Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

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1 Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux et rectangles ; les droites remarquables d un triangle Les outils du lycée : La géométrie repérée : le plan est rapporté à un repère O;; i j. Un point M est repéré par ses coordonnées : M x ; y On peut calculer les coordonnées du milieu I d un segment [B] avec ; et B ; M M x y x y : B B x I x x ; y y y I B B Un nouvel outil : le vecteur Il est défini hors repère (direction ; sens ; longueur) mais dans la plupart des exercices du lycée, on se ramène à un repère x ; y et B x ; y B x x ; y y B B B+BC=C (relation de Chasles) B B On définit deux opérations sur les vecteurs : somme de vecteurs et multiplication de vecteurs par un réel : ; et '; ' k un réel : on a '; ' k ; u x y v x y u v x x y y u kx ky Vecteurs colinéaires : deux vecteurs u et vnon nuls sont dits colinéaires lorsqu on peut trouver un réel k non nul tel que : u =kv c est-à-dire si leurs coordonnées sont proportionnelles. Si le repère est orthonormé, on peut calculer : la distance OM et la distance B : B B et OM M M B x x y y x y Le produit scalaire : on a une unité de longueur dans le plan : u v= u v cos( u; v) B C=B CcosBC = B H où H est le projeté orthogonal de C sur (B). Si le repère est orthonormé Le produit scalaire : u x; y et v x '; y ' : à partir de deux vecteurs, on obtient un nombre!! u v xx ' yy '

2 Les formules de circonférence ; d aires et de volumes : aucune nouvelle formule au lycée. Les formules de périmètres et d aires du carré et rectangle ne sont pas rappelées ici. Les autres formules usuelles sont : Circonférence d un cercle de rayon R : R ire d un disque de rayon R : R ire d un triangle : base hauteur BH C par exemple ire d un trapèze : Grande base+petite base hauteur C+BD BH Volume d un prisme droit, ce qui englobe cube et parallélépipède rectangle ; cylindre et tout solide qui a deux faces parallèles superposables. Volume : ire de base hauteur Volume d une pyramide : de base hauteur 3 ire Volume d un cône de révolution de rayon R : 3 R hauteur Surface d une sphère de rayon R : 4 R Volume d une boule de rayon R : 4 3 R 3

3 Version Collège Caractérisation d un parallélogramme : ) BCD parallélogramme si et seulement si les côtés opposés sont parallèles deux à deux. ) BCD parallélogramme si et seulement si il est non croisé et les côtés opposés sont de même longueur deux à deux. 3) BCD parallélogramme si et seulement si les diagonales [C] et [BD] se coupent en leur milieu 4) BCD parallélogramme si et seulement si il est non croisé et deux côtés opposés sont de même longueur et parallèles. Les droites Théorème de Thalès : Soient ; B et C trois points non alignés. M un point de (B) et N un point de (C). Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors M N MN B C BC Sa réciproque : Soient ; B et C trois points non alignés. M un point de (B) et N un point de (C) tels que ;B et M d une part et ; C et N d autre part sont alignés dans le même ordre. Si M N, alors les droites sont parallèles B C Version lycée Caractérisation d un parallélogramme : BCD parallélogramme si et seulement si B DC Longueur de la diagonale d un carré de côté a : a 3 Hauteur d un triangle équilatéral de côté a : a Hors repère : le théorème de Thalès vectoriel :Soient, B et C trois points non alignés. M un point de (B) et N un point de (C). Si (MN) et (BC) sont parallèles, alors il existe un réel k non nul tel que M kb ; N kc ; MN kbc Sa réciproque Si il existe un réel k non nul tel que M kb et N kc alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles en géométrie repérée : Ne pas oublier que dans toute équation d objet géométrique les coordonnées x et y désignent les coordonnées des points de l objets!! Equation réduite : Droite non parallèle à l axe des ordonnées (B) : y ax b yb y avec a et le coefficient b s obtient en résolvant une xb x équation d inconnue b en remplaçant dans y ax b les coordonnées x et y par celles de ou B. Droite parallèle à l axe des ordonnées passant par ; x x x y : Dans un repère orthonormé : Equations cartésiennes : Soit un vecteur non nul na; b et x ; y un point du plan. M(x ; y) appartient à la droite passant par et de vecteur normal n si et seulement si nm 0 soit si et seulement si ax by c 0 avec c un réel. Réciproquement, l ensemble des points M(x ; y) qui vérifient une équation cartésienne de la forme ax by c 0 avec a,b, c des réels est une droite de vecteur normal na; b et de vecteur directeur u b; a

4 Triangle rectangle ) Théorème de Pythagore : BC est un triangle rectangle en si et seulement si BC B C ) Théorème du cercle circonscrit : BC est un triangle rectangle en si et seulement si son cercle circonscrit a pour diamètre le côté [BC]. Conséquence : Dans un triangle BC rectangle en, le milieu I de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle 3) Dans un triangle rectangle BC rectangle en, on définit : côté adjacent cos BC ; hypoténuse côté opposé sin BC hypoténuse tan sin BC BC cos BC Cercle : ) Un point M appartient au cercle de centre et de rayon R si et seulement si M = R ) Les sommets d un triangle sont inscrits dans un cercle, ce dernier étant unique, dont le centre est le point de concours des trois médiatrices du triangle. Droites perpendiculaires : Théorème de Pythagore et du cercle circonscrit cité dans les triangles rectangles Médiatrice d un segment Définition : Soient et B deux points distincts. La médiatrice du segment [B] est la droite passant par le milieu de [B] et perpendiculaire à (B). Caractérisation : La médiatrice du segment [B] est l ensemble des points équidistants des extrémités et B du segment. D où la possibilité de construire à la règle non graduée et au compas la médiatrice d un segment et donc le milieu d un segment. Le triangle BC est rectangle en si et seulement si BC 0 Cercle en géométrie repérée : Dans un repère orthonormé : ) soit ( x; y ) un point et R un réel strictement positif. Un point M(x ; y) appartient au cercle de centre et de rayon R si et seulement si M R soit x x y y R. ) Soit ( x; y ) et B( xb; y B) deux points. Un point M(x ; y) appartient au cercle de diamètre [B] si et seulement si M BM 0 ce qui équivaut à : x x x x y y y y 0 B B près développement et réduction, on obtient une expression de la forme : x y x y 0. ttention toute expression de la forme x y x y 0 n est pas une équation de cercle. Orthogonalité en géométrie repérée : Dans un repère orthonormé, deux droites ( d ) et (d') de vecteur directeur respectif u et u ' sont perpendiculaires si et seulement si uu' 0

5 Triangle quelconque version lycée : ) Théorème de la médiane Soient et B deux points, I le milieu du segment [B]. Pour tout pointm, M MB MI B 4 M MB MI B ) Formules d l Kashi Soit BC un triangle, on a : a b c bc cos b a c ac cos B c a b ab cos C Soit : 3) Formule des sinus Données identiques aux formules d L Kashi. On note l aire du triangle. On a acsin bcsin absin B C B C sin sin sin b c a abc

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