Chapitre 3 : Statistiques descriptives

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1 Première ES-L 014/015 Chapitre 3 : Statistiques descriptives Cours 1 Comment résumer une série statistique? 1.1 Le couple médiane - écart interquartile Définition 1 On considère une série statistique ayant un nombre n de valeurs, supposées rangées dans l ordre croissant. On appelle médiane de cette série le nombre Med qui partage cette série en deux parties de même effectif Méthode 1 Détermination de la médiane 1. Premier cas : le nombre de valeurs est impair Dans ce cas, la médiane est la valeur centrale de la série. Par exemple, déterminer la médiane pour la série ci-dessous : On classe les valeurs dans l ordre croissant : On a n =... que l on arrondi à l entier supérieur... La médiane est donc la...-ième valeur : Med =.... Deuxième cas : le nombre de valeurs est pair Dans ce cas, il y a deux valeurs centrales : la médiane est la demi-somme de ces deux valeurs. Par exemple, déterminer la médiane pour la série ci-dessous : On classe les valeurs dans l ordre croissant : On a n =... La médiane est donc la demi-somme de la...-ième valeur et de la...-ième valeur. Med =... = Troisième cas : la série est donnée avec des effectifs Effectif On commence par calculer l effectif total : n =... n est pair, n =..., donc la médiane est la demi-somme de la...-ième valeur et de la...-ième valeur. On calcule les effectifs cumulés croissants pour déterminer la...-ième valeur et la...-ième valeur : Effectif Eff. cumulés On constate que la...-ième valeur est égale à...et la...-ième valeur est égale à..., donc Med =... =... Lycée Émile Duclaux Page 1/5

2 Première ES-L 014/ Quatrième cas : la série est donnée avec des fréquences On calcule les fréquences cumulées croissantes : Valeur Fréquence Valeur Fréquence Fréq. cumulées La médiane est la première valeur pour laquelle la fréquence cumulée dépasse 50%, donc Med =... Définition Le premier quartile Q 1 d une série statistique est la plus petite valeur de cette série telle qu au moins 5% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le deuxième quartile d une série statistique est sa médiane M ed. Le troisième quartile Q 3 d une série statistique est la plus petite valeur de cette série telle qu au moins 75% des valeurs lui soient inférieures ou égales. 50% des valeurs 50% des valeurs Q 1 Med Q 3 5% des valeurs 75% des valeurs Remarque Q 1, Med et Q 3 partagent les valeurs de la série en quatre groupes de même effectif. Méthode Détermination des quartiles 1. Premier cas : on dispose de la liste de toutes les valeurs Soit par exemple la série suivante : On a n =... que l on arrondi à l entier supérieur... La médiane est donc la...-ième valeur : Med =... On a n =... que l on arrondi à l entier supérieur... 4 Le premier quartile Q 1 est don égale à la...-ième valeur : Q 1 =... On a 3n =... que l on arrondi à l entier supérieur... 4 Le premier quartile Q 3 est don égale à la...-ième valeur : Q 3 =... Lycée Émile Duclaux Page /5

3 Première ES-L 014/015. Deuxième cas : la série est donnée avec des effectifs ou des fréquences Dans ce cas, on utilise les effectifs cumulés ou les fréquences cumulées. n 4 =..., donc Q 1 est la...-ième valeur : Q 1 =... 3n 4 =..., donc Q 3 est la...-ième valeur : Q 3 =... On en déduit : Q 1 =... et Q 3 =... Définition 3 Effectif Eff. cumulés Valeur Fréquence Fréq. cumulées On appelle écart interquartile la différence Q 3 Q 1. Remarque Au moins 50% des valeurs de la série sont comprises entre Q 1 et Q 3. À retenir Le couple médiane - écart interquartile est un résumé de la série statistique. La médiane est une caractéristique de position : elle permet de situer les valeurs. L écart interquartile est une caractéristique de dispersion : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées par rapport à la médiane. On résume souvent une série statistique en construisant un diagramme en boîte, appelé aussi boîte à moustache. Il s agit d un rectangle (boîte) dont la longueur correspond à l écart interquartile, dans lequel un segment correspond à la médiane. À gauche et à droite du rectangle, des segments (moustaches) indiquent la distance entre Q 1 et la plus petite valeur de la série et la distance entre Q 3 et la plus grande valeur de la série. x min Q 1 Med Q 3 x max Lycée Émile Duclaux Page 3/5

4 Première ES-L 014/015 Méthode 3 Construction d un diagramme en boîte On commence par calculer Q 1, Med, Q 3. On choisit une échelle sur l axe horizontal afin de faire apparaître les cinq nombres x min, Q 1, Med, Q 3 et x max. On construit le rectangle et les deux segments comme indiqué ci-dessus. Soit par exemple la série déjà étudiée ci-dessus : pour laquelle on avait trouvé : Q 1 =..., Med =..., Q 3 =... Choisissons uneéchelle horizontale de cm pour10 unités (axe gradué de100 à 160), et complétons le diagramme : Le couple moyenne - écart-type L écart-type est un nombre permettant de mesurer la dispersion des valeurs d une série statistique par rapport à sa moyenne (et non plus par rapport à sa médiane). Définition 4 On considère une série statistique comportant k valeurs notées x 1, x,..., x n d effectifs respectifs n 1, n,..., n k. On note n l effectif total : n = n 1 n...n k. On note x la moyenne de cette série. Valeur x 1 x... x k Total Effectif n 1 n... n k n On appelle variance de la série statistique le nombre V égal à la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de cette série. En d autres termes : V = 1 n ( n1 (x 1 x) n (x x)...n k (x k x) ) On appelle écart-type de la série statistique le nombre σ égal à la racine carrée de la variance : σ = V Remarques La lettre grecque σ se lit sigma. La variance est calculée à partir des carrés des valeurs et l écart-type est la racine carrée de la variance. L écart-type s exprime donc dans la même unité que les valeurs de la série. Lycée Émile Duclaux Page 4/5

5 Première ES-L 014/015 Méthode 4 Calcul de l écart-type à la main Considérons par exemple la série statistique représentée par le tableau suivant : L effectif total est : n =..., la moyenne vaut : x =... Complétons le tableau ci-dessous : Valeur x i Effectif n i (x i x) n i La variance est égale à la moyenne de ce dernier tableau : V... D où l écart-type σ... Dans la pratique, on ne calcule pas un écart-type à la main, mais on utilise une calculatrice ou un logiciel. À retenir Le couple moyenne - écart-type est un résumé de la série statistique. La moyenne est une caractéristique de position : elle permet de situer les valeurs. L écart-type est une caractéristique de dispersion : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées par rapport à la moyenne. L écart interquartile ne dépend que des valeurs situées entre Q 1 et Q 3, alors que l écart-type tient compte de toutes les valeurs de la série : il est donc plus sensible aux valeurs extrêmes. Utilisation de la machine Voir les fiches-outil distribuées en classe. Les définitions des quartiles utilisées par les calculatrices ne sont pas les mêmes que les définitions du cours. Il est donc possible que la calculatrice ne donne pas les mêmes valeurs qu une recherche à la main. 3 Étude et comparaison de séries statistiques Nous allons comparer la répartition des taux de chômage des pays de l OCDE avec celle de l ensemble des états du monde. Les données utilisées pour les pays de l OCDE sont issues du site de l OCDE; les données pour les états du monde sont issues de The world factbook (https :// publié par la CIA. Les données se trouvent dans le fichier comparaison chomage.ggb à ouvrir dans GeoGebra. Dans GeoGebra, sélectionner les colonnes B et E, puis choisir l outil Statistiques à plusieurs variables dans le deuxième bouton de commandes : Une fenêtre intitulée Sources de données s ouvre. Cliquer sur le bouton et cocher Utiliser l entête comme titre, puis cliquer sur le bouton Analyser. Une fenêtre intitulée Analyse des données s ouvre. Les diagrammes en boîte des deux séries sont construits avec la même échelle : cela permet de comparer les deux séries. Cliquer sur le bouton pour faire apparaître les résumés statistiques des deux séries. Indiquer pour chaque série : Q 1, Med, Q 3, l écart interquartile, puis la moyenne et l écart-type σ. Utiliser ces données et le graphique pour comparer les deux séries et expliquer les différences. Vous rendrez vos réponses sous la forme d un fichier ODT contenant une copie des diagrammes obtenus. Lycée Émile Duclaux Page 5/5

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