Modèles multivariés en épidémiologie Application à la régression logistique. Florence Carpentier (AgroParisTech)

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Henriette Lambert
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1 Modèles multivariés en épidémiologie Application à la régression logistique Florence Carpentier (AgroParisTech)

2 Introduction Estimer le lien entre une maladie et plusieurs facteurs (facteur de confusion) Avantages des modèles multivariés : différentes natures facteurs : Quantitatif relation dose-effet Qualitatif OddsRatio pour différents niveaux du facteurs Inconvénients : Modèles Hypothèses à vérifier Plus délicats à manipuler : Choix du modèle Difficile à visualiser Interprétation des coefficients

3 Biais de confusion Question : Quelle est l association entre la fréquence respiratoire d une vache et la concentration élevée en éosinophiles (% parmi leucocytes totaux)? 3

4 Biais de confusion Mais attention 4

Déterminer un biais de confusion potentiel X est un facteur de confusion potentiel si X associée à Edans la population source (En pratique, avec p.

5 Déterminer un biais de confusion potentiel X est un facteur de confusion potentiel si X associée à Edans la population source (En pratique, avec p.value < 0,20) X est associée à Mdans la population source (p.value < 0,20) X n est pas une conséquence de M L.Desquilbet Ces 3 critères sont nécessaires(mais non suffisants) pour que X soit un facteur de confusion. 5

6 Quel modèle de régression multivarié? Le choix d un modèle multivariéest dictée par la nature de la variable maladie (variable Y) Y quantitative : régression linéaire multiple (ANCOVA) Y ε i i = α + β Ei + β j X ji + ε i ~ N(0, σ ²) iid p j= 1 Rappel E( Y ) = α + β E + β X i i p j= 1 j ji 6

7 Modèle (ou régression) logistique Y dichotomique, 0 ou 1 (malade/non-malade) Fréquence de la maladie est mesuré par un risque Etude de prévalence ou d incidence au cours d une période fixée Cas-Témoin Régression linéaire plus possible(y =0 ou 1) Y E 7

8 Les différences par rapport au modèle linéaire classique Y= 0 ou 1 Hypothèse impossible : Y suit une loi normale Y i suit une loi binomiale de paramètre p i E(Y i )=p i On ne peut plus écrire 0 p i 1 p i = E( Y ) = α + β E + β X i i p j= 1 j ji Transformation nécessaire Plusieurs transformations possibles La plus usuelle la transformation logit 8

9 Représentation de la fonction logit Tracer la fonction logit(p)=log(p/(1-p) Aide : Seq(from=0,to=100,by= 10) Graphique plot(y,x) Ligne horizontale abline(h=10) Verticale abline(v=10)

10 Fonctions logistique et sigmoïde Wikipedia Fonction logit Fonction sigmoïde (relation dose-effet) Avec 0 <p< 1, - <logit(p)< + Avec - <x< +, 0<f(x)<1 10

11 Modèle logistique Y i logit( ~ Ber( pi ) p ) i 1 = 1+ exp( ( α + β E p = α + β Ei + β jx ji pi p j= 1 i + j= 1 β X j ji )) Remarque 1: Le modèle est multiplicatif (et pas additif comme le modèle linéaire classique). Remarque 2: Le modèle logistique appartient aux modèles linéaires généralisés (cf cours de statistiques). Y E

12 Interprétation des coefficients dans le modèle logistique Y = 0/1 (malade/non malade) 2 remarques préalables : P=Pr(Y=1 E)= ( (α+ βe) ) log ( )=logit(p)= α+ βe OR 1,0 = /( ) /( ) Ln(OR 1,0 )=logit( )-logit( ) 12

13 E, variable qualitative à 2 classes, E=1 ou 0 P1=Pr(Y=1 E=1) logit(p)= α+ βe logit(p1)= α+ βx1 = α+ β P0=Pr(Y=1 E=0) logit(p0)= α+ βx0 = α Ln(OR)=logit(P 1 ) logit(p 0 )=(α+β)-α = β OR=exp(β) 13

14 Application : Les bactéries streptocoques sont-elles la cause de Charger le tableau Carie.txt read.table caries? Decay: 0/1 : 1 si au moins une carie Hstrep: 0/1 : 1 si nb CFU de streptocoque >120 Calculer le tableau de contingence (table) Estimer le modèle logistique glmhstrep=glm(y~x,family=binomial,data=carie) Quels sont les paramètres estimés? Sont-ils significativement différents de 0? (summary) Quel est l oddsratio entre les personnes avec beaucoup et peu de strep? (coef(mod)) Il y a-t-ilun effet significatif entre hstrepet carie? library(epicalc) logistic.display(mod)

15 Test de Wald : variance de β β, estimation obtenue par maximisation de la vraisemblance Sous H0, Z= β β s β ~ N(0,1) De la même manière, on peut obtenir des intervalle de confiance pour β.

16 Rapport de Vraisemblance On considère deux modèles emboîtés : M1 : logit( )= α+ β Ej+ β i X ij M0 : logit( )= α+ β i X ij Sous H0 : 2ln(L M1 /L M2 ) ~ χ² (1) p i=1 p i=1

17 E, variable qualitative à plusieurs classes Analogue à variable qualitative dans un modèle linéaire classique (ANOVA) Si E possède kclasses, Estimation de k β j Ajout d une contrainte, Le plus souvent une classe est choisie comme témoin β=0 Pk=Pr(Y=1 E=k) P0=Pr(Y=1 E=temoin) logit(pk)= α+ β k logit(p0)= α Log(OR k,0 )= logit(pk)-logit(p0)=β k 0R k,0 =exp(β k ) 17

18 Application Dans le tableau Carie Qstrep: L,Ml,MH,H Calculer le tableau de contingence (table) Estimer le modèle logistique glmqstrep=glm(y~x,family=binomial,data=carie) Quels sont les paramètres estimés? Sont-ils significativement différents de 0? (summary) Changer la classe de référence (relevel) A quel oddsratio sont-ils liés et comment? coef(mod) logistic.display(mod)

19 E, variable quantitative Analogue au modèle de régression linéaire Estimation d un seul paramètre P(x)=Pr(Y=1 E=x) logit(p(x))= α+ β x logit(p(x+1))= α+ β (x+1) Log(OR x+1,x )= logit(p(x+1))-logit(p(x)) = α+ β (x+1) (α+ β x ) = β 0R x+1,x =exp(β) Attention : dépend de l unité de E. 19

20 Application Dans le tableau Carie log10strep: log10 du nombre de CFU colonyformingunits Tracer la var Decay en fonction de log10strep (plot) Estimer le modèle logistique glmstrep=glm(y~x,family=binomial,data=carie) Quels est le paramètres estimés? Est-il significativement différent de 0? (summary) A quel oddsratio est-il lié et comment? coef(mod) logistic.display(mod)

21 Interprétation des coefficients dans le modèle logistique multiple Plusieurs variables E, facteurs d intérêts X j (j=1,,p), facteurs de confusion potentiels p 1 logit( pi ) = α + β Ei + β jx ji pi = p j= 1 1+ exp( ( α + β Ei + β jx ji)) La valeur des β i estimées dépendent de la présence jdes = 1 autres variables Prise en compte des facteurs de confusion (X i ) OR a, ajusté sur les X i «variation du risque d apparition de maladie lorsque seule la variable E est modifiée, l exposition aux variables Xi étant inchangée» OR a =exp(β) 21

22 Exemple 1

24 Intoxication alimentaire Charger le tableau Outbreak Créer la var case (0 si pas de symptome, 1 sinon) et la var eclair.eat(1= mangé éclair, 0 sinon) Représenter les tableaux de contigenceentre maladie et eclair.eat mosaicplot(table(?,?),color=t) Idem avec beefcurry,saltegg et water Calculer le modèle global avec toutes les variables susceptibles d interagir Interpréter les paramètres calculés Expliciter les odds ratio calculés Comparer les oddsratio bruts et ajustés Selon vous quel aliments est la cause de l intoxication???

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