Méthodes d Approximation de Solution pour les Problèmes de Physique.

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1 Université de Versailles St-Quentin en Yvelines Département de Mécanique Méthodes d Approimation de Solution pour les Problèmes de Physique.. CHAMPANEY Résumé Ces notes de cours présentent les grandes méthodes d approimation de solution utilisées dans la résolution approchée de problèmes de la physique, de la mécanique et des sciences pour l ingénieur. e principe général de l approimation de solution est tout d abord eposé. Ensuite, la méthode des résidus pondérés, la méthode de Galerkin, la méthode de Ritz et la méthode des Eléments Finis sont brièvement eposées et illustrées chacune par un eemple. Sommaire Introduction. Problème type Problème linéaire Approimation de solutions 3. Forme générale Approimation polynomiale Approimation Éléments Finis 4 3 Méthode des Résidus Pondérés 7 3. Formulation Intégrale Normale 7 3. Méthode des résidus pondérés Méthode de Galerkin Eemple Formulation Faible 3 4. Formulation forte/faible Mise en oeuvre Eemple Minimisation de Fonctionnelle 5 5. Principe Méthode de Ritz Eemple Obtention de la fonctionnelle Conclusions Méthode des Éléments Finis 6. Intérêts Mise en oeuvre Eemple D Conclusions 3 Notes de cours du module MP3 Méthodes Numériques, Maîtrises de de Physique et de Mécanique

2 Introduction Introduction. Problème type On considère un problème de physique posé sur un domaine dont le bord est (figure ). On suppose que la recherche de la solution se ramène à la recherche de la fonction vectorielle u() définie sur. Fig. Domaine d étude On suppose que les équations d équilibre ou de conservation se ramènenent à l équation au dérivées partielles pouvant s écrire sous la forme suivante : (u) = g, (.) où est un opérateur différentiel qui est en général scalaire ou vectoriel. Cette équation de conservation est associée au conditions au limites condensées sous la forme : B(u) = h, (.) où B est lui aussi un opérateur différentiel qui peut être scalaire ou vectoriel. Il peut correspondre à plusieurs conditions au limites de natures différentes appliquées sur des morceau différents de la frontière. De manière générale, la solution du problème eiste dans un espace de dimension infinie. C est-à-dire qu il peut être nécessaire de fournir une infinité d informations scalaires pour représenter la solution (autant qu il y a de points dans le domaine).. Problème linéaire Dans la plupart des eemples étudiés ici, le problème est linéaire, c est à dire que les opérateurs et B sont linéaires : et (α u + α u ) = α (u ) + α (u ), (.3) B(α u + α u ) = α B(u ) + α B(u ). (.4) UVSQ. Champaney

3 Approimation de solutions Approimation de solutions. Forme générale a méthode générale de représentation approchée de la fonction cherchée propose de la représenter par sa projection dans un sous-espace de dimension finie N + dont une base est définie par les N + fonctions φ i () : u() = N q i φ i () (.) i= es composantes scalaires q i deviennent les inconnues du problème et les fonctions de base φ i () sont choisies a priori en fonction de la connaissance qu on peut avoir de la forme de la solution u recherchée. es méthodes de résolution d un problème physique par approimation de solution sont donc des techniques qui permettent le calcul des composantes q i de la solution approchée dans le sous espace de recherche. Il est bien évident que si la solution eacte du problème appartient à ce sous-espace, la technique de calcul des composantes q i se doit de donner la solution eacte. Remarque : Dans la pratique, on peut combiner les méthodes d approimation de solution avec les méthodes d approimation d équation en ne pratiquant l approimation de solution que sur une partie seulement des variables, par eemple : u(,t) = N q i (t)φ i () (.) i= On considère ci-après deu eemples unidimensionnels et un eemple bidimensionnel d approimations. En D, l approimation s écrit. u() = N q i φ i () (.3) i=. Approimation polynomiale approimation polynomiale consiste à choisir comme fonctions de base les monômes simples : φ () = ; φ () = ; φ () = ;... ; φ N () = N qui permetent de générer tous les polynômes de degré N : u() = q + q + q + + q N N a figure présente une approimation polynomiale quadratique (N = ) d une fonction polynomiale cubique. On comprend que ces approimations ne sont efficaces que pour les UVSQ 3. Champaney

4 Approimation de solutions solutions présentant des variations lentes bien réparties dans le domaine d étude à moins d utiliser un nombre très important de fonctions. Par ailleurs, si la fonction à approimer présente une variation rapide dans une partie du domaine d étude et plus lente ailleurs, il est clair que l approimation polynomiale est peu efficace u e..5 u app. q φ.5 q φ..5 q φ Fig. Approimation polynomiale quadratique d un polynôme cubique.3 Approimation Éléments Finis.3. Approimation Éléments Finis D Pour palier ce problème les fonctions d interpolation dite de type éléments finis ont été introduites. e principe est d utiliser des fonctions à variation simple (linéaire ou quadratique) définies par morceau, à support compact et à valeur non nulle autour de certains points particuliers seulement. Ces points sont appelés points d interpolation. a figure 3 présente une base de fonctions linéaires avec 7 points équi-répartis. Par eemple, pour une base de N + fonctions linéaires, on défini les points d interpolation P i (i =,... N) de positions i et la i-ème fonction φ i () est définie par : φ i ( i ) = φ i ( j ) = φ i () linéaire (.4) On constate facilement que l approimation u() = q i φ i () (i =,...,N) est telle que u( i ) = q i. C est à dire que le paramètre q i représente la valeur de la fonction au point d interpolation P i. a figure 4 présente une approimation éléments finis linéaire à 5 points de la même fonction polynomiale cubique que celle approchée par des polynômes sur la figure. Il est bien évident qu entre deu points, l interpolation n est pas de bonne qualité mais la simplicité des fonctions utilisées permet d augmenter facilement de nombre de points. e UVSQ 4. Champaney

5 Approimation de solutions φ φ 4 P P4 φ φ 5 P P5 φ φ 6 P P6 φ φ φ φ 3 φ 4 φ 5 φ 6 φ 3 P3 Fig. 3 Fonctions d interpolation éléments finis u e.5 q 4 φ 4. u app q 3 φ 3 q φ q φ q φ Fig. 4 Approimation éléments finis linéaire d un polynôme cubique UVSQ 5. Champaney

6 Approimation de solutions deuième intérêt de ce type d approimation est la possibilité de répartir les points d interpolation dans le domaine d étude pour approcher au mieu une fonction présentant des disparités de variation. Par eemple, la figure 5 présente une approimation de type éléments finis d une fonction présentant une forte pente à gauche et plus lente à droite. es points d interpolation sont répartis au mieu afin de bien représenter la fonction q φ 4. u app. q φ q φ q 3 φ 3 q 4 φ Fig. 5 Approimation éléments finis linéaire adaptée d une fonction hyperbolique u e q 5 φ 5.3. Approimation Éléments Finis D En dimension deu, on procède de la même manière. e domaine considéré est couvert de points d interpolation. es fonctions de base utilisées sont définies comme en dimension un et vérifient donc les relations (.4). a figure 6 présente un eemple de quelques fonctions de base sur un domaine en utilisant 8 points d interpolation. 3 4 φ 6 φ Fig. 6 Approimation Éléments Finis D : fonctions de base a définition de ces fonctions de base ne peut se faire par la seule donnée des points d interpolation. Il faut aussi définir une triangulation du domaine entre les points. Cette couverture du domaine par des triangles est appelée maillage du domaine. Par etension, on appelle maillage du domaine D l ensemble des segments situés entre les points d interpolation. a figure 7 présente trois approimations de type Éléments Finis d une même fonction à l aide de maillages plus ou moins raffinés. UVSQ 6. Champaney

7 Approimation de solutions Fig. 7 Approimations Éléments Finis D uniformes a figure 8 présente une approimation de la même fonction à l aide d un maillage adapté en tenant compte des variations de la fonction. Fig. 8 Approimation Éléments Finis D adaptée UVSQ 7. Champaney

8 3 Méthode des Résidus Pondérés 3 Méthode des Résidus Pondérés 3. Formulation Intégrale Normale On appelle résidu des équations d équilibre la quantité : R() = (u) g (3.) Intuitivement, on peut remarquer que l équation d équilibre (.) est équivalente à dire que : R().P ()d = (3.) est vrai quelque soit la fonction P (). Il s agit d une projection de l équation d équilibre sur les fonctions de projection P. On appelle maintenant résidu des équations de bord la quantité : R() = B(u) h (3.3) Intuitivement, on peut remarquer que l équation de conditions au limites (.) est équivalente à dire que : R().P ()d = (3.4) est vrai quelque soit la fonction P (). On obtient la formulation intégrale normale du problème en rassemblant les équations (3.) et (3.4). Ainsi l écriture conjointe des conditions d équilibre et de bord (. et.) est équivalente à dire que R().P ()d + R().P ()d = (3.5) est vrai quelques soient les fonctions P () et P (). es espaces et étant disjoints, la proposition précédente reste vraie si les fonctions P () et P () ne sont pas indépendantes. Dans la pratique, on fera le choi le plus simple qui consiste à dire que : P () P () (3.6) 3. Méthode des résidus pondérés 3.. Forme générale orsqu on recherche la solution sous forme approchée telle que présentée au paragraphe (), la méthode des résidus pondérés consiste à calculer les N + composantes q i de la solution approchée par projection sur N + couples de fonctions de projection (P i (), P i ()) : R().P i ()d + R().P i ()d = (i =,...,N). (3.7) UVSQ 8. Champaney

9 3 Méthode des Résidus Pondérés es fonctions (P i (), P i ()) sont appelées fonctions de pondération d où le nom de la méthode. Dans le cas usuel où les fonctions de pondération sont les mêmes sur le contour et dans le domaine (équation 3.6), lorsqu on développe les résidus et qu on introduit l approimation de la solution telle qu elle est définie au paragraphe, on obtient le système suivant : [(q i φ i ()) g.p j ()d+ [B(q i φ i ()) h.p j ()d =,(j =,...,N). (3.8) Dans le cas où les opérateurs et B sont linéaires, la résolution du système (3.5) conduit à la résolution du système algébrique : Kq = f (3.9) où et K ij = f i = P i.(φ j )d + P i.b(φ j )d (3.) P i.gd + P i.hd (3.) 3.. es méthodes des résidus pondérés es choi possibles pour les fonctions de projection P i () sont nombreu. Certains choi particuliers correspondent à des méthodes connues dont voici certaines : a méthode des moments qui consiste à choisir les fonctions de projection P i () telles que : P i ().P j ()d = δ ij (3.) a méthodes de moindres carrés qui est obtenue en prenant : P i = q j [u = [ N q i φ q i () j i= (3.3) a méthode de collocation par sous domaines qui consiste à choisir des fonctions de projection P i constantes sur un sous domaine de et nulles partout ailleurs. a méthode de collocation par points qui consiste à choisir des fonctions de projection P i non nulles en un seul point du domaine. a méthode des fonctions spline qui est obtenue en écrivant la formulation normale morceau par morceau et en imposant des conditions de raccordement de la fonction cherchée et de certaines de ces dérivées. a méthode de Galerkin qui est la plus utilisée et qui est développée dans le paragraphe suivant. Ces méthodes sont détaillées dans l ouvrage de A. e Pourhiet [3 UVSQ 9. Champaney

10 3 Méthode des Résidus Pondérés 3.3 Méthode de Galerkin a méthode des résidus pondérés consiste à utiliser les mêmes fonctions comme fonctions de forme (φ i ()) et comme fonctions de pondération (P i ()). Dans le cas usuel où les fonctions de pondération sont les mêmes sur le contour et dans le domaine (équation 3.6), la formulation devient : R().φ j ()d + R().φ j ()d = (j =,...,N). (3.4) et en développant les résidus : [(q i φ i ()) g.φ j ()d+ [B(q i φ i ()) h.φ j ()d =,(j =,...,N). (3.5) Dans le cas où les opérateurs et B sont linéaires, la résolution du système (3.5) conduit à la résolution du système algébrique : Kq = f (3.6) où et K ij = f i = φ i.(φ j )d + φ i.b(φ j )d (3.7) φ i.gd + φ i.hd (3.8) 3.4 Eemple 3.4. Équation de la chaleur On se pose un problème de conductivité thermique unidimensionnel avec apport volumique de chaleur. T c h k Fig. 9 Problème de conductivité thermique D Dans ce cas, l équation de la chaleur est : k T () = c, [, (3.9) UVSQ. Champaney

11 3 Méthode des Résidus Pondérés où T est la température recherchée (la température de référence est considérée nulle ici), k est le coefficient de conductivité thermique et c est l apport volumique de chaleur. es conditions au limites considérées sont T () =, = (3.) qui correspond à une température imposée nulle à gauche, et k T = h, = (3.) qui correspond à un flu h imposé à droite. a solution eacte de ce problème est bien évidemment une évolution quadratique de la température : T e () = c k + ( h k + c k 3.4. Approimation linéaire ) [, (3.) On cherche ici une approimation linéaire de la solution. C est-à-dire qu on prend N = et que les deu fonctions de forme utilisées sont φ () = ; φ () = approimation linéaire de la solution en température T () est donc cherchée sous la forme : T () = q + q (3.3) équation (3.9) ne pouvant pas être satisfaite, il est clair que la solution approchée qui sera trouvée sera de très mauvaise qualité. e système à résoudre (équation (3.5)) est alors : soit [ T + c k φ j ()d + (T () )φ j () + ( T h k )φ j() =, j =, c k φ j ()d + (q )φ j () + (q h k )φ j() =, j =, qui correspond au système de deu équations à deu inconnues : c k d + q + (q h k ) = c c k d + + (q h k + q + (q h k ) = k ) = c k + (q h k ) = dont la solution est : q = c k q = h k c k T () = c k + (h k c k ) dont on voit clairement qu elle ne satisfait aucune des équations du problème sauf bien sur dans le cas où c = où la solution est linéaire. UVSQ. Champaney

12 3 Méthode des Résidus Pondérés Approimation quadratique On cherche maintenant une approimation quadratique de la solution. C est-à-dire qu on prend N = et que les trois fonctions de forme utilisées sont φ () = ; φ () = ; φ () = ; approimation quadratique de la solution en température T () est donc cherchée sous la forme : T () = q + q + q (3.4) a solution eacte (équation (3.)) étant quadratique, la méthode de Galerkin doit conduire à cette solution. e système à résoudre (équation (3.5)) est alors : soit (q + c k )φ j ()d + (q )φ j () + (q + q h k )φ j() =, j =,, (q + c k ) +q +(q + q h k ) = (q + c k ) (q + c k )3 3 dont la solution est : q = q = h k + c k q = c k +(q + q h k ) = +(q + q h k ) = T () = c k + ( h k + c k ) qui est bien sur la solution eacte du problème (équation 3.). UVSQ. Champaney

13 4 Formulation Faible 4 Formulation Faible 4. Formulation forte/faible a formulation intégrale normale (équation 3.5) définie dans la partie précédente est aussi appelée formulation forte de problème par opposition à la formulation faible définie dans cette partie. e terme fort/faible provient des contraintes de régularité à imposer sur les fonctions de base φ i () employées. Dans l équation différentielle du problème (équation.), on note n k l ordre de dérivation le plus haut de l opérateur par rapport à la k-ème composante du vecteur de variables. Quand on cherche une solution approchée sous la forme (.), il est bien évident que les fonctions de base φ i () employées dans l approimation doivent être n k fois dérivables par rapport à la variable k en tout point du domaine d étude. es fonctions utilisées doivent donc être au moins de classe de continuité n k. Par eemple, les fonctions d approimation de type éléments finis linéaire présentées au paragraphe.3 sont de classe de continuité zéro seulement. Malgré leur coté pratique, leur emploi est donc restreint dans une approimation basée sur la formulation forte du problème. idée de la formulation faible part de la constatation suivante : une intégration par partie de la formulation intégrale normale (3.5) abaisse d une unité le degré de dérivation de la fonction u recherchée. Cela permet d utiliser des fonctions de base de classe n k dans l approimation de la fonction. es conditions de continuité imposées sur les fonctions de base sont donc affaiblies. En intégrant par partie la formulation intégrale normale, on abaisse l ordre de dérivation des fonctions de base φ i () mais en revanche on introduit une dérivation des fonctions de projection P (). es méthodes de collocations qui utilisent des fonctions de projection constantes par morceau ne pourront donc pas être appliquées à la formulation faible du problème. 4. Mise en oeuvre abaissement d une unité de l ordre de dérivation de la formulation intégrale normale est toujours obtenue par application de la relation générale : u v u d = vd + uvn i d (4.) i i qui est bien sûr la formule de Green laquelle est la généralisation à un espace à plusieurs dimensions de la formule d intégration par partie : b a u v d = b a u vd + [uvb a (4.) Cette obtention de la formulation faible par intégration par partie est illustrée ci-dessous sur un eemple unidimensionnel. 4.3 Eemple On reprend l eemple de conductivité thermique du paragraphe 3.4. [ T + c P ()d + (T () )P () + ( T k h )P () =. k UVSQ 3. Champaney

14 4 Formulation Faible En intégrant par partie le premier terme, on obtient : T P [ d + c k P ()d + P T + T ()P () + ( T h )P () = k équation précédente se simplifie fortement en choisissant : et aussi P () = P () P () = P () = ce qui revient à ajouter une contrainte sur les fonctions de projection choisies. On obtient alors la formulation faible du problème de conduction : T P d c k P ()d h P () =, P ()/P () = (4.3) k On applique la méthode de Galerkin en prenant une approimation quadratique de la solution. a condition P () = impose de choisir les fonctions de forme de telle sorte que φ i () =. es seules fonctions à prendre pour l approimation quadratique sont donc : φ () = ; φ () = approimation quadratique de la solution en température T () est donc cherchée sous la forme : T () = q + q e système à résoudre (équation (4.3)) est alors : (q + q ) φ j() d c k φ j()d h k φ j() =, j =, qui correspond au système de deu équations à deu inconnues : c (q + q )d k d h k = soit (q + q )d (q + q ) c k ( 4 3 q 3 + q ) c 3 k 3 dont la solution est : q = h k + c k q = c k qui est la solution eacte du problème. c k d h k = h k = h k = T () = c k + ( h k + c k ) UVSQ 4. Champaney

15 5 Minimisation de Fonctionnelle 5 Minimisation de Fonctionnelle Jusqu ici les résolutions approchées envisagées étaient basées sur le système d équations différentielles obtenue par écriture des équations de conservation tel que présenté dans l introduction. Or, il arrive parfois que des problèmes physiques soient formulés sous forme de stationnarité d une intégrale d énergie. Par eemple, l équilibre de nombreu systèmes mécaniques correspond à la minimisation de leur énergie potentielle totale. Dans cette partie on s intéresse au méthodes d approimation de solution pour des problèmes formulés en terme de minimisation d une fonctionnelle. 5. Principe De manière générale, la fonctionnelle à minimiser est écrite sous la forme : ( ) ( ) J(u) = F,u,..., k u k d + F,u,..., k u k d (5.) où u est la fonction recherchée, F et F sont les fonctions de définition de la fonctionnelle dans le domaine et sur la frontière et k u symbolise tous les termes possibles de dérivation à l ordre k k des composantes de u par rapport à celles de. Si, par ailleurs, la fonction u recherchée doit vérifier des conditions dans le domaine du genre : H(u) =, (5.) et/ou sur le bord du genre : G(u) =, (5.3) le problème devient un problème de minimisation sous contrainte ou problème d optimisation. a méthode classique de prise en compte de ces conditions est de considérer la fonctionnelle étendue : J (u,λ,µ) = J + λ t H(u)d + µ t G(u)d (5.4) dont la stationnarité par rapport à u, λ et µ assure le minimum de la fonctionnelle et la prise en compte des conditions. es termes λ et µ sont appelés multiplicateurs de agrange. a minimisation de la fonctionnelle peut être eprimée analytiquement au travers d une équation différentielle dite équation d Euler. Cette équation dépend de la forme de la fonction F. 5. Méthode de Ritz Plutôt que de chercher à résoudre de manière approchée l équation d Euler, la méthode de Ritz propose de chercher directement la solution approchée qui minimise la fonctionnelle. Comme pour la méthode des résidus pondérés, on utilise une base d approimation : u() = N q i φ i () i= UVSQ 5. Champaney

16 5 Minimisation de Fonctionnelle On eprime la stationnarité de la fonctionnelle par rapport à u en écrivant la stationnarité par rapport à tous les coefficients q i. es q i seront alors solution d un système algébrique. Ce système est symétrique dès lors que le degré de la fonctionnelle par rapport à u et ses dérivées ne dépasse pas deu. J q = J q. J q N = Kq f (5.5) où K et f ne dépendent pas de q. En mécanique, quand la fonctionnelle correspond à une énergie, elle peut s écrire sous la forme : J(q) = qt Kq q t f (5.6) 5.3 Eemple 5.3. Problème et solution eacte Dans cet eemple, on considère un problème d élasticité en mécanique. Une barre élastique de section S et de hauteur h est suspendue et soumise uniquement à son propre poids (figure ). Elle est constituée d un matériau de module d Young E et de masse volumique ρ. E,S,ρ g h Fig. Barre soumise à son propre poids Dans ce problème, on cherche le déplacement u() de chaque section. es inconnues annees sont la déformation ɛ et l effort normal N appliqué sur chaque section : ɛ() = du d ; N() = σs = ESɛ() où σ est la contrainte. équation d équilibre de chaque section droite donne : dn d + ρgh =, [,h (5.7) UVSQ 6. Champaney

17 5 Minimisation de Fonctionnelle et les conditions au limites traduisent un déplacement nul à l encastrement et un effort nul appliqué à l etrémité inférieure : u() = ; N(h) = En écrivant toutes ces équations en fonction du déplacement u on obtient le système à résoudre : trouver u() telle que : qui se résume ici à : d du du (ES ) + ρgs =, u() =, ES d d d h = (5.8) d u d = ρg E, u() =, du d h = (5.9) a solution eacte de ce problème est triviale : u e = ρg (h E ) (5.) 5.3. Minimum de l énergie es problèmes d élasticité peuvent se formuler sous forme de principe de minimum de l énergie : le champ de déplacement u solution est tel qu il vérifie les conditions au limites en déplacement et minimise l énergie potentielle parmi tous les champs de déplacement qui vérifient les conditions en déplacement. énergie potentielle s eprime comme la différence entre l énergie de déformation et le travail des forces etérieures. énergie de déformation est : E d (u) = h σɛd = h ES( du() d ) d et le travail des forces etérieures appliquées est, dans le cas de l eemple étudié, : T (u) = h ρgsu()d e problème précédent est donc : trouver u(), tel que u() = minimisant la fonctionnelle : v()/v() = E p (v) = Solution approchée linéaire h ES( dv() d ) d h ρgsv()d On applique la méthode de Ritz pour chercher une solution approchée sous forme d un polynôme linéaire. C est-à-dire qu on cherche u sous la forme : u () = q φ () + q φ (), φ () =, φ () = UVSQ 7. Champaney

18 5 Minimisation de Fonctionnelle On cherche ici à résoudre le problème de minimisation dans un espace restreint de dimension deu. a solution devant par ailleurs vérifier u() =, on a forcément q =. a seule inconnue du problème est donc q. énergie potentielle est donc : E p (u ) = h ESq h ρgsq d = EShq ρgs h q e minimum de la fonctionnelle dans l espace de recherche est donné par : soit E p q = EShq ρgs h = q = ρgh E u () = ρgh E Solution approchée quadratique On applique cette fois la méthode de Ritz pour chercher une solution approchée sous forme d un polynôme quadratique. C est-à-dire qu on cherche u sous la forme approchée : u () = q φ () + q φ () + q φ (), φ () =, φ () =, φ () = Comme dans le cas précédent, la vérification de la condition u() = impose de choisir q =. On utilise ici la notation matricielle. énergie potentielle est donc : avec E p (u ) = qt Kq fq soit K ij = h ES dφ i dφ j d d d et f i = h ρgsφ i d K = h ES..d = ESh K = K = K K = h h ES..d = ESh ES..d = 4 3 ESh3 et f = h ρgs.d = ρgs h f = h ρgs d = ρgs h3 3 e système à résoudre, correspondant à la minimisation de E p (u ), est : [ h h ES h 4 3 h3 [ q q = ρgs h h 3 3 UVSQ 8. Champaney

19 5 Minimisation de Fonctionnelle dont la solution est : q = ρgh E q = ρg E u () = ρg E ( + h) qui est bien la solution eacte du problème. a figure montre une comparaison entre les solutions approchées linéaire et quadratique. ρgh E u u.. h Fig. Solutions approchées du problème de barre 5.4 Obtention de la fonctionnelle orsque le problème n est pas, par nature, eprimé sous forme de minimisation d une fonctionnelle, il est possible, dans certains cas simples, d eprimer une fonctionnelle à partir de l équation différentielle (.). Dans le cas simple des opérateurs linéaire (équation.3), on peut montrer que l obtention de le fonctionnelle n est possible que si est positif et auto-adjoint. opérateur est positif si il est tel que : u t (u)d, (5.) et que l égalité n est obtenue que pour u =. opérateur est auto-adjoint (ou symétrique) si il est tel que : u t (v)d = v t (u)d +... d. (5.) UVSQ 9. Champaney

20 5 Minimisation de Fonctionnelle a plupart des opérateurs rencontrés dans les problèmes traités ici sont définis positifs et auto-adjoints. Si l opérateur est linéaire, défini positif et auto-adjoint, on peut montrer que la résolution de l équation au dérivées partielles (u) g = dans est équivalente à la minimisation de la fonctionnelle artificielle : J(u) = [ ut (u) u t g +... d (5.3) où le dernier terme dépend des conditions au limites associées (équation.). équation différentielle de départ (équation.) est alors l équation d Euler correspondant à la fonctionnelle J(u). orsque le problème de minimisation est résolu de manière approchée : u() = N q i φ i () i= la minimisation de la fonctionnelle conduit au système : Kq = f (5.4) où et K ij = f i = φ t i (φ j )d + φ t i gd +... d (5.5)... d (5.6) Cette fonctionnelle artificielle correspond à la formulation forte puisque l ordre de dérivation des fonction de base est le même que celui de. Il est toujours possible d appliquer la formule de Green au premier terme pour construire une fonctionnelle (associée à la formulation faible) dans laquelle l ordre de dérivation est abaissé d une unité. 5.5 Conclusions Pour une équation dont on ne connaît pas de fonctionnelle naturelle et qu on souhaite résoudre de manière approchée, deu méthodes sont possibles : la méthode de Galerkin appliquée à la formulation faible des résidus pondérés, la méthode de Ritz appliquée à la fonctionnelle artificielle de l équation différentielle (si elle eiste). Ces deu approches différent par la présence de termes de bord associés au conditions du type u = u d sur le bord. Des choi judicieu de fonctions de base permettent de rendre ces deu méthodes totalement identiques. orsque l une ou l autre de ces deu méthodes est employées avec des fonctions de base de type Éléments Finis, elle devient la méthode communément appelée Méthode des Éléments Finis (MEF) qui fait l objet de la dernière partie. UVSQ. Champaney

21 6 Méthode des Éléments Finis 6 Méthode des Éléments Finis a méthode des Éléments Finis (MEF) n a rien d original en soi. Il s agit simplement d une combinaison d ingrédients qui permettent d obtenir une méthode bien adaptée à la résolution approchée par ordinateur de problèmes de physique. 6. Intérêts On a vu que la méthode de Galerkin appliquée à la formulation faible du problème ou la méthode de Ritz appliquée à la minimisation d une fonctionnelle conduisent à la résolution d un système linéaire de la forme : Kq = f (6.) où les termes de la matrice K s écrivent sous la forme : K ij = φ i (φ j )d par eemple. emploi de la MEF résoud deu problèmes : Tout d abord, le calcul des termes K ij nécessite l intégration sur le domaine. On imagine bien que, dans le cas de domaines D ou 3D de formes complees, le calcul de ces intégrales peut être très délicat. Dans la MEF, les fonctions de base ont pour support de définition les éléments du maillage. De plus ces éléments ont des formes simples (segments, triangles, quadrangles, tétraèdres,...). es intégrations peuvent se faire sur les éléments, élément par élément, en remarquant que :... d M i= Ei... d E (6.) où M est le nombre d éléments du maillage et Ei le domaine couvert par le i-ème élément. a relation précédente n est pas toujours une égalité car, dans le cas de domaines de forme complee, la couverture du domaine par les éléments n est pas forcément eacte comme le montre la figure. Dans la pratique, les intégrales sont calculées numériquement, mais de manière eacte, en utilisant des techniques d intégration numérique telles que la Méthode de Gauss [, 3, par eemple. Ensuite, les termes K ij ou f i sont associés à des fonctions de base φ i ou φ j. es fonctions étant toutes différentes (par nature), les calculs à effectuer sont tous différents. Cette différence de traitement des termes n est pas très pratique pour un traitement numérique du problème. Dans le cas de la MEF, les fonctions sont aussi toutes différentes, bien qu elles aient des formes (chapeau) identiques, les fonctions associées à des points d interpolation du bord sont différentes des fonctions associées à des points intérieurs. Par contre, on remarque que lorsqu on considère la trace des fonctions sur les éléments, toutes les représentations élémentaires ont la même forme. Cela est illustré en dimension un sur la figure 3 et en dimension deu sur la figure 4. UVSQ. Champaney

22 6 Méthode des Éléments Finis Fig. Approimation dans le couverture du domaine φ φ φ φ φ P P P3 P4 P5 φ φ φ φ 3 φ 3 φ 4 φ 4 φ 5 P P P P3 P3 P4 P4 P5 Fig. 3 Découpage en éléments D φ φ 4 φ 3 φ P P3 P4 P P 5 φ P P φ φ 4 φ φ 4 φ 3 P3 P4 P P4 Fig. 4 Découpage en éléments D UVSQ. Champaney

23 6 Méthode des Éléments Finis 6. Mise en oeuvre 6.. Principe es différents termes de la matrice de raideur K et du vecteur des forces généralisées f sont construit élément par élément à l aide de la propriété (6.). D autre part, sur un élément donné, les seules fonctions de base non nulles sont celles associées au noeuds sommets de l élément. Ainsi, les informations nécessaires pour la construction des termes de raideur et de force généralisée sur l élément sont purement locales à l élément. a matrice de raideur K est donc construite comme un assemblage de matrices de rigidité élémentaires. Il en va de même pour le vecteur des forces généralisées f construit comme un assemblage de vecteurs forces généralisées élémentaires. Tous les éléments ayant la même structure, le principe de construction des termes élémentaires est commun à tous les éléments. Il s agit donc de le définir une fois pour toute et de l appliquer ensuite à chacun des éléments. a définition d une méthode des éléments finis pour un type de problème donné passe donc par une première phase de définition des principes de construction des termes élémentaires appelée écriture de l élément. 6.. Différentes étapes de l écriture d un élément A. Choi de la géométrie de l élément D segments droits ou courbes D triangles, quadrangles à bords droits ou courbes 3D tétraèdres, pyramides, prismes, cubes droits ou courbes B. Choi des fonctions de base et des inconnues C. Epression des champs et de leurs dérivées D. Calcul de la matrice de raideur élémentaire E. Calcul des vecteurs forces généralisés élémentaires associés au différentes conditions au limites 6..3 Différentes étapes de la résolution d un problème I. Maillage : découpage du domaine en éléments géométriques II. Choi de la formulation : Choi des fonctions de base III. Calcul des matrices de raideur : calcul des matrices élémentaires puis assemblage de la matrice globale. IV. Calcul du vecteur des forces généralisées : idem V. Prise en compte de C sur les inconnues. VI. Résolution du système linéaire. VII. Détermination du champ en tout point. VIII. Calcul des dérivées sur les éléments. IX. Détermination des réactions au limites. UVSQ 3. Champaney

24 6 Méthode des Éléments Finis 6.3 Eemple D On s intéresse à un problème de Résistance des Matériau où n intervient que la traction. C est un problème de barre élastique. a MEF est ici définie à partir du principe de minimum de l énergie potentielle et de la méthode de Ritz Écriture de l élément A. Géométrie de l élément Compte tenue de la géométrie unidimensionnelle du problème, on considère un élément finis de type segment. On considère une section S et un module d Young E constants. i / / j Fig. 5 Géométrie de l élément Barre B. Choi des fonctions de base On choisit ici des fonctions de base linéaires par morceau telles que celles présentées au paragraphe.3. Sur l élément, elles ont la représentation graphique donnée en figure 6. φ i φ j i / / j eur définition analytique est : Fig. 6 Fonctions de base de l élément Barre φ i () = + et φ j () = + ce qui donne u() = q i ( + ) + q j ( }{{ } + ) }{{ } φ i () φ j () C. Epression du champ et de ses dérivées e déplacement s eprime en notation matricielle : u() = [ + + [ q i q j UVSQ 4. Champaney

25 6 Méthode des Éléments Finis la déformation : ɛ() = du() d ɛ() = [ et enfin la contrainte : = q i q j [ q i q j N() = ESɛ() = ES( q i q j ) N() = [ ES ES [ q i q j D. Matrice de raideur élémentaire Énergie de déformation élémentaire : E d = ESɛ ()d E d = ES(q j q i ) = ES (q j q i ) qu on souhaite écrire sous la forme E d = [ qi q j [Ke [ qi q j soit [K e = [ ES ES On peut aussi l obtenir sous la forme : ES ES = ES [ E d = ESɛ()ɛ()d E d = [ q i q j [ ES [ d [ qi q j Soit : [K e = [ ES = ES [ UVSQ 5. Champaney

26 6 Méthode des Éléments Finis E. Vecteur des forces généralisées De manière générale, le travail des forces etérieures s eprime sous la forme : = F i q i + F j q j + f()u()d Dans le cas de forces concentrées on a donc : [F e = [ Fi F j Pour les forces réparties, l epression dépend de f() : f() constant, f() = f soit : = f [ qj q i + q i + q j d = f( q i + q j ) = [ [ f q i q j f [F e = f [ f() linéaire, f() = f soit : = f = f [ [ qj q i + q i + q j d q j q i = f 6 (q j q i ) [F e = f 6 [ 6.3. Utilisation de l élément On se pose le problème de Résistance des Matériau suivant. Une barre de longueur l, de section S et constitué d un matériau de caractéristique élastique E est soumise à son propre poids (f = ρg). Elle est soumise à une action F à une etrémité en encastrée à l autre. a solution RdM est donnée par l effort normal la déformation N() = f(l ) F, ɛ() = f ES (l ) F ES, UVSQ 6. Champaney

27 6 Méthode des Éléments Finis f g F l Fig. 7 Barre soumise à son propre poids et à une action en bout et le déplacement u() = f (l ES ) F ES. I. Maillage On utilise le maillage présenté sur la figure 8. Il est composé de trois éléments de longueurs identiques et donc de quatre nœuds Fig. 8 Maillage de la barre II. Choi de l élément On utilise l élément défini précédemment. On a alors l = 3. a matrice de raideur est : [K e = ES [ III. Calcul de la matrice de raideur e maillage est défini par le tableau de connectivité. élément nœud i nœud j Tab. Table de connectivité du maillage On pratique l assemblage des matrices élémentaires : q [K = 3ES + q l + q 3 q 4 Ce qui donne : UVSQ 7. Champaney

28 6 Méthode des Éléments Finis [K = 3ES l IV. Calcul du vecteur des forces généralisées Force concentrée sur l élément 3 : [ [F e = F Force répartie sur tous les éléments [F e = [ 6 On pratique l assemblage des vecteurs élémentaires : Ce qui donne : [F = F [F = q q q 3 q F V. Prise en compte des conditions au limites en déplacement a condition d encastrement au nœud s écrit : q =. a façon la plus simple de résoudre est de remplacer le système : par : 3ES l 3ES l q q 3 q 4 q q q 3 q 4 = = F F a première ligne a été supprimée car q n est pas une inconnue. a première colonne est supprimée car q est nulle. UVSQ 8. Champaney

29 6 Méthode des Éléments Finis VI. Résolution du système linéaire e système a pour solution : q = l [ 5 3ES 6 fl F q 3 = l [ 8 fl F 3ES 6 q 4 = l 3ES [ 9 fl 3F 6 VII. Détermination du champ en tout point a figure 9 donne la représentation éléments finis du champ u(). u 3 4 Fig. 9 Déplacement calculé et solution RdM (pour F = fl/6) VIII. Calcul des dérivées sur les éléments a déformation ɛ() et l effort normal N() sont calculés de manière élémentaire : ɛ() = q i q j ce qui donne pour chaque élément : N() = ES q i q j Élément : ɛ() = ES Élément : ɛ() = ES Élément 3 : ɛ() = ES [ 5 6 fl F [ 3 6 fl F [ 6 fl F N() = 5 6 fl F N() = 3 6 fl F N() = 6 fl F Il est intéressant de remarquer que le champ N() n est pas statiquement admissible. UVSQ 9. Champaney

30 6 Méthode des Éléments Finis ε 3 4 Fig. Déformation calculée et solution RdM (pour F = fl/6) IX. Calcul des réactions au appuis e champ N() n étant pas SA, il ne peut être utilisé pour le calcul des réactions au appuis. Pour calculer la réaction R à l encastrement, on peut résoudre : Qui donne 3ES l R = F fl q q q 3 q 4 = 6 + R F UVSQ 3. Champaney

31 7 Conclusions 7 Conclusions UVSQ 3. Champaney

32 Références Références [ Curnier A. : Méthodes Numériques en Mécanique des Solides, Presses Polytechniques et Universitaires Romanes, ausanne, ISBN , 993. [ Euvrard D.: Résolution numérique des équations au dérivées partielles de la physique, de la mécanique et des sciences de l ingénieur, Masson, Paris, ISBN , 994. [3 e Pourhiet A.: Résolution numérique des équations au dérivées partielles: une première approche, Cepadues Editions, Toulouse, ISBN , , [4 Nicaise S.: Analyse numérique et équations au dérivées partielles, Dunod, Paris, ISBN ,. [5 Raviart P.A. et Thomas J.M.: Introduction à l analyse numérique des équations au dérivées partielles, Dunod, Paris, ISBN , 998. UVSQ 3. Champaney