TD- Induction - I: Champ magnétique Correction
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- Edmond Brosseau
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1 TD- Induction - I: Champ magnétique Correction Application 1 : Dans les cartes de champs magnétique suivantes, où le champ est-il le plus intense? Où sont placées les sources? Le courant sort-il ou rentre-t-il du plan de la figure? Le champ est le plus intense là où les lignes de champ sont les plus serrées : c est-à-dire dans la zone centrale où les lignes sont verticales (dans le cas de gauche), et proche des sources (dans le cas de droites). Les lignes de champ tournent autour des sources. On a donc 6 points d arrivée de courant (dans le cas de gauche) et 4 points d arrivée de courant (dans le cas de droite). Pour chacun de ces points sources, on définit le sens du courant (entrant ou sortant du plan de la feuille) à partir du sens des lignes de champ en utilisant la règle de la main droite. On a alors trois spires parallèles (parcourues par des courants de même sens) qui génèrent la carte de champ à gauche, et deux spires parallèles (parcourues par des courants de sens opposé) qui créent la carte de champ à droite. Si la carte de champ à droite est invariante par rotation autour de l axe vertical sur la feuille, alors l axe des deux spires est vertical (comme indiqué sur la figure ci-dessous). Application 2 : On considère un solénoïde infini comportant n = 1, spires par mètre, et parcouru par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme B du champ magnétique à l intérieur du solénoïde. Le solénoïde étant considéré comme infini, on peut utiliser l expression B = µ 0 n I pour déterminer le champ magnétique B à l intérieur. On obtient B = 4π 10-7 x 1, x 0,23 = 3, T Page 1 sur 10
2 Application 3 : La ligne de tension d un trolleybus est à une hauteur de 10 m au-dessus du sol. Elle est rectiligne et transporte un courant de 100 A dans la direction de l Est. Décrire le champ magnétique qu elle produit et calculer sa valeur sous la ligne au niveau du sol. Comparez-le avec le champ magnétique terrestre. Donnée : Champ magnétique créé dans le vide par un conducteur rectiligne infini 0I transportant un courant d intensité I à une distance r de l axe : B 2 r B= 4π 10-7 x 100 / (2π x 10) = T < B terrestre = 4, T Application 4 : On considère une spire circulaire de rayon R = 1,2 cm, parcourue par un courant I = 0,23 A. Déterminer la norme m du moment magnétique de cette distribution. m = π R² I = 10-4 A.m² Application 5 : Donner l'expression du moment magnétique des systèmes suivants : a) Spire carrée de coté a b) Solénoïde de longueur L et de rayon R formé de n spires par unité de longueur. a) m = a² I b) m= π R² I n L Application 6 : Selon le modèle de Bohr de l atome d hydrogène l électron circule autour d un proton sur une orbite de rayon 0,0529 nm à une vitesse de 2, m/s. Calculer le moment orbital de l électron µ B nommé magnétron de Bohr. Par définition du moment magnétique, µ = I S. Il faut donc déterminer l intensité du courant et l aire de l orbite associées à l électron dans le modèle de Bohr de l atome d hydrogène. Le courant est dû à un électron de charge q e qui passe en un point de l orbite à chaque tour, donc une fois par période T, donc I = q e /T. Le périmètre de la circonférence est 2πr, donc T = 2πr / v. Comme S = πr², on obtient : µ B = (q e / T) (πr²) = (q e v / 2πr) (πr²) = q e v r /2, soit µ B = 9, A.m² Exercice 1 : Bobine On considère une bobine de longueur L = 60 cm, de rayon R = 4 cm, parcourue par un courant d intensité i = 0,6 A. 1. La formule du champ dans une bobine infinie est-elle valable pour déterminer le champ dans cette bobine? 2. Déterminer le nombre de spires nécessaires pour obtenir un champ magnétique de 0,001 T. 3. La bobine est réalisée en enroulant un fil de 1,6 mm de diamètre autour d un cylindre en carton. Combien de couches faut-il bobiner pour obtenir le résultat précédent? Correction : 1. L/R=15 donc la formule du champ dans une bobine infinie est valable. 2. B = µ 0 n I avec n = N / L donc N = B L / (µ 0 I) = 0,001 x 0,06 / (4π 10-7 x 0,6) = 800 spires. 3. On note d = 1,5 mm le diamètre du fil. On peut bobiner le long du cylindre N 1 = L / d spires. On a besoin de N=800 spires pour obtenir un champ de 0,001T. Il faut donc utiliser N 2 = N / N 1 = N d / L = 2 couches. Page 2 sur 10
3 Exercice 2 : Spectres de champs magnétiques La carte de champ magnétique ci-contre a été obtenue dans le plan xoz. 1. Préciser où se trouvent les sources du champ et commenter la forme des lignes en leur voisinage. Les lignes de champ s enroulent autour des courants. On peut ainsi localiser quatre points, aux extrémités des segments noirs, qui doivent être des points de passage des fils, parcourus par un courant électrique perpendiculaire au plan. Chacun de ces points est au centre d une ligne de champ quasi circulaire. Au voisinage de l un de ces conducteurs, le champ est principalement créé par ce seul courant, car les autres champs deviennent négligeables. 2. Le spectre magnétique est invariant par rotation autour de (Oz). Préciser la nature des circuits électriques produisant cette carte de champ. L invariance par rotation autour de l axe (Oz) montre que les circuits sont des spires (ou des bobines plates) d axe (Oz). Les segments noirs sont les projections de ces spires dans le plan (xoz). 3. Sur les axes (Ox) et (Oz), où se trouvent les points où le champ est le plus intense? En déduire les sens relatifs de parcours des intensités dans les différents circuits. Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l axe (Oz) ont une section minimale au niveau des spires : c est là que le champ est le plus intense. Les tubes de champ formés par les lignes de champ à proximité de l axe (Ox) ont une section minimale au niveau des spires : c est là que le champ est le plus intense. Pour cela, les champs magnétiques créés par chaque spire doivent s ajouter : ils doivent être orientés dans le même sens. D après la règle de la main droite (appelée aussi règle du bonhomme d Ampère), on en déduit le sens des courants. Les courants circulent dans les deux spires dans des sens opposés. 4. En exploitant les symétries, comparer les intensités des différents courants. Interpréter alors la situation en O. La symétrie des lignes de champ par rapport au plan (yoz) indique que les courants circulant dans les spires ont même intensité. En O les champs créés par chacune des spires sont opposés : le champ résultant est nul. Ceci est cohérent avec le fait que la section d un tube de champ formés par les lignes de champ à proximité de l axe (Oz) ont une section qui devient infinie au niveau de O. Page 3 sur 10
4 5. Quelle modification simple permettrait d obtenir la carte de champ ci-contre, invariante par rotation autour de l axe (Oz)? Reconnaître ce dispositif. On retrouve ici la configuration des bobines de Helmholtz : il suffit d inverser le sens de passage du courant dans l une des spires pour passer d une configuration à l autre. Exercice 3 : Solénoïde Avec un solénoïde de longueur L = 41,2 cm et dont le rayon des spires vaut R = 2,5 cm, une source de courant et un teslamètre, on réalise les expériences suivantes. Expérience 1 On place la sonde au centre du solénoïde et on alimente seulement une partie des spires, sur une longueur l de part et d autre du centre. On mesure l intensité du champ B. l / cm 1,0 2,1 4,1 6,2 10,3 14,4 20,6 B / mt 1,2 2,0 2,6 2,8 3,0 3,0 3,0 Expérience 2 On place la sonde au centre du solénoïde que l on alimente sur toute sa longueur et on fait varier le courant i. On mesure l intensité du champ B. i /A 0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 4,5 5,0 B / mt 0,4 0,7 1,4 2,0 2,7 3,0 3,4 Expérience 3 On alimente le solénoïde sur toute sa longueur et on place la sonde à une distance d du centre. On mesure l intensité du champ B. Page 4 sur 10
5 d / cm 0,0 5,1 10,3 12,6 15,2 17,8 20,6 B / mt 3,0 3,0 3,0 3,0 2,9 2,5 1,8 1. Quel est le nombre de spires N du solénoïde? L/R=16, la relation donnant le champ crée dans une bobine infinie peut donc être utilisée dans l expérience 2. On a ainsi B = µ 0 n i avec n = N / L. On trouve ainsi pour un couple de valeurs (i, B), N = B L / (µ 0 i) = 220 spires. 2. Quelle est la valeur du courant dans les première et troisième expériences? Dans l expérience 1, la mesure de B pour l = 20,6 cm correspond aux conditions de l expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A. Dans l expérience 3, la mesure de B pour d = 0 cm correspond également aux conditions de l expérience 2, avec une intensité i = 4,5 A. 3. À partir de quel rapport entre la longueur alimentée du solénoïde et le rayon des spires le champ au centre est-il donné par l approximation du solénoïde infini avec un écart relatif inférieur à 10 %? Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans l expérience 1, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à l = 5,2 cm, soit un rapport 2l/R = 4,2. 4. Lorsque toutes les spires sont alimentées, sur quelle proportion de la longueur du solénoïde cette approximation est-elle vérifiée avec un écart relatif inférieur à 10 %? Un écart relatif de 10% correspond à un champ magnétique B = 2,7 T, ce qui, dans l expérience 3, correspond (moyennant une interpolation linéaire) à d = 16,5 cm, soit un rapport 2d/R = 0,8. Exercice 4 : Spire Le champ créé par une spire de courant, parcourue par un courant d intensité i, de rayon R, est donné, en un point M qui appartient à l axe de la spire, par la relation où α est l angle sous lequel on voit la spire depuis le point M. 1. Le champ est-il dirigé selon + u z ou suivant - u z? 2. Calculer la norme de B en un point de l axe distant de L = 10 cm du centre de la spire. On prendra R = 2 cm et i = 0,5 A. 1. D après la règle du bonhomme d Ampère, le champ est dirigé selon + u z. 2. sin α = R / (R² + L²) 1/2 donc B = µ 0 i R² / [2 ( R² + L²) 3/2 ] = 10-7 T. Page 5 sur 10
6 Exercice 5 : Modèle classique du magnétisme d un atome 1. Dans une approche classique, un atome d'hydrogène se décrit via un modèle planétaire où un électron mobile de charge -e et de masse m, décrit une orbite circulaire de rayon r autour d'un noyau fixe de charge +e. a) Exprimer, en fonction de m, e, r et la permittivité du vide ε 0, la vitesse v de l'électron sur son orbite, son énergie mécanique E, son moment cinétique L, puis la période T de ce mouvement. b) Sachant que l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène est mesurée à 13,6 ev, calculer la valeur r 0 du rayon de l'orbite correspondant à l'état fondamental de l'atome, puis les valeurs de v et T associées. Que peut-on dire du rayon orbital lorsque l'atome est dans un état excité? 2. a) Expliquer pourquoi l'atome d'hydrogène peut être assimilé, en moyenne au cours du temps, à une petite spire circulaire parcourue par un courant constant I. Exprimer le courant I ainsi que le moment magnétique M associés à l'atome, en fonction de m, e, r et ε 0. b) Lorsque l'atome est dans son état fondamental, évaluer numériquement le courant I, puis les valeurs des champs magnétiques ressentis au niveau du noyau et à des distances égales à 20, 50 et 100 fois le rayon r 0. Comparer au champ magnétique terrestre et conclure. c) Montrer que, quel que soit l'état de l'atome, M et L sont liés par une relation du type : M L où γ, appelé rapport gyromagnétique de l'électron, ne dépend que de constantes fondamentales. Données : Page 6 sur 10
7 Correction : Page 7 sur 10
8 Page 8 sur 10
9 Page 9 sur 10
10 Exercice 6 : Champ magnétique terrestre Le champ magnétique terrestre est décrit en première approximation par le champ magnétique d un dipôle magnétique situé au centre de la Terre O, de moment M=-M u z (M=7, A.m² et u z désigne le vecteur unitaire de l axe géomagnétique de la Terre, qui est légèrement incliné par rapport à l axe de rotation de la Terre). Un point de l espace est repéré par ses coordonnées sphériques (r, Φ, Ψ) par rapport à l axe géomagnétique. En un point suffisamment éloigné de O, les composantes du champ magnétique s écrivent : B r = - µ 0 /(4π) M 2cosΦ / r 3, B Φ = - µ 0 /(4π) M sinφ / r 3 et B Ψ = 0 Calculer la norme du champ magnétique vers le centre de la France métropolitaine, où r = 6300 km et Φ = 42. Correction : On note B la norme du vecteur champ magnétique. B = [B r ² + B Φ ² + B Ψ ²] 1/2 On trouve B = 5, T. Attention : pour calculer les sinus et cosinus, penser à convertir les degrés en radians si la calculatrice est en mode radians, ou à utiliser la calculatrice en mode degrés. Page 10 sur 10
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