Chapitre 9. Calcul intégral. 9.1 Intégrale d une fonction continue Définition, exemples et propriétés
|
|
- Henri Lamarche
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chpitre 9 Clcul intégrl L notion de clcul intégrle est une notion ssez importnte dns bons nombres de domines de l science. Ce cours pour but d introduire ldite notion. On utilise le clcul intégrl :. pour clculer les distnces,. clculer les ires et les volumes 3. résoudre les équtions différentielles A l fin de ce cours, l élève doit être cpble de :. Clculer l intégrle d une fonction dont il connit l primitive ;. Fire l différence entre une intégrle et une primitive ; 3. Connître les techniques d intégrtion (intégrtion pr prtie, chngement de vrible ffine) 4. Déterminer l ire d un domine compris entre deux courbes dont il connît les équtions, le volume de quelques solides usuels (on justifier ici les formules utilisées depuis le cycle primire), déterminer l distnce prcourue pr un mobil connissnt s vitesse (le cours n est ps un cours de cinémtique). 5. utiliser les propriétés d une intégrle pour l étude d une fonction. Le cours se divise en trois grndes prties : l définition de l intégrle d une fonction continue, les propriétés d une intégrle et les ppliction du clcul intégrl. Nous fisons un effort d introduire chque nouvelle notion pr une ctivité. 9. Intégrle d une fonction continue 9.. Définition, exemples et propriétés Activité 9.. On considère l fonction définie de R vers R pr f(x) =x +5.. Vérifier que F (x) = 3 x3 +5x est une primitive de f.. Déterminer deux utres primitives G et H de f. 3. Soit et b deux réels tels que <b. Clculer les nombres F (b) F (), G(b) G(), H(b) H(). Conclure. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
2 Collection EsyMths 777 Définition 9.. Soit f une fonction numérique continue sur un intervlle I de R. Soit F une primitive de f. Soit et b deux éléments de I. On ppelle intégrle de à b de f le nombre F (b) F () et on note F (b) F () = f(x)dx =[F (x)] b. Exemple 9.. Une primitive de f(x) =3x +sinx est F (x) =x 3 cos x. Onendéduit (3x +sinx)dx = [ x 3 cos x ] π =((π)3 cos(π)) ( 3 cos ) = π 3 +. Remrque 9.. L vrible x dns f(x)dx est muette et pourrit bien être remplcée pr n importe quoi. De fçon précise, on f(x)dx = f(t)dt = f(µ)dµ = f(θ)dθ =... Proposition 9.. f est une fonction continue sur R,, b et c sont trois réels, on :. f(x)dx =.. f(x)dx = f(x)dx. b 3. f(x)dx + c f(x)dx = c f(x)dx. (reltion de Chsles). b Démonstrtion. Evidente. Exemple 9.. Clculer 3 t dt. On t = { t si t t si t donc : 3 t dt = = = 5. ( t)td + [ t t ] + 3 (t )dt [ t t ] 9.. Interprettion géométrique Le pln P étnt rpporté à un repère crtésien (O, ı, j), on se donne I, J, K des points tels que OI = ı, OJ = j et OK = ı + j). Définition 9. (Unité d ire). On ppelle unité d ire u. l ire du prllélegrmme OIJK. En générl, le repère est orthogonl, uquel cs, u. est l ire du rectngle OIJK. Activité 9.. Soit f(x) =x.. Trcer l courbe représenttive de f.. Déterminer une primitive F de f. 3. Clculer F (4) F () 4. Déterminer l ire de l portion de pln comprise entre l courbe de f, les droites d éqution x =, x =4et y =. Conclure. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
3 Collection EsyMths 777 Définition 9.3. Soit f une fonction continue et positive sur un intervlle [; b] de R et (C) s courbe représenttive dns le pln muni d un repère orthogonl (O, I, J). Soit H le domine limité pr (C), l xe des bscisses et les droites d éqution x = et x = b. Alors : Aire(H) = f(t)dt u.. Remrque 9.. Si le repère est orthonormé, lors u. =et Aire(H) = f(t)dt. Ce ser le plus souvnt le cs. Exemple 9.3. Soit f : [; π] R, x sin t. Unités grphiques : OI =cm, OJ =3cm. Clculer l ire du domine limité pr (C), l xe des bscisses et les droites d équtions x =et x = π. Aire = sin tdt u. = [ cos t] π 6cm = cm. Remrque 9.3. Si f est une fonction positive et continue sur [, b], le domine H est l ensemble des points M dont les coordonnées (x, y) vérifient x b, y f(x). Etsif est continue et négtive sur [, b], lors H est l ensemble des points M dont les coordonnées (x, y) vérifient x b, f(x) y. (Introduire une figure représenttive des deux cs de figure lors de l exposé.) 9..3 Propriétés de l intégrle Soit f et g deux fonctions continues sur un intervlle I, et b deux réels pprtennt à I, α un nombre réel quelconque. Proposition 9... (αf)(x)dx = α f(x)dx (linérité).. (f + g)(x)dx = f(x)dx + g(x)dx (linérité). 3. Si de plus f est positive sur [, b], lors f(x)dx. 4. On suppose que x [, b], f(x) g(x), lors f(x)dx g(x)dx. 5. On toujours b f(x)dx f(x) dx. Démonstrtion. L première proposition est immédite, l seconde ussi. L troisième découle du fit que si f est positive, toute primitive de f est croissnte. L qutrième découle de l troisième. L dernière découle du fit que f f f. Proposition 9.3. Soit I un intervlle de R, i tel que I. Soit f une fonction continue sur I.. Si f est pire sur [, ], lors f(x)dx = f(x)dx.. Si f est impire sur [, ], lors f(x)dx =. Proposition 9.4 (Inéglité de l moyenne). Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b], m et M deux réels tels que m f(x) M pour tout x [, b], lors, si b, m b f(x)dx M. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
4 Collection EsyMths 777 Démonstrtion. m f M mdx m[x] b m(b ) m b f(x)dx mdx mdx Mdx f(x)dx M[x] b f(x)dx M(b ) f(x)dx M(cr b) Définition 9.4 (vleur moyenne). Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Si b, on ppelle vleur moyenne de f sur [, b] le réel µ défini pr µ = b f(x)dx. Donner une interprettion grphique de cette vleur moyenne : c est l huteur du rectngle ABCD tel que AB = b, µ = AD et µ(b ) = f(x)dx.. (fire une figure plus trd). 9. Techniques de ccul intégrl 9.. Utilistion des règles de dérivtion L on désire clculer l intégrle I = ( cos x + A)dx. En remrqunt que cos x = déduit : ( cos x + A)dx = = ( + cos x)dx dx + = [x] π + = π. [ sin x cos xdx ] π +cos x,on Proposition 9.5 (Linérité). Soit f et gdeux fonctions continues sur un intervlle I de R, lors : (αf + βg)(x)dx = α[f (x)] b + β[g(x)] b où F est une primitive de f et G une primitive de G. Activité Clculer l dérivée de l fonction h(x) =g(x)f(x) vec f(x) =x et g(x) =sinx.. En déduire l intégrle (cos x x sin x)dx. π Proposition 9.6. (f g + fg )(x)dx =[(fg)(x)] b. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
5 Collection EsyMths 777 Exercice 9.. Clculer les intégrles I = 5 ex + xe x )dx (= [xe x ] 5 )etj = 4 3 =([cos x ln x] 4 3). Activité Clculer l dérivée de u(x) = ln(x +3).. En déduire I = 3 dx. x+3 Proposition 9.7. Si tout est bien défini, on : ( cos x x sin x ln x ) dx u (x) u(x) dx =[ln u(x) ]b, u (x)e u(x) dx = [ e u(x)] b. 9.. Intégrtion pr prties Soit I =[, b] un intervlle de R. Soitf et g deux fonctions continues et dérivbles sur I. On (fg) = f g + fg. Ce qui implique que f g =(fg) fg. On en déduit l proposition : Proposition 9.8. Sous les même hypothèses que précédemment, on : (f g)(x)dx =[f(x)g(x)] b (fg )(x)dx. Exemple 9.4. Clculer l intégrle I = / x sin xdx. Poser g(x) =x et f (x) =sinx, lors g (x) =et f(x) = cos x. On lors : / x sin xdx = [ x cos x] π/ = [ x cos x] π/ + / / = [ x cos x] π/ +[sinx] π/ = Exercice 9.. Clculer les intégrles 4 xex dx, 3 x ln xdx. Exercice Clculer /4 t dt. cos t cos xdx cos xdx. On pose I n (x) = x tn sin tdt, n N. A l ide d une intégrtion pr prties, trouver une reltion entre I n (x) et I n (x) pour n. Clculer I (x) et I (x). Trouver une primitive de t t 3 sin t Chngement de vrible dns une intégrle Théorème 9.. Soit f une fonction continue sur un intervlle I, et b deux réels tels que. Soit α et β deux réels tels que α + b et β + b soient dns I, lors : β α f(x + b)dx = β+b α+b f(t)dt. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
6 Collection EsyMths 777 Démonstrtion. Soit F une primitive de f sur I. On d une prt : D utre prt, β α f(x + b)dx = β+b α+b f(t)dt = β α f(x + b)dx = [F (x + b)]β α = [F (β + b) F (α + b).] [F (t)]β+b α+b = [F (β + b) F (α + b).] Plus générlement, on le théorème suivnt : Théorème 9.. Soit ϕ une fonction dérivble sur un intervlle I de dérivée continue sur I et f une fonction continue sur ϕ(i). Soit et b deux réels dns I, lors on : f(ϕ(t))ϕ (t)dt = ϕ(b) ϕ() f(t)dt. Démonstrtion. Pourr être fite pendnt le cours (tout dépendr du niveu de compréhension des élève), il est à rppeler que ce résultt générl n est ps u progrmme de Terminle. Exemple Clculer / cos(t + π 3 )dt. Dns ce cs f(t) =cost, =, b = π/3, α =et β = π/. On lors : /. Clculer I = /6 ( + sin 3 t)costdt. On f(t) =+t 3, ϕ(t) =sint, cos(t + π 3 )dt = I = ϕ(π/6) ϕ() 4π/3 π/3 ( + t 3 )dt = cos tdt = [sin t]4π/3 π/3. / ( + t 3 )dt. Exercice 9.4. Clculer I = ( x)3 dx, J = 4 dt t 3, K = x t +t dt. Solution I = f( x)dx vec f(x) =x3, d où I = J = 4 f(t 3)dt vec f(t) = t, d où J = 5 x 3 dx =. dt = 5. t K = x ϕ (x)f(ϕ(x))dx vec f(x) = x et ϕ(x) =+x, d où K = +x ( tdt = 3 ( + x ) 3/ ) Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
7 Collection EsyMths Clcul pprochée d une intégrle Nous vons ppris jusqu ici à clculer les intégrles des fonctions dont on pouvit déterminer des primitives. Supposons un instnt qu on veuille clculer ex dx, on est très rpidemment coincé pr notre méthode, on ne connit ps de primitive de l fonction x e x. On procède lors pr une pproximtion. Nous explicitons ici le seul cs de l méthode des rectngles. Il existe d utres techniques : l méthode des trpèzes, l méthode du point médin, l méthode de Newton côte,... Soit f une fonction continue sur un intervlle [, b]. Dns l méthode des rectngles, on prtge l intervlle [, b] en n intervlles de mêmes mplitudes. L mplitude d un intervlle est lors b et n les extrêmités = x,x,...,x n = b. Pour tout entier nturel i, ( i n ), on prend pour vleur pprochée de x i+ b x i f(t)dt le nombre réel f(x n i). Onposeu n = b n f(x n i ) ; u n est une i= vleur pprochée de f(t)dt. Sionposev n = b n f(x n i+ ), on vérifie que u n f(t)dt v n et i= lim (v b n u n ) = lim (f(b) f()) =. n + n + n Dns ce genre de méthode, on se pose toujours l question de svoir quelle erreur on commet pour un n choisi? L méthode converge t-elle? De fçon précise, à t-on lim v n = lim u n = f(t)dt. n + n + Supposons que f est dérivble sur ], b[ et que f est continue et bornée sur [, b], c est-à-dire qu il existe m, M tels que t [, b], m f (t) M, on vérifie sns peine que lors : f(t)dt =(b )f(b) (t )f (t)dt, t [, b], m f (t) M m(t ) (t )f (t) M(t ) On pose A = mx{ m, M }, lors : m (t )dt [ (t ) m (b ) m (t )f (t)dt ] b (t )f (t)dt M (t )dt [ (t ) (t )f (t)dt M (t )f (t)dt M ) = A(b. (b ) Lorsqu on utilise l méthode des rectngles pour une fonction continue de dérivée f continue sur [, b], chque intervlle est de longueur b. L erreur comise sur chque intervlle est ( K b ) n n où K est le mximum de f (t) sur [x i,x i+ ], et comme il y n intervlles, on obtient l mjortion de l erreur I u n K (b ). n On obtient une mjortion nlogue pour I v n. Il en découle que lim v n = lim u n = n + n + f(t)dt. ] b Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
8 Collection EsyMths 777 ( Exemple Montrer que l suite w n = n sin π n +sin4π + ) n +sinnπ n converge et déterminer s limite. Indiction : Considerer l fonction f : t sin πt pour t = ; ;...; n. n n n. Utiliser l méthode des rectngles pour clculer une vleur pprochée de l intégrle I = près. dt à +t Pour le cs. l fonction f(t) = dt est décroissnte sur [, ] de sorte que l on v +t n u n f() f() =. Pour obtenir un encdrement d mplitude n n, il suffit de choisir n tel que < n donc prendre n 5. On vérifie lors que u 5 I v 5 et u 5 =, , v 5 =, Appliction du clcul intégrl L espce est muni du repère orthonormé (OIJK). L unité de volume est le volume du cube de dimensions OI, OJ, OK Clcul de volumes Proposition 9.9. Soit (Σ) un solide limité pr les plns d éqution z = et z = b. Soit S : z Aire de l section du solide (Σ) pr le pln de côte z. SiS : z S(z) est continue sur [, b], lors le volume de (Σ) vut en unité de volume S(z)dz u.v Volume d un cône ou d une pyrmide L origine du repère est le sommet du cône ( ou de l pyrmide) et l xe (z Oz) est orthogonl u pln de bse. L section pr le pln de côte z est prllèle u pln de bse de côte h est l homothétie de centre O et de rpport z.sib est l ire de l surfce h de bse, l ire de cette section est S(z) =B z. Le volume de l pyrmide ou du cône est lors h V = h S(z)dz = B h z = h 3 Bh. Volume d un solide de révolution utour d un xe On suppose pour simplifer les clculs que (S) est une surfce de révolution utour de l xe (z Oz) dont l section pr le demi pln (y Oy) vec y>est l courbe d éqution (C) :y = r(z). L section de (S) pr le pln de côte z prllèle u pln (x, O, y) est le cercle de ryon r(z) limitnt le disque d ire A(z) =πr (z). Pr suite, si le volume V est le volume de l prtie limitée pr (S) et les plns de côtes et b ( b), lors V = A(z)dz = πr (z)dz = π r (z)dz. Dns le cs d un cercle de centre O et de ryon r. Onr (z) =r z, on en déduit que. V = π r r (r z )dz = 4 3 πr Clcul de distnces (trouver un td à propos) Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
9 Collection EsyMths Etude d une fonction définie pr une intégrle Fire en TD. Exercice 9.5. Exercices à fire :, 7, 6, 8, 6, 34, 36, 47, 5, 55. Pges 36, 37, 38, 39, 3. Cours de Mthémtiques. Clsse T le C.
Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral
Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (
Plus en détailThéorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann
Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler
Plus en détailTout ce qu il faut savoir en math
Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :
Plus en détailsemestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005
MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................
Plus en détailLICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER
LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries
Plus en détailCorrection de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (
Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est
Plus en détailCOURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel
COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO
Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailSéquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire
Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE
Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions
Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d
Plus en détailIntégrale et primitives
Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition
Plus en détailChapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction
2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailChapitre 11 : L inductance
Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLicence M.A.S.S. Cours d Analyse S4
Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,
Plus en détailChapitre VI Contraintes holonomiques
55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailBaccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé
Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps
Plus en détailChapitre 1 Cinématique du point matériel
Chapitre 1 Cinématique du point matériel 7 1.1. Introduction 1.1.1. Domaine d étude Le programme de mécanique de math sup se limite à l étude de la mécanique classique. Sont exclus : la relativité et la
Plus en détailANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE
Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailÉquations non linéaires
Équations non linéaires Objectif : trouver les zéros de fonctions (ou systèmes) non linéaires, c-à-d les valeurs α R telles que f(α) = 0. y f(x) α 1 α 2 α 3 x Equations non lineaires p. 1/49 Exemples et
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailInfluence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation
Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailRelation d ordre. Manipulation des relations d ordre. Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 Feuille d exercices
Lycée Pierre de Fermat 2012/2013 MPSI 1 Feuille d exercices Manipulation des relations d ordre. Relation d ordre Exercice 1. Soit E un ensemble fixé contenant au moins deux éléments. On considère la relation
Plus en détailLANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES
LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailChp. 4. Minimisation d une fonction d une variable
Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailExercice I ( non spé ) 1/ u 1 = 3 4. 2 3 u 2 4 + 3 9. 19 4 2/ Soit P la propriété : u n + 4. > 0 pour n 1. P est vraie au rang 1 car u 1
Bac blac TS Correctio Exercice I ( Spé ) / émotros par récurrece que 5x y = pour tout etier aturel 5x y = 5 8 = La propriété est doc vraie au rag = Supposos que la propriété est vraie jusqu au rag, o a
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailMESURE ET INTÉGRATION EN UNE DIMENSION. Notes de cours
MSUR T INTÉGRATION N UN DIMNSION Notes de cours André Giroux Département de Mathématiques et Statistique Université de Montréal Mai 2004 Table des matières 1 INTRODUCTION 2 1.1 xercices.............................
Plus en détailTurbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances
Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
UNIVERSITÉ DE POITIERS Parcours Renforcé Première Année 2009/2010 Paul Broussous Fonctions de plusieurs variables Seconde version corrigée Table des matières 1. Un peu de topologie. 1.1. Distance euclidienne,
Plus en détailSTI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE
L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailTechniques d analyse de circuits
Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailChapitre III : Fonctions réelles à une variable réelle. Notion de Limite (ses variantes) et Théorèmes d'analyse
Université Mohammed V - Agdal Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Avenue Ibn Batouta, B.P. 1014 Rabat, Maroc Filière DEUG : Sciences Mathématiques et Informatique (SMI) et
Plus en détailExercices et corrigés Mathématique générale Version β
Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détail