CCP PC - Maths 1

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1 CCP PC - Maths Partie a M M n+ C Notons P M = detxi n+ M le polynôme caractéristique de M et u LC n+ de matrice M dans la base canonique P M est de degré n +, donc admet au moins une racine sur C, donc M admet au moins une valeur propre λ b Soit V un vecteur propre associé à λ D après le théorème de la base incomplète, il existe V 2,, V n+ tels que B = V, V 2,, V n+ soit une base de C n+ Soit Q la matrice de passage de la base canonique à la base B et M = λ m,2 m,n+ mat B u On a : uv = λv donc M 0 m 2,2 m 2,n+ = 0 m n+,2 m n+,n+ Notons N = m 2,2 m 2,n+ m n+,2 m n+,n+, L M,n C : M = Q MQ =, N M n C et L = m,2,, m,n+ λ L 0 n, N c D après l hypothèse faite au début de la question, N est trigonalisable, donc : H GL n C tq S = H NH soit triangulaire supérieure On a : N = HSH et S T n C d On pose R 0,n = 0 n, H : R R = I n+, donc : R GL n+ C et R = R λ LH e Soit M = R M R Posons P = QR : M = P MP = 0 n, S ; S est triangulaire supérieure donc M aussi En conclusion : M est trigonalisable 2 Si n = : toute matrice M M C est triangulaire, donc trigonalisable D après, si toute matrice M M n C est trigonalisable, alors toute matrice M M n+ C est trigonalisable On peut conclure à l aide du principe de récurrence que : toute matrice carrée complexe est trigonalisable 3 a P G x = detxi 3 G = x 3 ; est valeur propre d ordre 3 et G I 3 dim [erg I 3 ] 3 donc G n est pas diagonalisable b rgg I 3 = 2 donc dim [erg I 3 ] =, u = e e 3 engendre erg I 3 et tout autre vecteur propre est de la forme αu donc de première composante m02ppcatex - page

2 α detu, e 2, e 3 = donc B = u, e 2, e 3 est une base de C c Q = 0 0 et Q GQ = 0 L =, 0 et N = est valeur propre double de N et est vecteur propre associé Soit H = ; S = H 2 NH = ; LH =, 0 ; 0 P = QR = ; P GP = matrices semblables ont le même polynôme caractéristique ; les valeurs propres d une matrice triangulaire sont les termes de la diagonale Donc si A M n C est semblable à T T n C, alors les termes diagonaux de T sont les valeurs propres de A 5 a Par hypothèse : j < i s i,j = t i,j = 0 Soit U = ST = u i,j : u i,j = n = s i,t,j Si i > j alors pour < i : s i, = 0 et pour i, > j t,j = 0 donc u i,j = 0 Donc ST T n C Enfin si i = j seul = i donne un terme non nul : u i,i = s i,i t i,i b On prend S = T : T 2 T n C, de t diagonaux t i,i 2 Par récurrence : si T p T n C, de t diagonaux t i,i p, on prend S = T p d où T p+ T n C, de t diagonaux t i,i p+ 6 Soit A M n C D après 2, T T n C, P GL n C tq T = P AP D après 4, les termes diagonaux t,,, t n,n de T sont les valeurs propres λ,, λ n de A D après 5, les termes diagonaux de T sont λ,, λ n ; d après 4 et { T = P A P, ce sont les valeurs propres de A Donc ρa λi = max }, i n = max { λ i, i n} Conclusion : ρa = [ρa] 7 A M n C, ψa existe et ψa 0 ; ψa = 0 A = 0 n ; A M n C, λ C, ψλa = λ ψa ; A, B M n C, ψa + B ψa + ψb : ψ est une norme sur M n C m02ppcatex - page 2

3 Soit U M n C tq i, j, u i,j = : ψu =, U 2 = nu donc ψu 2 = n et si n 2 l inégalité : ψu U ψu ψu n est pas vérifiée, donc ψ n est pas une norme matricielle 8 La norme N et une norme matricielle ϕ sont équivalentes car M n C est un EV de dim finie Par définition : α, β > 0 tq A M n C, αϕa NA βϕa Alors A, B M n C, NAB βϕab βϕaϕb β α 2 NANB 9 Soit, B = P A P et B = P AP, B B = P A AP Soit N une norme matricielle : 0 NB B NP NA ANP d où : NA A 0 qd + NB B 0 qd + Réciproque : si B CV vers B, alors P B P CV vers P BP d où A CV vers A λ 0 a N, T λ = µ 0 λ A de terme général a i,j CV vers A si et seulement si i, j, a i,j a i,j qd + Donc la suite T CV ssi les suites complexes λ et λ µ CV ; ssi [ λ < la limite est alors 0 2 ] ou [ λ = et µ = 0, T = I b P GL 2 C tq P λ 0 AP = D = Alors D 0 λ λ = λ 2 D après 9 A CV ssi D CV Les cas de CV sont : λ i < pour i = et 2 limite 0 2 λ i = et λ j < pour i j λ = λ 2 = c Si A n est pas diagonalisable, nécéssairement ses valeurs propres sont égales D après 2 elle est trigonalisable : P GL 2 C tq P AP = T = λ µ et µ 0 sinon A serait diagonalisable Donc d après a, la suite 0 λ T CV ssi λ < et d après 9, A CV ssi T CV Ici ρa = λ Donc A CV ssi ρa < et la limite est 0 2 d D après b, si A est diagonalisable : A CV vers 0 2 ssi λ < et λ <, ssi ρa < En conclusion de b et c : A CV vers 0 2 ssi ρa < Partie 2 m02ppcatex - page 3

4 a Posons Y = AX : i, y i = j= a i,jx j j, x j N X y i N X M A N X donc N AX M A N X n j= a i,j b C n est un EV de dim finie donc toute norme N sur C n est équivalente à la norme N : α, β > 0 tq X C n, αn X βn X NAX βn AX βm A N X βm A α C A en posant C A = β α M A { } NAX c X 0, C A L ensemble NAX, X C n {0} est une partie non vide et majorée de R donc admet une borne supérieure d Cette borne sup est le plus petit majorant et C A est un majorant donc ÑA C A Dans le cas de la norme N, on peut prendre C A = M A donc : Ñ A M A e X 0 = GX 0 = 0 3 On a : N X 0 =, N GX 0 = 0 0 d où N GX0 N X 0 = 0 Ñ G 0 De plus M G = 0 donc Ñ G 0 Conclusion : Ñ G = M G = 0 2 j, y j = N Y = Soit Z = AY i, z i = n j= a i,jy j j= a i,j M A Si a i0j = 0 alors a i0,jy j = 0 = a i0,j, sinon a i0,jy j = a i0,j car u C, u u u = u Donc z i 0 = j= a i 0,j = M A N Z = M A N AY N Y = M A Ñ A M A En utilisant d on peut conclure : Ñ A = M A 3 a ÑA = 0 X 0, NAX = 0 X 0, AX = 0 X, AX = 0 A = 0 n b X 0, NλAX = λ NAX λ ÑA donc ÑλA λ ÑA c Si λ 0 : ÑA = Ñ λ λa ÑλA λ ÑA ÑλA d où λ λ ÑA = ÑλA Si λ = 0 on a égalité car les 2 membres sont nuls d X 0, N[A+BX] = NAX+BX NAX+NBX N[A+BX] NAX + NBX ÑA+ ÑB donc ÑA + B ÑA+ ÑB e X 0, NAX ÑA NAX ÑA et si X = 0 les 2 membres sont nuls f On déduit de a,c,d que Ñ est une norme sur M n C De plus : A, B M n C, X C n, NABX ÑANBX ÑAÑB d où : ÑAB ÑAÑB Conclusion : Ñ est une norme matricielle sur M n C ce qui en prouve m02ppcatex - page 4

5 l existence 4a Soit λ SpA et X un vecteur propre associé : X 0 et AX = λx NAX = λ donc λ ÑA En particulier pour λ telle que λ = ρa Donc ρa ÑA b Si A = I n : ρa = et X, AX = X donc ÑA = : on a égalité c Si A 0 n alors ÑA 0 d après 3a Si de plus A est nilpotente, sa seule valeur propre est 0 donc ρa = 0 et : ρa < ÑA 5 Si A converge vers 0 n alors ÑA 0 qd + [ρa] = ρa ÑA donc [ρa] 0 qd + D où : ρa < Réciproque admise 6 a De l inégalité vue en 5 on déduit pour N : ρa [ÑA ] b λ SpA αλ SpαA donc ραa = α ρa c On prend α = ρa+ε α > 0 et on applique a : ρa ε = αρa = ρa ρa+ε < car ε > 0 D après le résultat admis de 5, A ε CV vers 0 donc ε tq ε, Ñ A ε A ε = α A Ñ A ε = α ÑA Donc α ÑA ÑA ρa + ε d ε, ρa [ÑA ] ρa+ε : c est la définition de : lim [ÑA ] + Partie 3 0 A = vérifie A 0, A 0 mais pas A > a Soit U = AA ; V = BB i, j, u i,j = = a i,a,j ; v i,j = = b i,b,j Par hyp : i, j, 0 a i,j b i,j et 0 a i,j b i,j donc i, j, 0 u i;j v i,j : 0 AA BB b On prend A = A et B = B et on procède par récurrence c Rappelons que Ñ A = M A Or i, j= a i,j = j= a i,j j= b i,j d où en passant au sup : M A M B donc Ñ A Ñ B d D après b et c :, 0 A B Ñ A Ñ B [Ñ A ] [Ñ B ] d où en passant à la limite : ρa ρb = ρa m02ppcatex - page 5

6 e Par hyp : i, j, 0 a i,j < b i,j Si A 0 n, soit c = sup i,j { ai,j b i,j } On a un nombre fini de termes tous strictement inférieurs à et non tous nuls donc c < et c > 0 Si A = 0 n tout c ]0, [ convient i, a i,j cb i,j donc A cb D après d et II 6b : ρa cρb Enfin B admet au moins une valeur propre non nulle car T rb = i= b i,i > 0 et T rb est la somme des valeurs propres de B Donc ρb > 0 et c < donc cρb < ρb et en conclusion : ρa < ρb 3 Soit V C n tq i, v i = AV = αv donc α SpA et α 0 On en déduit que : α ρa Pour cette matrice on a : M A = α et d après II 2 : Ñ A = M A = α ; d après II 4a ρa Ñ A donc : Ñ A = ρa = α 4 Si α = 0 l inégalité α ρa est évidente Si α > 0, on a i, j= b i,j = α n α i j= a i,j = α B vérifie les hypothèses de 3 donc ρb = α De plus i, j, 0 b i,j a i,j donc 0 B A et d après 2d : ρb ρa Donc n α ρa et α = min i n j= a i,j On a déjà vu que ρa M A et M A = max i n j= a i,j = max i n j= a i,j 5 Soit U = AD x : i, j, u i,j = x j a i,j Soit V = Dx U : i, j, v i,j = u i,j = x j a i,j A et V sont semblables donc ρa = ρv Notons Y = AX : j= v i,j = n j= x ja i,j = yi y donc d après 4 : min i y i ρv ma i d où : min i AX i ρa ma AX i 6 Si X est vecteur propre strictement positif de A : AX = λx et on AX peut appliquer 5 : i, i = λ donc λ ρa λ donc λ = ρa ; { } { } AX les ensembles min i AX i, X > 0 et ma i, X > 0 admettent ρa pour respectivement maximum et minimum m02ppcatex - page 6