Détermination de la primitive d une fraction rationnelle à l aide de la V200
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- Thibaud Milot
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1 Détermination de la primitive d une fraction rationnelle à l aide de la V00 Rappelons qu une fraction rationnelle est une fonction du type : n( ) f ( ). d( ) où le numérateur n et le dénominateur d sont deu fonctions polynômes.. Si degn degd, on commence par effectuer la division euclidienne de n par d. On obtient : n( ) d( ) q( ) r( ) r( ) f ( ) q( ) d( ) avec de gr < degd. Le polynôme q s intègre immédiatement.. La fraction rationnelle r( ) / d( ) doit être décomposée en une somme d «éléments simples» qui dépendent de la factorisation de d( ). D après le théorème fondamental de l algèbre on a : l l α αm β γ β p γ p m... ( )... ( ) d c où c est une constante, les sont les racines réelles de d de multiplicités respectives alors que les facteurs quadratiques β γ n admettent i pas de racine réelle. α i a) A chaque facteur ( α) correspondent les éléments simples du er type : a a a... α ( α) ( α. ) l b) A chaque facteur ( ) β γ correspondent les éléments simples du e type : b c b c b l cl... l β γ β γ β γ.. La décomposition de r( ) / d( ) en éléments simples se fait à l aide de la commande epand de la V00. (Les constantes inconnues ai, bi et c i peuvent aussi être calculées à la main par la méthode des coefficients indéterminés, mais ce calcul est en général long et fastidieu!) Les primitives des éléments simples seront étudiées dans les eemples sur les pages suivantes. p
2 Eemples : 5 n( ) a) Soit f ( ). d( ) La commande epand(f(),) permet de décomposer simples : f en éléments Donc : Le terme f 8 9 ( ) ( ) ( ). est le quotient de la division euclidienne de n( ) par d( ). Les différents éléments simples, tous du factorisation de d( ) : Par conséquent : d( ) ( )( ). er type ici, proviennent de la 8 9 f ln ln, formule valable sur un intervalle de R ne contenant ni, ni. b) Etudions maintenant un eemple où interviennent des éléments simples du e type. Soit g. ( ) D où : g. Ces éléments simples proviennent évidemment du fait que de racine réelle. Les trois premiers termes s intègrent immédiatement : n admet pas
3 Arctan ln( ) Le dernier terme, et plus généralement tout élément simple de la forme c/ β γ (avec β γ < 0), s intègre à l aide d une formule de récurrence incontournable : Proposition : Soit ν I n n, n N 0. Alors : ( ) I Arctan n In, pour n In n n ( ) n Démonstration : On intègre par parties dans I n : u( ) n u' n n ( ) v( ) v' ( ) Donc : I ( ) n( ) n ( ) ( ) ( ) ( ) nin ( ) n n In ( ) ( ) n n n n I n n n n I ni ni n n n n n In n I n n Par consequent : n (C.Q.F.D.) I I Arctan ( ) ( ) Finalement : g ln( ) Arctan Arctan ( ) ln( ) Arctan ( )
4 c) Que faire lorsque le dénominateur admet des facteurs quadratiques plus compliqués? Nous allons étudier un tel eemple maintenant. Soit h ( ) La V00 donne la décomposition en éléments simples : h Le premier terme est évident : Le second terme s intègre en étapes : on fait apparaitre un multiple de la dérivée du dénominateur au numérateur ( u '/ u) ln( ) Le trinôme ne se factorise pas puisque < 0. Il faut alors l écrire sous forme canonique, c est-à-dire en l occurrence comme somme de deu carrés : ( ) ( ). En faisant le changement de variables t dt, dans la deuième intégrale, on obtient alors : dt ( ) t t dt Arctant t Arctan
5 Pour intégrer le troisième terme, on utilise les mêmes idées avec en plus la formule de récurrence entre I et I : 7 ( ) ( ) ( ) 7 (( ) ) 7 dt ( t) t 7 I 7 t I ( t ) 7 t Arctan t ( t ) 7 Arctan 7( ) 7 Arctan 8 En additionnant les différents résultats, on obtient finalement : h( ) ln Arctan ( ) d) Un dernier eemple avec au dénominateur un facteur quadratique le plus général possible (et un numérateur du er degré afin de ne pas obtenir trop de termes ) : ( ) On vérifie aisément que le trinôme utilisera sa forme canonique : p ( ) p ( ) ( ) En faisant le changement de variables : on obtient : t t, dt n a pas de racine. On 5
6 Or, Par conséquent : ( ) I ( ) 8 ( ) 6 5 t dt ( t ) t dt ( t ) 5 6 t dt ( t ) ( t ) 60 8 I t I ( t ) ( t ) t t I ( t ) ( t ) t t Arctan t 8 ( t ) 8( t ) 60 t t 8 8( ) 8 t t ( t ) Arctan ( ) t Pour repasser à la variable, on peut utiliser la commande «tel que» de la V00 : dt On obtient finalement : ) ( ) Arctan( V
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