1. Introduction. 1.1 Objectifs. 2 caractères. Pour chaque individu : 120 un couple (x, y) de valeurs 100. Série de données : 80

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1 1.1 Objectifs 1. Introduction Y: recette (k ) Etude 150? 2 caractères Pour chaque individu : 120 un couple (x, y) de valeurs 100 Série de données : 80 2 variables X: dépense (k ) Xet Ysont-elles liées? Modéliserla relation «corrélation» «ajustement», «régression» Estimerde nouvelles valeurs inconnues «prévision»

2 1. Introduction 1.2 Mises en forme Séries «listes» Tableaux de contingence parcelle n quantité d'engrais production recueillie X(kg.ha -1 ) Y(q.ha -1 ) Série chronologique Y : acuité X : âge / / / X : année Y : dépense

3 1. Introduction 1.3 Nuage de points Séries «listes» X : année Y : dépense Série de données x i et y i Ensemble de points M i (x i ; y i ) «nuage de points»

4 1. Introduction 1.3 Nuage de points Tableaux de contingence X : âge / Y : acuité 6/ /

5 TC Mathématiques S2 Exemple d approche 2. Test d indépendance du Khi-deux Deux variables sont croisées. L hypothèse à tester est celle de leur indépendance. Evaluer la différence entre observation et théorie par un paramètre global : χ² calc Ex : Hypothèse à tester, H 0 : «genre et QI sont indépendants (dans la population)» 1. Résultats d un échantillon de 6 hommes et 8 femmes : 2. Résultats théoriquement attendus (sous H 0 ) : 3. Différences : χ² partiels et χ² total <100 >100 <100 >100 <100 >100 F F F 1 1 H H H 4/3 4/ ,67 Calculer un χ² : (obs th)² / th Ce paramètre est le χ² calc de l expérience.

6 TC Mathématiques S2 La loi du χ² 2. Test d indépendance du Khi-deux Quelle que soit l expérience et sous l hypothèse nulle «H 0» (ex : «sexe et QI indépendants»), on sait donner la probabilité que telle valeur du χ² soit (ou ne soit pas) dépassée. densité de probabilité 0 4,67 notre exemple la réalité 96,6 % 3,4 % valeurs possibles du χ² vos possibilités densité de probabilité? %? % 0 4,67 2,71 3,84 5,41 5% 10% notre exemple 6,64 2% 1% valeurs possibles du χ²

7 TC Mathématiques S2 Méthodologie 2. Test d indépendance du Khi-deux 1. On teste l hypothèse nulle d indépendance «H 0» (ex : «sexe et QI indépendants»). Objectif : peut-on se permettre de la rejeter? 2. Le χ² de l expérience décrite est calculé : χ² calc. Objectif : évaluer son importance, dans l hypothèse H 0 3. On situe notre χ² calc en probabilité grâce au formulaire. Objectif : le comparer aux χ²donnés par le formulaire Test d indépendance à r lignes et k colonnes : ddl = (r 1)(k 1) 4. Selon le seuil de risque α choisi, une décision est prise (rejet ou non-rejet de H 0 ). densité de probabilité 0 χ² calc

8 TC Mathématiques S2 Exercice 1 Sh Sf Tj Tf Ta Test d indépendance du Khi-deux distribution observée distribution théorique sous H Sh Sf Tj 15,26 19,74 35 Tf 24,85 32,15 57 Ta 10,90 14, Tj Tf Ta valeurs des χ² Sh 0, , ,77038 Sf 0, , , , Hypothèse nulle «H 0» : sexe et rapport au tabac sont indépendants. 2. χ² calc = 5,3 3. nombre de ddl : (3-1)(2-1) = 2 seuil de risque : α = 10% χ² lim = 4,61 4. Au seuil de 10%, on peut rejeter H 0. densité de probabilité 0? 4,61 χ² calc? 5,3 5% 1% 2% 10% valeurs du formulaire 5,99 7,82 9,21

9 3. Ajustement, Mayer 3.1 Moyennes mobiles Exercice 5 1 à 5 2 à ,6 40,8 41,4 39, ,2 42,8 40,6 38,8 41,6 43,2 40,6 CA (M ) x: 1 à

10 3. Ajustement, Mayer 3.2 Problématique de l ajustement linéaire Une infinité de formes possibles pour un nuage de points. Parfois, une droite le représente correctement. «ajustement linéaire» Dans d autres cas, c est une courbe. «ajustement non linéaire»

11 3. Ajustement, Mayer 3.2 Problématique de l ajustement linéaire Dans le nuage de points: Par définition du point M i, x i et y i sont associés. y i y i e i Une fois une droite tracée: A x i est associé y i = ax i + b x i Définition: on appelle résidule nombre e i = y i y i e i > 0 : M i au-dessus de la droite e i < 0 : M i en-dessous de la droite (D) : droite de régression(ou de tendance) ; déterminer (D) : faire un ajustement linéaire.

12 3. Ajustement, Mayer 3.3 Méthode de Mayer Principe de Mayer : n i= 1 e i = 0 Méthode de Mayer(trouver une droite cohérente) : 1. Partager équitablement le nuage (de gauche à droite) 2. Déterminer G 1 et G 2, points moyens des deminuages 3. (D) = (G 1 G 2 ) (D) G Equivalent à : G (D) A noter : Dans tous les cas, G (G 1 G 2 ). Ainsi, (D) est une droite de Mayer. G 1 G G 2

13 3.3 Méthode de Mayer CA (M ) 3. Ajustement, Mayer Exercice 5 + x: 1 à G 2 G 1 Droite de Mayer xg = =, yg = = xg = =, yg = =, tri1 tri2 tri3 tri4 tri1 tri2 tri3 tri4 tri1 tri2 tri3 tri4 tri1 tri2 tri3 tri4 (M )

14 3.3 Méthode de Mayer 3. Ajustement, Mayer Exercice 6 x y G G = = = = 42 3 x y G G = = = = 48, 5 2 y: récolte (q/ha) G G D M x: engrais (kg/ha) engrais récolte (kg.ha -1 ) (q.ha -1 ) , 5 42 a = 0, ; b = yg ax 34, 35 1 G

15 4. Ajustement, moindres carrés 4.1 Paramètres des séries à deux variables Moyennes Variances Ecarts types n r x y = = i= 1 n n i= 1 n x y i i ( ) V X ( ) V Y x 2 i i= 1 2 = x n k y 2 j j= 1 2 = y n Sur calculatrice Saisir CALC > X : List 1 SET Y : List 2 CALC > (n ij : List 3) 2Var ( X ) V ( X ) σ = ( Y ) V ( Y ) σ = CALC > Stat2Var L 1,L 2,(L 3 ) Covariance (, ) Cov X Y Résultats xy n xy i i i= 1 = n 2 x, x, x, σ, 2 y, y, y, σ, n X Y xy

16 4. Ajustement, moindres carrés 4.1 Paramètres des séries à deux variables engrais récolte (kg.ha -1 ) (q.ha -1 ) Σxy= Cov(X,Y) = 203,6 E(X) = 134 Σx= 670 Σx² = σ X = 48,826 V(X) = 2384 E(Y) = 44,6 Σy = 223 Σy² = σ Y = 4,5869 V(Y) = 21,04 Exercice 8 Y X [15; 25[ [25; 50[ 50 et plus aucune à à Σxy= Cov(X,Y) = -56,15 E(X) = 39,375 Σx= 3937,5 Σx² = ,25 σ X = 16,422 V(X) = 269,67 E(Y) = 10,795 Σy = 1079,5 Σy² = 23388,25 σ Y = 10,833 V(Y) = 117,35

17 4. Ajustement, moindres carrés 4.2 Méthode des moindres carrés Principe : n i= 1 e 2 i G est minimale (D) Equivalent à : formules de a et b Résultats: A. La droite de régression est unique B. Dans tous les cas, G (D) C. (, ) ( ) Cov X Y a = b = y ax V X

18 4. Ajustement, moindres carrés 4.2 Méthode des moindres carrés Exercice 9 dépense (k ) (D) année(1 : 2002) V(X) = 11,91667 V(Y) = 701,3889 (, ) ( ) CALC > REG > X Cov(X,Y) = 84,1667 Cov X Y a = 7, 0629 b 37, 42 V X (D): y= 7,0629x+ 37,42 CALC > LinRegL 1,L 2

19 4. Ajustement, moindres carrés (, ) ( X) σ ( Y ) 4.3 Coefficient de corrélation linéaire Cov X Y r = R = ρ = σ 0.75 < r< 1 0 < r< < r< < r< 0-1 < r< < r< < r< < r< 0.5

20 4. Ajustement, moindres carrés 4.3 Coefficient de corrélation linéaire

21 TC Mathématiqus S2 5. Ajustement non linéaire Méthodologie Etude X, Y 1. remplacement de Xou Y par une autre variable (Tou U) Exemple X Y On proposele changement de variable T= X². T Y Ici, il s agit de déterminer une équation de droite de type y = at + b. Ex avec la méthode des moindres carrés, calculatrice en mode Stat: 2. corrélation linéaire après remplacement 3. modèle finalde la relation entre X et Y 3. (D Y/T ) : y = t y = x²

22 TC Mathématiqus S2 5. Ajustement non linéaire Méthodologie Etude X, Y 1. remplacement de Xou Y par une autre variable (Tou U) 2. corrélation linéaire après remplacement 3. modèle finalde la relation entre X et Y Exercice 13 X T Y (D Y/T ) : y = t y = (x 60)²

23 6. Estimation 6.1 Estimation ponctuelle Méthodologie Etude X, Y 1. Trouver l équation d une droite (ou courbe) de régression : y = ax+ b (ou y = f(x)) 2. Lire la nouvelle donnée x 0 (ou y 0 ) 3. Avec l équation, calculer sa valeur associée y 0 (ou x 0 ) Exercice 17 Exercice 9 1. y = x Exercice 6 2. x 0 = y = x y 0 = k 2. y 0 = 60 q/ha 3. x 0 = kg/ha Exercice y = (x 60)² x 0 = 100 km/h 3. y 0 = L/100km

24 6. Estimation 6.2 Intervalle de confiance Exercice 18 Méthodologie Exercice 9 1. a. b. 1. c. z= σ Z = a. Calculer les valeurs y i associées aux x i du tableau b. Calculer les valeurs z i = y i /y i d une nouvelle variable Z c. Obtenir la moyenne et l écart type de Z 2. Calculer l estimation ponctuelle y 0 3. Avec le niveau de confiance, donner le coefficient u 4. Intervalle : par la formule 2. y 0 = k 3. niveau de confiance : 95% u= y 0 z uα z y0 z u ( σ ) ; ( + σ ) [136.3( ) ; 136.3( )] = [102,8 ; 169,8] α z

25 6. Estimation 6.2 Intervalle de confiance Méthodologie 1. a. Calculer les valeurs y i associées aux x i du tableau b. Calculer les valeurs z i = y i /y i d une nouvelle variable Z c. Obtenir la moyenne et l écart type de Z 2. Calculer l estimation ponctuelle y 0 3. Avec le niveau de confiance, donner le coefficient u 4. Intervalle : par la formule Exercice 19 Exercice 6 1. c. z= 0, σ Z = 0, a. b. 2. y 0 = 0,07647x + 34,35 = 57,29 3. niveau de confiance : 99% u= y z u ; y z + u ( σ ) ( σ ) 0 α z 0 [57,29(0,9991 2,58 0,047255) ; 57,29(0, ,58 0,047255)] = [50,25 ; 64,22] α z

26 6. Estimation 6.2 Intervalle de confiance Exercice 20 x i y j n ij List1 List2 List y i z i y = x List4 List5 z = y/y 0,8738 0,3433 0,7052 0,4254 z= σ Z = ,6209 0,4832 x 0 = 80 y 0 = x = ,5366 0,5591 0,8738 0,6867 niveau de confiance : 99% u = ,7052 0,8508 0,6209 0,9664 y 0 ( z uασ ) ; z y0 ( z + uασ z ) 0,5366 1,1182 [0.368( ); 0,8738 1, ( )] 0,7052 1,2763 0,6209 1,4495 = [ ; ] 0,5366 1,6772