Mécanique du point. Contrôle final. Sans documents - calculatrice autorisée LES NUMEROS DE GROUPE ET DE PROMO DEVRONT ETRE ECRITS SUR LES COPIES

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1 E. S. I. E. E. Année 2013/2014 Mécanique du point SFP-1003 Contrôle final Temps : 3h Mercredi 15/01/2014 Sans documents - calculatrice autorisée E. Algré LES NUMEROS DE GROUPE ET DE PROMO DEVRONT ETRE ECRITS SUR LES COPIES La formule de l accélération d entrainement est donnée et pourra être utilisée si besoin : dω R'/ R ae ( M ) = a( O') R + O' M + Ω R'/ R ( Ω R' / dt Questions de cours R O' M ) 1. Donner la définition d un référentiel non galiléen. 2. Donner l expression de l accélération de Coriolis a c (M ) d un point M de masse m (on désignera par R le référentiel mobile et R le référentiel fixe), puis celle de la force d inertie de Coriolis F ic (M ) appliquée à ce point. 3. Rappeler la loi de composition des vitesses pour un point M. On désignera par O x y z le repère associé au référentiel mobile R et Oxyz le repère associé au référentiel fixe R. 4. Quelle est l expression de la solution de cette équation γ k F0 différentielle & x&+ x& + x = cos( ωt) (Aucune démonstration n est demandée). Que m m m pouvez-vous dire sur l amplitude du mouvement? Que se passe t-il à la résonance Exercice 1: Chute de pluie dans deux référentiels En roulant sous la pluie à 110km/h sur une autoroute plane, un conducteur remarque que les gouttes de pluie ont, vues à travers les vitres latérales de sa voiture, des trajectoires qui font un angle de 80 avec la verticale. Ayant arrêté sa voiture, il remarque que la pluie tombe verticalement. 1. Représenter sur un schéma la situation 2. Dans le référentiel lié au sol, en considérant la pluie comme un point de masse m, appliquer le P.F.D et en déduire l expression de sa vitesse verticale v en fonction de g et t.

2 3. En utilisant la loi de composition des vitesses, en déduire la vitesse V de la pluie par rapport à la voiture se déplaçant à 110km/h Exercice 2: Ascenseur en chute libre On considère un ascenseur A en translation verticale par rapport au sol avec une accélération constante a 0. Un passager lâche une pomme considérée comme un point de masse m sans vitesse initiale. 1. Quel sera le mouvement de la masse dans l ascenseur (Appliquer le P.F.D dans le référentiel de l ascenseur) 2. Que se passe t-il dans le cas où a 0 = g Exercice 3 : Anneau sur cercle tournant Un guide circulaire de centre O et de rayon R 0 est en rotation à la vitesse angulaire constante ω 0. On désigne par R le référentiel attaché à ce guide et Ox y z le repère associé. On g Ω désignera par R le référentiel fixe lié au sol et Oxyz le repère associé. Le O ϕ guide tourne autour de l axe Ox M selon le sens indiqué sur le schéma. Un anneau M, assimilé à un point x matériel de masse m, coulisse sans x frottement sur le cercle. Son mouvement est repéré par l angle ϕ avec l axe Ox. ω 0 y y I. Etude du mouvement dans R 1. Donner l expression du vecteur OM dans la base cylindrique ( u ρ, u ϕ, u Z ) 2. En déduire l expression de la vitesse v( M ) R' de l anneau dans le référentiel R puis celle de l accélération a ( M ) R' de M dans R dans la base cylindrique ( u ρ, u ϕ, u Z ) II. Etude du mouvement dans R

3 1. Donner l expression du vecteur rotation Ω R / R du guide R par rapport au référentiel R (on pourra s aider du schéma) en fonction de ω 0 et de u ϕ u X puis en fonction de ω 0, ϕ, u ρ et 2. Donner l expression de la vitesse d entrainement v e (M ) de M dans la base cylindrique ( u ρ, u ϕ, u Z ) et en déduire la vitesse v ( M ) R du point M dans R. 3. Donner l expression de l accélération d entrainement a e (M ) de M et de l accélération de Coriolis a C (M ) dans la base cylindrique ( u ρ, u ϕ, u Z )et en déduire la vitesse a ( M ) R du point M dans R. III. Application du P.F.D dans R 1. Faire le bilan des forces s appliquant au point M et les représenter sur un schéma. 2. Donner l expression des forces d inerties d entrainement et de Coriolis 3. Appliquer le P.F.D au point M dans R et le projeter sur u ϕ. 4. En utilisant les approximation suivantes (petits angles) sin( ϕ) ϕ et cos(ϕ ) 1, donner l équation différentielle du mouvement. Quelles sont les solutions de cette équation différentielle? Exercice 4 : Ressort sur un plan incliné y Piston motorisé α x

4 Un solide de masse m, accroché par un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0, se déplace sur un plan incliné sans frottement solide. Un piston motorisé faisant un mouvement de va et vient à la pulsation ω (qui peut être modifiée par l expérimentateur) permet de produire une force oscillante F = F ) sur le solide. D autre part, le solide subit une 0 cos(ωt u X force de frottement fluide par l air s exprimant sous la forme : F f = f v(m ) 1. Etablir l expression de longueur l e du ressort lorsque le solide est à l équilibre (piston à l arrêt et solide immobile) en fonction de m, g, α, k et l Dans cette question le piston motorisé ne fonctionne pas. On écarte le solide de sa position d équilibre et on le laisse osciller. On désigne par l la longueur du ressort à l instant t. a) Appliquer le principe fondamental de la dynamique au solide et projeter cette relation sur l axe Ox. b) En déduire l équation différentielle du mouvement de la position x=l-l e. c) Donner la solution de cette équation (aucune démonstration n est demandée) dans le cas de frottements faibles. On considérera que le solide est lâché sans vitesse initiale à x(0)=x On considère désormais que le piston motorisé est en fonctionnement et qu il fonctionne à la pulsation ω a) Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement b) Donner l expression de la solution de cette équation (aucune démonstration n est exigée, mais si elle est faîte elle pourra faire l objet de points bonus)

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