PHILIPPE DESTUYNDER CHARBEL THEODORY

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1 MODÉLISATION MATHÉMATIQUE ET ANALYSE NUMÉRIQUE PHILIPPE DESTUYNDER CHARBEL THEODORY Homogénésaon de srucures mnces en béon armé Modélsaon mahémaque e analyse numérque ome 20 n o (986) p <hp:// _0> AFCET 986 ous dros réservés. L accès aux archves de la revue «Modélsaon mahémaque e analyse numérque» mplque l accord avec les condons générales d ulsaon (hp:// Toue ulsaon commercale ou mpresson sysémaque es consuve d une nfracon pénale. Toue cope ou mpresson de ce fcher do conenr la présene menon de copyrgh. Arcle numérsé dans le cadre du programme Numérsaon de documens ancens mahémaques hp://

2 IWTMEMATVCALMOOQIJMGAIOHUMBCALAHAlYSJS lmoöjsatwhmatrhatiwetwwlysehumèque (Vol 20 n 986 p. 47 à 74) HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES EN BÉTON ARMÉ (*) par Phlppe DESTUYNDER O e Charbel THEODORY ( 2 ) Communqué par P. G. CIARLET Résumé. Une approche pour modélser le comporemen élasque du béon armé es proposée dans cee noe. On ulse la méhode des développemens asympoques conjonemen avec les méhodeslt homogénésaon;lesformulesobenues seronupplqwes à-dfférens ypes d&jerraîlages^ e on en dédura quelques règles praques. Absrac. - A formulaon for modellng he elasc behavour of a renforced concree plae s gven n hs paper. The asympoc expanson echnque s used jonly wh homogenzaon procedures. Applcaons o varous knd of renforcemen are hen dscussed\ from whch praccal rules are deduced. PRÉSENTATION DE L'ÉTUDE Le béon es un maérau essenel en géne cvl. Mas on sa que ses mauvases propréés de réssance à la racon nécesse l'ulsaon d'armaures en fer don la msson es de renforcer les régons sollcées à la racon. Le maérau compose ans fabrqué a en premère approxmaon un comporemen globalemen élasque à condon ouefos que les zones de racon soen rès lmées en volume e en nensé. Ben enendu les caracérsques mécanques de ce mleu dépenden de la façon don les ferrallages son dsposés mas auss du damère des fers ulsés. Nous verrons égalemen que les lasons enre fers (soudés ou épngles vore lbres) jouen un rôle mporan dans la caracérsaon des propréés du béon armé. Dans le calcul des srucures élancées (par exemple les réfrgérans amosphérques des cenrales élecrques) on chos en général une modélsaon sorope (à l'ade d'un module de Young e d'un coeffcen de Posson). En oure la rgdé es la même pour le comporemen membranare ou en flexon (*) Reçu en ocobre 984. O Ecole Cenrale de Pars Chaenay Malabry. ( 2 ) DER EDF Sagare de Thèse DAFECO 9240 Clamar M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque /86/0/47/28/$ 4.80 Mahemacal Modellng and Numercal Analyss AFCET Gauher-Vllars

3 48 P. DESTUYNDER C. THEODORY (au coeffcen d'nere près) alors que le décenrage des plans de ferrallage nflue de manère essenelle sur la rgdé deflexon [] L'obje de ce arcle es de présener une approche mahémaque pour modélser le comporemen d'une coque en béon armé e de dscuer les dfférences enre l'approche classque menonnée plus hau e les résulas obenus. Nous examnerons pluseurs cas de ferrallages e nous donnerons dans chaque cas des rgdés équvalenes. L'oul d'analyse es la méhode des développemens asympoques avec pluseurs pes paramères. Nous prolongeons ans des éudes anéreures sur les plaques e les coques [2 3] e dans un espr dfféren les ravaux de D. Callere sur l'équaon de la dffuson [4]. La méhode es d'alleurs éudée plus en déal dans le cas des composes par Th. Nevers [5]. D'aures déals de calculs qu ne son pas donnés c se rouven dans [6]. I. DESCRIPTION DES STRUCTURES ÉTUDIÉES L'essenel des phénomènes que nous abordons peuven êre modélsés à parr d'une plaque mnce. C'es pourquo nous nous lmerons à cee sua- Ferrallage monodreconnel Ferrallage bdreconnel 2 XXX xxxxxx Ferrallage rdreconnel 3 Fgure. M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

4 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 49 on. Les plans de ferrallages son dsposés parallèlemen à la surface moyenne. La malle de base du ferrallage sera l'une de celles représenées sur la fgure (on jusfera en cours de exe la ermnologe ulsée sur les légendes). Les dmensons de la malle de référence (de l'ordre de l'épasseur) ne permeen pas pour un calcul de srucures de modélser exacemen les pares en béon e celles en fer. C'es pourquo suvan la voe racée par d'aures [7 8 9] nous ulserons une echnque d'homogénésaon. Les consuans c'es-à-dre le fer e le béon son supposés séparémen homogènes élasques e soropes. Nous ne dscuerons pas de la valdé de ces hypohèses car ce n'es pas l'obje de nore éude. H. SYNOPSIS DE LA DÉMARCHE SUIVIE Afn de guder le leceur à ravers les dédales de nos calculs nous donnons c l'dée drecrce de la méhode employée. Nous parons du modèle rdmensonnel de l'élascé lnéare pour une plaque. L'épasseur de la plaque éan consdérée comme un pe paramère (devan les aures dmensons) on ransforme par une affné suvan l'épasseur le modèle nal en un problème équvalen mas posé cee fos sur une plaque don l'épasseur es unare. Pour analyser smulanémen la dépendance du modèle rdmensonnel vs-à-vs d'une par de l'épasseur e d'aure par de la alle des malles de base du ferrallage on nrodu une varable locale servan à décrre le comporemen à l'néreur d'une malle. Cec condu suvan la procédure d'homogénésaon à ransformer le problème nal en un problème à pluseurs échelles fasan explcemen apparaîre comme pe paramère la alle de la malle du ferrallage. Enfn le modèle lme es obenu par un développemen asympoque consdéran les deux pes paramères comme équvalens. On rerouve ans des modèles usuels mas avec des coeffcens de rgdé dédus d'un problème d'homogénésaon (ou de pluseurs). On dscuera en parculer sur les résulas obenus l'nfluence des lasons des fers (soudages ou lgaures). m. LE MODÈLE TRIDIMENSIONNEL D'UNE PLAQUE EN BÉTON ARMÉ La plaque que nous consdérons occupe dans l'espace l'ouver cylndrque Q = G) X ] - 6 8[ où co es la surface moyenne de la plaque e 2 e son épasseur. Les nappes de fers (nous supposerons qu'l y en a deux) son à la coe ± z suvan l'épasseur. vol. 20 n 986

5 50 P. DESTUYNDER C. THEODORY On supposera pour smplfer que les fers son de secon carrée de côé a. Chaque mleu prs séparémen (béon ou acer) es supposé sorope. Ans s <J j désgne la conrane de Pola-Krchhoff e y^ le enseur de déformaon nous adoperons dans chaque mleu la relaon : où E e v désgnen respecvemen le module de Young e le coeffcen de Posson du mleu (Ea va pour l'acer e Eb vb pour le béon). Plus généralemen nous écrrons cee relaon sous la forme : j = <*jk Ira > (O avec la convenon de sommaon sur les ndces répéés. Le champ des déplacemens cnémaquemen admssbles es noé V z en oue généralé. Le prncpe des Travaux Vruels se formule ans (dans Thypohèse des pes déplacemens) : Jf E Jr+ uf- Jf E (2) où gf (respecvemen ƒ ) désgnen les forces de surface applquées à la plaque sur les faces supéreures e nféreures noées F \ (respecvemen les forces de volume). Une formulaon parculèremen praque pour nore propos es celle d'hellnger-ressner que nous rappelons c-après. Désgnons par S e l'espace des champs de conranes symérques sur Ù z : = Ty} (3) e par ^(a T) la forme blnéare défne sur ce espace par : Ja Gj^k (4) où s jkl es le enseur de souplesse c'es-à-dre l'nverse de a jkl. Nous ulserons égalemen la forme blnéare sur l'espace?xf défne par : e (GT) = - Tjdflj = - ljjjv) où Jj( v ) = * $ v j + dj v ù (déformaon lnéare) M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

6 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES e enfn la forme lnéare sur F E défne par : 5 L{v)= - f f v - { g*v. Le sysème d'équaons () e (2) es alors équvalen à rouver un couple (a M) de l'espace 2 xf el que : (5) Nous parons de cee formulaon que le leceur pourra rouver plus en déal dans le lvre de Washzu [0] ou celu de Vald []. IV. EFTXTDELOUPEDANSLADIRECTIONDEX'ÉFAKSEURDELAPLAQUE Nous reprenons c la ransformaon nrodue en [2] e [3] Posons ou d'abord : Q = œ x ]- ans que : r ± = { ± Désgnons ensue par F e l'applcaon qu a un pon M de l'ouver Q assoce le pon M e par : VM = {x l9 x 2 x 3 ) e Q = (x l5 x 2 ex 3 ). S ( > es une foncon quelconque défne sur l'ouver f e on lu assoce <)> e défne sur Q par : ( > e = o F z. (6) On noera en parculer que nous avons les règles de calcul suvanes : () f 4> = ef < ) () (Ü) Jn e Jn dp = ët' a= ' 2 ' (7) \dx 3 ) e dx 3 vol. 20 np 986

7 52 P. DESTUYNDER C. THEODORY Au changemen de foncons précéden nous assocons un changemen d'nconnues de la façon suvane : «Ê(M) - u o F (M) w (M) - EU 3 o F*(M) a ap(m) - a ap o F (M) a a3(m) = f" a a3 o F*(M) [ (8) Un smple calcul condu alors au résula suvan : THÉORÈME : S a f es Vêlemen de V espace E x F consru à parr de a u soluon de (5) à l'ade des formules (8) alors des auss Punque soluon du problème varaonnel suvan : Vx e 2 a o (a\ T) + 2 a 2 (a ) + s 4 a 4 (a x) + où nöw5 avons posé pour des élémens x x arbrare de l'espace ^Lev de Vespace V : Jn Û 2 (T X) = 4 s a3^3 x a3 Xp 3 + ^p 33 (x 33 x ap + x ap x 33 ) Jn Jn a 4 (x X) = x 33 X33» B(XÜ) - - f x y a^ L e W=- f f a v a - j f / 3 ; 3 + f ^ r a j - f ^ r 3 (on suppose le maérau monoclnque en posan a pror : s 3 p Y = s 3 33 a =0). D Remarque : Les espaces Ç e F correspondan à E e F e pour 8 =. G Remarque 2 : La forme lnéare des forces applquées L\ dépend explcemen de e. Pusque le problème à résoudre es lnéare on peu en fa fare appel au héorème de superposon e supposer que les forces applquées à la plaque son elles que : h - e / 3 J h h M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

8 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 53 e que g?* e f? son ndépendans de 8. On consrura ans une soluon (G E f) pour des forces d'un ype parculer mas grâce au prncpe de'supersuperposon l es losble de recombner la soluon assocée à n'mpore quel ype de chargemen. 5. LA MÉTHODE DES ÉCHELLES MULTIPLES COUPLÉE AVEC LA THÉORÏE ASYMP- TOTIQUE DES PLAQUES Le bu de la méhode que nous nous proposons d'applquer es de radure à un nveau macroscopque le comporemen local- du béon armé ferrallé. Rappelons-en brèvemen le prncpe. So x = (x l9 x 2 ) un pon de la surface moyennego de la plaque. Les formes lnéares ou blnéares qu nervennen dans la formulaon du problème (9) son des négrales sur l'ouver Q = x ] [. Or es engendré par des cellules élémenares oues denques so P de alle r (cf. Jîg. 2\ Nous avons donc po_ur oue_foncon_<]>_ défne^ sr_o_l f f f + f + Jn h J- zef^ J- où z désgne le cenre (par exemple) de la malle P(z). On ulse alors sur P(z) un grossssemen local (car la malle de référence es rès pee. On pose à ce effe sur P(z) : Nous avons alors : Jn *«= z a +!!>> a =2. () zep < 2 > Jy J- x 3 ) dy e pusque r\ 2 es l'are de cellule élémenare P(z) le second membre de l'expresson c-dessus converge vers une négrale dsrbuée sur co à savor : lm $(x l9 x 2 x 3 ) = lm $( Zl + x\y u z 2 + T\y 2 x 3 ). ^ Jn ^ J.JrJ- Pour éuder le comporemen asympoque de la soluon du problème (9) on remplacera donc la varable x = (x l5 x 2 ) par le couple z = (z u z 2 ) e j; = (j J 2 ) e ^es négrales sur Q par les négrales sur œ x ] [ x P. Nous en dédusons les règles de calcul suvanes : vol20n l 986 _L = ^ + /_ a= )2 (2) dx a dz a s ôy a

9 54 P. DESTUYNDER C. THEODORY e en suvan J. L. Lons [8] nous ransformons le problème (9) ou un problème asympoquemen équvalen (lorsque r -» 0). Les nconnues apparassen manenan comme des foncons de z y e x 3. Les condons aux lmes du problème physque son exprmées par rappor aux coordonnées z e x 3 sur la fronère de l'ouver œ x ] [. Les condons poran sur la fronère de Y son par conre beaucoup mons évdenes. Nous allons essayer de les nrodure raonnellemen. < ><- > n («C ) Fgure 2. Consdérons deux malles vosnes P(z l ) e P(z 2 ). La connué d'une foncon <j> à l'nerface enre ces deux malles mplque Kï + Ans lorsque les malles son nfnmen pees on rouve que les foncons doven êre pérodques en y pour assurer la connué à rnermalle. Cee condon es ndépendane de ce qu se passe dans la malle mas suppose que oues les malles aen la même dmenson. Nous arons l'aenon sur le fa que cee condon de pérodcé ne s'applque qu'aux foncons connues. Praquemen les déplacemens son connus ans que les conranes normales à la fronère de la cellule. En fa s on ulse une formulaon varaonnelle l suff d'mposer cee condon aux déplacemens. Nous nrodusons par conséquen les espaces de champs de conranes défns sur l'ouver f x Y noé X y e de champs de déplacemens égalemen défns sur f x Y e pérodques en y noé F y. En oure les déplacemens de V y sasfon les condons aux lmes du problème sur la fronère de f. Compe enu du changemen de varables () e de la règle de calcul (2) le problème (9) es remplacé par un nouveau modèle qu lu es asympoquemen équvalen. Il s'énonce ans : M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemaca! Modellng and Numercal Analyss

10 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 55 rouver (a ET \u en )epx V y el que : (3) où é forme blnéare B _ es défne pour des élémens x? arbrares de l'espace X y x V y par : Par alleurs les formes blnéares a 0 a 2 g* e 2? son analogues à a 0 a 2 ÛE 4 e B mas en éendan les négrales sur l'ouver f en des négrales^surf x y. Nous avons ans obenu en (3) un problème où apparassen les deux pes paramères e e r. Le comporemen asympoque de la soluon (a \ T) peu alors êre éudé en chosssan des dépendances parculères enre ces deux pes paramères cee démarche fu suve par D. Callere [4]. Dans le cas du béon armé l es réalse de prendre e = r (au sens des nfnmens pes). Posons donc a pror : nxy (o*n f) = (a e f) = (a 0 M 0 ) + e(a\ M ) + - ec. (5) En reporan l'expresson (5) dans les équaons (3) e en denfan les ermes de même pussance en e nous obenons pour des élémens x v arbrares : 5_ ( jw ) = 0 (6) B. (a J v) = O (7) 2o«) + (x u ) + _ J(T w ) = 0 (8) R{a 9 v) + R^{a\v)^Uv) 9 (9) ec. Le prochan paragraphe es consacré au calcul du erme (a 0 w ). 6. CARACTÉRISATION DU TERME (<r» ) Le prncpe de calcul es denque à celu exposé dans [3]. La prse en compe de la coordonnée y ne pose pas de problèmes nouveaux. Le leceur rouvera les déals de ce calcul dans l'annexe. Résumons les résulas dans le : vol. 20 n 986

11 56 P. DESTUYNDER C. THEODORY THÉORÈME 2 : Le erme (<r w ) soluon des équaons (6)-(9) peu êre obenu de la façon suvane : ou d''abord (a 0 u ) es ndépendan de la coordonnée locale y. Le déplacemen «3 es en oure ndépendan de la coordonnée x 3. Le déplacemen angenel u es affne en x 3 nous poserons : La conrane plane a^p es affne par morceaux dans Vépasseur de la plaque. S on nrodu Y effor résulan e le momen de flexon par : on a d'une par les relaons de comporemen : o 2  H Y (IJ \ m 0 T H d'aure par : r  h + ö a (^a+ - g~) + x 3 3 a / a. j Le csallemen ransverse e la conrane de pncemen son respecvemen donnés par : J- MP - r 3 r -a<> = ÜU -J- (X-J 4" ) Ö Q + I (20) Le champ de conranes planes cr^p es relé dans l'épasseur de la plaque par la lo de comporemen au enseur de déformaons : v% = 4*pnv y H vfe ) - x 3 A^v d^u% (2) öï A aflv es la enseur de rgdé qu dans le béon es : A 2( - v 2 ) " V) ^ 5pv + 8av 6 * + 2 V8ap 8^v } (22) M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modelhng and Numencal Analyss

12 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 57 (E e v désgnan respecvemen le module de Young e le coeffcen de Posson du mleu) ands que dans les plans de ferrallage ce enseur es obenu par homogénésaon : (23) désgnan les ros foncons (W W 2 W 22 ) soluons des problèmes élémenares posés sur la malle de référence Y : W af Y pérodque e Vu e Y pérodque f a^ y> ap ) y K (v) = - F JY h Les enseurs A^v e J^MV son alors exprmés en foncon de ^4 appv par : (24) jh apnv = 3 r fj-l r j- v 2 ^ A3 J- x 3. D (25) Remarque 3 : Le calcul des coeffcens équvalens ne nécesse pas de résoluon de problèmes de flexon mas seulemen celle d'un problème membranare (en fa ros problèmes!). Il en aura éé auremen s on ava adopé l'hypohèse au leu de celle reenue c : T[ ~ 8 Rappelons que r es la alle d'une malle élémenare de ferrallage alors que s es la dem-épasseur de la plaque. Remarque 4 : On a supposé dans la formulaon du héorème 2 que les effors applqués à la plaque éaen ndépendans de la coordonnée locale. Quand cee hypohèse do êre rejeée l suff de remplacer dans le héorème 2 les effors par leur valeur moyenne sur une malle de ferrallage (cee remarque ne s'applque qu'aux composanes f a e f 3!). vol. 20 n 986

13 58 P. DESTUYNDER C. THEODORY Remarque 5 : Pusque la conrane plane a p es affne par morceaux un smple calcul monre que la conrane de csallemen ransverse es parabolque par morceaux. En maéraux composes c'es la conrane mporane car même s elle es fable vs-à-vs des conranes planes elle es à l'orgne des phénomènes de délamnage c l s'agra d'un décollemen des plans de ferrallage. Q 7. RETOUR A LA PLAQUE PHYSIQUE En effecuan la ransformaon nverse de (6) nous pouvons formuler le modèle du héorème 2 à l'ade de vraes grandeurs physques. Ans nous posons : = f a = f J-. "" "^ J-e où a a p désgne la conrane plane dans la plaque. On a les relaons de comporemen : 2 e 3 n ap = 2 ea^u y MV (w) m ap = - -y- *^ ^vw 3 (26) ans que les équaons d'équlbre : = g+ +g- + p 9a g«j ^ «(27) = /3 + 3 «(^a ~ ff. ) + enfn J-e CT 33 = ^3 " " a9a + J-e J-e B " a " Les coeffcens A^v e 7^v son déermnés comme au héorème 2. (28) 8. CALCUL DES RIGIDITÉS ÉQUIVALENTES POUR UN LIT DE FERRAILLAGE UNI- DIRECTIONNEL Nous donnons dans ce paragraphe les consanes de rgdé A a^v dans un plan ferrallé. M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

14 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 59 Pour cela l suff de calculer les foncons W%" soluons des problèmes membranares (24). (L'ndce X désgnan la composane du déplacemen élémenare W* v.) Les noaons son celles de la fgure 3. béon a + b Fgure 3. Cellule de référence. En fa le calcul des correceurs W* se ramène dans le cas présen à la résoluon de ros problèmes monodmensonnels car ls son ndépendans de la coordonnée y x. En oure les foncons W^ son pérodques e défnes à une consane près. On peu donc mposer la condon aux lmes W^ = 0 en y 2 = +. Les équaons son : '2222 d dy 2 e _ô_ dy 2 Par alleurs W\ 2 = W\ 2 = W\ x = 0. La résoluon des équaons précédenes es mmédae e condu aux coeffcens homogénésés à l'ade de la formule (23) : vol. 20 n 986

15 60 P. DESTUYNDER C. THEODORY ^ ^2222 = c r aîm" fr fl 222 2j _ a 222l\ (C) 2 C*22 (29) ^22 A ^222 = 0 aa l22 (b {d)a 2 z(b) 0 + e22(fl) avec «HV22 -v. a uv22 /^ û _ WJ + _ \ ) "2222 a fl 2222 ô «2222(a) ) Dans les formules précédenes a a^v{a\ (respecvemen a a^v(b% désgne les caracérsques de Facer (respecvemen du béon). Les rgdés membranares e flexonnelles de la plaque s'obennen ensue à l'ade des formules (25). Donnons un exemple : 9. CALCUL DES RIGIDITÉS EN FLEXION ET EN MEMBRANE POUR UN DOUBLE LIT DE FERS Consdérons à re d'exemple le cas d'une plaque en béon armé présenan deux ls de fers orhogonaux {cf.fg. 4). On se place dans ce paragraphe dans l'hypohèse où les fers son fablemen soldares. Les coeffcens de rgdé d'un l de fers son dédus de ceux de l'aure par une roaon de ^. Nous avons ans : Ferrallage^-. Ferralage Fgure 4. Cas des ferrallages non soudés à deux couches. M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemaca! Modellng and Numercal Analyss

16 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 6 / f r /F / / y V Fgure 5. Cas de ferrallages soudés dans un même plan. AH X AH _ ^22 s A 2 _ j I 2 AI A 2 _ A X 2222? /l 2222~ /l llll -> ^22 ^22 22 ~ ^ 22 où ^4fp MV (respecvemen A^v) désgnen les coeffcens de rgdé homogénésés dans un l de fers parallèles à la drecon (respecvemen 2). Désgnons alors par s a le damère des fers e par z la coe des plans de ferrallage. Un smple calcul condu à l'ade de la formule (23) aux expressons : -25= S y (3) jh V Z / (z + 2 O 3 8 h ( (32) ) 3 (Zl + 8 O 3 Remarque 6 : On noera sur les expressons (3) e (32) qu'l es nécessare d'avor : z ± + 2 s a < e pour que le ferrallage so néreur à la plaque. vol 20 n 986

17 62 P. DESTUYNDER» C. THEODORY Remarque 7 : Ben que dans le cas de mallages orhogonaux e nvarans dans une roaon de -r nous ayons : nous avons : ^2222 cec à cause du décenrage des nappes de ferrallage par rappor à la surface moyenne de la plaque. Mas la dfférence es d'auan plus fable que les fers son de secon éroe. Remarque 8 : Dans le calcul de A H e de I H nous avons supposé pour smplfer que les fers éaen à secon carrée l'équvalence éan réalsée au nveau de l'are des secons dans les applcaons où on aura des fers ronds. Pour llusrer ces propos donnons quelques résulas numérques. Les résulas son regroupés dans le ableau e une nerpréaon graphque es proposée sur les fgures 8 9 e 0. On y a représené les varaons des coeffcens I^v en foncon du damère de ferrallage e cec pour pluseurs valeurs de la coe z des plans de ferrallage. Les données physques son ndquées dans le ableau 2. TABLEAU (C/wfé 0 3 jmegapascal) ; e a = 04 E. Af a ^22 Af 22 Ff 22 a = 005 a a = OJL O f « ' on TABLEAU 2 (béon) = MPa v (béon) = 0.5 E (acer) = MPa v (acer) = 03 M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemaca! Modellng and Numercal Analyss

18 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 63 h 3600^ LES VALEURS DE F22 (EN FLEXION) X > / / // / / / / /S / / e=ö4e ' ^ ^ ^ ^ ^ ^ LÉGENDE a-béton : îzol Z COEFF^IENT DE PROPORTIONALITÉ DES FERS DANS UNE MAILLE 2a ^fn n JUU \J0 T2 *3 "4 *5 T6 *7 '8 "9 2'0 2' Fgure 6. ^ 500- x LES VALEURS DE F22 (EN FLEXION) / ^ e a = 04e 4850 ^ ^ 480 a ^ ^ ^ ^ " ^ ^ ^ LÉGENDE o^béton A " Z = 0 2 ARR f 4550 j : zuo5 COEFFICIENT DE PROPORTIONALITÉDES FERS DANS UNE MAILLE 2a ^o n louu.q r r 2 >3 >4 r5 r6 r 7 r g r g Fgure 7. vol 20 n 986

19 64 P. DESTUYNDER C. THEODORY LES VALEURS DE F (EN FLEXION) = 04e LÉGENDE a-béton 2: Z2=05-92 Z3 « COEFFICIENT DE PROPORTIONALITÉOES FERS DANS UNE MAILLE 2a Fgure CALCUL DES RIGIDITÉS EN FLEXION ET EN MEMBRANE POUR DES FERS SOUDÉS On reprend c l'exemple d'une dalle en béon armé avec un seul l de fers dans la dem-épasseur. Le réseau de ferrallage es consué de fers réalsan une grlle régulère à malle carrée (jïg* 7). Le calcul des coeffcens nécesse cee fos le calcul des correceurs par une méhode d'élémens fns ; l n'y a pas de soluon analyque. Compe enu de forhorope du maérau homogénésé l y a en fa deux problèmes à résoudre. Le calcul effecf a éé réalsé sur un quar de malle en ulsan les syméres (cf. Annexe 2). L'obenon des rgdés équvalenes se ermne ensue comme au paragraphe 9. Les résulas obenus son comparés à ceux obenus par la méhode décre aux paragraphes 8 e 9 pour des fers non soudés dsposés dans des ls parallèles juxaposés. Pour comparer les rgdés des mleux homogénésés on supposera que les coes moyennes des ls de ferrallage coïncden (coes dans la dem-épasseur). Les valeurs calculées par les deux méhodes son rassemblées dans le ableau 3. Les caracérsques mécanques des maéraux son oujours celles du ableau 2. M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modelhng and Numercal Analyss

20 HOMOGENEISATION DE STRUCTURES MINCES 65 TABLEAU 3 (Unés 0 5 MPa) a = 005 m & a = 04. ^22 ^22 Soudé Mul-couche ^ ^22 ^22 Carré (c>rhorope) Carré anglas (orhorope) Hexagone (sorope) On observera que les rgdés équvalenes son rès légèremen supéreures dans le cas de fers soudés cee propréé pouva ben enendu s'nuer a pror. La fable dfférence enre les résulas des deux méhodes (fers soudés ou fers mulcouches) suggère de reenr la formulaon mul-couche qu es beaucoup plus smple à mere en oeuvre. D'un pon de vue praque le soudage de fers ne semble pas renable. Dans le cas d'une coque mnce don la surface moyenne es ellpque (courbure de même sgne) on sa que l'équlbre es essenellemen rég par les effors membranares à l'excepon des régons sngulères (bords chargemens poncuels ec.) on enend par là que la coque es en équlbre membranare. Très souven la coque membranare es sosaque c'es-à-dre que les effors résulans peuven êre déermnés ndépendammen de la lo de comporemen (pourvu qu'aucune dsconnué n'apparasse). Dans ce cas le ferrallage a pour seul effe de reculer la lme de rupure. Par conre dans le cas de coques à courbure gaussenne négave (hyperboloïde par exemple) les zones de flexon peuven apparaîre plus faclemen dans la coque (la coque es mons rade). Le ferrallage a alors pour effe de conrarer l'apparon de ces zones e cec ben enendu d'auan plus que les fers son excenrés par rappor à la surface moyenne de la coque. C'es précsémen dans ces zones que le csallemen ransverse es le plus mporan ben qu'l demeure néglgeable devan les effors plans. Son effe es mporan dans la mesure où l peu provoquer un délamnage vol. 20n l 986

21 66 P. DESTUYNDER C. THEODORY des ls de ferrallage avec le béon l'adhérence fers-béon éan fragle (on l'amélore habuellemen en ulsan des fers orsadés). Le comporemen d'une coque délamnée es alors un nouveau problème que nous n'avons pas abordé c.. CONCLUSION L'éude que nous avons présenée c n'es qu'une premère éape dans la modélsaon du béon armé. C'es sans doue la plus facle. Une approche plus réalse nécesse la prse en compe de l'endommagemen sous ses dfférenes formes (noammen pour prendre en compe le délamnage des plans de ferrallage). Reenons cependan qu'l exse des formules smples dans le cas élasque permean de calculer les rgdés équvalenes d'un béon armé (paragraphes 8 e 9). BIBLIOGRAPHIE [] G. LACOMBE Cours de Géne Cvl Ecole Cenrale Pars 983. [2] P. G. CIARLET Ph. DESTUYNDER : A jusfcaon of he wo dmensonal lnear plae model Journal de Mécanque 8 (979) [3] Ph. DESTUYNDER Sur une Jusfcaon Mahémaque des Théores de Plaques e de Coques en Elascé Lnéare Thèse d'ea Unversé Perre e Mare Cure Pars 980. [4] D. CAILLERIE The effec of a hn ncluson of hgh rîgdy n an elasc body Mah. Mehs. AppL Sc. 2 (980) [5] Th NEVERS Rappor de recherche STCN Marne Naonale Pars (à paraîre). [6] C. THEODORY Thèse de rosème cycle Déparemen MMN-EDF-DER I.S.T.N [7] E. SÀNCHEZ-PALENCIA Non Homogeneous Meda and Vbraon Theory Lecure Noes n Physcs 27 Sprnger-Verlag Hedelberg 980. [8] A. BENSOUSSAN J. L LIONS G. PAPANICOLAOU Asympoc Analyss for Perodc Srucures Norh Holland Amserdam 978. [9] G. DUVAUT Comporemen macroscopque d'une plaque perforée pérodquemen dans Sngular Perurbaons and Boundary Layer Theory pp Lecure Noes n Mahemacs 554 Sprnger-Verlag Hedelberg 977. [0] K. WASHIZU Varaonal Mehods n Elascy and Plascy Pergamon Oxfoud 975. [] R. VALID La Mécanque des Mleux Connus e le Calcul des Srucures Eyrolles Pars 977. [2] S. TIMOSHENKO W. WOINOWSKY-KRIEGER Theory of Plaes and shells. McGra^v- Hll 959. M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

22 HOMOGENEISATION DE STRUCTURES MINCES 67 ANNEXE CALCUL DU TERME (<r n ) Explcons les relaons (6) e (7). Nous obenons ans pour des élémens ( v) arbrares : -f w*<«> Jnxy (A.O) jqxy JQXY Xa Ces équaons mplquen : = o e M Par conséquen u es un déplacemen solde en la varable y = (y a \ so : f u\ = M?(Z x 3 ) - y 2 b{z x 3 ) \ u 2 = w^(z 5 x 3 ) + y è(z x 3 ) par alleurs «3 es ndépendan de la coordonnée y %. En fa la condon de pérodcé en y nécesse 6 = 0. Par conséquen w es ndépendan de y. Consdérons manenan la premère relaon (9) elle condu à ros équaons : V.3 ' I V QxY -f vv(» )-f o*v o Jl* Y %Jl */S2 x y (A.l) (A-2) VT 33 «2 = 0. (A.3) Les deux dernères relaons mplquen d'une par : d 3 u 3 = 0 e d'aure par en chosssan x^ ndépendan de y x da "2 = 0 vol 20n"l 986

23 68 P. DESTUYNDER C. THEODORY ce qu mplque que u es un champ de Krchhoff-Love so compe enu de l'ndépendance en y : u = u%(z) (ndépendan de x 3 ) u«= î (z) - *3 3J4 (OÙ U ne dépend que de z). ƒ (A * 4l) La relaon (A. ) compe enu de (A.4^ es équvalene à : S«fv <v = Y a fj(w ) + Y«p(M ) L'nverson de cee relaon condu à : <*% = ^Pl»v Ynv(w ) + a«p M v YMVC" ) (A.4 2 ) Ce qu en reporan cee relaon dans la seconde équaon (A.O) condu à : J<ax]-ll[xY -û>x]-[xy La soluon générale (en u) de cee équaon peu êre obenue comme la somme d'une soluon parculère (avec second membre) e d'un élémen quelconque du noyau de l'opéraeur du premer membre so : Wf. Le erme u\ es pour l'nsan arbrare. L'équaon (A.2) nous apprend néanmons qu'l es ndépendan de y a. Les foncons W*** son les composanes (pour a = e 2) de ros champs de déplacemens de l'espace V Y soluons (à un champ consan en y près) des équaons : V Y (car Wf = 0) f La résoluon de l'équaon (A. 5) se fa en praque sur la malle de référence Y. On noera que d'une par le champ de déplacemens W x^ es parallèle à la surface moyenne co de la plaque e d'aure par la dépendance en les coordonnées y e x 3 se fa par l'nermédare des coeffcens a apys. Consdérons manenan l'équaon (9) e lmons-nous à des champs M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

24 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 6 9 vruels v de l'espace F c'es-à-dre ndépendans de la coordonnée y. Nous obenons ans : Vue F B(a 9 v) = L(v). Cee relaon s'explce de la façon suvane (pour des champs v de l'espace V) : <j?p ^0 + f <& S 3 v a = f ^ >. + f ƒ? a (A.6) JQXY Jnxy Jr* xy Jnxy f a a 3 Ô.73 + f a 33 Ô 3 v 3 = f flfj»3 + f / 3 % (A.7) Jnxy Jnxy Jr* xy Jnxy Inrodusons les conranes macroscopques défnes par : So : e ou f o f Ç + Ç I V"0 3 * I V â I /" ± l. / * / À O\ I Zé a ÖJ)a + I 2* >Ï Ö-xV = I (j V + I ƒ? (A.Ö) I ap (X p I ŒJ J a a a I ^/o o? V y Jn Jn Jr* Jn 2 a3 ^3 + ^33 ^3^3 = G^? 3 + f 3 V 3 (A.9) Jn Jn Jr* Jn Par alleurs les équaons (A.4 X ) e (A.4 2 ) mplquen : L.0) On nrodu habuellemen : C'es le enseur de rgdé plane homogénésé. Il dépend de la coordonnée x 3. Ans lorsque x 3 ne correspond pas à la côe d'un l de fers le déplacemen es nul e par sue : vol. 20 n 986

25 70 P. DESTUYNDER C. THEODORY (la nullé de W^ s'oben en effecuan une négraon par pares dans le second membre de (A. 5) ce qu compe enu de la pérodcé donne zéro). Ben enendu la relaon c-dessus n'es plus valable s x 3 correspond à la côe d'un plan de ferrallage. En négran les équaons d'équlbre (A. 8) e (A.9) on dédu l'expresson des conranes de csallemen ransverse e de pncemen : 2 = - G' - }~ j (A. U) Consdérons manenan les équaons (A.8) e (A.9) dans lesquelles nous nous lmerons à des champs vruels v m ndépendans de x 3. Nous obenons ans : e en ulsan (A. 0) : >>-^L[ G - +G " + J»- z 2 ) ; f ^V Y.fe ) Y» = [ \G: + G- + f (A. 2) avec : r An' I J (A \%\ J-l Le découplage enre les ermes ^ e d m M 3 nécesse ben enendu que la plaque so symérque par rappor à la surface moyenne. Pour ermner chosssons dans (A.8) e (A.9) des champs vruels de la forme suvane : f v 3 es ndépendan de x 3 (l ne dépend donc que de z a ) Nous obenons ans : M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

26 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 7 \ \ \ - X 3 2 pj d a çv 3 = f Ô3 V 3 + f 6a 3.>3 ' JÜ>LJ-I J Ja> Jeo avec : f 3 = G 3 + G 3 + F 3 2a =- J-l En posan : f f *apnv I -^3 "ap^v J- on oben le modèle de flexon don u% es soluon : f «f f Vv 3 (z u z 2 ) /*p M v^«p"3^3= 63^3+ ô«5«%. (A. 4) II conven de prendre en compe les condons aux lmes que doven sasfare les déplacemens u e u% sur la fronère de œ. Dans le cas d'un bord encasré on a par exemple : u = u% = -^- = 0 I - - désgne la dérvée normale sur la fronère de co J. \ / L'ensemble des équaons (A. ) (A. 2) e (A. 4) démonre le héorème 2. ANNEXE 2 CALCUL DES CORRECTEURS SUR LA MAILLE DE RÉFÉRENCE DANS LE CAS SOUDÉ Nous donnons c-après la modélsaon par élémens fns qu a éé reenue pour chacune des malles élémenares dans le calcul des correceurs. Compe enu des syméres des problèmes à résoudre nous avons reenu des fracons de malle. Les condons de pérodcé devennen des condons de Drchle ou de Neuman homogènes pour de elles sous-malles ce qu smplfe la résoluon numérque. vol. 20 n 986

27 72 P. DESTUYNDER C. THEODORY Fgure A.l. Cellule bdreconnelle. 0 0 r *. I s l l o f I r r l. f l r JL l * l r f l l > l l r r. o l l I l l».. r É 0 aa IIÜBI IIÜBI B B B IIÜBI IIÜBI IIÜBI a IIÜBI IIIIBI IIÜBI IIÜBI ml ml B B B B B B B B B B B B B ab PB PB BPB BPB BBPB fl opj BPJ nu B PB PB B BPB B El PB B fl fl PJ Im Bpj BPB fl PV fl PJ fl PB H Pj El PJ El PJ mm BP j B ml mm PB BPB El PI El m( l B PB B B LlBPB B BP j El PJ m BFV B BPB BPV ml BPB LJ ml PB 3 Ll PB fl PB B El B BPJ m B PB LJBPB fl PV nul B B B B B B B B j ml *m Q LJB B B B 3m fl PB fl PJ fl PJ m Pj fl PB EPEP fl PJ ml 3 BPBJ PB 3m\ BPB B El PB mb B PV El PV n nu ml BPB BPB 3mmB fl LJ PJ p BPB LJ PB BPB EP BPV ml l B B B B B B B B B B B ml m fl PB BPBJfl ml PI B B fl PV PJ pj fl PJ BPJ fl PJ BPB Ep fl PI PJ PJ un3m\ BPB BPB l BPJ PB B PJ PB PJ El El PJ El PJ B Pj B PB B PV EPB El PV El m ml un 3m. BPB B B BPB BPJ B PB n El BPB El PJ El PJ El m B B m\ BPV 3 ml ml 3m. BPB PB mpj BPB Bp j El El BI BPJ PJ PB BPJ BPJ BPJ PJ BPB 3m\ fl PV 3m ml 3m BPB BPB El El El PB BPB El PI El PJ El El PI El PB BPJ BPB m VI B mm nu UMI 3m. Bpa BPB mpb B BPB BPB El El PI BPB PB El BPB BPV B 3m\ PV mm ml B nul3wmb BPV BPB BPB BPB BPB BPJ BPB BPJ El PJ BP j B l PV mmmb mm B El B B un 3m PB BPJ BPBJBPJ PB B BPJ PJ B B BPJ BPJ pj m BPJ mmm PJ PJ mlmb El B ElB H H El ElH El ElB B B B 0.5 B B m3 3 3 B fl PV PB B PV B PB BPV B PB B Mfl El PI HP I IIÜBI B Bm Bm» B B fl B fl PB B PB PB B BPB BP I El BPB El PV BPB fl PI BPB BPJ BPJ B B M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss

28 HOMOGÉNÉISATION DE STRUCTURES MINCES 73 Fgure A.2. Cellule quadrdreconnelle vol. 20 nm 986

29 74 P. DESTUYNDER C. THEODORY Fgure A.3. Cellule sorope. o rv M 2 AN Modélsaon mahémaque e Analyse numérque Mahemacal Modellng and Numercal Analyss