G - DIVISION HARMONIQUE

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1 G - DIVISION HARONIQUE Théorème 1 Etant donnés une droite D, deux points A et B distincts de D, et un réel k 1, il existe un point de D et un seul tel que A B = k. En effet si l on note a, b, x les abscisses respectives de A, B et, l égalité s écrit Or la fonction f définie sur R \ {b} par a x b x = k. f(x) = a x b x prend une fois et une seule toutes les valeurs réelles autres que 1. (Si k = 1, on dira que le point est à l infini). En écrivant la relation A kb = 0 on peut dire également que est le barycentre de A et B affectés des coefficients 1 et k. En particulier, le point se trouve entre A et B si et seulement si k est négatif. Théorème-Définition Etant donnés une droite D, deux points A et B distincts de D et un réel positif k, il existe deux points de D (éventuellement confondus ou à l infini) tels que A B = k. Si on appelle et ces deux points, on dit qu ils partagent AB dans le rapport k. Deux tels points sont dit conjugués harmoniques l un de l autre par rapport à A et B et on dit que (AB, ) est une division harmonique. Les deux points correspondent à A B = k et A B = k et l on peut dire que (AB, ) forme une division harmonique si et seulement si A B = A B.

2 G 2 Un des points est à l intérieur de [A, B ] et l autre à l extérieur. On peut exprimer la division harmonique à l aide des abscisses des points. Si A, B,, ont pour abscisses respectives a, b, x, y, la condition d harmonicité s écrit d où l on tire a x b x = a y b y (1) 2(ab + xy) = (a + b)(x + y). On remarque que cette relation est symétrique. Il en résulte que si (AB, ) est une division harmonique, alors (,AB) en est aussi une. Si l on prend le point A pour origine, la relation (1) devient (2) 2 b = 1 x + 1 y (relation de Descartes). Enfin, si l on prend comme origine le milieu I de AB, on a a = b et (3) xy = a 2. Conséquences : 1. les points et sont toujours du même côté de I 2. si est en I, est à l infini 3. si est en A, est en A 4. si est en B, est en B. Théorème Soit et deux droites du plan, (AB,CD) une division harmonique sur. Si l on projette les quatre points sur, on obtient une nouvelle division harmonique (A B,C D ) C est une conséquence immédiate de l axiome de Thalès. Définition Soit (AB,CD) une division harmonique sur une droite, et O un point (éventuellement infini) non situé sur. On appelle faisceau harmonique le quadruplet de droites passant par O, et par les quatre points A, B, C, D. (Donc si O est à l infini, le quadruplet de droites parallèles à une direction fixe et passant par A, B, C, D). Les quatre droites sont les rayons du faisceau.

3 G 3 Théorème Toute droite est divisée harmoniquement par les rayons d un faisceau harmonique. Si les rayons sont parallèles, c est le théorème précédent. Sinon, soit (AB,CD) la division harmonique définissant le faisceau, et O le point d intersection des rayons. enons par B une parallèle à OA. Elle coupe OC en et OD en N. Dans les triangles semblables DNB et DOA et dans les triangles semblables CB et COA DB DA = BN AO CB CA = B AO. Comme (AB,CD) est une division harmonique, on a DB DA = CB CA d où l on déduit BN = B, donc B est le milieu de N. Coupons le faisceau par une autre droite, et soit A, B, C, D les points d intersection avec les rayons du faisceau. La parallèle à OA passant par B recoupe OC et OD respectivement en et N. Comme N est parallèle à N, on a, en raison de l axiome de Thallès B N = B. En reprenant alors les calculs ci-dessus avec les points A, B, C, D on a D B = B N D A A O et C B = B C A A O et on en déduit alors que D B D A = C B C A. Donc (A B,C D ) est une division harmonique.

4 G 4 O N D A C B N A C B D La démonstration précédente donne une autre façon de caractériser un faisceau harmonique. Théorème Soit (OA, OB; OC, OD) un faisceau de quatre droites. Le faisceau est harmonique si et seulement si les droites OB,OC,OD découpent sur une droite parallèle à OA des segments égaux. Application 1) Construction de C et D connaissant A et B ainsi que le rapport k = u/v. Sur une droite passant par A, on place O tel que OA = u. Sur une parallèle à cette droite passant par B, on place et N tels que B = BN = v. Les droites O et ON coupent alors la droite AB en

5 G 5 C et en D. On a CA CB = AO B = u v et DA DB = AO BN = u v. O u N v A C B D v 2) Construction de D connaissant A, B et C. On mène par A et B deux parallèles. Une sécante passant par C coupe la parallèle passant par A en O. La droite OC recoupe l autre parallèle en. Soit N le symétrique de par rapport à B. Alors ON coupe AB en D. (ême dessin que ci-dessus). 3) Bissectrices d un angle. Si une des droite du faisceau est bissectrice de l angle ĈOD formé par les rayons de l autre couple, le triangle O N a une bissectrice qui est aussi médiane. Il est donc isocèle et OB est orthogonal à N donc à OA. Alors OA est l autre bissectrice de l angle ĈOD.

6 G 6 O N A C B D Définition Soit P un point du plan, D et deux droites distinctes ne contenant pas P. Une droite variable passant par P recoupe D et en A et B. Soit le conjugué de P par rapport à A et B. On appelle polaire de P par rapport aux droites D et l ensemble des points décrits par quand la sécante varie. Théorème La polaire de P par rapport à D et est une droite passant par le point d intersection de D et si elles sont sécantes, ou parallèle à D et sinon. Si l on ajoute aux trois droites précédentes, la droite passant par P et par l intersection de D et de si elles sont sécantes, ou la droite passant par P et parallèle à D et de si elles sont parallèles, on obtient un faisceau harmonique. Remarque : la polaire d un point d une des droites du faisceau (autre que D et ) par rapport à D et est la dernière droite du faisceau. 1) Cas ou D et sont concourantes : D P A B

7 G 7 2) Cas ou D et sont parallèles : D P A B éthode de construction d une polaire Par P on mène deux sécantes qui coupent D et en A, B et A, B respectivement. L intersection de AB et de BA est sur la polaire de P par rapport à D et. En effet, cette polaire passe par les conjugués et de P par rapport à AB et A B respectivement. C est donc aussi la polaire de P par rapport aux droites AB et A B et elle passe par le point d intersection de ces droites. Si D et sont sécantes, la polaire est la droite passant par leur intersection et celle des droites AB et A B. Sinon, c est la parallèle à D et passant par le point d intersection de AB et de BA. 1) Cas ou D et sont concourantes : P A D A polaire B B

8 G 8 2) Cas ou D et sont parallèles : P A A D polaire B B Définition On appelle quadrilatère complet la figure formée de quatre droites de direction différentes. Un tel quadrilatère possède six sommets et trois diagonales joignant deux sommets non situés sur un même côté Théorème L ensemble des points du plan dont le rapport k 0 des distances à deux droites fixes est constant est constitué de deux droites formant avec les premières un faisceau harmonique, sauf lorsque le rapport vaut 1 et que les droites sont parallèles, car dans ce cas on n obtient qu une seule droite. Supposons les droites D et sécantes en O et k = u/v. On se place dans un des cônes formés par D et. Traçons à l intérieur du cône une parallèle à D à la distance u, et une parallèle à à la distance v. Les deux droites se coupent en un point qui vérifie O/O = k, et par homothétie de centre O, tous les points de la droite O conviennent. On trouve une autre droite possible en choisissant l autre cône.

9 O G 9 H u v H D ontrons que ce sont les seules. Soit deux points et distincts dans un des cônes formés par D et. Ils se projettent en H et K sur D et en H et K sur. Si l on a H H = K K = k alors les triangles HH et KK sont semblables. Notons provisoirement A et A les intersections de avec D et. On a alors dans les triangles semblables AH et AK A A = H K et dans les triangles semblables A H et A K mais puisque on en déduit que A A = H K H K = H K A A = A A et puisque et sont distincts, les points A et A sont confondus. Les trois droites D, et sont concourantes en O. Il n y a donc qu une droite de solutions dans le cône choisi.

10 O G 10 K K H H D Il reste à montrer que le faisceau est harmonique. Si est un point qui convient, la parallèle à passant par coupe D en I. Soit le symétrique de par rapport à I. Si se projette en K et K sur D et, on a alors H = K et H = K et répond aussi à la question. De plus les droites O, O et D découpent sur la parallèle à des segments égaux. Donc (D, ;O,O ) est un faisceau harmonique. O K K I H H D

11 G 11 Supposons les droites D et parallèles. Si k 1, on place sur une droite orthogonale à D et les points et tels que H = H H H où H et H sont les points d intersection de la droite orthogonale avec D et respectivement. Les parallèles à D passant par H et H donnent les droites de solutions. Lorsque k = 1, il n y a qu une droite possible équidistante de D et. H H D Propriétés des bissectrices Théorème Le faisceau formé de deux droites et de leurs bissectrices est harmonique. De plus, les deux bissectrices d un angle d un triangle déterminent sur le côté opposé des segments proportionnels aux côtés adjacents. Les bissectrices correspondent au cas k = 1 du théorème précédent. Soit ABC un triangle et D et D les pieds des bissectrices de l angle BAC sur le côté BC. Traçons les parallèles aux bissectrices issues de B. elles recoupent AC en E et E. Les triangles ABE et ABE sont isocèles puisqu ils ont une bissectrice qui est aussi hauteur. Comme les triangles CAD et CEB sont semblables et que AE = AB, on a DB DC = AE AC = AB AC. De même les triangles CAD et CE B sont semblables et AE = AB d où D B D C = AE AC = AB AC.

12 G 12 On en déduit que DB DC = D B D C = AB AC. Ces égalités montrent que (BC,DD ) est une division harmonique et que les segments découpés sur BC par les bissectrices sont proportionnels à AB et AC. E A E D B D C Ce théorème permet de calculer les différents segments en fonction des côtés. En effet, en posant BC = a, AC = b et AB = c on a DB c = DC b = DB + DC b + c = a b + c et D B c = D C b = D C D B c b = a b c d où l on déduit DB, DC, D B, D C. Théorème Soit P un point extérieur à un cercle de centre O, et AB le diamètre porté par la droite OP. Soit T et T les points où les tangentes issues de P touchent le cercle. Alors (TP,TT ;TA,TB) est un faisceau harmonique. D après le théorème des angles inscrites, on a ÂT T = PTA et par symétrie ÂT T = ÂTT. Il en résulte que AT est une bissectrice de PTT, et donc que BT, qui est orthogonal à AT, est l autre bissectrice. Le résultat provient du théorème précédent.

13 G 13 T P A O B T Théorème L ensemble des points du plan dont le rapport des distances à deux points fixes distincts A et B est égal à k est si k = 1, la médiatrice de AB si k 1 un cercle de diamètre DD tel que D et D partagent AB dans le rapport k. Supposons k 1. Si vérifie A/B = k, et si l on regarde les bissectrices de l angle ÂB, on aura, en notant D et D les pieds de ces bissectrices sur AB A B = DA DB = D A D B = k et comme D et D sont orthogonaux, le point est sur le cercle de diamètre DD. Réciproquement, si est sur le cercle de diamètre DD où D et D divisent AB dans le rapport k, les droites D, D forment avec A et B un faisceau harmonique tout en étant orthogonales. Ce sont donc les bissectrices de ÂB et l on a bien DA DB = A B = k. Lorsque k = 1 le cercle est remplacé par la médiatrice de AB (cercle de rayon infini). Remarque : si k < 1, le cercle entoure A. Il entoure B sinon. D A D B

14 G 14 Théorème Soit deux cercles (O,R) et (O,R ) non concentriques, un point du premier, PP un diamètre du second tel que PP soit parallèle à O. Les droites P et P coupent OO en I et I. Alors, les points I et I ne dépendent pas du choix de, et (OO,II ) est une division harmonique. Les points I et I sont les centres de deux homothéties transformant (O,R) en (O,R ). Elles transforment O et O et donc IO IO = R R = O I I O ce qui prouve que (OO,II ) est une division harmonique. Remarques : 1) lorsque R = R, le point I se trouve à l infini et I est le milieu de OO. 2) Si les cercles sont extérieurs, les points I et I sont les points d intersection des tangentes communes aux deux cercles. P O I O I P Théorème Soit trois cercles de rayons distincts dont les centres ne sont pas alignés. Si l on prend ces cercles deux à deux, le théorème précédent permet de définir six points. Ces points sont alignés trois à trois et sont les sommets d un quadrilatère complet. Si l on considère deux homothéties transformant le cercle C i en C j, puis le cercle C j en C k, la composée est une homothétie qui transforme C i en C k. Elle a son centre aligné avec les centres des deux premières

15 G 15 homothéties. On a donc bien un quadrilatère complet. K J J K I I

16 G 16 En particulier, si un cercle est tangent en A et A à deux cercles C et C, la droite AA passe par un des centres d homothétie transformant C en C. Remarque : les centres des cercles tangents à deux cercles fixes sont situés sur une hyperbole, puisque la différence des distances aux centres des cercles fixes est constante.

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