Vibrations de poutres et de plaques

Transcription

1 Vbraos de poures e de plaques Perre Argoul Module: ACOUSTIQUE Resposable du module: es uhamel

2 INTROUCTION VIBRATIONS E POUTRES MINCES ROITES VIBRATIONS E PAQUES MINCES

3 Plaques vbraes pour gures de Chlad ges odales pour ue plaque carré ée e so mleu Eemplare du lcée Champollo Greoble Bac de ros plaques après epérece: le sable orme d'élégaes gures géomérques. Ers Chlad desss orgau de la publcao orgale de Chlad Académe des Sceces Frace e 88

4 ρh avec Eh ν Equao au dérvées parelles géra les vbraos rasverses d ue plaque d épasseur h masse volumque ρ de module d Youg E e de coece de Posso ν. Sophe Germa Sophe Germa rempora le pr e 86 G. Krcho doa ue héore plus correce e 85

5 5 Plaque recagle ecasrée suva ses quare côés X Y s s X Y Y m π π Equao géra les lges odales zéros des odes saoares côés de logueur e ges odales

6 m Plaque carrée ecasrée suva ses quare côés Y s mπ sπ ges odales 6

7 7 cos cos cos cos m m π π π π Plaque carrée ecasrée e so mleu Equao géra les lges odales zéros des odes saoares m e eers ges odales côé de logueur

8 m Plaque carrée ecasrée e so mleu cos π cosmπ cosmπ cosπ m m ges odales m m m m 5 m 5 m 5 m 5 8

9 9 Equaos du mouveme des mleu cous V V F E V V V V E V V F V V F E V V Surace ecasrée Surace lbre Surace où les orces eéreures so doées Rappels de MMC

10 Equaos du mouveme des mleu cous V V V E V F V V V E V E V F V F ρ j j das ] [ V j C jklk l das V ] [ j j sur V ] [ sur V ] [ E F sur V ] [ j j j F a a Equaos de mouveme Relao de comporeme Codos au lmes Codos ales à

11 Résoluo des équaos du mouveme des mleu cous compleé Résoluo approchée umérque hpohèses supplémeares smplcarces Mleu cous moo ou b-dmesoels poures plaques coques Résoluo aalque

12 Méhodologe Approche varaoelle Aspec local des équlbres des orces Aspec éergéque global Calculs d eremums de ocoelles d éerge érvao drecoelle d ue ocoelle Bases héorques pour la cosruco de modèles de Mleu Cous soldes élasques codesés Resrco des espaces ocoels sur lesquels s eecue l erémalsao

13 Préseao locale ρ j j Rappels j j dv ρ F amlle d esembles V ] [ V Préseao globale d ouvers deses das * * * ρ j j dvd Ω V ] [ Formulao varaoelle * déplacemes vruels emme F amlle d esembles deses das V M dv M das V

14 Rappels érvée drecoelle dérvée drecoelle de la ocoelle Ψ j au po j par rappor à λ * * champ de déplaceme véra l équao de mouveme pour u champ de coraes Champ de déplaceme vruel j δ Ψ λ * * Ψ j d d λ λ j

15 Formulao varaoelle Aure écrure V ρ j j * dvd E ulsa la dérvée drecoelle j j ρ V * dvd dérvée drecoelle d ue ocoelle Ψ j ocoelle Ω Σ Ψ : Recherche erémum de cee ocoelle j j IR Ψ Ψ par rappor à j δ Ψ * j * Champ de déplaceme vruel d δ Ψ Ψ λ * * j j d λ λ λ * 5

16 es ocoelles usuelles Has Jacob Resser j Focoelle de Resser Ω R Σ V ] [ V ] [ R M M Ω R Σ R ] [ sur V E M M M M M V j j pe me IR R j R S dv ρ jεj j jklkl V j d FdS ε j V S jkl kl 6

17 Focoelle de Resser δ δ { R } j { R } j j ΩR ΣR R S dv ρ jεj j jklkl V j d FdS V ρ j j das V ] [ sur ] [ V j j j j F sur V ] [ F ε j Sjkl kl das V ] [ sur V ] [ E Imposé a pror 7

18 8 d ds F dv C H V V kl jkl j ε ε ρ Focoelle de Hamlo H R Ω IR ] [ V Ω R M M sur ] [ E V M M M M M V pe déplaceme

19 Focoelle de Hamlo H j jkl kl V d V ρ F ds ε C ε dv δ { H } * ρ C ε jkl kl j C jklεkl j das V ] [ sur ] [ V sur V ] [ E C jklεklj F sur V ] [ F 9

20 INTROUCTION VIBRATIONS E POUTRES MINCES ROITES VIBRATIONS E PAQUES MINCES

21 Vbraos des poures droes Joseph Boussesq 8 99 h b éo d ue poure droe: b e h << </ Champ des déplacemes Teseur des coraes j

22 Vbraos des poures droes Hpohèses smplcarces ou de codesao ae prvlgé : e passage d u mleu rdmesoel à u mleu moodmesoel composaes du déplaceme développeme e sére de Talor lmao au ermes léares

23 lmao au ermes léares Vbraos des poures droes

24 Vbraos des poures droes

25 Champ de déplaceme Vbraos des poures droes Ω ΩR IR Focoelle de Hamlo H M M sur V ] [ E pe déplaceme V ] [ R M M M M M V H j jkl kl V d V ρ F ds ε C ε dv 5

26 Champ de déplaceme Vbraos des poures droes Erémalsao de la ocoelle de H δ { H } Rappel * * * δ Ψ j champ de déplaceme vruel 6

27 Vbraos des poures droes 7

28 Vbraos logudales des poures droes 8

29 9 9 Ee Posso pluseurs appromaos Equao de vbraos logudales des poures droes Vbraos logudales des poures droes Au veau des coraes j s j Au veau des déplacemes

30 Ees des déres ermes correspoda au déplacemes b h h b h Ee Posso b h h b b

31 Focoelle de Resser R S dv ρ jεj j jkl kl V j d FdS V Vbraos logudales des poures droes Vbraos lbres F dv Sd R ρs S S S d d

32 Eremum de la ocoelle de Resser R δ δ { } R { } R ρs S Vbraos logudales des poures droes Equao du mouveme logudal de la poure S ES ρs S relao de comporeme de la poure Equaos de la poure e varables déplaceme E S S ] [ ] [ Equao du mouveme logudal de la poure ] [ relao de comporeme de la poure E ] [

33 Vbraos logudales des poures droes codos au lmes Erémé lbre Erémé ecasrée S ES pes de codos Ecasrée-ecasrée Ecasrée-lbre bre-lbre S S S

34 Vbraos rasverses des poures droes

35 5 5 Hpohèses Champ de déplaceme Champ de coraes e j s j Poure d Euler-Beroull roao de la seco droe ael Beroull eohard Euler Vbraos rasverses des poures droes

36 Poure d Euler-Beroull Eremum de la ocoelle de Resser R R I S I I S ρ ρ d d ρs Equao du mouveme ρi relao de comporeme de la poure I I S Vbraos rasverses des poures droes I ] [ ] [ 6

37 Poure d Euler-Beroull Vbraos rasverses des poures droes codos au lmes so so I eor racha T I so so I mome léchssa M I 7

38 8 8 codos au lmes EI T Equaos de la poure e varables déplaceme E S ou E I I ρs ρ EI M relao de comporeme de la poure ee d ere roaoelle E S Vbraos rasverses des poures droes Equao du mouveme Poure d Euler-Beroull so so so so

39 9 9 Hpohèses Champ de déplaceme Champ de coraes e j s j Poure de Tmosheko Sephe Tmosheko Vbraos rasverses des poures droes

40 Poure de Tmosheko Eremum de la ocoelle de Resser Cas d u maérau orhorope poure homogèe Equao du mouveme de vbrao de leo rasverse de la poure de Tmosheko Vbraos rasverses des poures droes ρs EI ρ I G ρi G E S E S G Module d Youg Module de Coulomb

41 EI ρs smplcao d écrure Poure homogèe de seco cosae EI ρs Codos au lmes ecasrée lbre appuée EI T EI M EI M ou Vbraos rasverses des poures droes Poure d Euler-Beroull

42 Poure d Euler-Beroull Vbraos rasverses des poures droes Calcul des réqueces e des modes propres Techque de séparao des varables φ d ρs φ d d φ d EI EI d φ ρs φ d Eude suva le sge de la cosae d Cse d Cse ω d d d φ ρs ω ω φ d EI α sω β cosω φ C s β cos β E sh β F cosh β β ρs ω EI

43 Poure d Euler-Beroull Ulsao des codos au lmes β X Vbraos rasverses des poures droes Calcul des réqueces e des modes propres Équao rascedae au valeurs propres X EI ρs A ω valeurs propres EI ρs φ veceurs propres Ecasrée-lbre Équao rascedae au valeurs propres coshx cosx A.56. A A 6.69 A 99.8 Appuée-appuée s X Ecasrée-ecasrée bre-lbre coshx cosx Ecasrée-appuée bre-appuée a X ahx

44 Poure d Euler-Beroull Vbraos lbres de leo des poures droes Calcul des réqueces e des modes propres valeurs propres X EI ρs A ω EI ρs veceurs propres β X φ A Soluos élémeares φ α sω β cosω C s β cos β E sh β F cosh β Soluo géérale φ α sω β cosω C s β cos β E sh β F cosh β Codos ales α e β

45 Poure d Euler-Beroull Modes propres - Orhogoalé Vbraos lbres de leo des poures droes pulsaos propres A ω EI ρs déormées modales φ er mode ème mode ème mode ème mode l Ecasrée-lbre l Ecasrée-ecasrée oeuds veres 5

46 Poure d Euler-Beroull Modes propres - Orhogoalé Vbraos lbres de leo des poures droes pulsaos propres A ω EI ρs déormées modales φ er mode ème mode ème mode ème mode l Appuée-appuée φ C s π l 6

47 Poure d Euler-Beroull Modes propres - Orhogoalé Vbraos lbres de leo des poures droes pulsaos propres A ω EI ρs déormées modales φ er mode ème mode ème mode ème mode bre-lbre Ecasrée-appuée 7

48 Poure d Euler-Beroull Vbraos lbres de leo des poures droes Modes propres - Orhogoalé d φ ρs ω φ d EI d φj ρs ω jφj d EI réqueces propres dérees ω ω j φ j φ égrao suva [ ] d φ φj d d d φj φ d d ρs ω EI ρs ωj EI φ φ d φ φ d j j égrao par pares os d φ d φj d d d d φ d φj d d d ρs ω EI ρs ωj EI φ φ d j φ φ d j 8

49 Poure d Euler-Beroull Vbraos lbres de leo des poures droes Modes propres - Orhogoalé réqueces propres dérees ω ω j j j d j ω φ φ ω φ φ d φ φ d j e d d ϕj S d j ϕ ρ ω ϕ ϕ d d d EI φ φ d j d φ d φj d d d Orhogoalé des modes propres 9

50 Poure d Euler-Beroull Vbraos lbres de leo des poures droes Rgdé e masse modales d φ ρs ω φ φ d EI d φ ρs φ d ω d EI égrao par pares os k rgdé modale du mode EI d φ d d ω EI ρs m égrao suva [ ] d φ d φ d masse modale du mode ρs φ d d φ d k m 5

51 Poure d Euler-Beroull Vbraos orcées de leo des poures droes Répose à ue ecao eéreure : superposo modale ρ S EI p ] [ > Codos au lmes Codos ales φ Par eemple : appu smple au erémés e d v Base de l espace ocoel des soluos? a φ a A ω C s β cos β E sh β F cosh β β ρs ω EI 5 EI ρs

52 Poure d Euler-Beroull Vbraos lbres de leo des poures droes Répose à ue ecao eéreure : superposo modale φ a avec φ C s β cos β E sh β F cosh β O repore das ρs EI pus égrao sur [ ] φ p Orhogoalé des modes propres k EI d φ d d m ρs m aɺɺ ka P φ d P p φ d 5

53 5 5 Vbraos lbres de leo des poures droes a φ d d d EI k φ d S m φ ρ P a k a m ɺɺ d p P φ Codos ales d a φ v a ɺ φ d d m S a φ ρ Orhogoalé des modes propres d v m S a φ ρ ɺ Poure d Euler-Beroull Répose à ue ecao eéreure : superposo modale d v avec

54 INTROUCTION VIBRATIONS E POUTRES ROITES VIBRATIONS E PAQUES 5

55 Vbraos des plaques mces b éo d ue plaque mce: h << e b h pla prvlgé : développeme e sére de Talor composaes de déplaceme composaes du eseur de coraes j j j 55

56 lmao au ermes léares Appromao des champs sous les ormes j j j j passage d u mleu rdmesoel à u mleu bdmesoel Vbraos des plaques mces Séparao des éas vbraores e mouvemes dépedas vbraos das le pla de la plaque vbraos rasverses 56

57 Théoreusuelledes plaques mces ouhéorede ove-krchho Hpohèses le pla moeéquvale de la courbe moee des poures es aleme pla le eullemoeéquvalede la breeuredes poures e subpas de déormaodasso pla; o e cosdère que le déplaceme rasversal w des pos du eulle moe modèlede Krchho: les secos ormales au eulle moe reseormaleslorsde la déormao; e coséquece o peuéglgerle csalleme; l'épasseuresable; e coséquece les coraes das le ses de l'épasseur sosupposéesulles; o resee pees déormaos. eulle moe éléme de maère bre ormale plaque mce éormaod'ueplaque mce 57

58 58 58 Vbraos das le pla e j s j Champ de déplaceme Champ de coraes Hpohèses Vbraos des plaques mces

59 59 59 Vbraos rasverses Hpohèses de Mdl Champ de déplaceme Champ de coraes prse e compe du csalleme rasversal h h ± ± ± ± h h E réalé Icompablé des coraes de csalleme avec les codos de surace lbre pour! h ± Ramod. Mdl Vbraos des plaques mces

60 6 6 Vbraos rasverses Hpohèses de ove-krcho Champ de déplaceme Champ de coraes csalleme rasversal ul roao de la seco droe Gusav Krchho A. E. H. ove Vbraos des plaques mces

61 Hpohèses de ove-krcho Vbraos des plaques mces maérau homogèe e sorope épasseur de plaque cosae e égale à h Focoelle de Resser R j R h I j ρ I I E I h I ν G dsd 6

62 6 6 Eremum de la ocoelle de Resser j R Hpohèses de ove-krcho Equao du mouveme relao de comporeme de la plaque I I h ρ ρ E E E E E ν ν ν ν ν ν ν Vbraos des plaques mces

63 Vbraos des plaques mces Hpohèses de ove-krcho Codos au lmes so so so T so M eor racha T M I I ρ s mome léchssa s M I S 6

64 6 6 Hpohèses de ove-krcho I ρh ρ ν EI M ν ν ν s I M T ν ν ρ blaplace ρ h Vbraos des plaques mces

65 65 65 ν ν Eh EI blaplace ρh Codos au lmes Ecasrée sur le bord Smpleme appuée sur le bord M υ b bre sur le bord M υ T υ avec Vbraos des plaques mces

66 Vbraos des plaques mces ρh Eh ν blaplace cle à résoudre par voe aalque Plaques de géomére recagulare ou crculare Codos au lmes parculères Séparao des varables emps e espace g équao déreelle e emps équao au dérvées parelles e espace Séparao des varables d espace écomposo e équao produ 66

67 67 67 Résoluo par séparao des varables g Cse h g g d ρ Cosae ulle d g d E C B A g E C B A emps / espace cas Cosae ulle Cosae égave Cosae posve ρh ν Eh Vbraos des plaques mces

68 68 68 Cosae égave g d g d ω ω Cse ρh ω s cos B A g ω ω ère echque : séparao des varables d espace d d d d d d d d ρh ω k Ae k Ae k k ρh ω h k k ρ ω ± k k γ γ δ h ρ ω γ γ h ρ ω δ γ e b e a γ γ e d e c e b e a δ δ γ γ Vbraos des plaques mces

69 69 69 ème echque : acorsao de l équao au dérvées parelles ρh ω h h ρ ω ρ ω h ρ ω h ρ ω es soluo de Vbraos des plaques mces

70 7 7 recherche de la soluo de h ρ ω sous la orme k k e e γ ρ ω γ h e b e a e b e a γ γ γ γ avec de même pour h ρ ω e b e a e b e a δ δ γ γ γ ρ ω δ h avec Vbraos des plaques mces

71 PAQUES RECTANGUAIRES ρh b avec Eh υ Codos au lmes Ecasrée sur le bord E N / m υ. ρ 7.85Kg / m h 5 m Smpleme appuée sur le bord M υ 7

72 7 7 PAQUES RECTANGUAIRES b ρh υ Eh avec Plaque appuée sur deu bords opposés appuée sur le bord appuée sur le bord g s cos B A g ω ω e b e a γ γ e d e c e b e a δ δ γ γ

73 7 7 b m B A g m m m m m m π π ω ω s s s cos Plaque appuée sur ses quare bords b m h m π π ρ ω avec m m où

74 7 7 PAQUES RECTANGUAIRES b ρh υ Eh avec Codos au lmes bre sur le bord b b b M υ

75 MOES de PAQUES RECTANGUAIRES PAQUE SIMPEMENT APPUYEE b m mode m b π mπ Cm s s b mode Hz 7 Hz mode mode 6 Hz Hz 75

76 PAQUE SIMPEMENT APPUYEE m π mπ Cm s s b 7 5 6Hz mode Hz mode 8 5 Hz mode 76