) et P(A 2. ) définie pour tout entier k 2 par u k = P( A k) ) pour tout entier k 1. P(A k. )= k 2 k+1 pour tout k 1.

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Download ") et P(A 2. ) définie pour tout entier k 2 par u k = P( A k) ) pour tout entier k 1. P(A k. )= k 2 k+1 pour tout k 1."

Jeanne Bellefleur
il y a 6 ans
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1 Kholle B Programme 8 javier 03 Sujet Exercice : Soit u ombre réel p tel que 0 < p <. O réalise ue suite de lacers d'ue pièce, chaque lacer ameat «pile» avec la probabilité p ou «face» avec la probabilité q = p. Pour tout etier k o ul, soit l'évèemet A k «o obtiet pour la première fois la séquece «pile» suivi de «face» aux lacers k et k+». Calculer P (A ) et P(A ) O ote P i l'évèemet «PILE est sorti au lacer o i». Alors A =P P Par idépedace : P(A )=P( P ) ( P(P ))=pq Et A =P P 3 D'où P(A )=P(P ) ( P(P 3 ))=pq. Motrer que k,o a P(A k )=q P( A k )+p k q L'évéemet A k est réalisé das deux cas disjoits :. Le premier lacer doe PILE. Alors tous les autres doet PILE jusqu'à la séquece fiale PILE FACE. Probabilité de cette séquece : p k q. Le premier lacer doe FACE. Puis la séquece suivate (doc de k lacers) doe PILE FACE pour la première fois au lacers k- et k. Probabilité de cette séquece : qp(a k ) D'où le résultat. 3. E faisat iterveir la suite (u k ) défiie pour tout etier k par u k = P( A k) P (A k ) pour tout etier k. q k, détermier O obtiet u k =u k + pk q k Deux cas : A/ si Et efi : B/ sio O a p=q=( ) u k=u k + D'où P(A k )= k k+ pour tout k. u k u k =q( p q ) k k E sommat : u k u = q( p i i= q ) ( ( p k Doc u k =u +p q ) ) u k =u + k = P(A ) =q( p ( p k q ) q ) p q ( ( p k =p+p q ) ) ( ( p k =p q ) ) + k = k Efi P(A k )=pq k +p q q k p k

2 4. Motrer que P( A k )= k= Toutes les séries e jeu ici sot des séries géométriques ou dérivées de géométriques. Si p=q= Sio, k= k P(A k )= k= k+=( ) ( = ) k= P(A k )==p q k + p q ( k= =q+ p q ( pq )=q+p= k= q k k= p k )= pq q + p q ( q p )=q+ p q ( p q ) Exercice Comme au Loto, o tire au hasard uméros différets de à 49. Quelle est la probabilité d'obteir au mois uméros cosécutifs? Nombre total de tirages possibles : C 49 Cherchos la probabilité de e pas avoir deux uméros cosécutifs (évéemet complémetaire). Cosidéros u tel tirage x, x, x3, x4, x5 et x ordoé par uméros croissats. Soit E() l'esemble des suites croissates de etiers compris etre et. Soit F() l'esemble des suites croissates de etiers o cosécutifs compris etre et. O cherche doc card (F(49)) Et cosidéros l'applicatio f de F(49) das E(44) qui au tirage (x,x,x3,x4,x5,x) associe (x, x-, x3-,x4-3,x5-4,x-5) O vérifie que (x, x-, x3-,x4-3,x5-4,x-5) est bie ue suite croissate d'élémets de E(44). De plus f est ue bijectio de faço évidete. Efi, il est clair que 'importe quelle suite croissate d'élémets de E(44) a u atécédet par f das F(49). Doc E(44) et F(49) ot même ombre d'élémets. Efi, card (F(44)) = C 44 (il y a autat de suites croissates de etiers que de faço de choisir etiers disticts). Doc le ombre de tirages sas uméros cosécutifs est : C 44 Doc la probabilité cherchée est C 44 Exercice 3 Pour tout etier o pose :. Motrer que lim I = I =0 C 49 cos x si x dx

3 Sur Doc, x [ ; 3 ] 0 cosx et si x 0 0 I ( 3 ) si x dx Par ecadremet: lim I =0. LA série de terme gééral I est-elle covergete? 0 I K( 3 ) La série de terme gééral ( 3 ) I coverge égalemet. coverge. Doc la série de terme gééral 3. Pour tout etier, établir ue relatio de récurrece etre I et I + I + = cos x cos x si x =I + ( 3 ) + dx= Doc I + =I + ( 3 ) + cos x ( si x ) si x 4. E déduire la valeur de la somme : k= k ( 3 k ) dx=i si x cos x dx=i +[ + cos+ x] O a : I 3 =I ( 3 ) I 5 =I 3 4 ( 3 ) 4... I + =I ( 3 ) D'où e sommat : Puis, par passage à la limite : Doc k=i k= k ( 3 ) = I + =I k= k ( 3 k ) 0=I k= k ( 3 ) k cos x si x dx=[l(six)] =l Sujet Exercice :

4 Pour tout > 0, o pose : u =( k= k ) l et v =u / Motrer que les suites (v )et (u ) sot adjacetes. lim (u v )=0 u + u = +l l( +)= +l ( ) + + Doc (u ) est décroissate. v + v =u + u + (car l(+x) x) + = + +l l (+)+ + = l (+ ) (car l(+x) x) Doc (v ) est croissate. Les suites (v )et (u ) sot adjacetes. / Motrer que k= k ~ l (v )et (u ) tedet doc vers ue même limite L et o a : v L u soit k= k l L k= Doc + L l k= k l + L l + l E passat à la limite, o obtiet lim ( k l k l )= k= Ce qu'il fallait démotrer. Exercice Ue persoe se trouve devat ue porte fermée à clé. Elle dispose d'u trousseau de 0 clés parmi lesquelles ue seule ouvre la porte. Elle essaie les clés les ues après les autres, e écartat les clés déjà essayées. Quelle est la probabilité qu'elle ouvre la porte au k-ième essai? Soit A i l'évèemet 'l' essai uméro i est ifructueux'. Soit E k l'évèemet 'elle ouvre la porte au k-ième essai' k Ai ) A k Alors E k =( i= D'après la formule des probabilités totales : P(E k )=( (k ) (k ) ) 0 (k ) 9! = (9 (k ))! (0 (k ))! 0! k ( k)! = (0 k)! 0 ( k) = 0 Exercice 3 Soit u ombre réel a >. O cosidère la série de terme gééral :! u = ( ) (k+a) Π k=

5 . Etablir la relatio :, u +u +...+u = a +a a u Récurrece. Iitialisatio OK. Hérédité. Supposos : u +u +...+u = a +a a u pour u etier choisi quelcoque et fixé. Alors u +u +...+u +u = a +a a u +u = a +u ( a ) Mais u + = + ++a u Doc u +u +...+u +u = a u +( ++a ) La propriété est vraie au rag +. a. Motrer que la série de terme gééral u est covergete. u > 0 et, u +u +...+u < a La suite des sommes partielles est doc croissate et majorée, doc covergete. Doc la série coverge. Sujet 3 Exercice : O choisit au hasard u uméro à 8 chiffres. Détermier la probabilité des évéemets suivats : L'uivers est costitué de tous les uméros à 8 chiffres. Il y a 0 chiffres. Doc le ombre total de uméros est : 0 8. Les 8 chiffres sot disticts 8 A Il s'agit d'arragemets. Doc probabilité = Le produit des 8 chiffres est u ombre pair Ceci arrive dès qu'u chiffre au mois est pair. O cherche doc la probabilité que tous les 5 8 chiffres soiet impairs : (Il y a 5 chiffres impairs :,3,5,7 et 9). Et la probabilité 0 8 cherchée est Les 8 chiffres formet ue suite strictemet croissate Il y a autat de suites strictemet croissates que de combiaisos de 8 élémets parmi 0. Doc la probabilité est 8 C 0 0 8

6 Exercice 3 Représeter das le pla l'esemble des couples (a,b) avec a >0 et b >0 tels que la série de terme gééral a u = soit covergete. +b u <a Doc si a <, la série coverge par comparaiso. Si a = u <( b ) Si b >, la série coverge. Si b<= le terme gééral e ted pas vers 0. Doc la série diverge. Si a> Si b <=, le terme gééral e ted pas vers 0. Doc la série diverge. Si b > O a u <( a b ) Doc si b > a, la série coverge. Si b <=a Alors u est équivalet à ( a b ) doc e ted pas vers 0. Dot la série diverge. Coclusio : la série coverge si et seulemet si a < ou (a et b > a)

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