1 La tortue. TP : Récursivité

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1 LS3 Harmonisation Algorithmique UFR d'ieea Université Lille 1 TP : Récursivité Dans ce TP vous allez tracer des courbes décrites récursivement à l'aide d'une tortue largement inspirée de la célébre tortue logo et de gnuplot. 1 La tortue Le chier tortue.ml contient une dénition du type tortue qui va permettre de tracer des courbes dans les sections suivantes. Un élément de ce type comporte une position dans un repère cartesien et une direction donnée par un angle par rapport à l'axe des abscisse. Vous aurez besoin des procédures et fonctions suivantes pour manipuler et déplacer des tortues dans ce TP : (* constante Pi : pour définir les angles *) val pi : float = (* le type tortue : d = angle de la tortue avec l'axe des abscisses x = abscisse de la tortue y = ordonnée de la tortue *) type tortue = { mutable d : float; mutable x : float; mutable y : float; } (* fonction qui retourne une nouvelle tortue en position x=y=0 et faisant un angle de pi/2 avec l'axe des abscisses *) val nouvelle_tortue : unit -> tortue = <fun> (* procedure qui avance la tortue de la distance donnée en paramètre *) val avancer : tortue -> float -> unit = <fun> (* procedure qui tourne la tortue vers la droite de l'angle donné en paramètre *) val droite : tortue -> float -> unit = <fun> (* procedure qui tourne la tortue vers la gauche de l'angle donné en paramètre *) val gauche : tortue -> float -> unit = <fun> (* procedure qui ecrit la position courrante de la tortue sur la sortie standard ---> pour marquer tout le chemin suivi par la tortue et le tracer avec gnuplot *) val ecrire_position : tortue -> unit = <fun> Attention tous les angles doivent être donnés en radian! (petit rappel : Pi/2 = angle droit). Q1. Pour vous echauer, comment faire pour tracer un rectangle avec une tortue? Ecrivez une procédure dans le chier rectangle.ml pour répondre à cette question. Vous pouvez compiler le chier rectangle.ml contenant le code du tracé de rectangle avec la commande suivante : > ocamlc rectangle.ml -o rectangle 1

2 Si tout se passe bien lors de l'execution vous obtenez une trace semblable à ceci : correspondant aux coordonnées (abscisse, ordonnée) des quatre points du rectangle. 2 Représentations graphiques Vous pouvez obtenir une représentation graphique de votre rectangle grâce au programme gnuplot. Dans un premier temps il vous faut rediriger l'achage des points du rectangle dans un - chier, ici chier.txt, ce qui peut se faire trés simplement au moment de l'execution en tapant dans un terminal la commande : >./rectangle > chier.txt Vous aller ensuite creér le chier chier.plot suivant contenant les commandes qu'executera ensuite gnuplot : set xrange [-10 :20] set yrange [-10 :20] plot "chier.txt" using 1 :2 with lines pause -1 set term postscript portrait set output "chier.ps" replot Les commandes set xrange et set yrange permettent de dénir les intervalles de coordonnées qui apparaitrons sur le graphique, ici entre les abscisses -10 et 20 par exemple. La commande plot est la commande de production de graphique, chier.txt est le chier où se trouvent les données à acher, using 1 :2 indique que les points servant à construire le graphique ont leur abscisse dans la première colonne et leur ordonnée dans la deuxième et enn, with lines précise que le tracé doit être continu. Grâce à la commande suivante pause -1 le graphique reste à l'écran tant que vous ne tapez pas entrer. Les trois lignes suivantes vous permettent de sauvegarder la gure dans le chier postscript chier.ps. Si vous souhaitez ajouter des commentaires, ils débutent par le caractère #. Vous pouvez ensuite admirer votre graphique avec la commande : > gnuplot chier.plot 3 Le ocon de von Koch La description du ocon de von Koch est la suivante : le ocon d'ordre 0 est un triangle équilatéral, le ocon d'ordre 1 est ce même triangle dont les côtés sont découpés en trois et sur lequel s'appuie un autre triangle équilatéral au milieu, 2

3 le ocon d'ordre n+1 consiste à prendre le ocon d'ordre n en lui appliquant la même opération que pour passer de l'ordre 0 à l'ordre 1 sur chacun de ses côtés. La Figure 1 représente le ocon pour les valeurs n = 0 et n = 1. n=0 n=1 Pi/3 Pi/3 Q2. Tracez à la main le ocon pour n = 2. Figure 1 Flocon Q3. Ecrivez un algorithme récursif cote permettant le tracé d'un des trois côté de la courbe par la tortue. Cet algorithme prend en paramètre l'ordre n de la courbe à tracer ainsi que la longueur d'un segment nal de la courbe. Ainsi cote 0 1 permet le tracé d'un segment de longueur 1. Q4. Ecrivez une procédure ocon qui prend pour seul paramètre un entier n correspondant à l'ordre du ocon à tracer et permet le tracé de la courbe complète. Q5. Pour quels ensembles de valeurs de n est-il interessant de tester votre programme? Q6. De combien de segments est composé le ocon d'ordre n? Combien celà fait il d'appels récursifs? 4 L-système Les L-systèmes ont été inventés en 1968 par le biologiste hongrois Aristid Lindenmayer pour modéliser le processus de développement et de prolifération de plantes ou de bactéries. Vous trouverez plus de détails sur le sujet dans le livre disponible à l'adresse org/papers/#abop. Le principe en est simple : partant d'une chaîne de symboles il s'agit de remplacer simultanément tous ses symboles selon des régles de réecriture données. Chaque symbole peut être interprété comme une action de la tortue. Dans ce TP nous considérons les actions et leur représentation suivantes : F(d) : (Forward) déplacer la tortue d'une distance d dans sa direction courante, G(a) : tourner la tortue d'un angle a vers la gauche, D(a) : tourner la tortue d'un angle a vers la droite, S : sauver les position et direction courantes de la tortue, R : restaurer les position et direction de la tortue qui ont été sauvées par le symbole S associé, par exemple dans la chaîne SFSFRR le dernier R correspond au premier S, comme avec des parenthèses. Comme nous le verrons par la suite, d'autres symboles peuvent être utilisés qui ne correspondent pas forcément à des actions de la tortue mais sont nécessaires pour décrire certaines courbes. De manière plus formelle un L-système est donné par : un ensemble de symboles, une chaîne initiale ou axiome sur l'ensemble de symboles, 3

4 un ensemble de régles de réecriture. Par exemple on peut dénir le L-système suivant à partir de l'ensemble de symboles précédement présenté : axiome : F(d)D(Pi/2) régle de réecriture : F(d) F(d)D(Pi/2)F(d) La régle de réecriture doit être appliquée simultanément à tous les symboles F(d), ce qui donne à l'ordre 1 la chaîne F(d)D(Pi/2)F(d)D(Pi/2) : le symbole F(d) de l'axiome est remplacé par F(d)D(Pi/2)F(d) et le D(Pi/2) de l'axiome n'est pas modié car il n'y a pas de régle pour le remplacer. Q7. Vériez qu'à l'ordre 2, c'est-à-dire lorsqu'on applique une nouvelle fois la régle de réecriture, on obtient la chaîne F(d)D(Pi/2)F(d)D(Pi/2)F(d)D(Pi/2)F(d)D(Pi/2). Q8. Que donne la courbe décrite par ce L-système à un ordre n 2? Q9. Donnez une description du ocon de von Koch par un L-système. 5 Le dragon de Harter-Heighway Le dragon de Harter-Heighway peut être décrit par le L-système suivant : axiome : FX régles de réecriture : X XDYFD Y GFXGY Tous les angles sont de Pi/2 et la distance d n'est pas modiée lors d'une réecriture, nous les supprimons donc pour alléger les notations. Attention, les symboles X et Y ne correspondent à aucune action de la tortue. Q10. Tracez la courbe à la main pour les valeurs de n de 0 à 3 en suivant les règles données. Q11. Ecrivez un programme qui permet de tracer la courbe pour une valeur de n donnée en ligne de commande. Q12. Pour quels ensembles de valeurs de n est-il interessant de tester votre programme? Q13. Quelles remarques pouvez vous faire sur les procédures que vous avez écrites? Q14. Executez votre pogramme pour les valeurs n = 10, n = 18, n = 20 et n = 25, sans nécessairement tracer à chaque fois la courbe à l'aide de gnuplot. Que constatez vous? Q15. Modiez votre programme pour qu'il ache le nombre d'appels récursifs total eectué lors d'une execution. Attention, pour cette question vous ne devez pas utiliser de variable globale en guise de compteur. Q16. Relancez votre programme pour des valeurs de n comprises entre 0 et 25 et observez les nombres d'appels récursifs (leurs logarithmes en base 2 vous donnerons peut être une meilleur idée...). Pouvez vous retrouver ce nombre d'appels par un calcul? 6 Plantes Pour tracer des gures de plantes décrites par des L-systèmes vous aurez besoin parfois de sauvegarder la tortue puis de la restaurer. Par exemple pour celle-ci dont les angles sont tous de 25,7 degré et les distances identiques comme pour le dragon : axiome : X 4

5 régles de réecriture : X F S G X R S D X R F X F F F Q17. Ecrivez les algorithmes récursifs permettant de tracer la plante donnée par le L-système précédent. Q18. Tracer à la main la plante pour n = 0, n = 1 et n = 2 avec des angles approximatifs et en suivant bien le déroulement des appels récursifs. Important : l'objectif n'est pas le dessin, mais de bien comprendre comment il est obtenu. Q19. Créez une plante ou autre gure recursivement denie et programmez la. Vous pouvez vous amusez avec votre code tant que son allure ne vous satisfait pas. 5

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