Chapitre 9. Calcul intégral. 9.1 Intégrale d une fonction continue Définition, exemples et propriétés

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1 Chpitre 9 Clcul intégrl L notion de clcul intégrle est une notion ssez importnte dns bons nombres de domines de l science. Ce cours pour but d introduire ldite notion. On utilise le clcul intégrl :. pour clculer les distnces,. clculer les ires et les volumes 3. résoudre les équtions différentielles A l fin de ce cours, l élève doit être cpble de :. Clculer l intégrle d une fonction dont il connit l primitive ;. Fire l différence entre une intégrle et une primitive ; 3. Connître les techniques d intégrtion (intégrtion pr prtie, chngement de vrible ffine) 4. Déterminer l ire d un domine compris entre deux courbes dont il connît les équtions, le volume de quelques solides usuels (on justifier ici les formules utilisées depuis le cycle primire), déterminer l distnce prcourue pr un mobil connissnt s vitesse (le cours n est ps un cours de cinémtique). 5. utiliser les propriétés d une intégrle pour l étude d une fonction. Le cours se divise en trois grndes prties : l définition de l intégrle d une fonction continue, les propriétés d une intégrle et les ppliction du clcul intégrl. Nous fisons un effort d introduire chque nouvelle notion pr une ctivité. 9. Intégrle d une fonction continue 9.. Définition, exemples et propriétés Activité 9.. On considère l fonction définie de R vers R pr f(x) =x +5.. Vérifier que F (x) = 3 x3 +5x est une primitive de f.. Déterminer deux utres primitives G et H de f. 3. Soit et b deux réels tels que <b. Clculer les nombres F (b) F (), G(b) G(), H(b) H(). Conclure. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

2 Collection EsyMths 777 Définition 9.. Soit f une fonction numérique continue sur un intervlle I de R. Soit F une primitive de f. Soit et b deux éléments de I. On ppelle intégrle de à b de f le nombre F (b) F () et on note F (b) F () = f(x)dx =[F (x)] b. Exemple 9.. Une primitive de f(x) =3x +sinx est F (x) =x 3 cos x. Onendéduit (3x +sinx)dx = [ x 3 cos x ] π =((π)3 cos(π)) ( 3 cos ) = π 3 +. Remrque 9.. L vrible x dns f(x)dx est muette et pourrit bien être remplcée pr n importe quoi. De fçon précise, on f(x)dx = f(t)dt = f(µ)dµ = f(θ)dθ =... Proposition 9.. f est une fonction continue sur R,, b et c sont trois réels, on :. f(x)dx =.. f(x)dx = f(x)dx. b 3. f(x)dx + c f(x)dx = c f(x)dx. (reltion de Chsles). b Démonstrtion. Evidente. Exemple 9.. Clculer 3 t dt. On t = { t si t t si t donc : 3 t dt = = = 5. ( t)td + [ t t ] + 3 (t )dt [ t t ] 9.. Interprettion géométrique Le pln P étnt rpporté à un repère crtésien (O, ı, j), on se donne I, J, K des points tels que OI = ı, OJ = j et OK = ı + j). Définition 9. (Unité d ire). On ppelle unité d ire u. l ire du prllélegrmme OIJK. En générl, le repère est orthogonl, uquel cs, u. est l ire du rectngle OIJK. Activité 9.. Soit f(x) =x.. Trcer l courbe représenttive de f.. Déterminer une primitive F de f. 3. Clculer F (4) F () 4. Déterminer l ire de l portion de pln comprise entre l courbe de f, les droites d éqution x =, x =4et y =. Conclure. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

3 Collection EsyMths 777 Définition 9.3. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] de R et (C) s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthogonl (O, I, J). Soit H le domine limité pr (C), l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b. Alors : Aire(H) = f(t)dt u.. Remrque 9.. Si le repère est orthonormé, lors u. =et Aire(H) = f(t)dt. Ce ser le plus souvnt le cs. Exemple 9.3. Soit f : [; π] R, x sin t. Unités grphiques : OI =cm, OJ =3cm. Clculer l ire du domine limité pr (C), l xe des bscisses et les droites d équtions x =et x = π. Aire = sin tdt u. = [ cos t] π 6cm = cm. Remrque 9.3. Si f est une fonction positive et continue sur [, b], le domine H est l ensemble des points M dont les coordonnées (x, y) vérifient x b, y f(x). Etsif est continue et négtive sur [, b], lors H est l ensemble des points M dont les coordonnées (x, y) vérifient x b, f(x) y. (Introduire une figure représenttive des deux cs de figure lors de l exposé.) 9..3 Propriétés de l intégrle Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I, et b deux réels pprtennt à I, α un nombre réel quelconque. Proposition 9... (αf)(x)dx = α f(x)dx (linérité).. (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx (linérité). 3. Si de plus f est positive sur [, b], lors f(x)dx. 4. On suppose que x [, b], f(x) g(x), lors f(x)dx g(x)dx. 5. On toujours b f(x)dx f(x) dx. Démonstrtion. L première proposition est immédite, l seconde ussi. L troisième découle du fit que si f est positive, toute primitive de f est croissnte. L qutrième découle de l troisième. L dernière découle du fit que f f f. Proposition 9.3. Soit I un intervlle de R, i tel que I. Soit f une fonction continue sur I.. Si f est pire sur [, ], lors f(x)dx = f(x)dx.. Si f est impire sur [, ], lors f(x)dx =. Proposition 9.4 (Inéglité de l moyenne). Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b], m et M deux réels tels que m f(x) M pour tout x [, b], lors, si b, m b f(x)dx M. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

4 Collection EsyMths 777 Démonstrtion. m f M mdx m[x] b m(b ) m b f(x)dx mdx mdx Mdx f(x)dx M[x] b f(x)dx M(b ) f(x)dx M(cr b) Définition 9.4 (vleur moyenne). Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Si b, on ppelle vleur moyenne de f sur [, b] le réel µ défini pr µ = b f(x)dx. Donner une interprettion grphique de cette vleur moyenne : c est l huteur du rectngle ABCD tel que AB = b, µ = AD et µ(b ) = f(x)dx.. (fire une figure plus trd). 9. Techniques de ccul intégrl 9.. Utilistion des règles de dérivtion L on désire clculer l intégrle I = ( cos x + A)dx. En remrqunt que cos x = déduit : ( cos x + A)dx = = ( + cos x)dx dx + = [x] π + = π. [ sin x cos xdx ] π +cos x,on Proposition 9.5 (Linérité). Soit f et gdeux fonctions continues sur un intervlle I de R, lors : (αf + βg)(x)dx = α[f (x)] b + β[g(x)] b où F est une primitive de f et G une primitive de G. Activité Clculer l dérivée de l fonction h(x) =g(x)f(x) vec f(x) =x et g(x) =sinx.. En déduire l intégrle (cos x x sin x)dx. π Proposition 9.6. (f g + fg )(x)dx =[(fg)(x)] b. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

5 Collection EsyMths 777 Exercice 9.. Clculer les intégrles I = 5 ex + xe x )dx (= [xe x ] 5 )etj = 4 3 =([cos x ln x] 4 3). Activité Clculer l dérivée de u(x) = ln(x +3).. En déduire I = 3 dx. x+3 Proposition 9.7. Si tout est bien défini, on : ( cos x x sin x ln x ) dx u (x) u(x) dx =[ln u(x) ]b, u (x)e u(x) dx = [ e u(x)] b. 9.. Intégrtion pr prties Soit I =[, b] un intervlle de R. Soitf et g deux fonctions continues et dérivbles sur I. On (fg) = f g + fg. Ce qui implique que f g =(fg) fg. On en déduit l proposition : Proposition 9.8. Sous les même hypothèses que précédemment, on : (f g)(x)dx =[f(x)g(x)] b (fg )(x)dx. Exemple 9.4. Clculer l intégrle I = / x sin xdx. Poser g(x) =x et f (x) =sinx, lors g (x) =et f(x) = cos x. On lors : / x sin xdx = [ x cos x] π/ = [ x cos x] π/ + / / = [ x cos x] π/ +[sinx] π/ = Exercice 9.. Clculer les intégrles 4 xex dx, 3 x ln xdx. Exercice Clculer /4 t dt. cos t cos xdx cos xdx. On pose I n (x) = x tn sin tdt, n N. A l ide d une intégrtion pr prties, trouver une reltion entre I n (x) et I n (x) pour n. Clculer I (x) et I (x). Trouver une primitive de t t 3 sin t Chngement de vrible dns une intégrle Théorème 9.. Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et b deux réels tels que. Soit α et β deux réels tels que α + b et β + b soient dns I, lors : β α f(x + b)dx = β+b α+b f(t)dt. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

6 Collection EsyMths 777 Démonstrtion. Soit F une primitive de f sur I. On d une prt : D utre prt, β α f(x + b)dx = β+b α+b f(t)dt = β α f(x + b)dx = [F (x + b)]β α = [F (β + b) F (α + b).] [F (t)]β+b α+b = [F (β + b) F (α + b).] Plus générlement, on le théorème suivnt : Théorème 9.. Soit ϕ une fonction dérivble sur un intervlle I de dérivée continue sur I et f une fonction continue sur ϕ(i). Soit et b deux réels dns I, lors on : f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(t)dt. Démonstrtion. Pourr être fite pendnt le cours (tout dépendr du niveu de compréhension des élève), il est à rppeler que ce résultt générl n est ps u progrmme de Terminle. Exemple Clculer / cos(t + π 3 )dt. Dns ce cs f(t) =cost, =, b = π/3, α =et β = π/. On lors : /. Clculer I = /6 ( + sin 3 t)costdt. On f(t) =+t 3, ϕ(t) =sint, cos(t + π 3 )dt = I = ϕ(π/6) ϕ() 4π/3 π/3 ( + t 3 )dt = cos tdt = [sin t]4π/3 π/3. / ( + t 3 )dt. Exercice 9.4. Clculer I = ( x)3 dx, J = 4 dt t 3, K = x t +t dt. Solution I = f( x)dx vec f(x) =x3, d où I = J = 4 f(t 3)dt vec f(t) = t, d où J = 5 x 3 dx =. dt = 5. t K = x ϕ (x)f(ϕ(x))dx vec f(x) = x et ϕ(x) =+x, d où K = +x ( tdt = 3 ( + x ) 3/ ) Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

7 Collection EsyMths Clcul pprochée d une intégrle Nous vons ppris jusqu ici à clculer les intégrles des fonctions dont on pouvit déterminer des primitives. Supposons un instnt qu on veuille clculer ex dx, on est très rpidemment coincé pr notre méthode, on ne connit ps de primitive de l fonction x e x. On procède lors pr une pproximtion. Nous explicitons ici le seul cs de l méthode des rectngles. Il existe d utres techniques : l méthode des trpèzes, l méthode du point médin, l méthode de Newton côte,... Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Dns l méthode des rectngles, on prtge l intervlle [, b] en n intervlles de mêmes mplitudes. L mplitude d un intervlle est lors b et n les extrêmités = x,x,...,x n = b. Pour tout entier nturel i, ( i n ), on prend pour vleur pprochée de x i+ b x i f(t)dt le nombre réel f(x n i). Onposeu n = b n f(x n i ) ; u n est une i= vleur pprochée de f(t)dt. Sionposev n = b n f(x n i+ ), on vérifie que u n f(t)dt v n et i= lim (v b n u n ) = lim (f(b) f()) =. n + n + n Dns ce genre de méthode, on se pose toujours l question de svoir quelle erreur on commet pour un n choisi? L méthode converge t-elle? De fçon précise, à t-on lim v n = lim u n = f(t)dt. n + n + Supposons que f est dérivble sur ], b[ et que f est continue et bornée sur [, b], c est-à-dire qu il existe m, M tels que t [, b], m f (t) M, on vérifie sns peine que lors : f(t)dt =(b )f(b) (t )f (t)dt, t [, b], m f (t) M m(t ) (t )f (t) M(t ) On pose A = mx{ m, M }, lors : m (t )dt [ (t ) m (b ) m (t )f (t)dt ] b (t )f (t)dt M (t )dt [ (t ) (t )f (t)dt M (t )f (t)dt M ) = A(b. (b ) Lorsqu on utilise l méthode des rectngles pour une fonction continue de dérivée f continue sur [, b], chque intervlle est de longueur b. L erreur comise sur chque intervlle est ( K b ) n n où K est le mximum de f (t) sur [x i,x i+ ], et comme il y n intervlles, on obtient l mjortion de l erreur I u n K (b ). n On obtient une mjortion nlogue pour I v n. Il en découle que lim v n = lim u n = n + n + f(t)dt. ] b Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

8 Collection EsyMths 777 ( Exemple Montrer que l suite w n = n sin π n +sin4π + ) n +sinnπ n converge et déterminer s limite. Indiction : Considerer l fonction f : t sin πt pour t = ; ;...; n. n n n. Utiliser l méthode des rectngles pour clculer une vleur pprochée de l intégrle I = près. dt à +t Pour le cs. l fonction f(t) = dt est décroissnte sur [, ] de sorte que l on v +t n u n f() f() =. Pour obtenir un encdrement d mplitude n n, il suffit de choisir n tel que < n donc prendre n 5. On vérifie lors que u 5 I v 5 et u 5 =, , v 5 =, Appliction du clcul intégrl L espce est muni du repère orthonormé (OIJK). L unité de volume est le volume du cube de dimensions OI, OJ, OK Clcul de volumes Proposition 9.9. Soit (Σ) un solide limité pr les plns d éqution z = et z = b. Soit S : z Aire de l section du solide (Σ) pr le pln de côte z. SiS : z S(z) est continue sur [, b], lors le volume de (Σ) vut en unité de volume S(z)dz u.v Volume d un cône ou d une pyrmide L origine du repère est le sommet du cône ( ou de l pyrmide) et l xe (z Oz) est orthogonl u pln de bse. L section pr le pln de côte z est prllèle u pln de bse de côte h est l homothétie de centre O et de rpport z.sib est l ire de l surfce h de bse, l ire de cette section est S(z) =B z. Le volume de l pyrmide ou du cône est lors h V = h S(z)dz = B h z = h 3 Bh. Volume d un solide de révolution utour d un xe On suppose pour simplifer les clculs que (S) est une surfce de révolution utour de l xe (z Oz) dont l section pr le demi pln (y Oy) vec y>est l courbe d éqution (C) :y = r(z). L section de (S) pr le pln de côte z prllèle u pln (x, O, y) est le cercle de ryon r(z) limitnt le disque d ire A(z) =πr (z). Pr suite, si le volume V est le volume de l prtie limitée pr (S) et les plns de côtes et b ( b), lors V = A(z)dz = πr (z)dz = π r (z)dz. Dns le cs d un cercle de centre O et de ryon r. Onr (z) =r z, on en déduit que. V = π r r (r z )dz = 4 3 πr Clcul de distnces (trouver un td à propos) Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

9 Collection EsyMths Etude d une fonction définie pr une intégrle Fire en TD. Exercice 9.5. Exercices à fire :, 7, 6, 8, 6, 34, 36, 47, 5, 55. Pges 36, 37, 38, 39, 3. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.

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