Chapitre 2 : calcul intégral, rappels et applications

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 2 : calcul intégral, rappels et applications"

Transcription

1 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Chpitre : lul intégrl, rppels et pplitions géométriques Intégrle définie : intégrle de Riemnn. Introdution Dns tout e hpitre, < b sont des réels. L idée intuitive d intégrle d une fontion est elle d ire sous s ourbe (u moins pour une fontion positive). Nous llons ii donner une fçon de onstruire théoriquement l intégrle à prtir de ette idée (il eiste d utres onstrutions omme notmment elle de Lebesgue). En fit, si f est une fontion ontinue et positive sur un intervlle [; b] et si C f est s ourbe représenttive dns un repère, lors on v définir l intégrle de f sur l intervlle [; b], notée : A = b pr l ire A de l surfe (grisée sur le dessin) délimitée pr : f(). () = : droite vertile = b : droite vertile y = : e des bsisses C f y = f() : grphe de l fontion f Plus préisément : Si f est une fontion réelle positive ontinue prennt ses vleurs dns un segment I = [, b], lors l intégrle de f sur I, notée : b f() ou f() ou f() () I est l ire d une surfe délimitée pr l représenttion grphique de f et pr les trois droites d éqution =, = b, y =, surfe notée S f, soit : S f = {(, y) R + I et y f()} (3) On donne un signe positif à l ire des surfes omme S f situées u-dessus de l e des bsisses. Pour pouvoir triter ussi les fontions négtives, on donne un signe négtif u portions situées sous et e. Ainsi, pour définir l intégrle d une fontion ontinue dns le s générl (positive ou négtive), il suffit de définir f + et f omme suit : { f + f() si f() > () =, sinon { f f() si f() < () =, sinon puis de définir l intégrle de f à prtir de f + et f, fontions ontinues et positives : f = f + f (4) I I I [,b]

2 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Plus préisément, définir l ire de ette surfe onsiste, dns l définition de l théorie de Riemnn, à pproher f pr une suite de fontions g n dont on onnit l intégrle (en générl : des retngles qu on définit d ire égle à ± longueur lrgeur) et telle que l différene entre f et g n tende vers qund n tend vers l infini. Il se trouve qu ve ette méthode, il est possible de définir l ire d une fontion ontinue présentnt un ensemble dénombrble de points de disontinuité. On ppelle f un intégrnde, et on note (un s llongé, mis pour somme) l opérteur mthémtique, ppelé intégrteur, qui est ssoié à l intégrtion.. Fontion intégrble u sens de Riemnn.. Subdivisions On ppelle subdivision de l intervlle [, b], un ensemble fini de points X = {,,, n } tels que = < < < n = b. Les i (ve i {,, n}) sont lors ppelés points de l subdivision et les intervlles ] i, i [ (ve i {,, n}) sont ppelés intervlles de l subdivision.le ps de l subdivision, ser le plus grnd des nombres i i lorsque i est ompris entre et n. Une subdivision X est dite plus fine que X, si l ensemble X ontient X (plus fine = plus de points). Le ps de l subdivision X est don plus petit que elui de X. Obtenir une subdivision plus fine que X = {,,, n } revient à subdiviser les intervlles [ i, i ]. Eemple :.. Définition : fontion en eslier Une fontion f : [; b] R est dite en eslier (ou enore étgée) si, et seulement si, il eiste une subdivision de [; b] dptée à f, est-à-dire un ensemble de points (subdivision) de [; b] tel que : = < < < < n < n = b (n N) ; et un ensemble de nombres {λ,, λ n } tels que, pour k vrint de à n, l fontion soit onstnte sur l intervlle ] k, k [ et y prenne l vleur λ k, est-à-dire : k [; n] N, ] k ; k [ f() = λ k. Remrque : u points k l fontion peut prendre d utres vleurs éventuellement. On dir que l subdivision X = {,,, n } est dptée à l fontion en eslier f si f est onstnte sur hun des intervlles ] k, k [. Toute subdivision plus fine que X est enore dptée à f. Nottion : on noter E([; b]) l ensemble des fontions en eslier sur [; b]...3 Définition : intégrle d une fontion en eslier Soit f une fontion en eslier définie sur [, b]. Si X = {, n } est une subdivision de [, b] dptée à f, et si, pour k ompris entre et n, on ppelle λ k = f( k ) l vleur prise pr l fontion f en un point quelonque

3 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel k de l intervlle ] k, k [, on peut onsidérer l somme : σ = n n λ k ( k k ) = f( i ) ( i+ i ) k= Remrquons que le nombre λ k ( k k ) est l ire géométrique du retngle de huteur λ k et de bse k k. Le nombre σ représente don l ire lgébrique du domine délimité pr l ourbe représenttive de f qui est formé d une réunion finie de retngles. Les ires des retngles situés en dessous de l e des sont omptées négtivement. i= Cette somme ne dépend ps de l subdivision dptée à f hoisie. Prendre une subdivision plus fine revient à déomposer les retngles préédents en retngles plus petits, et l somme reste inhngée. Cette somme ne dépend que de f, et ser notée : et on l ppelle l intégrle de f sur [, b]. I(f) = b f() En résumé, on don l définition suivnte : Soit f E([; b]). L intégrle de l fontion f sur [; b] est le nombre réel : I(f) = b f() = où i {,, n } i ] i, i+ [. n n λ k ( k k ) = f( i ) ( i+ i ) k= Eemple : pour l fontion prtie entière, on en hoisissnt l subdivision {,,, 3, 4 } = {; ; ; 3; 4} : 4 E() = i= 4 ( k k )E( k ) = = Définition de l intégrle de Riemnn d une fontion bornée k= Toutes les fontions envisgées désormis sont des fontions à vleurs réelles définies sur un segment [, b] et bornées sur et intervlle. Pour une fontion bornée, il eiste don un nombre M, tel que, pour tout de [, b], on it : M f() M. Notons : { E + = {φ E([; b]) φ f} et I + (f) = I(φ) = b φ() φ E + }. L ensemble I + (f) n est ps vide r il ontient : b M = M(b ). (5) 3

4 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel D utre prt, si φ est une fontion en eslier telle que φ f, on ussi φ M, et don : b φ() M(b ). L ensemble I + (f) est don minoré et non vide. Il possède pr onséquent dns l ensemble des nombres réels R une borne inférieure (pr l propriété de l borne inférieure que possède R). On note I + (f) ette borne inférieure, qui est ppelée intégrle supérieure de f. De même, si l on pose : { } b E = {ψ E([; b]) ψ f} et I (f) = I(ψ) = ψ() ψ E le même risonnement montre que et ensemble n est ps vide et est mjoré (pr M(b )). S borne supérieure eiste don (r R vérifie ette proprété de l borne supérieure). On note I (f) ette borne supérieure, qui est ppelée intégrle inférieure de f. Don : I + (f) = inf φ E([;b]) φ f I (f) = sup ψ E([;b]) ψ f L fontion f est dite intégrble u sens de Riemnn si, et seulement si : I + (f) = I (f) (6) I(φ) (7) I(ψ) (8) De plus, le nombre réel I = I + (f) = I (f) est lors ppelé l intégrle de Riemnn de l fontion f sur [; b] et est noté : I = b f() (9) En prtiulier, d près e qui préède, une fontion en eslier est Riemnn-intégrble. Remrque : l vrible d intégrtion est muette : el signifie que : b f() = b f(t) = b f(u)du..3 Intégrle d une fontion ontinue pr moreu.3. Définition : fontion ontinue pr moreu Une fontion f : [; b] R est dite ontinue pr moreu si, et seulement si, il eiste une subdivision = < < < < n = b (n N) de [; b] telle que : f soit ontinue sur hque intervlle ] i ; i [ i [; n] N ; lim f() et + i lim i f() eistent et sont finies Une telle subdivision est lors dite dptée à f. Nottion : on noter CM([; b]) l ensemble des fontions ontinues pr moreu sur [; b]. Eemples : les fontions ontinues et les fontions en eslier sont des fontions ontinues pr moreu. Remrques : les vleurs prises pr une fontions ontinue pr moreu u points de subdivision n importent ps. si une subdivision X est dptée à une fontion ontinue pr moreu lors toute subdivision plus fine que X l est ussi. 4

5 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel.3. Propriétés des fontions ontinues pr moreu Théorème. Soit f, g : [, b] R et λ R. Si f et g sont ontinues pr moreu lors λ.f,f + g,f.g et f le sont ussi. Théorème. Soit f : [, b] R et [α, β] [, b] ve α < β. Si f est ontinue pr moreu lors f /[α,β] l est ussi. Théorème.3 Toute fontion ontinue pr moreu de [, b] vers R est bornée..3.3 Approimtion d une fontion ontinue pr moreu pr une fontion en eslier Théorème.4 Soit f CM([; b]) une fontion ontinue pr moreu. Il eiste deu fontions en eslier ψ et φ qui endrent d ussi près que l on veut l fontion f, est-à-dire : ε >, ψ, φ E([; b]) φ f ψ et ψ φ ε Théorème.5 Toute fontion ontinue pr moreu est Riemnn-intégrble..3.4 Propriétés de l intégrle des fontions ontinues pr moreu Propriété : linérité de l intégrle Soient f, g CM([; b]) et soit λ R. On : b b λf() = λ (f() + g()) = b b f() ; () f() + b g(). () Croissne de l intégrle Soient f, g : [, b] R des fontions ontinues pr moreu ; on : Si f lors b f. Si f g lors b f b g. 5

6 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Preuve Si f est positive lors l fontion nulle est une fontion en eslier inférieure à f don b Si f g lors g f don b (g f) puis pr linérité b g b Reltion de Chsles Soit f CM([; b]). [; b] on : f() + b f() = b f() f. f I [,b]() =. Preuve Si f est en eslier sur [; b] et si ( ; ; ; p = ; ; n ) est une subdivision de [; b] dptée à f, lors : Le résultt est lors évident. Corollire Soit f CM([; b]). On : b f() = f() = p ( i+ i )f( i ) i= n ( i+ i )f( i ). i=p b f() = b f() ; () f() =. (3) Propriété : intégrle et vleur bsolue ou inéglité tringulire Soit f CM([; b]). Alors : b f() b f() (4) Preuve On peut utiliser l roissne de l intégrle : f f f don pr roissne b f b f b f Une utre démonstrtion peut se fire en onsidérnt les prties positive et négtive de l fontion f : f + = f+ f et f = f f. On lors f = f + f, et f + et f sont des fontions positives, don d intégrles positives. Don, en utilisnt les propriétés de l vleur bsolue de l somme : b b b f() = f + () f () b b f + () + f () b b f + () + f() b f () 6

7 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel.4 Intégrle et moyenne Définition : vleur moyenne d une fontion Soit f CM([; b]). L vleur moyenne de f sur l intervlle [; b] est le réel : µ = b b f() (5) Interpréttion grphique : µ est l vleur de l fontion onstnte qui urit sur [; b] l même intégrle que f. Eerie Déterminer l vleur moyenne de l fontion f : entre = et = 5. Déterminer l vleur moyenne de l fontion f : os() + sin() entre = et = π. Inéglité de l moyenne Soit f CM([; b]). Si m, M R [; b], m f() M, lors : m µ M, est-à-dire enore : m(b ) b f() M(b ) (6) Preuve Comme pour tout de [, b], on m f() M, on, d près l propriété de roissne de l intégrle : b m est-à-dire : m(b ) b f() b b M f() M(b ) 7

8 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie Montrer que R + + e +.e. Appliquez l inéglité de l moyenne à l fontion t e t sur l intervlle [, ] Montrer que R + + ln( + ). Appliquez l inéglité de l moyenne à l fontion t +t sur l intervlle [, ] Théorème.6 Théorème de l moyenne Pour toute fontion f à vleurs réelles, définie et ontinue sur un segment [, b], ve < b, il eiste un réel ompris entre et b ( et b étnt elus) vérifint : f() = b b f(). (7) Preuve Pr l inéglité de l moyenne, on : m(b ) b f() M(b ) Or, f étnt ontinue sur [; b], elle prend toutes les vleurs omprises entre m et M u moins une fois (théorème des vleurs intermédiires). Don ]; b[ tel que : f() = b b f(). 8

9 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Théorème Fondmentl de l Anlyse : lien intégrle-primitives Voii mintennt le lien entre l intégrtion et les primitives : Théorème Fondmentl de l Anlyse (Leibniz-Newton) Soit f une fontion ontinue sur un intervlle [; b](, b R). L fontion : F : est l unique primitive de f qui s nnule en. On en déduit que pour toute primitive F de f : f(t) (8) b f() = [F ()] b = F (b) F () (9) Remrques : Dns l première prtie du Théorème, l vrible est l borne d en hut de l intégrle : est pour el qu on prle prfois de l intégrle fontion de l borne d en hut. Dns l deuième prtie du Théorème, l primitive F hoisie est quelonque et e n est ps néessirement elle donnée dns l première prtie. C est e Théorème qui permet de montrer que toute fontion ontinue dmet des primitives. Preuve Il est lir que F s nnule en : F () = f(t) =. Il fut montrer mintennt que F est bien une primitive de f, est-à-dire que F = f ou enore (pr définition de l dérivée) que : On : don : F () F ( ) lim = f( ) R. F () F ( ) = ( ) f(t) f(t) F () F ( ) = ( ) f(t) + f(t) f(t) (où on déomposé l première intégrle grâe à l Reltion de Chsles) et finlement : F () F ( ) = f(t), est-à-dire l vleur moyenne µ de f entre et (ou et, selon leur ordre). Mis f est ontinue sur [; b] et l inéglité de l moyenne montre que : min f(t) µ m f(t), t [,] t [,] don le Théorème des Vleurs Intermédiires ssure qu il eiste [ ; ] tel que : F () F ( ) = µ = f( ). 9

10 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Comme est ompris entre et (ou et ), le Théorème des Gendrmes ssure que : et (pr ontinuité de f ) que : C est préisément e qu il fllit démontrer. lim = F () F ( ) lim = lim f( ) = f( ) Soit G l primitive qui étit désignée pr F dns l première prtie du Théorème. Alors : b f() = G(b) = G(b) G() puisque G() =. Toute utre primitive F de f diffère de G pr une onstnte k R, don F () = G() + k [; b] et : Eemples : F (b) F () = (G(b) + k) (G() + k) = G(b) G() = G(b) = e qui est le résultt nnoné. b f(), = e = [ 3 3 [ e ] = 3 ] = 3 = e I = = [ 3 3 ( = 3 ( ) ] = = ) ( + 3 ) = 3 = 4 3 I = [ = ] = = + = =

11 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel I 3 = = = ( + ) 3 ( ) [ 8 = [ 8 = ( 5 8 = = 664 I 4 =,5 ] =5 = ] =5 = ) 3 ( ) On reonnît une frtion rtionnelle onstituée : u numérteur d un polynôme de degré u dénominteur d un polynôme de degré Cette frtion peut se brioler pour rriver à une epression de l forme u u, qui s intégrer ve l fontion ln.,5 I 4 = 3,5 ( = ) ( = ) [ln( 3)] =,5 = 3 ( = ) (ln(, 5) ln()) 3 ( = ) ( ln() ln()) 3 = ln() 3. Notion d intégrle indéfinie (sns bornes) Soit f une fontion définie sur un intervlle I dmettnt des primitives. On note : f(), () l ensemble de toutes les primitives de f sur l intervlle I. Don, si F est une primitive de f sur I : f() = { F () + k k R}. () Pr bus de lngge, ette nottion désigne ussi une primitive quelonque de f : il fut toutefois bien grder à l esprit qu il eiste une infinité de primitives définies à une onstnte dditive près.

12 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eemple : = + C, C R Cette ériture signifie que les primitives de l fontion sont les fontions de l forme à une onstnte dditive réelle C près. Eerie 3 On herhe une primitive sur ] 5; + [ de l fontion f() = 3 (+5) Rppeler l formule donnnt l dérivée d une fontion de l forme u n A titre d eemple, dériver l fontion G() = +5 Érire f() en fisnt pprître l dérivée de G En déduire une primitive F de f sur R Vérifition : F () = De même sur ] 3 ; + [ ve f() = 5 (3 ) 3 en fisnt pprître l dérivée de G() = (3 ) De même sur ]; + [ ve f() = (5 3 4) 4 en fisnt pprître l dérivée de G() = Eerie 4 Soit f : définie sur R. On demnde de trouver l primitive F de f sur R telle que F () = 3. Soit f : 3 définie sur R. On demnde de trouver l primitive F de f sur R telle que F ( ) = 5. Soit f : ( 3) 3 définie sur R. On demnde de trouver l primitive F de f sur R telle que F () = 4. Soit f : ( ) définie sur ]; + [. On demnde de trouver l primitive F de f sur ]; + [ telle que F () = 4.

13 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 3 Tehniques de lul intégrl 3. Primitives et intégrles élémentires 3.. Primitives de fontions simples Dns le tbleu suivnt, l première olonne est l fontion dont on herhe les primitives, l deuième est son domine de définition et l troisième, les primitives de ette fontion sur un intervlle inlus dns e domine. C,, ω, φ désignent des onstntes réelles, ve ω. Tbleu des primitives simples f() D D F () R + C, R\{ } R si Z ; R + sinon C R ln + C os(ω + φ) R ω sin(ω + φ) + C sin(ω + φ) R ω os(ω + φ) + C os R\ { π + kπ, k Z} tn + C R\ {kπ, k Z} otn + C sin tn R\ { π + kπ, k Z} tn + C ( > ) R ln + C ln() R + (ln() ) + C tn R\ { π + kπ, k Z} ln os + C sin. os R. os + C ], [ rsin + C ], [ ros + C + R rtn + C h R sh + C sh R h + C h R th + C sh R oth + C th R th + C R rgsh + C ], + [ rgh + C + ], [ rgth + C ], + [ rgoth + C ], [ rgoth + C 3.. Primitives de fontions omposées Tbleu des primitives omposées f() F () λu λ u + C u + v u + v + C (v u).(u ) (v u) + C (u ).(u ), R\{ } u C u u ln u + C sin u.u os u + C e u.u e u + C 3..3 Eeries de primitives et d intégrles élémentires Eerie 5 Cluler les primitives et intégrles suivntes : 3

14 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 5 ( + ) ( 3 4 ) ( 4 + ) 4 ( + 3 ) ( + 3 ) 4 (3 ) π ( sin + 3 os ) e ( ) 9 4 ( e ) Eerie 6 Érire sns lul les primitives suivntes. ln(t) ; te t ; sin(t)e os(t) ; e t+et ; t sin(t) ; + et + os(t) ; t + t ; rsin (t) ; t sin(t) + os(t) ; tn(t) os(t) ; sin(t) tn(t) ; os(t) ; sin (t) tn 3 (t) + tn 5 (t) ; t + 3 (t + 3t + 5) ; + tn 6 (t) ; t + t + t + 5 ; os (t)(3 + tn(t)) ; t + t + t + 3 ; e sin(t) os(t) ; sin(t) tn( t) + tn 3 ( t) t + ; sin(e t )e t+ os(e t ) ; os(e t ) e t (sin(e t ) sin 3 (e t )) ( + + os 3 (e )) t + os3 (e t ). Eerie 7 Cluler les intégrles suivntes : I = I = I 3 = π π os t ( sin t + π ) 4 (t 3 + t + 4t + ) I 4 = I 5 = I 6 = 3 3 ln 3 ln (t 7 + t 3 t) ( e t ) t + t Eerie 8 Déterminer deu primitives sur ], + [ de hune des fontions suivntes : f : g : Eerie 9. Déterminer deu primitives sur ], + [ de l fontion f : Déterminer deu primitives sur R de f : 5(4 ) 6 et deu primitives sur ]; + [ de g : 3. Déterminer une primitive sur ] ; + [ de f : (3 + ) , et une primitive sur ]; + [ de g : 4

15 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie. Soit g l fontion définie sur ]; + [ pr g() =. Cluler l dérivée de g sur ], + [. Soit f l fontion définie sur ]; + [ pr f() =. Déduire de l première question une primitive de f sur ]; + [. Eerie Soit f l fontion définie sur ] 3, + [ pr f() = qui s nnule en zéro. Étudier les vritions de l fontion F sur ] 3; + [. Étudier le signe de F () sur [ 3; + [. Soit g l fontion définie sur ] 3; + [ pr g() = F (). Démontrer que g est déroissnte sur ] 3; + [. En déduire que : si >, lors F () <. + 3 et F l primitive de f sur ] 3, + [ Eerie Déterminer les primitives suivntes : te t ln t t t ln t Eerie 3 Déterminer les primitives suivntes : os t sin t tn t os 3 t Eerie 4 Déterminer les primitives suivntes : t + t 3 t + t t + t 4 Eerie 5 Déterminer les primitives suivntes : it + e t os t t sin te t 5

16 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie 6 Cluler les intégrles suivntes : Eerie 7 Cluler les intégrles suivntes : Eerie 8 Pour m, n N, luler I m,n = t / π π + t t os t ln t t + t os(mt) os(nt) 3. Primitives et intégrtion pr hngement de vrible 3.. Intégrtion pr hngement de vrible : méthode Soit f une fontion numérique ontinue, et φ une fontion de lsse C ( est-à-dire dérivble et dont l dérivée est ontinue) sur un intervlle [, b] et dont l imge est ontenue dns le domine de définition de f. Alors : φ(b) φ() f(u) du = b f(φ())φ (). () Preuve L fontion f étnt ontinue, on onsidère une primitive F de f sur D l ensemble de définition de f. L fontion F φ est lors dérivble, omme omposée de deu fontions dérivbles et on : D où : b (F φ) = (f φ) φ f(φ())φ () = Dns e lul, on en quelque sorte posé : { = b b ((f φ) φ )() (F φ) () = [F φ] b = F (φ(b)) F (φ()) = u = φ() du = φ () φ(b) φ() f(u) du L borne inférieure = dns l intégrle où l vrible est devient u = φ( = ) = φ() dns l intégrle où l vrible est u et de même pour l borne supérieure b qui devient φ(b). L formule peut s ppliquer dns les deu sens (f. eemples et 3 i-dessous). Eemples (3) 6

17 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel. Soit à luler π π os( ) On pose le hngement de vrible u = et don du = ve vrint entre π et π. Pr onséquent u vrie entre π et 4π. π π os( ) = 4π π os(u)du = [sin(u)] 4π π = sin(4π) sin π = =.. Soit à luler : Posons : { I = / /3 u = φ() = du = φ () =. (4) Si = /3, u = φ(/3) = /9 et si = /, u = φ(/) = /4 don l intégrle devient : I = /4 /9 [( u) 3/] /4 ( u) / du =. 3 /9 = {( 4 3 )3/ ( 9 } )3/ = {( 34 3 )3/ ( 89 } )3/ = = Soit à luler : Posons : { I = 3/ / = sin t = φ(t) = φ (t) = os t. (5) Si = /, = sin π 6. Si = 3, 3 = sin π 3, don : I = φ(π/3) φ(π/6) = = = = = = π/3 π/6 π/3 π/6 π/3 π/6 π/3 π/6 π/3 π/6 (φ(t)) φ (t) os t sin t os t os t os t + os t [ t sin t + 4 ] π/3 π/6 = ( π 6 π ) + 4 (sin π 3 sin π 3 ) = π 7

18 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 3.. Reherhe de primitive pr hngement de vribles Cette méthode est bsée sur l formule de dérivtion des fontions omposées : (G h) = G h.h. Don on : Deu s peuvent se produire : (G h)().h () = (G h)(). (6) l fontion f à intégrer, s érit sous l forme g h.h. Dns e s on effetue le hngement de vrible t = h(), on lule une primitive G de l fontion g, lors, l fontion G h est une primitive de f. on veut fire un hngement de vrible du type = k(t), pour rmener le lul des primitives de f à elui des primitives de f k.k. Il fut lors fire ttention u domine de définition de k, et le hoisir de telle sorte que k soit bijetive, de mnière à pouvoir érire t = k (), e qui permettr de revenir en à l fin du lul. Si G est une primitive de f k.k, on ur lors F = G k (7) On don l proposition suivnte : Soit f définie sur J ; on suppose que φ est de lsse C et rélise une bijetion de I J ; lors : f() = f(φ(t))φ (t) (on don posé = φ(t), = φ (t), t = φ ()), en e sens que, si G est une primitive sur J de l fontion t f(φ(t))φ (t) et si F est une primitive de f, on : I F () = G(t) + C = G(φ ()) + C Preuve Lorsqu on dérive pr rpport à l epression : on obtient : H() = G(φ ()) H () = G (φ ()).(φ ) () (pr l règle de dérivtion d une fontion omposée) = f(φ(φ ())φ (φ ()).(φ ) () (r G est une primitive de l fontion : t f(φ(t))φ (t) ii lulée en t = φ ()) = f(φ(φ ())φ (φ ()) φ (φ ()) (pr l règle de l dérivée de l fontion réiproque) = f() (8) don H est bien une primitive de f sur J 3..3 Eeries Eerie 9 Déterminer les primitives suivntes en proédnt pr un hngement de vrible déqut t + t 3 ln t t + t(ln t) e t e t +. 8

19 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie Déterminer : t t Eerie Cluler les intégrles suivntes vi un hngement de vrible déqut : e e t + t(ln t) t ln t + e t + Eerie Cluler les intégrles suivntes vi un hngement de vrible déqut : t t t ln t t Eerie 3 ) Observer b) En déduire Eerie 4 ) Montrer que b) En déduire π/4 π/ ln(os t) = π/4 π/4 ln( + tn t) ( π ) ln os 4 t os t π/ os t + sin t = sin t os t + sin t = π 4 t + t Eerie 5 Cluler les intégrles suivntes : + ln sin 3 + ( + ) 3 ln sin os 3 e sin os t sin(t 3 + ) sin t os t +sin t ln e e + 3/ π (+ 3 ) sin +os e / 3 + π/9 tn 3 ln(os 3) 9

20 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 3..4 Nouvelles primitives élémentires Soit à luler les primitives du type : I ±= ± Un hngement de vrible judiieu permet de luler es primitives. Clul de I + Posons : { = sinh u = osh udu On obtient : I + = + = = ( ) + osh udu + sinh u = osh u osh u du = u + C = Argsh + C = ln C (9) Clul de I De l même mnière, posons : { = osh u = sinh udu On obtient : I = = ( ) = sinh udu osh u = sinh u sinh u du u = du = u +C = u Argh + C = ln + + C (3) 3.3 Primitives et intégrtion pr prties 3.3. Théorème d intégrtion pr prties L intégrtion pr prties est une méthode qui permet de trnsformer l intégrle d un produit de fontions en d utres intégrles, dns un but de simplifition du lul. L formule-type est l suivnte, où u et v sont deu fontions dérivbles, de dérivées ontinues et et b deu réels de leur intervlle de définition : b u()v () = [ ] b u()v() b u ()v() (3) ou enore, en remrqunt que u () et v () sont respetivement les différentielles de u et de v : b u dv = [uv] b b v du. (3)

21 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel En notnt w = v et W = v, l énoné i-dessus orrespond u suivnt. Théorème 3. Théorème d intégrtion pr prties Soit I = [, b] un segment de R, w une fontion ontinue définie sur I et u une fontion de lsse C définie sur I. Soit W une primitive de w sur I. Alors : b b u()w() = [u()w ()] b u ()W (). (33) On peut étendre e théorème u fontions ontinues et de lsse C pr moreu sur le segment d intégrtion (mis l ontinuité est indispensble). Preuve L démonstrtion du théorème déoule diretement de l règle du produit : On don puis : b u()w() = (u W ) = u W + u w. u w = (u W ) u W b e qui donne bien l propriété énonée i-dessus. (u W ) () b u ()W (), Dns un lul de primitives, on ussi : u()v () = [u()v()] u ()v() (34) Eemples :. effetuons le lul de : π 3 os() grâe à une intégrtion pr prties. Pour el, posons u() =, de telle sorte que u =, et v = os, de telle sorte que v = sin, pr eemple (i.e. à une onstnte dditive près, qui de toutes fçons disprîtrit u ours des luls intermédiires). Il vient : π 3 os() = [u()v()] π 3 = [ sin()] π 3 = π 3 6 = π 3 6 π 3 π 3 u ()v() (35) sin() (36) + [os()] π 3 (37). (38). effetuons le lul de b e. Pour l intégrtion pr prties, posons u() = et dv = e. Nous vons don du = et (pr eemple) v = e. Utilisons l formule d intégrtion pr prties : b b e = [e ] b e = [e e ] b. On en déduit qu une primitive (sur R) de l fontion e est l fontion ( )e.

22 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 3. reherhons une primitive sur R + de l fontion ln : Posons : { u() = ln v () = On don : { u () = / v() = et on peut don érire : ln = ln = ln + C 4. reherhons une primitive sur R de l fontion sin : Posons : { u() = v () = sin On don : { et on peut don érire : u () = v() = os sin = os + os = os + sin + C L intégrtion pr prties 34 peut être utilisée pour un lul diret de u().v (), en l employnt u besoin plusieurs fois de suite. Eemple : P ()e (39) où P est un polynôme. On obtient pr eemple : n e = n e n n e (n Z/ { }) ou enore, si P une fontion polynôme quelonque et qu on note P s fontion dérivée : P ()e = P ()e P ()e L intégrtion pr prties peut fournir une reltion de réurrene permettnt de luler de prohe en prohe des intégrles dépendnt d un prmètre. Eemple : os n Il se peut ussi qu près plusieurs intégrtions pr prties on retombe sur l intégrle de déprt ffetée d un utre oeffiient, e qui permet de l luler. Eemple : e os

23 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 3.3. Eeries Eerie 6 Déterminer les primitives et luler les intégrles suivntes : e ln (3 ) 7 ln ln sin 3 e sin sin sin 3 + ( + ) e π/ sin Eerie 7 Déterminer les primitives suivntes : t ln t t rtn t t sin 3 t Eerie 8 Déterminer les primitives suivntes : (t t + )e t (t ) sin t (t + )ht Eerie 9 Cluler les intégrles suivntes Eerie 3 Cluler les intégrles suivntes e e π ln( + t ) t n ln t (ve n N) sin(ln t) / rtn t rsin t t rtn t Eerie 3 Cluler les primitives suivntes : ln e os ; n n N ; Artn ; ( + + )e. Eerie 3 Cluler les primitives suivntes : ln e os ; n n N ; Artn ; ( + + )e. Eerie 33 Soit I n = ( t ) n. 3

24 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel. Étblir une reltion de réurrene entre I n et I n+.. Cluler I n. 3. En déduire n k= ( ) k k+ Ck n. Eerie 34 Intégrles de Wllis Soit I n = π sinn t.. Étblir une reltion de réurrene entre I n et I n+.. En déduire I p et I p+. 3. Montrer que (I n ) n N est déroissnte et stritement positive. 4. En déduire que I n I n+. 5. Cluler ni n I n+. 6. Donner lors un équivlent simple de I n. Eerie 35 Cluler pr réurrene : Eerie 36 Cluler pr réurrene : I n = J n = π 4 e du os n u. log(u) n du. Eerie 37 Cluler les primitives suivntes pr intégrtion pr prties.. ln. rtn 3. ln puis (ln ) 4. os ep Eerie 38 Voii quelques luls de primitives utilisnt l intégrtion pr prties. t sin t = sin os + C. rsin t = rsin + + C. rtn t = rtn ln( + ) + C. (t + ) rtn t = 6 + rtn rtn 3 ln( + ) + C. t n ln t = n + n+ ln ( + )e 3 = e 3 ( (n + ) n+ + C. ) + C. Eerie 39 Cluler les primitives suivntes, en utilisnt l intégrtion pr prties. te t ; t e t ; t 3 e t ; t ln(t) ; t ln(t) ; t 3 ln(t) ; 4

25 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel t sin(t) ; t sin(t) ; t 3 sin(t) ; t os(t) ; t os(t) ; t 3 os(t) ; rsin(t) ; t rsin(t) ; rtn(t) ; (t + ) rtn(t) ; (t + t)e 3t ; (t + ) rsin(t). 3.4 Primitives ontennt un trinôme du seond degré + b Primitives du type I = +b+ Idée : trnsformer le dénominteur en somme ou différene de rrés en mettnt le trinôme sous s forme nonique. Cnonisons le trinôme du seond degré : [ + b + = ( + b ) b 4 + ] [ = ( + b ] ) b 4 4 [ = ( + b ) ] 4 [ = ( + b ] ) ± k ve : k = 4 = 4 si < = 4 si > L primitive se rmène don à une des formes : I = [ ( + b ) ± k ] qui se rmènent pr hngement de vrible à des primitives élémentires ; en effet, posons : { t = + b = on obtient : qui est une primitive élémentire. I = t ± k Le signe + donne diretement : t + k = d(t/k) (t/k) + = rtn t k + C Le signe demnde une séprtion en éléments simples : t k = (t + k)(t k) = A t + k + B t k 5

26 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel ve A et B deu oeffiients onstnts tels que A(t k) + B(t + k) =, don : { A + B = k(b A) = don A = B = k. On obtient don finlement : t + k = k ln t + k + ln t k +C k = k ln t k t + k + (4) Eemple : étblir : + = 3 ln + + / + C 3.4. Primitives du type I = A+B +b+ Idée : fire pprître u numérteur l dérivée du dénominteur On peut érire : Don : I = A A + B = A Ab ( + b) + B ( + b + b + + B Ab ) + b + Le seond terme est une primitive de type I et le premier terme peut se luler pr un hngement de vrible ; en effet, posons : { t = + b + = ( + b) don on obtient : Eemple : I = A ( ln + b + + B Ab ) I = 3 ln Primitives du type I 3 = +b+ Proéder omme pour les primitives de type I pour se rmener u primitives élémentires : ou t ± k k t Primitives du type I 4 = A+B +b+ Proéder omme pour I et se rmener à : I 4 = A ( + b + b + + B Ab = A + b + + ( B Ab ) I 3 ) + b + 6

27 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie 4 Cluler les primitives suivntes : t + t Frtion rtionnelle 3.5. Définition Une frtion rtionnelle est le quotient de deu polynômes à une indéterminée dont les fontions polynômes ssoiées sont à vleurs dns un ensemble K et n ont ps de rine ommune (sinon on simplifie). En prtique, et ensemble est générlement R (ensemble des réels) ou C (ensemble des omplees). Si P n () et Q m () sont deu polynômes, de degrés n et m et si Q m n est ps le polynôme nul, l frtion f = Pn Q m est définie pour tout tel que Q M () pr f() = P n() Q m () Remrque : on peut toujours supposer Q m unitire, est-à-dire de oeffiient du terme m égl à. (4) Si n < m, l frtion est dite régulière Si n > m, l frtion est dite irrégulière 3.5. Déomposition en éléments simples Soit P n et Q m deu polynômes, on veut déomposer l frtion rtionnelle F () = P n() Q m (). On s intéresser, dns l suite, u fontions rtionnelles (dites irrédutibles ) simplifiées u mimum, està-dire dns lesquelles P n () et Q m () sont premiers entre eu et où Q m est de degré supérieur ou égl à. On noter K un orps ommuttif (en générl C ou R). Obtention d une frtion régulière L première étpe onsiste à réduire l frtion de telle sorte que le degré du numérteur soit inférieur à elui du dénominteur ( est-à-dire à se rmener à une frtion régulière). On proède pour e fire à une division eulidienne de P n () pr Q m (). On sit qu il eiste toujours un ouple unique de polynômes S n m () et R l () tels que : ou enore : P n () = Q m ().S n m () + R l () ve : P n() Q m () = S n m() + R l() Q m () S n m () = quotient de l division, qui est un polynôme de degré n m ppelé prtie entière de l frtion R l () = reste de l division, qui est un polynôme de degré l < m R l() Q m () qui est l frtion rtionnelle régulière ssoiée à F 7

28 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eemple : déomposer Éléments simples de première et deuième espèes L frtion rtionnelle F = Pn Q m peut don s érire F = S n m + R l Q m. Le polynôme S n m est ppelé l prtie entière de F et est sur R l Q m que l on v proéder à une déomposition en éléments simples. Les polynômes irrédutibles à oeffiients réels sont du premier ou du seond degré. Trditionnellement, dns e s, les frtions rtionnelles obtenues dns l déomposition sont ppelées respetivement éléments simples de première espèe et éléments simples de seonde espèe. On ppelle : élément simple de première espèe une frtion rtionnelle de l forme : α ( ) p ve, α R et p N élément simple de deuième espèe une frtion rtionnelle de l forme : β+γ ( +b+) q ve β, γ R, q N et b, R et tels que b 4 < Déomposition d une frtion rtionnelle en éléments simples Théorème 3. (Déomposition) Soit F = P Q irrédutible, lors si Q dmet l ftoristion : Q = ( ) p ( ) p...( p ) p r ( + b + ) q ( + b + ) q ( + b s + s ) q s = r s ( i ) pi ( + b j + j ) qj i= j= où les polynômes + b j + j n ont ps de rine réelle ( négtif, don b j 4 j < ) lors F dmet l déomposition unique en éléments simples suivnte : ou enore : F = S + α ( ) + α ( ) αp ( ) p + + α ( + α r) ( r) αp r ( r) p r F = S + + β+γ ( +b + ) + β+γ ( +b + ) β q +γ q ( +b + ) q βs+γs ( +b s+ s) + βs+γs ( +b s+ s) r p i i= k i = α ki s ( i ) k + i q j j= k j = β s+γ s ( +b s+ s) q s β kj + γ kj ( + b j + j ) k j où les α ki, β kj et γ kj sont des nombres réels et le polynôme S est l prtie entière de F. Eemples : 8

29 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel on peut trouver des oeffiients, b,, d et e en sorte que : ( ) 3 ( + ) = + + b ( ) + ( ) e + on peut trouver des oeffiients, b,, d, e, f et g tels que : ( + )( + )( + 3)( + + ) = + + b e f + g ( + + ) L diffiulté priniple est don à présent d identifier es oeffiients ; il eiste pour e fire plusieurs méthodes, dont ertines sont illustrées dns les eemples suivnts. Eemples de détermintion des oeffiients de l déomposition en éléments simples :. Étude d un eemple ve deu pôles simples : F = Q = ( )( + ) don ette frtion dmet deu pôles simples ( est-à-dire d ordre ) : et -. On en déduit que F peut s érire sous l forme : F = = ( )(+) = + Il s git de déterminer et b. Une méthode qui est toujours rélisble onsiste à réduire u même dénominteur le membre de droite de l déomposition et à identifier les oeffiients des numérteurs. Cette méthode n est ps très effie r elle demnde l résolution d un nombre d équtions orrespondnt u nombre de oeffiients à déterminer. On peut réduire grndement le trvil en éliminnt, pr une multiplition judiieuse, tous les oeffiients suf un. Ainsi dns notre eemple en multiplint pr ( ), on obtient ( ) (+)( ) = (+) b + = + ( ) b (+) En posnt lors =, il vient = /. Puis, en multiplint F pr ( + ) et en posnt =, il vient b = / puisque : L frtion F se déompose lors en ( + ) (+)( ) = ( ) = b + ( + ) F = = / ( ) / (+). Eemple ve qutre pôles simples : F = Pr ftoristion du polynôme birré et pr utilistion des identités remrqubles, on peut l érire qui se déompose en F = +3 ( )(+)( )(+) +3 ( )(+)( )(+) = + b Pour trouver le oeffiient, il suffit de multiplier les deu membres pr puis de rempler pr : +3 (+)( )(+) = + b( ) + + ( ) + d( ) + ( ) +3 d + (+)( )(+) = = 3 De même pour trouver b, il suffit de multiplier pr + et de rempler pr : +3 ( )( )( +) = b = 3 Pour, il suffit de multiplier pr et de rempler pr : +3 ( )(+)(+) = = 5 et pour d, on multiplie pr + et on remple pr : 9

30 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Don finlement : 3. Eistene d un fteur irrédutible du seond degré Pour déomposer +3 ( )( +)( ) = d = +3 ( )(+)( )(+) = /3 + / / + / + en éléments simples, observons d bord que : = ( )( + + 4). Le fit que ++4 ne soit ps ftorisble en utilisnt des oeffiients réels est visible r le disriminnt, 4.().(4) = 4, est négtif. Nous herhons don des slires, b, tels que : Les différentes étpes sont : En multiplint pr ( ) il vient : soit : En posnt = : soit : 7 = = ++ ( )( ++4) = ( )( ++) ( )( ++4) = ( ) + + ( ) b+ b = + ( ) b = + ( ) b En posnt = et en utilisnt que = 7, il vient : soit : = 4. 8 = En posnt = et en utilisnt que = 7 et = 4 : soit b = ( )( + +4) = 7 + L déomposition en éléments simples est don finlement : 4. Répétition d un fteur irrédutible du seond degré b = F = 5 (+)( +) ve le fteur irrédutible du seond degré + u dénominteur, l déomposition en frtions prtielles ser de l forme : F = + + b e ( +) L détermintion de se fit en multiplint pr + et en prennt =. On obtient =. On peut lors érire : 3

31 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel b e ( +) = F + = 5 (+)( +) + = = ( + ) En remplçnt, dns le numérteur, 3 + pr ( +) = ( + )( +) = ( +)( +)+, ette frtion devient : L déomposition finle est don Primitives des éléments simples ( + )( + ) 5 + ( + ) = ( +) 5 (+)( +) = ( +). L intérêt de l déomposition d une frtion rtionnelle en éléments simples est que eu-i dmettent des primitives simples. L prtie polynomile s intègre diretement. Pour les éléments simples de première espèe, on les résultts : α = α ln +C α ( ) k = α ( ) k = α k + ( ) k+ + C = α + C pour k : ( k)( ) k +b Pour les éléments de deuième espèe ( +p+q) on fit pprître u numérteur l dérivée de +p+q. n On obtient : + b ( + p + q) n = + p ( ( + p + q) n + b p L première prtie s intègre diretement : { + p ln( ( + p + q) n = + p + q) si n = ( n)( +p+q) si n > n ) ( + p + q) n Pour intégrer le terme de degré de l deuième prtie, on utilise l formule ; + p + q = rtn + p où désigne le disriminnt p 4q du trinôme. Pour les termes de degrés plus élevés, on ommene pr mettre le trinôme sous forme nonique : + p + q = et l on effetue le hngement de vrible : On se rmène insi à l intégrle : ( + p ) p + q 4 t = + p I n = (t + ) n On peut trouver une reltion de réurrene entre I n et I n et don obtenir I n en fontion de I = rtn t. Pour obtenir ette reltion de réurrene, effetuons une intégrtion pr prties : { u = v = (t + ) n 3

32 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel On don : { v = u = t n (t +) n+.t Don, I n = = = [ ] t t ( + t ) n + n ( + t ) n+ [ ] t t + ( + t ) n + n ( + t ) n+ [ ] t ( + t ) n + n (I n I n+ ) On don obtenu : est-à-dire enore : Eemples : I n = ni n+ = t ( + t ) n + (n )I n t n 3 (n )(t + + ) n n I n (4) I = (t +) On obtient diretement : I 3 = (t +) 3 On obtient diretement : I 3 = = I = t ( + t ) + I t = ( + t ) + rtn t + C t.( + t ) I = t 4( + t ) + 3 ( 4 t 4( + t ) + 3t 8( + t ) rtn t + C t ( + t ) + rtn t + C Eerie 4 Déterminer les primitives des epressions proposées en indiqunt l ensemble de vlidité : 5 + ( ) ( +) ( ++) 4 + ) Eerie 4 Cluler les primitives suivntes : ( )( +5) ( +) ( ) (+) ( 3 + 6) (Remrquez que 3/ nnule le dénominteur) Eerie 43 Déomposer les frtions rtionnelles suivntes ; en luler les primitives. 3

33 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel (+ ) ( ) (t + t ). 3t + (t t + ). 3t + t t +. Eerie 44 Cluler les intégrles suivntes : t ( + ). + ( ). ( )( 3 + 3) +. ( + 3) 3 ( + ) ( + ) ( ) 3 (. + ) rtn ( + ) Eerie 45 Cluler les intégrles de frtions rtionnelles suivntes / / ( 4) Eerie 46 Cluler les primitives suivntes : 4 + ( ) 3 ; ( 4 + ) ; ( + ) pour R. + 4 Y -t-il une limite qund +? ; ( )( ). Eerie 47 Déterminer les intervlles d étude et luler les primitives des fontions : ( + )( + + 5) ( + ) ( ) ( + 4) ( + 3 ) 3. 33

34 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Eerie 48 Effetuez les luls de primitives i-dessous ( 3 3 ln 6 ln( + + ) 3 Artn ( ( 3 ) 9 ln + 9 ln( + + ) + [ ] 3 Artn 3 3 (+ 3 ) + 6 ln + (+) 3 Artn [ ] 3 ++ ( ) 3 4( ) [ 4(+) ln + ] + + [ ln ] Artn ( 4 +) 4 + 4( 4 +) ln ( ) + 4 ln + ( ) n ( b) 9 k= (b ) ln n ) ) 3( 3 ) [ Artn( + ) Artn( ) ] [ Artn( + ) Artn( ) ] ln( + + ) Artn( + ) [ os kα ln( os kα + ) sin kα Artn ( ) ] os kα sin kα + ln +, α = π b + n k= k(b ) n k ( ) k Eerie 49 Étblissez es quelques primitives de frtions rtionnelles. t + 3 = ln ( )( + 5) + C. (t )(t + 5) t (t )(t + )(t + 3) = 8 ln + 4 ln + 3 ln C. 8 t 4 t = 3 rtn + ln ln + + C. (t ) = 4 ln + + C. t + (t + ) = + + rtn + C. t(t = ln + ) C. (t + )(t + t + 5) = 5 ln + ln( + + 5) + rtn( + ) + C. 6 t (t + ) 3 = ( + ) 5 rtn( ) + C. 8 Eerie 5 Cluler les primitives de frtions rtionnelles suivntes. t(t ) ; t t + 4 ; t + 4 ; t (t ) ; (t ) ; t ; t 3 t + 4 ; 3t + t + 4 ; t + 3 (t )(t + 5) ; t(t ) ; t + (t + ) ; (t + )(t + t + 5) ; t(t ) ; t 5 t + 3 ; 3t + (t + 4)(t ) ; t (t ) ; t(t + ) ; t (t )(t + )(t + 3) ; 6 t (t + ) 3 ; t 4 t ; t 4 + t(t ) 3. 34

35 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 4 Applitions du lul intégrl : longueurs, ires et volumes 4. Cluls d ires remrqubles { = os t Eerie 5 Construire l ourbe prmétrée C y = Cluler l ire S limitée pr C de deu fçons : En se rmennt u lul de π (+λ os t). En reonnissnt l nture géométrique de C. +λ sin os t t +λ os t où λ est un prmètre pprtennt à [, [. Eerie 5 Cluler R R R (on poser θ = rsin R Eerie 53 Cluler l ire intérieure d une ellipse d éqution : + y b =. ) et en déduire l ire d un disque de ryon R. Inditions. On pourr luler seulement l prtie de l ellipse orrespondnt à, y. Puis eprimer y en fontion de. Enfin luler une intégrle. Eerie 54 Soit l ellipse E 4 + 9y 36 =. Cluler l ire de l surfe de ette ellipse omprise entre les droites vertiles ontennt ses foyers. Cluler l ire de l ellipse E b + y b = omprise entre les droites d éqution = et =. Cluler l ire du erle C + y = r omprise entre les droites d éqution = r et = r. Soit f() =.e. Cluler l ire omprise entre ette ourbe, l e des et les droites vertiles omprennt respetivement le minimum et le point d infleion de ette fontion. Soit f() =.e. Cluler l ire omprise entre ette ourbe, l e des et l droite vertile omprennt le mimum de ette fontion. Soit E foyers. 5 + y 9 =. Cluler l ire omprise entre ette ellipse et les droites vertiles omprennt les 4. Aire entre deu ourbes Soient f et g deu fontions ontinues dns l intervlle [, b] telles que f() g(), pour b. Clulons l ire A du domine délimité pr es deu ourbes. Si g est positive (g ) dns l intervlle [, b], lors : A = ire sous f - ire sous g 35

36 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel don A = b f() b g() = b [f() g()] (43) Cette formule est ussi vlble qund les fontions ne sont ps prtout positives. En effet, si g prend des vleurs négtives dns l intervlle [, b], on trnslte les deu ourbes vertilement vers le hut de sorte que l fontion g soit prtout positive ou nulle. Il s git don de trouver le minimum m de g sur [, b], puis de soustrire m (r m < ) à f() et à g(). Puisque les deu ourbes sont trnsltées de l même fçon, il est lir que l ire entre les deu ourbes ne v ps hnger. On lors : Eerie 55 A = b [(f() m) (g() m)] = b [f() g()] (44) On donne les fontions f et g. Clulez l ire du domine borné délimité pr les deu fontions. f() = et g() = 8 f() = 3 + et g() = + 6 f() = et g() = f() = 4 3 et g() = Clulez l ire du domine ompris entre les ourbes des fontions f et g et les droites vertiles = et = b. f() = +, g() =, =, b = f() = 3, g() =, =, b = Clulez l ire du domine ompris entre les ourbes y =, y =, et les droites horizontles y = et y =. Eerie 56 Cluler l ire de l région délimitée pr les ourbes d éqution y = et y = +. Eerie 57 Représenter et luler l ire omprise entre les grphes de f et g : f() = 3 ( 4 5) et g() = f() = 3 3 et g() = f() = et g() = f() = + et g() = 4 f() = + 4 et g() = 3 f() = + et g() = et entre les droites = et = 4.3 Volume d un solide de révolution 4.3. Méthode des disques Soit f une fontion ontinue et non négtive sur l intervlle [, b]. Trouvons le volume V du solide généré pr l révolution utour de l e O de l portion de ourbe y = f() omprise entre = et = b. 36

37 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Volume de révolution obtenu en fisnt tourner l ourbe de guhe utour de l e O L idée est l même que lorsque l on herhit l ire sous une ourbe. On v déouper l intervlle [, b] en n sous-intervlles de même lrgeur [, ], [, ],, [ n, n ], ve = et n = b. L lrgeur de hque sous-intervlle est égle à l lrgeur de l intervlle [, b] divisée pr le nombre de sous-intervlles, est-à-dire : = b n. Pour hque i =,,, n,on dessine un retngle ynt omme bse le segment i i+ et omme huteur f( i ). Lorsqu ils tourneront utour de l e O, hun de es retngles v définir un ylindre très fin (presque un disque) de volume π [f( i )]. Le volume du orps de révolution ser l somme de tous es ylindres : n V = lim π [f( i )] (45) qui n est rien d utre que l intégrle définie : n + i= V = π b [f()] (46) Eerie 58 Volume de révolution pprohé pr une série de ylindres Clulez le volume des solides générés pr l révolution utour de l e O des ourbes suivntes et donnez le nom (qund ils en ont un) de es solides : y = 4 3 y = 3 y = + 3 y = R R R 37

38 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel y = 3 y = Donnez l formule permettnt de trouver le volume engendré pr une révolution utour de l e Oy, puis lulez le volume du solide généré pr l révolution utour de l e Oy de l ourbe : y = 3, y l. Trouvez le volume du orps engendré pr l révolution utour de l e Oy de l ourbe = l + y,y 3. Eerie 59 Montrez que le volume d un ône de ryon r e de huteur h vut πr h 3. Montrez que le volume d un tron de ône de huteur h et dont les ryons respetifs de l petite et l grnde bse sont r et R vut πh 3.(R + rr + r ). Montrez que le volume de l sphère de ryon R vut 4 3 πr3. Montrez que le volume de l ellipsoïde de révolution, engendré pr l rottion de l ellipse E utour de l e des vut 4 3 πb. + y b = Montrez que le volume engendré pr l rottion utour de l e des de l r de l prbole d éqution y = p limité pr l origine et l droite d éqution = vut πp = πb si b = p e qui montre que le volume du prboloïde de révolution vut l moitié du volume du ylindre de même bse et de même huteur. Montrez que le volume du tore engendré pr l rottion utour de l e des d un erle de ryon r et de entre (, R)vut π Rr. Eerie 6 Cluler le volume d un ône de révolution engendré pr l rottion utour de l e de l droite d éqution y =. Le ône est limité pr l origine et pour huteur h. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l e des du qudriltère ABCD si A = (, ), B = (, ), C = (3, ) et D = (3, ). Cluler en fontion de et b le volume de l ellipsoïde de révolution ompris entre les plns perpendiulires à l e fol omprennt les points (, ) et (, ) de l ellipse génértrie d éqution b + y b =. Cluler le volume du segment sphérique d une sphère + y + z = r, ompris entre les plns perpendiulires à O u points d bsisse et r. Cluler en fontion de et b le volume de l hyperboloïde de révolution ompris entre les plns perpendiulires à l e fol, omprennt les points (, ) et (, ) de l hyperbole génértrie d éqution b y b =. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l e O de l surfe limitée pr le grphe de f() = et les droites d éqution = et = ( > ). Cluler le volume engendré pr le erle + y 6y + 5 = dns s rottion utour de l e O. Cluler le volume engendré dns s rottion utour de l e O pr l surfe omprise entre les grphes de f() = + 4 et g() = 4 ( + 7). Considérons l surfe limitée pr l prbole P y = 4 et l droite y =. Cluler le volume engendré pr l rottion de ette surfe utour de l droite y =. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l e des y de l surfe limitée pr l ourbe y = et l droite y =. Cluler l ire de l prtie du pln omprise entre l prbole P y = 8 et l droite D =. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l droite D de ette surfe. 38

39 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Cluler le volume engendré pr l rottion de l surfe limitée pr y = 3 et y = 8 et l e des ordonnées : utour de l e des utour de l droite D = Cluler le volume engendré pr l rottion de l surfe limitée pr les ourbes = 9 y et y = y : utour de l e des ordonnées utour de l droite D = Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l e des de l surfe omprise entre l prbole y = 3 + et l droite y = Méthode des tubes Nous introduisons le prinipe de l méthode à prtir d un eemple. Soit à luler le volume engendré pr l rottion utour de l e des y de l surfe limitée pr l prbole y = et l droite y = 3. On peut onsidérer e volume omme l somme d une infinité de tubes de ryon r, d épisseur et de huteur 3 y. En pproimnt le volume de e tube pr elui d un prllélépipède retngle de longueur π, de huteur 3 y = 3 + = 4 et d épisseur, nous vons don : Eerie 6 V = π(4 ) = π(4 3 ) = π ] [ [ 4 = π 8 6 ] = 8π 4 4 Soit l surfe limitée pr l prbole y = 8 et pr l droite =. Cluler le volume engendré pr l rottion de ette surfe utour de l e des ordonnées. Soit l surfe limitée pr l prbole y = 8 et pr l droite =. Cluler le volume engendré pr l rottion de ette surfe utour de l droite =. Cluler le volume du tore engendré pr l rottion du erle + y = 4 utour de l droite = 3. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l e des y de l surfe limitée pr l prbole y = et les droites y =, = et = 5. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l droite d éqution = 6 de l surfe limitée pr l prbole y = et les droites y =, = et = 5. Cluler le volume engendré pr l rottion utour de l droite y = 8 de l surfe limitée pr l ourbe y = 3, l e des et l droite =. 39

40 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel 4.4 Longueur d une ourbe plne Définition prélble Une fontion est lisse sur un intervlle si s dérivée est ontinue sur et intervlle. Soit f une fontion lisse dns l intervlle [, b]. Trouvons l longueur L de l ourbe y = f() de à b. L idée onsiste à déouper l intervlle [, b] en n sous-intervlles [, ], [, ], [ n, n ] de lrgeur. On pose évidemment = et n = b. On relie ensuite pr une ligne polygonle les points P, P,, P n. On obtiendr une bonne pproimtion de l longueur de l ourbe en dditionnnt les longueurs L k des n différents segments, pour k =,, n. Regrdons un segment. Le théorème de Pythgore nous donne filement s longueur s : que l on peut ussi érire : s = s = ( ) + ( y) ( ) ( ) + ( y) ( ). = + ( y) ( ). Si l on regrde de segment [ k, k ], on peut érire : ( ) f(k ) f( k ) L k = +.( k k ) k k D près le théorème des roissements finis, Pr onséquent, Don, l longueur de l ligne polygonle est f( k ) f( k ) k k = f (ξ k ) où k < ξ k < k L k = + [f (ξ k )]. L = n + [f (ξ k )]. k= Si nous ugmentons mintennt le nombre de sous-intervlles de sorte que, lors l longueur de l ourbe polygonle v pproher l longueur de l ourbe y = f(). Pr définition, e n est rien d utre que l intégrle définie suivnte : b L = + [f ()] (47) Eerie 6 Clulez l longueur de l ourbe y = entre les points (, ) et (, 4) en utilisnt l formule i-dessus, puis vérifiez votre réponse à l ide du théorème de Pythgore. 4

41 Mthémtiques ppliquées 7-8 Cl. Gbriel Clulez l longueur de l ourbe y = 3 de = à =. Clulez l longueur de l ourbe y = 3 de = à = 8. Pourquoi ne peut-on ps utiliser telle quelle l formule pour luler l longueur de ette ourbe entre - et 8? Donnez un moyen de s en sortir. Clulez l longueur de l ourbe y = de = à =. Eerie 63 Cluler l longueur du erle de ryon R (pr symétrie, on peut se limiter à l longueur du qurt de erle). Cluler l longueur de l r de l ourbe y = 3 entre les points = et = 5. ( Cluler l longueur de l r de hînette y = ) e + e de = à =. Cluler l longueur de l r de l ourbe y 3 = 8 de = à = 8. Cluler l longueur de l r de l ourbe 6y = de = à =. Cluler l longueur de l r de prbole y = limité pr l droite = 3. Eerie 64 Cluler l longueur des rs de ourbe suivnts.. y = ln( ) pour. y = 3/ pour 5 3. y = ln() pour. 4.5 Aire d une surfe de révolution Soit f une fontion lisse et non négtive sur l intervlle [, b]. Trouvons l ire de l surfe générée pr l révolution utour de l e O de l portion de ourbe y = f() omprise entre = et = b. L idée est un peu l même que pour luler l longueur d une ourbe : on v pproher l ourbe pr une ligne polygonle. En fisnt tourner ette ligne polygonle utour de l e O, l surfe obtenue ser omposée de trons de ônes irulires droits mis bout à bout. Si r est le ryon du grnd erle de bse, r le ryon du petit et g l longueur d une génértrie du tron de ône, son ire ltérle vut : A one = π(r + r ).g Reprenons notre surfe de révolution dont on veut onnître l ire. Coupons-l en trnhes de lrgeur, omme le ferit un bouher ve un jmbon. Ces trnhes sont à peu près des ônes tronqués. L ire ltérle du tron de ône numéro k est : A k = π.f(m k ).L k 4

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque

Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE

INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE INSTRUCTIONS POUR L INSTALLATION ET LE FONCTIONNEMENT DES SERRURES À POIGNÉE BÉQUILLE POUR LES SERRURES D ENTRÉE À CLÉ EXTÉRIEURES VERROUILLABLES, À POIGNÉE DE BRINKS HOME SECURITY. POUR LES PORTES DE

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Image d un intervalle par une fonction continue

Image d un intervalle par une fonction continue DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Continuité et dérivabilité d une fonction

Continuité et dérivabilité d une fonction DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****

Plus en détail

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états.

L'algèbre de BOOLE ou algèbre logique est l'algèbre définie pour des variables ne pouvant prendre que deux états. ciences Industrielles ystèmes comintoires Ppnicol Roert Lycée Jcques Amyot I - YTEME COMBINATOIRE A. Algère de Boole. Vriles logiques: Un signl réel est une grndeur physique en générl continue, on ssocie

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé

CCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P

Plus en détail

O, i, ) ln x. (ln x)2

O, i, ) ln x. (ln x)2 EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE

FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE FONDATION CLEMENTINE ET MAURICE ANTILLE Règlement d ttriution de ourses et de prêts d études et de formtion du déemre 006 Artile premier Ojet et hmp d pplition Le présent règlement est étli en pplition

Plus en détail

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET

TOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme

Chapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

La plateforme Next Generation Mini guide

La plateforme Next Generation Mini guide L plteforme Next Genertion Mini guie Ce guie onis été réé pour vous permettre e vous fmiliriser rpiement ve les nomreuses fontionnlités et outils isponiles sur l plteforme Next Genertion. Apprenez où trouver

Plus en détail

Partie 4 : La monnaie et l'inflation

Partie 4 : La monnaie et l'inflation Prtie 4 : L monnie et l'infltion Enseignnt A. Direr Licence 2, 1er semestre 2008-9 Université Pierre Mendès Frnce Cours de mcroéconomie suite 4.1 Introduction Nous vons vu dns l prtie introductive que

Plus en détail

Chapitre IV- Induction électromagnétique

Chapitre IV- Induction électromagnétique 37 Chapitre IV- Indution életromagnétique IV.- Les lois de l indution IV..- L approhe de Faraday Jusqu à maintenant, nous nous sommes intéressés essentiellement à la réation d un hamp magnétique à partir

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Dérivation : cours. Dérivation dans R

Dérivation : cours. Dérivation dans R TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition

Plus en détail

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )

DÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation ) DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a.

I. RACINE CARREE D UN NOMBRE POSITIF : La racine carrée d un nombre positif a est le nombre positif noté a dont le carré est a. OURS 3 EME RINES RREES PGE 1/1 ONTENUS OMPETENES EXIGILES OMMENTIRES alculs élémentaires sur les radicaux Racine carrée d un nombre positif Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif

Plus en détail

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t

n N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t 3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

Équations différentielles et systèmes dynamiques. M. Jean-Christophe Yoccoz, membre de l'institut (Académie des Sciences), professeur

Équations différentielles et systèmes dynamiques. M. Jean-Christophe Yoccoz, membre de l'institut (Académie des Sciences), professeur Équations différentielles et systèmes dynamiques M. Jean-Christophe Yooz, membre de l'institut (Aadémie des Sienes), professeur La leçon inaugurale de la haire a eu lieu le 28 avril 1997. Le ours a ensuite

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

RadioCommunications CDMA

RadioCommunications CDMA Conservtoire tionl es Arts et Métiers Cours u Conservtoire tionl es Arts et Métiers RioCommunitions CDMA (Version 7) Mihel Terré terre@nmfr Eletronique C4 / Conservtoire tionl es Arts et Métiers Les performnes

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

638604 CTC Generic 815446 LITHO FLEXO. PANTONE 000 05a mm/dd/yy xxxxxx. PANTONE 000 06a mm/dd/yy xxxxxx PANTONE 000. 07a mm/dd/yy xxxxxx.

638604 CTC Generic 815446 LITHO FLEXO. PANTONE 000 05a mm/dd/yy xxxxxx. PANTONE 000 06a mm/dd/yy xxxxxx PANTONE 000. 07a mm/dd/yy xxxxxx. Trez un erle de po (5, mm) de dimètre u entre du ord de l porte. " /" 9/6" /8" 5 5 0 5 POUR DISTANCE D ENTRÉE de /8 po (60 mm) Pliez e grit sur l ligne pointillée et plez elle-i sur l ngle de l porte POUR

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

COMPARAISON MULTIPLICATIVE DE GRANDEURS. schéma CE2 CM1 CM2

COMPARAISON MULTIPLICATIVE DE GRANDEURS. schéma CE2 CM1 CM2 référé ou orne supérieure référent ou orne inférieure COMPARAISON MULTIPLICATIVE DE GRANDEURS shém CE2 CM1 CM2 x : x : Il y 5 fois plus e hises à l ntine que ns l lsse. Il y en 25 ns l lsse. Comien y -t-il

Plus en détail

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV

/HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV /HVV\VWqPHVFRPELQDWRLUHV I. Définition On ppelle système combintoire tout système numérique dont les sorties sont exclusivement définies à prtir des vribles d entrée (Figure ). = f(x, x 2,,, x n ) x x

Plus en détail

Magister en : Génie Mécanique

Magister en : Génie Mécanique الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)

EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat

Plus en détail

Intégrales doubles et triples - M

Intégrales doubles et triples - M Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I )

- Phénoméne aérospatial non identifié ( 0.V.N.I ) ENQUETE PRELIMINAIRE ANALYSE ET REFEREWCES : Phénoméne érosptil non identifié ( 0VNI ) B8E 25400 DEF/GEND/OE/DOlRENS du 28/9/1992 Nous soussigné : M D L chef J S, OPJ djoint u commndnt de l brigde en résidence

Plus en détail

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48

Méthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48 Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

3. Conditionnement P (B)

3. Conditionnement P (B) Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Fonctions holomorphes

Fonctions holomorphes Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre

Plus en détail

Projet INF242. Stéphane Devismes & Benjamin Wack. Pour ce projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants.

Projet INF242. Stéphane Devismes & Benjamin Wack. Pour ce projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants. Projet INF242 Stéphane Devismes & Benjamin Wak Pour e projet les étudiants doivent former des groupes de 3 ou 4 étudiants. 1 Planning Distribution du projet au premier ours. À la fin de la deuxième semaine

Plus en détail

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours

MESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................

Plus en détail

Fonctions homographiques

Fonctions homographiques Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

Commun à tous les candidats

Commun à tous les candidats EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle

Plus en détail

essais dossier Oser s équi Prothèses auditives

essais dossier Oser s équi Prothèses auditives essis dossier u LES AUDIOPROTHÉSISTES AU BANC D ESSAI p. 46 u UN APPAREIL ADAPTÉ À VOS BESOINS p. 50 u FAIRE BAISSER LA FACTURE? PAS SI SIMPLE p. 52 Prothèses uditives Oser s équi AUDIOPROTHÉSISTES Fe

Plus en détail

GABARIT À PÊNE DORMANT ÉLECTRONIQUE

GABARIT À PÊNE DORMANT ÉLECTRONIQUE Trez un erle de 1 po (25,4 mm) de dimètre u entre du ord de l porte. 2" 1 3/4" 1 9/16" 1 3/8" 51 45 40 35 POUR DISTANCE D'ENTRÉE de 2 3/8 po (60 mm) Pliez e grit sur l ligne pointillée et plez elle-i sur

Plus en détail

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI!

Pour développer votre entreprise LES LOGICIELS EN LIGNE, VOUS ALLEZ DIRE OUI! Pour développer votre entreprise Gestion Commercile Gérez le cycle complet des chts (demnde de prix, fcture fournisseur), des stocks (entrée, sortie mouvement, suivi) et des ventes (devis, fcture, règlement,

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Comment évaluer la qualité d un résultat? Plan

Comment évaluer la qualité d un résultat? Plan Comment évaluer la qualité d un résultat? En sienes expérimentales, il n existe pas de mesures parfaites. Celles-i ne peuvent être qu entahées d erreurs plus ou moins importantes selon le protoole hoisi,

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables

Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Résolution d équations non linéaires

Résolution d équations non linéaires Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique

Plus en détail

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure

Thèse Présentée Pour obtenir le diplôme de doctorat en sciences En génie civil Option : structure République Algérienne Démocrtique et Populire Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université Mentouri de Constntine Fculté des sciences et sciences de l ingénieur Déprtement

Plus en détail

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2

Guide d'utilisation Easy Interactive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver. 2 Guide d'utilistion Esy Interctive Tools Ver.2 Présenttion de Esy Interctive Tools 3 Crctéristiques Fonction de dessin Vous pouvez utiliser Esy Interctive

Plus en détail