CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATKÉMATIQUES. PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures)
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- Louis Ratté
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1 O0 MATH. 1 - PC ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURDS D ADMISSION 2000 MATKÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE FILIÈRE PC (Durée de l épreuve : 3 heures) Sujet mis a la dispositio des cocours : ENSTIM, lnt, TPE-EIVP. J L emploi de la calculette est iterdit. Les cadidats sot priés de metioer de faço très apparete sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1 - PC. L éocé de cette épreuve, particulière aux cadidats de la filière PC, comporte 5 pages. Si u cadidat repère ce qui lui sembie être ue erreur d éocé, il le sigale sur sa copie et poursuit sa compositio e expliquat les raisos des iitiatives qu il est ameé à predre. Das tout le problème est u etier aturel supérieur ou égal a 2 ( 3 2). Soit B = (el, e2,..., e) la base caoique de l espace vectoriel complexe C. A u vecteur Xde l espace vectoriel C, de coordoées x1 x2,... x, est associée la matrice V(X) dot les élémets V(QP,4 1 5 p 5, 1 i q 5, sot défiis par la relatio : Le détermiat v(x) de la matrice V(X) est u détermiat de Va der Mode ; il est admts que sa valeur est doée par la relatio suivate : v(x) = det V(X) = (xq -xp). l*@ Il est admis que l applicatio 11. II de l espace vectoriel complexe C das R : x - IlXII =sup dypl 13% est ue orme. Soit E l espace vectoriel ormé (C, II.II). Le but du problème est de motrer qu à cette applicatio v de E das C peut être associé u réel p tel que, pour tout vecteur X de E la relatio suivate a lieu : - 1/5 - Tourez la page S.V.P.
2 lv(q 5 p llxllfl~-1) 2, où le réel p est ue valeur prise pour u vecteur uitaire particulier W : p = Iv(w>I, avec: IIWII = Défiitio du réel p : L etier est fixé ( 2 2). a. Comparer pour tout vecteur X de l espace vectoriel ormé E et tout ombre complexe A les deux expressios v(d.x) et v(x). E particulier, état doé u vecteur X de E,, soit Y u vecteur de E de orme uité vérifiat la relatio : X = llxll. Y ; exprimer le ombre complexe v(x) e foctio de v(y) et de llxll. b. Démotrer que l applicatio v de l espace vectoriel ormé E das C est cotiue. E déduire que l applicatio cotiue X t-+ Iv(X) 1 admet u maximum sur la sphère uité S, S= {XEE I IlXII = 1}, atteit pour au mois u vecteur W Soit p le maximum de cette foctio sur la sphère uité : P =I= Iv(x)l. /IXIl=1 c. Démotrer les deux relatios : i. pour tout vecteur Xde E,, Iv(X)I 5 p JIXIJ(-1) 2 ; ii. il existe au mois u vecteur uitaire Wde E tel que Iv(w)I = P. 2. Cas = 2 : Caractériser les vecteurs qui appartieet à la sphère uité S : S= {XE E 2 1 IlXII = l}. - Détermier le maximum p de la foctio X Iv(X) 1 sur la sphère uité. Démotrer que les vecteurs uitaires qui redet maximum Iv(x) 1 sot proportioels à u même vecteur XI dot la première coordoée est égale à 1. Les détermier. 3. Cas = 3 : a. Etat doés trois réels positifs ou uls tl, t2 et t3, (t, 2 O, 1 5 i 5 3) démotrer l iégalité suivate % tl.t2.t3 5 -(t1 1 + t2 + t3)3. 27 Démotrer que l égalité a lieu si et seulemet si les trois réels tl, t2, t3 sot égaux. b. Etat doés trois ombres complexes XI, x2 et x3, soieta,b et C les trois foctios des variables xl, x2 et x3 défiies par les relatios suivates :
3 A = b 1 -X2l2 + b 2 -x3i2 + b 3 -XII2 3 I 3 12 Démotrer que A est ue combiaiso liéaire de B et de C. c. Caractériser les vecteurs qui appartieet à la sphère uité S : s = { XE E3 1 llxll = l}. kl d. Calculer, pour u vecteur X quelcoque de l'espace E 3, l'expressio lv(j) 12. E déduire ue valeur possible pour le réel p. Détermier les équatios que vérifiet les coordoées XI, x2 et x3 d'u vecteur W uitaire redat IV( W) 1 maximum. Exhiber ue solutio à l'aide des racies cubiques de l'uité. E déduire le réel p. 4. Ue mioratio du réel p : Soit 0 le vecteur uitaire dot les coordoées op, 1 5 p 5, sot défimes par la relatio : a. V(t2) est la matrice défiie à - partir du vecteur t2 ; V(t2z) est la matrice complexe cojuguée. Démotrer que la matrice produit Y@). V(S2) est ue matrice propwtmelle à la matrice idetité. b. E déduire la valeur du module Iv(0) 1 du détermiat de la matrice V() et ue mioratio du réel p. 5. Ue iégalité de Hadamard : Das cette questio il est admis que l'applicatio de C" x C" das C qui, à deux vecteurs X = (xl) l<6 et Y = (yl)lc6, _- fait correspodre le ombre complexe (X 1 Y), défitll par la relatio suivate est u produit scalaire hermitie. Soit F,, l'espace préhilbertie (C, (. 1.)). La orme déduite de ce produit scalaire est otée 11. (1 ; elle est défime par la relatio : I Etat doée ue suite de vecteurs idépedats YI, V2,..., V de l'espace préhilbertie F,, soit M( VI, VZ,..., V) la matrice carrée d'ordre dot les vecteurs coloes sot les vecteurs Vl, V2,..., V". a. Détermier, lorsque les vecteurs VI, V2,..., V sot deux à deux orthogoaux, le produit B de la matrice trasposée de la matrice complexe cojuguée de la matrice M( VI, V2,..., V) avec la matrice Tourez la page S.V.P.
4 B = M( v,, v2,..., V) M( VI, ~2,..., V). Que vaut le module du détermiat de la matricem( VI, V2,..., V)? b. Soit U1 UZ,..., U les vecteurs de l espace F défiis de la maière suivate : u1 = v1, U2 = V2 -projl (V2); projl (Vz) est le vecteur projectio du vecteur V2 sur la droite vectorielle egedrée par VI, pour tout etier i compris etre 3 et (3 5 i 5 ) : U, = Y, -proj,-l (Y,) ; proj,-l (VI) est le vecteur projectio du vecteur V, sur l espace vectoriel egedré par les vecteurs VI, V2,..., V,-I. Démotrer l égalité etre les détermiats des deux matricesm( VI, V2,..., V) et M(u~, ~ 2...,, U) : detm( U1, U2,..., U) = detm( VI, V2,..., V). c. Déduire des résultats précédets l iégalité : IdetM(V1, v2,...,v ) 1 5 IIVi 112.IIV II~I12. Démotrer, lorsque les vecteurs VI, V2,..., V, sot tous différets de O, qu il y a é&té etre les deux membres de cette relatio si et seulemet si les vecteurs VI, Y2..., V sot deux à deux orthogoaux. Y 6. Ue majoratio du réel p : Démotrer pour tout vecteur Xde l espace vectoriel E, de coordoées x1,x2,..., x,, l iégalité suivate : Détermier pour u vecteur X uitaire (IlXII = 1 ) de l espace vectoriel E ue majoratio du module IV@) 1. E déduire la valeur du réel p. 7. Recherche des vecteurs W : Soit Wu vecteur uitaire de l espace E, de coordoées xp, 1 5 p 5, pour lequel le détermiat v( w> de la matrice Y( W) a u module égal au réel p = * : Iv(W)I = 2. a. Démotrer que les coordoées xp, 1 5 p 5 de ce vecteur W sot deux à deux différetes l ue de l autre : pour tout couple d etiersp et q, p # q, xp # xq. b. Démotrer, e utilisat par exemple l iégalité de Hadamard, que les coordoées
5 XI, x2,..., x, de ce vecteur ot toutes u module égal à 1 et vérifiet les - 1 relatios suivates : Exp = O, C ( X P ), = O,..., X(Xp)-l = o. A ce vecteur West associé le polyôme P W défitu par la relatio suivate : pour tout réel t, P=1 Ce polyôme PW peut aussi être écrit sous la forme : c. Que vaut le coefficiet a? Démotrer qu il est possible de poser a0 = -ei0o où 80 est u réel. Soit FW la fractio ratioelle défiie par la relatio : h=1 P&t) est le polyôme dérivée du polyôme Pw. d. Démotrer que, sur l esemble de défitutio de la fractio ratioelle Fw, la relatio ci-dessous a lieu. : E déduire qu il existe u réel R (R > O) tel que sur l itervalle ouvert 1-R,R[ la foctio FW est développable e série etière. Détermier u miorat du réel R. La foctio FW est doc das l itervalle 1-R,R[ la somme d ue série etière qui s écrit : m e. Détermier les coefficietsfk,k = O, 1,..., à l aide des coordoées du vecteur W. Quelle coclusio e tirer sur les - 1 premiers coefficietsfoj1,..., fw2? UI - c r O f. Déduire des résultats précédets l expressio du polyôme Pk, polyôme dérivée du polyôme \ d c PW. Détermier le polyôme PW, puis les coordoées x, 1 5 p 5 du vecteur W. Calculer, à titre de $ vérificatio, les ormes de ce vecteur das E et das F, c est-à-dire II WII et II Wllz. y g. Combie y-a-t-il de vecteurs Wdot ue au mois des coordoées est égale à 1? FIN DU PRQBLÈME U O r
x +1 + ln. Donner la valeur exacte affichée par cet algorithme lorsque l utilisateur entre la valeur n =3.
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