Définition d'une intégrale. Calcul intégral

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1 Définition d'une intégrle Clcul intégrl. Introduction... p2 4. Primitives d'une fonction continue sur un intervlle Intégrle d'une fonction continue positive sur [;]... p5 p 5. Recherche de primitives... p4 3. Intégrle d'une fonction continue sur [;]... p8 6. Remrques... p9 Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés

2 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl. Introduction Le repère est orthonorml donc l'unité d'ire est l'ire du crré dont le côté est égl à l'unité de longueur. On considère des coures représenttives de fonctions positives (simples sur un intervlle [ ; ] (< et on se propose de clculer l'ire en U.A (unité d'ire de l prtie du pln comprise entre l'e ( ' et l coure et les droites d'éqution : = et =... Eemple f est une une fonction constnte positive sur [ ; ]. est l'ire de l prtie de pln considérée en U.A (l'ire du crré leu. est l'ire d'un rectngle dont les longueurs des côtés sont respectivement f ( et = f (( U.A Remrque : Si f est l fonction nulle sur [ ; ] lors l'ire est nulle : = ( = U.A.2. Eemple 2 f est une fonction constnte pr morceu (ou une fonction en esclier positive sur [ ;]. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 2

3 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl = f ((c + f (c(d c+ f (d ( d U.A.3. Eemple 3 f est une fonction ffine positive sur [ ;]. On clcule l'ire d'un tringle rectngle dont les longueurs des côtés sont f ( et ( = 2 f (( U.A Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 3

4 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl On clcule l'ire d'un trpèze rectngle. = 2 ( f (+ f (( U.A.4. Eemple 4 f (= 2 y= 2 { y2 = 2 y [ ; ]=[ ;] { 2 +y 2 = y L coure est un demi-cercle de centre O et de ryon situé dns le demi-pln situé u-dessus de l'e ( '. = π 2 2 = π 2 U.A Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 4

5 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 2. Intégrle d'une fonction continue positive sur [;] 2.. Définition Soit f une fonction définie continue et positive sur l'intervlle [ ;]. On note (C s coure représenttive dns un repère orthonorml. On nomme intégrle de l fonction f sur l'intervlle [ ;] et on note f ( d, le nomre réel représentnt l'ire, en unités d'ire, de l prtie du pln limitée pr (C, l'e des scisses et les droites d'équtions respectives : = et = Remrques Dns l'écriture f ( d = f ( d, on peut remplcer pr toute lettre non encore utilisée. f (t d t = f (θd θ Eemples : 8 eemple : 2d =2 (8 3= U.A 3 eemple 4 : 2 d = π 2 U.A Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 5

6 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 2.3. Reltion de Chsles Si f est une fonction continue positive sur [ ;] et si c [ ;] lors : c f ( d = f ( d + c f ( d 2.4. Lien vec l reltion d'ordre Si f et g sont des fonctions continues positives sur [ ;] telles que [ ;] f ( g( lors : f ( d g( d Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 6

7 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 2.5. Linérité Si f et g sont des fonctions continues positives sur [ ; ] et α et β deu nomres réels positifs, on : (α f (+β g(d =α f ( d +β g (d 2.6. Vleur moyenne Si f est une fonction continue positive sur [ ;]. On nomme vleur moyenne de f sur [ ;] le réel : μ= f (d 2.7. Conséquence L'intégrle de l fonction continue et positive sur [ ;] est l'ire (en U.A du rectngle dont les côtés ont pour longueur : et μ cr μ ( = f ( d Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 7

8 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 2.8. Inéglité de l moyenne Si f est une fonction continue, positive sur [ ;] et m et M deu réels positifs tels que pour tout de l'intervlle [ ; ] : m f ( M lors : Preuve : m Pour tout [ ; ], m f ( donc : md m( m f ( d f (d f ( d De même pour M... f ( d M 3. Intégrle d'une fonction continue sur [;] 3.. Définition Soit f une fonction continue, négtive sur l'intervlle [ ;]. On définit lors l'intégrle de f sur [ ;] pr : f ( d = ( f (d L coure représenttive de g = f sur [ ; ] est le symétrique de celle de f pr rpport à ( '. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 8

9 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 3.2. Remrques f ( d est un nomre négtif, on peut prler d'ire lgérique. On peut étendre les propriétés 2.3 ; en considérnt les fonctions f et g négtives Cs générl On suppose que f est continue et ne conserve ps une signe constnt sur [ ;]. On se plce dns le cs où f chnge de signe un nomre fini de fois. On définit lors deu fonctions f + et f sur [ ; ]. Si f ( lors f + (= f ( et f - ( = Si f ( lors f + (= et f - ( = f ( f + et f sont deu fonctions positives ou nulles. On suppose que ces deu fonctions sont continues sur [ ; ]. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 9

10 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 3.4. Définition Soit f une fonction continue sur l'intervlle [ ;]. On définit lors l'intégrle de f sur [ ;] pr : f ( d = f + (d f - (d Propriétés Si f et g sont des fonctions continues sur l'intervlle [ ; ] (< et si α et β sont des nomres réels (non nécessirement positifs et si c [ ;] lors : Reltion de Chsles : c f ( d = f ( d + c f ( d Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge

11 Lien vec l reltion d'ordre : Si [ ;] f ( g( lors : c Linérité : (α f (+β g(d =α d Vleur moyenne : Définition d'une intégrle. Clcul intégrl f ( d g( d f ( d +β g (d μ= f (d est l vleur moyenne de f sur [ ;]. e Inéglité de l moyenne : Soient m et M deu réels tels que pour tout de l'intervlle [ ;] : m f ( M lors : m f ( d M 3.6. Générlistion Si f est une fonction continue sur un intervlle I et et si ; et c pprtiennent à I. Si =, on pose Si >, on pose f ( d = f ( d = f ( d c ( c n'pprtient ps nécessirement à [ ;] c f ( d = f ( d + c f ( d 4. Primitives d'une fonction continue sur un intervlle 4.. Définition Soit f une fonction continue sur l'intervlle I. On nomme primitive de f sur I toute fonction F dérivle sur I telle que F '= f. Eemples : f (=cos I=R F (=sin F ' ( = f ( donc F est une primitive de f sur R. G( =sin +3 G ' (= f ( donc G est ussi une primitive de f sur R. f (= I =];+ [ F (=ln F ' ( = f ( donc F est une primitive de f sur ] ;+ [. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge

12 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 4.2. Théorème Si f est une fonction continue sur l'intervlle I et si pprtient à I lors l fonction F définie de I dns Rpr pour tout de I, F (= sur I,c'est à dire I F ' ( = f (. preuve : I ; fié. I. Pour l démonstrtion, on suppose que f est continue et croissnte sur I. f (td t est une primitive de f F ( F ( = ( t On utilise l reltion de Chsles : F ( F ( = f (td t f (tdt f (tdt Si < lors pour tout t pprtennt à [ ; ], on f ( f (t f ( (cr f est croissnte sur I On pose m= f ( et M = f ( En utilisnt les inéglités de l moyenne, on otient : f ( f (tdt f ( c'est à dire : f ( F ( F ( f ( f est continue sur I donc lim + f ( = f ( d'près le théorème des gendrmes, lim + F ( F ( = f ( Si < lors pour tout t pprtennt à [ ; ], on f ( f (t f ( (cr f est croissnte sur I On pose m= f ( et M = f ( En utilisnt les inéglités de l moyenne, on otient : f ( f (tdt f ( c'est à dire : f ( F ( F ( f ( f est continue sur I donc lim - f ( = f ( d'près le théorème des gendrmes, lim - Conséquence : lim F ( F ( = f ( Donc, F est dérivle en et F ' ( = f ( F ( F ( = f ( Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 2

13 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 4.3. Remrques On dmet les résultt suivnt. Toute fonction continue sur un intervlle dmet une primitive sur cet intervlle. Deu primitives d'une même fonction continue sur le même intervlle diffèrent d'une constnte. Preuve : F et G sont deu primitives de f sur I donc : I, F ' ( =G ' ( = f ( On considère l fonction : d =F G d est dérivle sur I, I,d ' (=F ' ( G ' (= Donc, d est une fonction constnte sur I. Il eiste un nomre réel k tel que : I, F (=G( +k Conséquence : Les primitives de l fonction continue f sur I sont les fonctions définies sur I pr : constnte réelle. f (t d t+k ( k c Il eiste une primitive et une seule d'une fonction continue sur I prennt une vleur fiée en un point donné de I. Démonstrtion : I donné et λ R λ fié. On veut démontrer qu'il eiste une unique primitive H de f (fonction continue sur Ivérifint H ( =λ. I F (= f (td t. F est une primitive de f sur I donc les primitives de f sur I sont les fonctions G définies sur I pr G( = F ( +k (vec k constnte réelle G( = F ( +k Si on veut otenir G( =λ lors : λ=f ( +k donc k=λ F ( H (=F (+λ F ( H (= f (td t+λ f (td t= f (td t+λ Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 3

14 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl 4.4. Théorème Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si I lors l'unique primitive F de f sur I vérifint F (= est l fonction définie sur I pr F (= f (td t 4.5. Théorème (clcul intégrl Si f est une fonction continue sur un intervlle I et si I et I et si G est une primitive de f sur I lors f (t d t=g( G( = [G(t] Démonstrtion : On considère : I, F (= f (td t Il eiste k R tel que G( = F ( +k G( G( =F (+k (F (+k=f ( F (= f (td t 4.6. Eemples 3 π 3 t d t = [ln t ] 3 = ln 3 ln = ln 3 sin t dt = [ cost ] 2 d = [ 3 3 ] = 3 π 3 = cos π 3 + cos = 2 = 2 5. Recherche de primitives 5.. Tleu de primitives En utilisnt les résultts sur les fonctions dérivées des fonctions usuelles, on peut étlir un tleu de primitives usuelles en précisnt l'intervlle I. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 4

15 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl I f ( F ( R c (constnte R (constnte +c R n ( n N * n+ n+ +c ] ; [ ou ] ;+ [ n ( n Z ; n 2 n+ n+ +c ];+ [ α ( α R \{-} α+ α+ +c ] ; [ ou ] ;+ [ ln +c R e e +c R sin cos +c R cos sin +c ] π 2 +k π ; π 2 +k π [ k Z cos 2 =+tn 2 ]k π ;k π+π[ k Z sin 2 =+cotn Linérité tn +c cotn +c Si F et G sont des primitives de f et g sur un intervlle I et si α R et β R lors α F +βg est une primitive de α f +β g sur I. Eemple : π 4 π 4 tn 2 t d t = 5.3. Théorème π 4 (tn 2 t + d t = π 4 tn 2 t + d t π π dt = [tn t ] 4 [t ] 4 = π 4 I et J sont 2 intervlles de R. f est une fonction définie sur J et u est une fonction définie sur I. On suppose que u(i J, c'est à dire que pour tout de I, u( J. On peut donc définir l fonction f ou sur I. I u f J R I R f o u f o u( = f [u (] Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 5

16 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl Si u est dérivle sur I et f continue sur J, soit F une primitive de f sur J lors G=F o u est une primitive de g= f o u u' sur I Conséquences f est continue sur J ; F une primitive de f sur J. R * R u(=+. I est un intervlle tel que u (I J Soit h(= f (+. h est définie sur I. H (= F (+. H est une primitive de h sur I. Eemple : π 2 Clculer π 2 cos ( 2 + π 2 d cos ( 2 + π 2 d = [ 2 sin ( 2 + π 2 ] π 2 = 2 sin 3π 2 2 sin π 2 = 2 2 = u est dérivle sur I. n N * g ( =u n ( u ' ( G( = un+ ( n+ Eemple :. G est une primitive de g sur I. Clculer ( (2 +2d u(= 2 +2 u ' ( =2 +2 ( (2 +2d =[ ( ] = 24 4 ( 4 = = 5 4 c u est dérivle sur I. n Z. n 2. I, u( donc u(i R * g ( =u n ( u ' ( G( = un+ ( n+. G est une primitive de g sur I. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 6

17 Eemple : Clculer 2 + ( 2 ++ d 2 u(=² ++ R, u( u ' ( =2 + g ( =u 2 ( u' ( G( = u ( = ( 2 ++ [ d = = = 2 3 ] Définition d'une intégrle. Clcul intégrl d u est dérivle sur I. α R. α. α. I, u( ( u(i ] ;+ [ g ( =u α ( u ' ( G( = uα+ ( α+. G est une primitive de g sur I. Eemple : 2 Clculer 2 + d u (= 2 +> g ( =u 2 ( u ' ( G( = u 2 ( =2u 2 ( d =[ ] u' ( =2 = = e u est dérivle sur I. I, u(> ( u(i ] ;+ [ g ( = u ' ( u( G( =ln(u (. G est une primitive de g sur I. Eemple : Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 7

18 2 Clculer d 2 u(= 2 g ( = 2 2 G( =ln( 2 f 2 d =[ln( ] Définition d'une intégrle. Clcul intégrl [ 2 ] ;, u(> u ' ( = 2 =ln ln 3 4 = ln 3 4 u est dérivle sur I. g ( =e u ( u' ( G( =e u(. G est une primitive de g sur I. Eemple : Clculer 2 e 2 d u (= 2 g ( =2 e 2 u' ( =2 2 e 2 d =[e 2] =e G( =e Intégrtion pr prties (désormis hors-progrmme du progrmme de TS Si f et g sont dérivles sur I et si f ' et g ' sont continues sur I et si I et I lors : Preuve : f ' (t g(td t = [ f (t g (t] f g est dérivle sur I et ( f g'= f ' g+ f g ' Donc, f ' g=( f g ' f g ' f (t g' (tdt Les fonctions f ' g ; ( f g' ; f g ' sont continues sur I et : f ' (t g(td t = ( f g' (t d t f ' (t g(td t = [ f (t g (t] f (t g ' (td t f (t g' (tdt Remrque : Lorsque l'on utilise une intégrtion pr prties pour clculer f ' (t g(td t, on est mené à clculer Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 8

19 f (t g ' (td t (qui doit être plus simple que l première intégrle Eemples Clculer ln t dt pour ] ;+ [ f ' (t= f (t=t Définition d'une intégrle. Clcul intégrl g (t=ln t g ' (t= t f et g sont dérivles sur ];+ [ et f ' et g ' sont continues sur ];+ [ donc : ln t dt=[t ln t ] t t dt ln t dt= ln ln dt ln t dt= ln [t] ln t d t= ln + Clculer t ln t d t pour ] ;+ [ f ' (t=t f (t= t 2 2 g (t=ln t g ' (t= t f et g sont dérivles sur ];+ [ et f ' et g ' sont continues sur ];+ [ donc : t ln t d t=[ t 2 2 ln t ] ln t d t= 2 2 ln t 2 d t ln t d t= 2 2 [ ln t 2 4 ] ln t dt= 2 2 ln Remrques t 2 2 t d t 6.. Positivité de l'intégrle Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 9

20 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl I est un intervlle de R. f est une fonction continue sur I. et sont deu nomres réels de I. Si et si pour tout de [ ; ], f ( lors f ( d. Preuve : f ( donc Donc : [k ] k k f (d f (d f (d d f ( d 6.2. Clculs d'ires Unité d'ire Si (O ; i, j est un repère orthogonl non orthonormé lors l'unité d'ire est égle à i j. Fonction positive I est un un intervlle de R. I ; I f est continue et positive sur [ ; ]. L'ire en U.A de l prtie de pln limitée pr l coure représenttive (C de f dns le repère orthogonl (O ; i, j, l'e des scisses et les droites d'équtions respectives = et = est f ( d. Eemple : I =] ;+ [ f (= 2 [ ; ]=[ ;3 ] i =cm et j =2cm Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 2

21 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl U.A= 2=2 cm 2 L'ire en U.A de l prtie du pln comprise entre (C, ( ' et les droites d'équtions : = et =3 est : 3 A= 3 d 2 (cr f est continue et positive sur [ ;3 ] [ d = 3 = 2 ] 3 + = 2 3 Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 2

22 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl A= 2 3 U.A C'est à dire que l'ire de cette prtie de pln est égle à 2 3 2= 4 3 en cm2. c Fonction négtive I est un un intervlle de R. I ; I f est continue et négtive sur [ ;]. L'ire en U.A de l prtie de pln limitée pr l coure représenttive (C de f dns le repère orthogonl (O ; i, j, l'e des scisses et les droites d'équtions respectives = et = est Eemple : f ( d. I =] ;+ [ f (= [ ;]=[ ; 4] i =cm et j =2cm U.A= 2=2 cm 2 Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 22

23 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl f est continue et négtive sur [ ;4]. L'ire en U.A de l prtie de pln limitée pr l coure représenttive (C de f dns le repère orthogonl (O ; i, j, l'e des scisses et les droites d'équtions respectives = et =4 est A= 4 A= 4 d = d = [ln ] 4 = ln 4 ln = ln 4 U.A C'est à dire l'ire est égle à 2 ln 4=ln 4 2 =ln 6 en cm 2 d Aire de l prtie du pln comprise entre 2 coures I est un un intervlle de R. I ; I f et g sont continues sur [ ;]. 4 d. Si pour tout pprtennt à [ ;] f ( g( lors l'ire en U.A de l prtie de pln comprise entre les 2 coures représenttives de f et g dns le repère orthogonl (O ; i, j, l'e des scisses et et les droites d'équtions respectives = et = est A= Eemple : (g ( f (d. f (=+ g( = + [ ; ]=[ ;8 ] Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 23

24 Définition d'une intégrle. Clcul intégrl g ( f ( = Pour tout de [ ;8 ], g ( f ( donc, l'ire en U.A de l prtie de pln comprise entre les 2 coures représenttives de f et g dns le repère orthogonl (O ; i, j, l'e des scisses et les droites d'équtions respectives = et =8 est A= 8 (g( f (d. 8 A= Remrque : 8 (g ( f (d = d = [ln ] 8 = ln8 ln = ln 8U.A On ne considère ps le signe de f ( ou le signe de g ( mis le signe de g( f (. Copyright meilleurenmths.com. Tous droits réservés Pge 24

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