w de Σ appartient à L(G) si et seulement si il existe un arbre de dérivation dont les feuilles lues de gauche à droite forment le mot w. Nous avons vu que lorqu on construit une dérivation d un mot w, nous pouvons choisir à chaque pas le non-terminal X dans u et la règle de production de membre gauche X (X...). Il existe donc en général plusieurs dérivations pour un même mot u. Lorsque l on construit un arbre de dérivation, seul le choix des règles de production aura un impact sur l arbre final. L ordre selon lequel on choisit les non-terminaux n aura aucun impact sur l arbre final. Plusieurs dérivations correspondent donc au même arbre de dérivation. Sur l exemple G = ({i,+,,(,)}, {E},E,P) avec P = {E E + E E E E (E) i}, pour le mot w = i + i, on a les 2 dérivations E G E + E G i + E G i + i E G E + E G E + i G i + i Mais il n y a qu un arbre de dérivation correspondant à ces deux dérivations. Un arbre de dérivation regroupe ainsi plusieurs dérivations équivalentes d un même mot. Dérivations gauches Une dérivation gauche est une dérivation dans laquelle on choisit à chaque pas de dériver le non-terminal le plus à gauche. Soient u,v (Σ V ), on note u g G v si il existe l Σ, r (Σ V ) et une règle de production α β tels que u = lαr et v = lβr. On notera g G la clôture réflexive et transitive de g G. Le correspondance entre dérivations gauches et arbres de dérivation est bijective. Cela vient du fait qu une dérivation gauche correspond à un parcours dans l ordre préfixe de l arbre de dérivation. On utilise la dérivation gauche pour calculer l arbre de dérivation d un mot. Ambiguité Un mot m L(G) est ambigu s il est le feuillage d au moins deux arbres de dérivations différents. Une grammaire G est ambiguë s il existe un mot m de L(G) tel que m soit ambigu. Un langage algébrique L est ambigu si toute grammaire G engendrant L est ambiguë. Exemple : la grammaire G 1 = ({,i}, {E},E, {E E E i}) est-elle ambiguë? Oui, le mot i i i a deux arbres de dérivation. Or le langage L(G 1 ) n est pas ambigu. Pour lever l ambiguité de la grammaire, on peut ajouter des parenthèses : G 1 = ({,i(,)}, {E},E, {E (E E) i}). G 1 n est pas ambigüe, mais L(G 1 ) L(G 1). Une meilleure solution consiste à introduire une priorité : G 2 = ({,i}, {E},E, {E E i i}). G 2 n est pas ambigüe et L(G 2 ) = L(G 1 ). De même G 3 = ({,i}, {E},E, {E i E i}) est aussi non-ambiguë et vérifie L(G 3 ) = L(G 1 ). De manière générale, pour rendre non ambigüe une grammaire, on utilise des propriétés sémantiques du langage, comme les priorités sur les opérateurs. Exemple : expressions arithmétiques G = ({i,+,,(,)}, {E}, E, {E E + E E E (E) i}) La grammaire est ambiguë. Le langage n est pas ambigu : la multiplication est prioritaire sur l addition +. On repousse les dérivations de l opérateur au fond de l arbre en introduisant 7

8 des règles termes T et facteurs F supplémentaires. G = ({i,+,,(,)}, {E,T,F }, E,P ) E E + T T somme de termes P = T T F F produit de facteurs F (E) i Il existe cependant des langages algébriques qui sont inhéremment ambigus. L = {a n b m c p n = m m = p} est ambigu (il y a deux arbres de dérivation pour a n b n c n ) mais est un langage algébrique car engendré par les règles {S X Y,X AB,Y CD,A Ac ǫ,b abb ǫ,c ac ǫ,d bdc ǫ}. Les langages de programmation ne doivent pas être ambigus. De plus, montrer que : une grammaire est ambiguë est en général facile : exhiber un mot ayant deux arbres de dérivation différents. une grammaire est non-ambiguë est en général difficile. un langage est non-ambigu est en général facile : trouver un grammaire non-ambiguë qui l engendre. un langage est ambigu est en général très difficile : montrer que toutes les grammaires l engendrant sont ambiguës. Transformation des grammaires A partir d une grammaire algébrique G, on construit une grammaire G telle que G ne comporte pas de variables inutiles (grammaire réduite). G ne comporte pas de règles de production inutiles (grammaire propre) L(G ) = L(G) \ {ǫ} De plus, cette transformation peut être automatisée (sous la forme d un programme). Variables inutiles Une variable est inutile si c est une variable puits ou une variable inacessible. X est une variable non-puits si {u Σ X G u}. X est une variable accessible (depuis l axiome S) si il existe w 1,w 2 (Σ V ) tels que S G w 1Xw 2. Si X n est pas une variable non-puits, alors elle est dite puits. Si X n est pas une variable accessible, alors elle est dite inacessible. 8

9 Variable puits. On construit l ensemble NP des variables non-puits d une grammaire G itérativement de la façon suivante : NP 0 =, pour tout i N, NP i+1 = NP i {X V X w P et w (Σ NP i ) }. On définit NP = i N NP i. On peut remarquer que pour tout i, NP i NP i+1 V, et que si NP i = NP i+1 alors pour tout entier k, NP i = NP i+k. On en déduit que l on fait au plus Card(V ) itérations. On élimine toutes les règles de production contenant une variable puits (en membre droit ou gauche). Variables accessibles. On construit l ensemble AC des variables accessibles d une grammaire G itérativement de la façon suivante : AC 0 = {S}, où S est l axiome de G. pour tout i N, AC i+1 = AC i {X V Y w 1 Xw 2 P avec Y AC i }. On définit AC = i N AC i. On remarque que pour tout i, AC i AC i+1 V et que, si AC i = AC i+1, alors pour tout entier k, AC i = AC i+k. On en déduit que l on fait au plus Card(V ) itérations. On élimine toutes les règles de production contenant une variable inaccessible en membre gauche. A noter que : éliminer les variables inaccessibles ne peut pas créer de variables puits. éliminer les variables puits peut créer des variables inaccessibles Règles inutiles Les règles de production inutiles sont constituées des règles qui permettent à partir d un non-terminal X de : dériver le mot vide ǫ : X G ǫ, dériver un non-terminal Y : X + G Y. Elimination des règles X G ǫ. On pose V ǫ = {X V X G ǫ}, l ensemble des nonterminaux pouvant se dériver en ǫ. L ensemble V ǫ se calcule itérativement de la façon suivante : Vǫ 0 = {X V X ǫ P } pour tout i N, Vǫ i+1 = Vǫ i {X V X w P et w (V i ǫ )+ }. On définit V ǫ = i N V ǫ i. On remarque que pour tout i, V i ǫ V ǫ i+1 V et que, si Vǫ i = V ǫ i+1 alors pour tout entier k, Vǫ i = V ǫ i+k. On en déduit que l on fait au plus Card(V ) itérations. On considère H, la grammaire donnée par les règles de production {X ǫ X V ǫ }. On construit alors à partir des règles de production P un nouvel ensemble de règles de production P défini par P = {X v il existe X u P, u H v et v ǫ} Elimination des règles X + G Y (chain rules). On commence par éliminer les règles X + G X. Pour tout X V, on pose R(X) = {Y V X G Y }. On peut calculer R(X) itérativement de la façon suivante : R(X) 0 = {X} pour tout i N, R(X) i+1 = R(X) i {Y V Z Y P tq Z R(X) i }. On définit R(X) = i N R(X)i. On remarque que pour tout i, R(X) i R(X) i+1 V et que, si R(X) i = R(X) i+1 alors pour tout entier k, R(X) i = R(X) i+k. On en déduit que l on fait au plus Card(V ) itérations pour une variable X. Puisqu il y a Card(V ) variables, on fait en tout au plus (Card(V )) 2 itérations. 9

10 Grammaires réduites et propres Il existe un algorithme, qui donné une grammaire G, calcule une grammaire G réduite et propre telle que L(G ) = L(G) \ {ǫ}. On procède par élimination dans l ordre des variables puits de G G 1 : L(G) = L(G 1 ) des variables inaccessibles de G 1 G 2 : L(G 1 ) = L(G 2 ) des règles pour X G 2 ǫ de G 2 G 3 : L(G 3 ) = L(G 2 ) \ {ǫ} des règles pour X + G 3 Y de G 3 G : L(G 3 ) = L(G ). Proposition Pour toute grammaire G réduite et propre d axiome S, pour tout mot w Σ, pour tout k N, si S k G w alors k w Forme normale de Greibach Une grammaire est récursive à gauche si elle contient des dérivations de la forme A + Aβ. On distingue la récursivité à gauche immédiate : la grammaire contient un non-terminal A et une règle de production A Aα (α (Σ V ) + ). générale : la grammaire contient un non-terminal A et il existe une dérivation A + G Aα (α (Σ V ) + ). Elimination de la récursivité à gauche immédiate On remplace les règles de la grammaire de la forme où α i (Σ V ) + et β j (Σ V ) les β j ne commencent pas par A par les règles A Aα 1... Aα n β 1... β m A β 1 A... β m A β 1... β m A α 1 A... α n A α 1... α n où A est un nouveau non-terminal. Elimination de la récursivité à gauche générale On ordonne les non-terminaux : A 1,A 2,...,A n On applique l algorithme suivant : Pour i allant de 1 à n faire Pour j allant de 1 à i 1 faire on remplace la règle A i A j α où A j β 1... β k par la règle A i β 1 α... β k α. FinPour On élimine la récursivité à gauche immédiate pour toutes les règles de A i. FinPour Cette méthode peut également s exprimer sous forme matricielle et donc se programmer de manière systématique. Si la grammaire est propre, la mise sous forme normale de Greibach (qui permet d ôter le récursivité gauche) fonctionne toujours. 10

11 Automates à pile Un automate à pile A est donné par un tuple (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) où : Σ est un alphabet d entrée fini (les terminaux), Z est un alphabet de pile fini, z Z est le symbole initial de pile, Q est un ensemble fini d états, q i Q est l état initial et F Q est l ensemble des états finaux, est une relation de transition (Q (Σ {ǫ}) Z Q Z ) Transitions Un élément (q,y,z 1,q,z 2 z 3 z 4 ) de avec q,q Q, y Σ {ǫ}, z 1,z 2,z 3,z 4 Z est appelé transition et est souvent noté : q,y,z 1 q,z 2 z 3 z 4. Si y Σ, on parle de Σ-transition et si y = ǫ d ǫ-transition. Intuitivement, si on est dans l état q, que le sommet de pile est z 1 et qu on peut lire y en tête du mot, alors on lit y et on dépile z 1, on passe dans l état q, et on empile z 2, z 3, puis z 4. Configuration La configuration d un automate à pile A est donnée par : un mot w Σ un état courant q, un contenu de la pile z a z 2 z b z a Une configuration c d un automate à pile (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) est un élément de Σ Q Z. Le mot de Z est le contenu de la pile lu du bas de pile vers le haut de pile (z a z b z 2 z a ). Configuration et Σ-transition L automate A réalise une Σ-transition d une configuration c = (w, q, m) vers une configuration c = (w,q,m ) (noté c A c ) si : il existe une transition q,a,z q,n, w = aw, m = m z, m = m n. aw, q, z m A w, q, n m 11

12 Configuration et ǫ-transition L automate A réalise une ǫ-transition d une configuration c = (w, q, m) vers une configuration c = (w,q,m ) (noté c A c ) si : il existe une transition q,ǫ,z q,n, w = w, m = m z, m = m n. w, q, z m A w, q, n m Acceptation par état final Pour un automate à pile A, on note A la clôture réflexive et transitive de A. Un mot w Σ est accepté par état final par un automate à pile A = (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) si pour la configuration (w,q i,z ), il existe un état q f F et un mot m Z tel que (w,q i,z ) A (ǫ,q f,m) Le langage accepté par état final par un automate à pile est l ensemble des mots acceptés par cet automate. L F (A) = {w Σ (w,q i,z ) A (ǫ,q f,m)} Acceptation par pile vide Un mot w Σ est accepté par pile vide par un automate à pile A = (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) si pour la configuration (w,q i,z ), il existe un état q tel que (w,q i,z ) A (ǫ,q,ǫ) Le langage accepté par pile vide par un automate à pile est l ensemble des mots acceptés par cet automate. L S (A) = {w Σ (w,q i,z ) A (ǫ,q,ǫ)} Equivalences des acceptations Soit L un langage accepté par état final par un automate A, alors il existe un automate à pile A tel que le langage L S (A ) accepté par A par pile vide vérifie L = L S (A ). Soit L un langage accepté par pile vide par un automate A, alors il existe un automate à pile A tel que le langage L F (A ) accepté par A par état final vérifie L = L F (A ). 12

13 Automates à pile et langages algébriques Théorème Si L est un langage algébrique alors il existe un automate à pile A (acceptant par pile vide) tel que L = L S (A). Principe de la preuve : Si L est un langage algébrique alors il existe une grammaire G = (Σ,V,S,P) qui engendre L. On peut de plus supposer que toutes les règles de production de P sont de la forme 2 X a (a Σ) ou X β (β V ). Pour la grammaire G = (Σ,V,S,P), on construit l automate à pile A L acceptant par pile vide A L = (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) tel que les terminaux de la grammaire constituent l alphabet d entrée, Z = V : l alphabet de pile est constitué des non-terminaux, z est l axiome S, Q = {q i } et F =, = {(q i,a,x) (q i,ǫ) X a P } {(q i,ǫ,x) (q i,β R ) X β P et β V } où β R est le miroir de β (β lu de droite à gauche). On peut montrer que L F (A L ) = L(G) = L. En fait il existe deux manières de construire un automate à pile pour une grammaire donnée. Cette première méthode empile les membres droits de règles et utilise le mot d entrée pour dépiler. C est une méthode descendante. Une seconde méthode empile le mot d entrée et utilise les règles de la grammaire pour dépiler. C est une méthode ascendante. Il suffit de modifier l automate à pile ci-dessus : z = ǫ : la pile est vide au début, = {(q i,a,ǫ) (q i,a) X a P } {(q i,ǫ,β) (q i,x) X β P et β V } on doit terminer avec l axiome S en sommet de pile, on ajoute donc à la transition (q i,ǫ,s) (q i,ǫ). Théorème Pour tout automate à pile A (acceptant par pile vide), le langage L S (A) est un langage algébrique. Automates à pile déterministes Un automate à pile A = (Σ, Z,z,Q,q i,f, ) acceptant par état final est déterministe si l ensemble des règles de transitions vérifie : pour toute paire de règles (q,x,z) (q 1,m) et (q,x,z) (q 1,m ) de, si x = x alors q 1 = q 1 et m = m, si x Σ alors x Σ (i.e. x ǫ). Un langage algébrique L est déterministe s il existe un automate à pile A (acceptant par état final) déterministe tel que L F (A) = L. Tous les langages algébriques ne sont pas déterministes : {w (a+b) w est un palindrome} n est pas déterministe. Les automates à pile ne sont pas déterminisables. 2 Si les règles ne sont pas de cette forme alors on peut transformer la grammaire de la façon suivante : pour chaque terminal a dans β, on crée un nouveau non-terminal X a, on remplace toutes les occurrences de a par X a dans β et on ajoute la production X a a. 13

14 Analyse syntaxique L analyse syntaxique est avant tout le problème d appartenance des grammaires algébriques Définition Le problème d appartenance est, donnés une grammaire algébrique G et un mot m de Σ, de décider si m L(G). Une méthode naïve consiste à génèrer toutes les dérivations possibles partant de l axiome (ou de manière équivalente, itérativement le langage engendré étendu); Si on arrive à engendrer le mot m alors on retourne OUI sinon on retourne NON Exemple pour les expressions régulières : G = ({a,b,(,),+, }, {R},R,P) avec P = {R R + R RR (R) R a b} on génère les langages étendus partiels L i L 0 = {R}, L 1 = L 0 {a,b,r + R,RR,R,(R), } a + R,b + R,R + a,r + b,ar,ra,br,rb, L 2 = L 1 a,b,(a),(b),r + R + R,R + RR, RR + R,R + R,(R + R),..... A chaque étape i, on teste si m L i. Problème : pour certaines grammaires, quand doit-on s arrêter en répondant NON? G = ({a}, {A,B,R},A, {A AB R, B ǫ, R ar ǫ}) Proposition Il existe un algorithme qui, pour toute grammaire G = (Σ,V,S,P) et pour tout mot m de Σ, teste si m L(G). Si m = ǫ alors on calcule V ǫ = {A V A G ǫ} ; on retourne S V ǫ ; Sinon on transforme G en une grammaire réduite et propre G. on utilise l algorithme naïf vu précédemment pour générer L m pour la grammaire G on retourne m L m Complexité : A chaque étape, on a n possibilités de règles de la grammaire et on a au moins m étapes. dans le pire des cas : O(n m ) Analyseurs syntaxiques Les algorithmes d analyse syntaxique sont en général scindés en deux familles : les analyseurs descendants : partant de l axiome, ils tentent de construire un arbre de dérivation (ou un dérivation droite/gauche) pour le mot à analyser. La construction de l arbre se fait de haut en bas. Les règles de production sont utilisées de la gauche vers la droite. JavaCC génère une analyse récursive descendante. les analyseurs ascendants : partant du mot à analyser, ils tentent de construire un arbre de dérivation (ou un dérivation droite/gauche) dont la racine est l axiome. La construction de l arbre se fait de bas en haut. Les règles de production sont utilisées de la droite vers la gauche. Yacc et CUP générent une analyse ascendante. Analyse syntaxique (suite) Les analyseurs syntaxiques universels fonctionnent pour toute grammaire algébrique : 14

15 algorithme de Cocke-Younger-Kasami pour des grammaires en forme normale de Chomsky ( Greibach); algorithme de Earley pour des grammaires algébriques quelconques. Leur complexité est en o(n 3 ), où n est la longueur du mot à analyser. cette complexité est trop élevée (programmes de grande taille), on souhaite o(n). Les langages de programmation peuvent être décrits par des grammaires en général peu complexes (en particulier, non-ambiguës). On peut réaliser une analyse syntaxique avec rebroussement : une méthode descendante qui construit une dérivation gauche on utilise autant que possible le mot d entrée (dans une lecture de gauche a droite) pour déterminer la règle à utiliser. si on ne peut pas déterminer la règle à utiliser, on fait un choix... si le choix s avère mauvais, on rebrousse son chemin pour faire un autre choix. Exemple d acceptation sans rebroussement avec G = ({a,b,c,d}, {S,T },S, {S asbt ct d, T at bs c}) a c c b b a d b c S a c c b b a d b c S g G asbt a c c b b a d b c g... G actbt g G accbt g G accbbs g G accbbasbt g G accbbadbc Le mot est accepté. Exemple avec rebroussement avec G = ({a,b,c}, {S,A},S, {S aab, A cd c}) a c b S a c b S g G aab a c b S g G aab g G acdb On a choisi la règle A cd. Il y a un conflit entre b et d. On fait un rebroussement et on essaye avec un autre choix, A c. a c b S g G aab a c b S g G aab g G acb Cette méthode est peu efficace en cas de rebroussement (proche de la méthode naïve). Analyseur prédictif descendant LL(k) Prédictif : on utilise une partie du mot d entrée pour prédire la règle à utiliser et de façon irrémédiable. Analyse prédictive descendante : Analyse LL(k) 15

16 Left-to-right scanning : on lit l entrée de gauche à droite. Leftmost derivation : on construit une dérivation gauche partant de l axiome. on utilise les k lettres courantes de l entrée pour faire la prédiction. On va principalement s intéresser à l analyse LL(1) : on ne regarde qu une lettre de l entrée. Il y a deux types d analyse descendante : l analyse récursive et l analyse non-récursive. Analyseur récursif LL(1) On a une grammaire algébrique G = (Σ,V,S,P). A toute variable V i V, on fait correspondre une procédure V i () en charge de reconnaître les mots w tels que V i G w. les différentes procédures vont s appeler les unes les autres selon les règles de production de la grammaire. Le programme d analyse est simplement un appel à la procédure de l axiome S. on place à la fin du mot à analyser un marqueur de fin $. le pointeur désignant une position dans le mot ne peut qu avancer (pas de rebroussement) mot d entrée un flôt de lettres. Plus important : selon le terminal désigné dans le mot d entrée, pour un non-terminal donné (partie gauche de règle), il n y a qu une règle de production utilisable. Pour la procédure V i () : 1. selon le terminal pointé par (chaque terminal est donc un cas), on considère la règle de production V i α 1...α n à utiliser 2. en séquence, pour j allant de 1 à n, si α j Σ, alors on appelle consommer(α j ). si α j V, on appelle la procédure α j () 3. si la règle à considérer est V i ǫ, alors on ne fait rien. procedure consommer(a) : - si pointe sur le terminal a alors on avance sinon on lève exception d erreur de syntaxe procedure analyse() : - on place le sur la première lettre du mot à analyser ; - S() ; - si ne pointe pas sur $ alors on lève une exception d erreur de syntaxe; 16

17 On ne peut pas construire un analyseur (récursif) LL(1) pour une grammaire G si : G est ambiguë G est récursive gauche A Aa ǫ : le pointeur reste sur la première lettre du mot à analyser et on ne peut choisir avec cette information assurément entre A Aa et A ǫ. G n est pas factorisée à gauche A aa ab : si le pointeur désigne a, on ne peut choisir avec cette information assurément entre A aa et A ab. Récursivité à gauche immédiate : la grammaire contient un non-terminal A et une règle de production A Aα (α (Σ V ) + ). générale : la grammaire contient un non-terminal A et il existe une dérivation A + G Aα (α (Σ V ) + ). Elimination de la récursivité à gauche immédiate On remplace les règles de la grammaire de la forme A Aα 1... Aα n β 1... β m où α i (Σ V ) + et β j (Σ V ) les β j ne commencent pas par A par les règles A β 1 A... β m A A α 1 A... α n A ǫ où A est un nouveau non-terminal. E E + T T Exemple : T T F F F (E) i E TE E +TE ǫ Après élimination de la récursivité gauche immédiate : T FT T FT ǫ F (E) i Elimination de la récursivité à gauche générale On ordonne les non-terminaux : A 1,A 2,...,A n On applique l algorithme suivant : Pour i allant de 1 à n faire Pour j allant de 1 à i 1 faire on remplace la règle A i A j α où A j β 1... β k par la règle A i β 1 α... β k α. FinPour On élimine la récursivité à gauche immédiate pour toutes les règles de A i. FinPour 17

18 S Aa b Premier exemple : On ordonne : S,A A Ac Sd c 1ère itération : S Aa b, on ne change rien... 2ème itération : On remplace A Sd par A Aad bd. S Aa b A Ac Aad bd c Elimination de la récursivité gauche immédiate pour A : S Aa b A ca bda A ca ada ǫ S Sa TSc d Deuxième exemple : T TbT ǫ On ordonne : S,T 1ère itération : S Sa TSc d, élimination de la récursivité immédiate pour S S TScS ds S as ǫ T TbT ǫ 2ème itération : T TbT ǫ, élimination de la récursivité immédiate pour T S TScS ds T T S as ǫ T btt ǫ Malheureusement, S G TScS G T ScS G ScS!! l algorithme ne fonctionne pas toujours, notamment à cause des règles de la forme X ǫ, ou plus généralement si X G ǫ. Cependant, si la grammaire est propre, alors cette méthode pour ôter le récursivité gauche fonctionne toujours. Factorisation à gauche d une grammaire On remplace les règles de la forme X αβ 1... αβ n γ 1... γ m où α (Σ V ) + et β i,γ j (Σ V ), le préfixe commun α est choisi le plus grand possible, α n est pas préfixe des γ j. par les règles X αx γ 1... γ m X β 1... β n où X est un nouveau non-terminal. On réitère tant que nécessaire. 18

19 Analyseur non récursif LL(1) Dans l analyseur récursif descendant vu précédemment, c est la pile des appels de procédure qui est en fait utilisée pour empiler les règles (puisqu on fait correspondre à un non terminal une procédure) et dépiler les terminaux (les procédures se terminent quand on a lu les terminaux qui leur sont associés). Pour construire un analyseur non récursif (qui sera donc un automate à pile), on construit une table d analyse qui détermine le comportement de l automate en fonction du sommet de pile et du terminal lu. p a a b b b b $ mot à analyser Table d analyse Analyseur Prédictif A b b B OUI/NON Table d analyse La table d analyse contient une entrée pour chaque couple (a,x) (a Σ, X V ). L entrée (a,x) contient au plus une règle de production X γ qui est la règle utilisée pour dériver le non-terminal X si le pointeur p du mot à analyser pointe sur le terminal a. Une entrée vide dans la table correspond en fait à une erreur, c est-à-dire un mot non-engendré par la grammaire. Fontionnement de l analyseur non récursif Initialement, le pointeur p désigne la première lettre du mot à analyser et la pile contient l axiome de la grammaire. Tant que vrai faire si la pile est vide alors si p $ alors retourner OUI si p a et a $ alors retourner NON si le sommet de pile est un terminal a alors si p a alors dépiler a et avancer p si p b (b a) alors retourner NON si le sommet de pile est un non-terminal X alors si p a et l entrée de la table d analyse pour (a,x) est vide alors retourner NON si p a et l entrée de la table d analyse pour (a,x) contient X ǫ alors dépiler X si p a et l entrée de la table d analyse pour (a,x) contient X α 1... α n (α i (Σ V )) alors dépiler X ; empiler α n ;...; empiler α 1 FinTantque Pile 19

20 Exemple G = ({a,b}, {S,B},A,S,P) avec P = {S AB, A aab ǫ, B bb ǫ} Table d analyse : a b $ S S AB S AB S AB A A aab A ǫ A ǫ B B bb B ǫ Construction de la table d analyse Soit G une grammaire algébrique G = (Σ,V,S,P). Il faut déterminer pour chaque couple (a,s) Σ V la règle de production S γ que l automate doit utiliser. Suivant la grammaire, pour un terminal a et un non-terminal S, on peut avoir différents cas de figure : S as b Utiliser la règle S as. S A B A aa ǫ B bb ǫ Utiliser la règle S A. S DA B A aa ǫ B bb ǫ D dd ǫ Utiliser la règle S DA. Le prédicat Eps(w),w (Σ V ) + (ou Epsilon(w)) On définit pour tout mot w de (Σ V ) + le prédicat Eps(w) qui est vrai ssi w G ǫ. Eps(ǫ) est vrai soit α 1...α n avec α i (Σ V ), s il existe un j tel que α j Σ, alors Eps(α 1...α n ) est faux. si Eps(α 1...α n ) est vrai alors α 1,...,α n V ǫ En calculant V ǫ pour la grammaire G, on peut déterminer pour un mot w (Σ V ) + la valeur de Eps(w) (V ǫ = {X V X G ǫ} i.e. terminaux se dérivant en ǫ). L ensemble Premier(w),w (Σ V ) + Pour tout mot w de (Σ V ) +, on définit Premier(w) comme {a Σ w G aw }. Calcul de Premier(w) : Premier(w) est le plus petit ensemble de terminaux qui vérifie : si a Σ alors Premier(a) = {a}. si X V et X β P alors Premier(β) Premier(X). pour α 1...α n (avec α i (Σ V )), on a Premier(α 1 ) Premier(α 1...α n ). Pour i allant de 1 à n 1 faire Si Eps(α 1...α i ) est vrai alors Premier(α i+1 ) Premier(α 1...α n ) 20

21 Exemple de calcul des premiers S DA B A aa ǫ B bb ǫ D dd ǫ Premier(D) = {d}, Premier(B) = {b} Premier(A) = {a} Premier(D) Premier(S) Premier(B) Premier(S) Premier(A) Premier(S) car D G ǫ Donc, Premier(S) = {a, b, d}. A ce stade, la table d analyse contiendra une règle X α pour chaque entrée (a, X), a Σ telle que a appartient à Premier(α). En effet, l ensemble des premiers d un non terminal X désigne intuitivement l ensemble des terminaux que l on peut rencontrer comme préfixe dans une dérivation de X. On note ainsi dans la table la première règle de production utilisée dans la dérivation X G aβ pour l entrée (a,x). a b d $ S S DA S B S DA A A aa B B bb D D dd Cependant si cette dérivation comporte plusieurs étapes, elle utilise nécessairement des règles de production de la forme Y ǫ. Or le calcul des premiers ne permet pas de placer les règles de production de cette forme dans la table. Il faut ici calculer les suivants de Y car, comme Y ǫ, les premiers terminaux que l on peut rencontrer en dérivant Y sont donnés par les premiers des variables apparaissant après Y dans l ensemble des règles de production. Plus généralement ceci s applique pour toute variable X qui peut se dériver en ǫ (X G ǫ). L ensemble Suivant(X), X V Pour tout non-terminal X de V, on définit Suivant(X) comme {a Σ S G uxav} {$ S G ux}. Calcul de Suivant(X) : Suivant(X) est le plus petit ensemble de terminaux ou $ qui vérifie : Pour l axiome S, $ Suivant(S). si Y αxβ P alors Premier(β) Suivant(X). si Y αx P ou Y αxβ P avec Eps(β) = vrai alors Suivant(Y ) Suivant(X). Exemple de calcul des suivants S DA B A aa ǫ B bb ǫ D dd ǫ Suivant(D) = Premier(A) Suivant(S) = {a, $} Suivant(B) = Suivant(S) = {$} Suivant(A) = Suivant(S) = {$} Suivant(S) = {$} Ceci permet de compléter la table d analyse précédente, en ajoutant un règle X α, avec 21

22 Eps(α) =vrai, pour toute entrée (e,x) telle que e appartient à Suivant(X). a b d $ S S DA S B S DA S DA S B A A aa A ǫ B B bb B ǫ D D ǫ D dd D ǫ Construction de la table d analyse Pour chaque règle de production X α (α (Σ V ) + ), pour chaque terminal a de Premier(α), Mettre X α à l entrée (a,x) de la table. Pour chaque règle de production X α avec Eps(α) =vrai, Mettre X α à l entrée (e,x) de la table pour tout élément e dans Suivant(X) (e Σ ou e = $). Grammaire LL(1) Si la table d analyse contient au plus une règle de production par entrée, alors la grammaire est LL(1) ; dans le cas contraire, la grammaire n est pas LL(1). Une grammaire n est pas LL(1) s il existe deux règles de production X α et X β telles que Premier(α) Premier(β) ǫ, ou Premier(β) Suivant(X) ǫ avec Eps(α) =vrai. Eps(α) =vrai et Eps(β) =vrai Attention!! Les conditions de non-ambiguïté, de non-récursivité gauche et de factorisation à gauche ne sont que des conditions nécessaires pour qu une grammaire soit LL(1). Elles ne sont pas suffisantes. La grammaire ({a,b}, {S,A},S,P) avec P = {S asb A, A aa ǫ} n est pas ambigüe, n est pas récursive gauche est factorisée à gauche mais elle n est pas LL(1). Analyse syntaxique ascendante L analyse ascendante correspond à la seconde manière de construire systématiquement un automate à pile partant d une grammaire donnée (voir Cours-TD 4 page 3). Dans cet automate, les transitions empilent les symboles terminaux de la grammaire, et dépilent les non terminaux en ce sens qu un membre droit de règle situé en sommet de pile est remplacé par le membre gauche correspondant. Plus prosaiquement : on part du mot à analyser, on remplace itérativement des fragments du mot courant qui correspondent à des membres droits de règle de production par le membre gauche de cette règle, l analyse réussit si le mot courant final est l axiome de la grammaire Analyseur ascendant prédictif LR(k) Left-to-right scanning : on lit l entrée de gauche à droite. 22

23 Rightmost derivation in reverse : on construit une dérivation droite en partant du mot à analyser. on utilise k lettres du mot d entrée pour faire la prédiction. Famille d algorithmes (LR(0), SLR(1), LR(1), LALR(1)) basés sur les opérations de décalage/réduction. décalage : on lit des terminaux dans le mot d entrée réduction : on remplace une partie droite par une partie gauche de règle de production. On souhaite analyser le mot w = a 1... a n pour une grammaire G. A chaque instant, on dispose : d un suffixe w du mot d entrée d une pile contenant des terminaux et des non-terminaux Initialement, le suffixe est le mot à analyser w et la pile est vide. A chaque étape de l algorithme, si le suffixe est a m... a n et le contenu de la pile est α 1...α l (où α l est le sommet de pile), on a α 1...α l G a 1...a m 1. L analyse réussit si le mot w a été entièrement lu et si la pile contient l axiome. S S Augmentation de la grammaire Prenons pour exemple la grammaire suivante : S Ac A AaAb d Décalage : le premier terminal du mot d entrée est effacé et est placé au sommet de la pile. dadbc d adbc Réduction : les n premiers symboles sur la pile forme un membre droit de règle de production, on les dépile et on empile le membre gauche correspondant. d adbc A adbc En continuant le processus : on ne peut pas réduire, donc on décale Aa dbc$ dadbc Aadbc on ne peut pas réduire, donc on décale Aad bc$ dadbc Aadbc Ni Aad, ni ad, ni d ne sont préfixe strict d un membre droit de règle, donc un décalage ne peut être utile; donc on réduit AaA bc$ dadbc Aadbc AaAbc on ne peut pas réduire, donc on décale AaAb c$ dadbc Aadbc AaAbc Ni AaAb, ni aab, ni Ab, ni b ne sont préfixe strict d un membre droit de règle, donc un décalage ne peut être utile ; donc on réduit A c$ dadbc Aadbc AaAbc Ac on ne peut pas réduire, donc on décale Ac $ dadbc Aadbc AaAbc Ac on ne peut plus décaler ; on réduit S $ dadbc Aadbc AaAbc Ac S on réduit à nouveau S $ dadbc Aadbc AaAbc Ac S S Le mot dadbc est bien engendré par la grammaire. Comment par un algorithme décider à chaque étape si on doit réduire (et par quelle règle) ou décaler? On construit un automate déterministe appelé automate LR(0) qui dira quoi faire en fonction du contenu de la pile et la première lettre de l entrée. Automates LR(0) 23

24 Règles pointées Pour toute règle de la grammaire X βγ (avec β,γ (Σ V ), X β γ est une règle pointée. Une règle pointée X β γ est dite complète si γ = ǫ. Saturation Un ensemble de règles pointées E est dit saturé si X β Y γ appartient à E et Y V alors pour toute règle Y α de la grammaire, Y α appartient à E. Pour un ensemble de règles pointées E, on note Saturation(E) le plus petit ensemble saturé E contenant E. Etats de l automate : Les états Q de l automate LR(0) seront des ensembles saturés de règles pointées. Ils sont souvent appelés collections LR(0) (ou LR(0)-items). L état initial de l automate est Saturation({S S}). Transitions de l automate : Pour un ensemble saturé de règles pointées E et x Σ V, on définit l état δ(e,x) comme Saturation({X βx γ X β xγ E}) Lors de la construction de l automate, on ne considèrera bien-sûr que les états accessibles, en partant de l état initial Saturation({S S}). La construction de l automate est totalement indépendante du mot d entrée (pas de symbole de prévision), d où son nom : LR(0). On utilise l automate pour lire le mot dans la pile. Si la pile contient α 1...α m, alors l état q = δ(0,α 1...α m ) (où 0 est l état initial) nous dit ce qu il faut faire : si l état q contient une règle pointée complète X β, alors on réduit en utilisant la règle X β. si le mot courant débute par le terminal a de Σ et s il existe une transition δ(q,a) = q, alors on décale. Si pour tout état q de l automate, q ne contient au plus qu une seule règle pointée complète (pas de conflit réduction/réduction) et si q contient une règle pointée complète alors pour aucun a de Σ il n existe de transition q = δ(q,a) (pas de conflit décalage/réduction), alors l automate est dit LR(0)-consistant et la grammaire est alors LR(0). Plutot que d évaluer systèmatiquement δ(0,α 1...α m ) où α 1...α m est le contenu de la pile (lu du bas vers le haut), on garde trace des états directement dans la pile. La pile est donc une suite 0α 1 q 1 α 2... q m 1 α m q m où les q i sont des états de l automate, q i = δ(q i 1,α i ) = δ(0,α 1...α i ) pour tout 1 i m. Initialement, la pile contient l état initial 0. Lors d une étape du calcul, si on décale un terminal a, on empile a puis l état q = δ(q m,a). si on réduit par une règle X α r...α m, on dépile q m, α m, q m 1,..., q r et α r. on empile X puis l état δ(q r 1,X). Tables LR(0) L automate LR(0) est en fait codé dans deux tables, une table Action et une table Successeur : Action : Q (Σ {$}) un ensemble d actions. Les actions : décaler q : dq avec q Q. réduire p : r p avec p une production accepter erreur Successeur : Q V Q est la restriction de la fonction de transition aux non-terminaux. 24

25 On remplit ces tables à partir de l automate LR(0). Table Action : pour tout a Σ, q Q, si δ(q,a) = q alors mettre dq dans la case (q,a) pour tout a (Σ {$}), q Q, si q contient une règle pointée complète X β avec X S, alors mettre r X β dans la case (q,a) mettre accepter dans la case (q,$) où q est l état contenant S S. mettre erreur dans toutes les cases encore vide. Si l automate est LR(0)-consistant alors les cases de la table Action contiennent exactement une action. Table Successeur : pour tout q Q et X V, si δ(q,x) = q alors mettre q dans la case (q,x). Fonctionnement d un analyseur LR Entrée à analyser : a m a m+1...a n Pile q k α k q k 1. q 0 Analyseur LR Sortie Action Successeur Ce schéma est le même pour tous les analyseurs LR (LR(0),SLR(1),LALR(1), LR(1),LR(k)) ; seules changent les tables Action et Successeur. La pile contient 0α 1 q 1 α 2... q m 1 α m q m et le mot à analyser est α m+1... α n. Si la case (q m,α m+1 ) de la table Action contient accepter alors l analyse réussit, erreur alors l analyse échoue, dq, on empile α m+1, puis q, r X α r...α m, on dépile α m,...,α r et les états correspondants q m,...,q r ; on empile X, puis le contenu de la case (q r 1,X) de la table Successeur. Exemple 0 dadbc$ Action contient d 3 en (0, d) 0d3 adbc$ Action contient r A d en (3, a) et Successeur 2 en (0, A) 0A2 adbc$ Action contient d 5 en (2, a) 0A2a5 dbc$ Action contient d 3 en (5, d) 0A2a5d3 bc$ Action contient r A d en (3, b) et Successeur 7 en (5, A) 0A2a5A7 bc$ Action contient d 6 en (7, b) 0A2a5A7b6 c$ Action contient r A AaAb en (6, c) et Successeur 2 en (0, A) 25

26 0A2 c$ Action contient d 4 en (2, c) 0A2c4 $ Action contient r S Ac en (4,$) et Successeur 1 en (0, S) 0S1 $ Action contient accepter en (1, $) Conflits dans un automate Un automate n est pas LR(0)- consistant s il y a des conflits décalage/réduction ou/et réduction/réduction pour un état Analyse SLR(1) On peut résoudre les conflits décalage/réduction en regardant si le terminal en tête du mot restant à analyser est dans l ensemble des Suivants du non-terminal en membre gauche de la règle utilisable pour la réduction.si c est le cas, on effectue la réduction, sinon on effectue un décalage. Ceci est formalisé par la méthode SLR(1) dont voici la manière de construire la table Action à partir de l automate LR(0) : Si l automate LR(0) a une ensemble d états Q et un ensemble de transitions δ, Table Action : pour tout a Σ, q Q, si δ(q,a) = q alors mettre dq dans la case (q,a) pour toute règle pointée complète X β de q avec X S, mettre r X β dans la case (q, a) pour tout a Suivant(X). mettre accepter dans la case (q,$) où q est l état contenant S S. mettre erreur dans toutes les cases encore vide. Table Successeur : identique à la table Successeur LR(0). Si la table Action contient exactement une action par case, alors la grammaire est SLR(1). Une seule action par case dans la table Action la grammaire est SLR(1). toute grammaire LR(0) est SLR(1) toute grammaire SLR(1) est non-ambigüe bcp de grammaires non ambigües ne sont pas SLR(1) Analyse LR(1) On enrichit les règles pointées avec des terminaux qui permettent de prédire quand effectuer une réduction plutôt qu un décalage. Automates LR(1) Les états d un automate LR(1) sont des ensembles de règles pointées étendues. Une règle pointée étendue est une règle pointée associée à un symbole terminal a (a Σ {$}) et se note X α β,a. Si dans un même état, on a X α β,a et X α β,b, on notera de manière plus concise X α β,a b. Remarque : si un état contient une règle pointée complète X γ, a b c, alors {a, b, c} Suivant(X), mais il est possible que ce ne soit qu un sous-ensemble strict. Saturation d un ensemble de règles pointées étendues : un ensemble de règles pointées étendues E est dit saturé si X β Y γ,a appartient à E et Y V alors pour toute règle Y α de la grammaire, Y α,b avec b Premier(γa) appartient à E. Pour un ensemble de règles pointées étendues E, on note Saturation(E) le plus petit ensemble saturé E contenant E. Remplissage des tables à partir de l automate LR(1) Table Successeur : pour tout q Q et X V, si δ(q,x) = q alors mettre q dans la case (q,x) (identique aux méthodes LR(0) et SLR(1)). 26

27 Table Action : pour tout a Σ, q Q, si δ(q,a) = q alors mettre dq dans la case (q,a) pour tout a (Σ {$}), q Q, si q contient une règle pointée complète X β,a avec X S, alors mettre r X β dans la case (q,a) mettre accepter dans la case (q,$) où q est l état contenant S S,$. mettre erreur dans toutes les cases encore vide. De manière générale, les automates LR(1) peuvent comporter des milliers d états (produit cartésien) pour des langages de programmation classiques. Automates LALR(1) Dans l automate LR(1) décrit précédemment, il existe des états qui ne diffèrent d autres états que par les symboles de prévision associés aux règles pointées. Lorsque deux états de l automate LR(1) ne diffèrent que sur les caractères de prévision, on dit qu ils ont le même cœur LR(0). L idée de la méthode LALR(1) est de fusionner les états LR(1) ayant le même cœur LR(0) en créant un état dont les règles sont l union des règles des deux états fusionnés. On construit l automate LALR(1) à partir de l automate LR(1) en fusionnant les états ayant le même cœur LR(0). Les transitions de l automate sont simplement mises à jour en fonction des fusions effectuées. Remarquez que dans l automate LR(1), les cœurs LR(0) des états sont précisément les états de l automates LR(0). Donc l automate LALR(1) a exactement le même nombre d états que l automate LR(0). Le remplissage des tables Action et Suivant LALR(1) se fait comme le remplissage des tables LR(1) mais à partir de l automate LALR(1). Si la table Action ne comporte qu une action par case, alors la grammaire est LALR(1). Voici quelques remarques à noter : toute grammaire LALR(1) est LR(1). la fusion des états peut créer des conflits qui n existaient pas dans l automate LR(1) Il existe des grammaires LR(1) qui ne sont pas LALR(1). les grammaires LR(1) et donc, LALR(1) ne sont pas ambigües. 27