CAPES épreuve 1 session 2014

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1 ... CAPES épreuve 1 sessio 214 A. P. M. E. P. Problème 1 : sommes de Riem Ds ce problème, o suppose itroduite à l ide des foctios e esclier l otio d itégrle u ses de Riem d ue foctio. Prtie A : covergece des sommes de Riem Soiet et b deux réels tels que < b et f ue foctio cotiue sur [ ; b]. Pour tout N, pour tout k ;, o pose : x k = + k b et o cosidère les sommes de Riem : S f )= 1 1 k= f x k ) et R f )= 1 f x k ) Ds u premier temps, o se propose de démotrer que les suites S f ) ) N et R f ) ) N sot covergetes et de même limite 1 b f t) dt. b Ds u deuxième temps, o cherche à obteir ue mjortio de f t) dt b )S f ), pour tout N. 1. Démotrer que : ǫ>, η>, x, y) [, b] 2, 2. Soit ǫ u réel strictemet positif.. Démotrer qu il existe N N tel que : N, k, 1, t [x k ; x k+1 ], b. E déduire que : puis que : N, k, 1, N, k=1 x y η f x) f y) ǫ b. xk+1 x k f t) f xk ) ǫ b. f t) f xk ) ) dt ǫ, f t) dt b )S f ) ǫ. 3. E déduire que S f ) ) N, puis R f ) ) N, coverget vers 1 b 4. Applictio Soit u ) N l suite défiie pr : N, u = Démotrer que l suite u ) N coverge vers l2. 2 j=+1 1 j. f t)dt. 5. Ds cette questio, o suppose que l foctio f est de clsse C 1 sur [ ; b].. Démotrer qu il existe u réel M tel que : t [ ; b], f t) M. b. E déduire que : N, k, 1, t [x k ; x k+1 ], f t) f xk ) M t x k ).

2 c. Démotrer que : puis que : N, k, 1, N, xk+1 6. Applictio : clcul d ue vleur pprochée de rectgles. x k f t) f xk ) ) dt Mb )2 2 2 f t) dt b )S f ) Mb )2. 2 Soit f l foctio défiie pr : x R, f x)=e x2.. Détermier u réel M tel que x [ ; 1], f x) M. e x2 dx pr l méthode des b. Soit ǫ R +. E utilist les résultts obteus ds l questio 5, écrire u lgorithme qui clcule ue vleur pprochée à ǫ près de Doer ue vleur pprochée à 1 3 près de Prtie B : pplictio à l étude de suites e x2 dx. Soit f ue foctio défiie sur ] ; 1], cotiue et décroisste sur ] ; 1]. O cosidère l suite r ) N défiie pr : N, r = 1 ) k f k=1 et l foctio I défiie sur ] ; 1] pr : x ] ; 1], I x)= x f t) dt. 1. Démotrer que pour tout etier 2 et pour tout k 1, 1, o : 1 f k+ 1 ) k+1 f t) dt f k ) k e x2 dx. 2. E dditiot les iéglités précédetes, démotrer que pour tout etier 2, o : ) 1 I + 1 f 1) r I 1 ) + 1 ) k f. 3. O suppose, de plus, que lim I x)=l l R) et lim x f x)=. x x Démotrer que l suite r ) N coverge et préciser s limite. 4. Ds cette questio, o pose f x)= x2 1 1 l x, pour tout réel x ] ; 1] )2+ 1). Démotrer que pour tout N, r = )! 2 l. O rppelle que l somme des crrés des premiers etiers turels est + 1)2+ 1) égle à. 6 )!) 1 b. E utilist les questios précédetes, démotrer que l suite coverge et détermier s limite. N O rppelle que l foctio x x l x x est ue primitive de l foctio l sur R +. CAPES extere

3 Tourez l pge S. V. P. Prtie C : ue suite d itégrles 1. Démotrer que pour tout N et tout k, 1, o : k+1)π kπ six) dx= Soit f ue foctio cotiue et croisste sur [ ; π].. Démotrer que pour tout N et tout k, 1, o : 2 f kπ π b. E déduire u ecdremet de c. Détermier lim + ) k+1)π f x) six) dx 2 ) k+ 1)π kπ f. π f x) six) dx. f x) six) dx. d. Obtiedrit-o le même résultt pour ue foctio f cotiue et décroisste sur [ ; π]? Prtie D : ue pplictio ux probbilités 1. Pour tout couple d etiers turels k,m), o pose I k, m = x k 1 x) m dx.. Démotrer que : k N, m N, I k, m = k m+ 1 I k 1, m+1. b. Pour tout couple d etiers turels k,m), détermier I, k+m et e déduire ue expressio de I k, m e foctio des etiers k et m. 2. Soiet N, p [ ; 1]. Ue ure cotiet des boules rouges et des boules blches. L proportio de boules rouges ds cette ure est p. O rélise ds cette ure tirges idépedts d ue boule vec remise. O ote X l vrible létoire égle u ombre de boules rouges obteues. Détermier l loi de probbilité de X, puis doer l espérce de X. 3. Soiet N et N N. O dispose de N ures U 1,...,U N cotet des boules rouges et des boules blches et telles que, pour tout j 1, N, l proportio de boules rouges ds U j est j N. O choisit ue ure u hsrd et o effectue ds cette ure tirges idépedts d ue boule vec remise. O ote X N l vrible létoire égle u ombre de boules rouges obteues.. Pour tout etier turel k, o ote p N k) l probbilité que X N pree l vleur k. Démotrer que : p N k)= 1 ) ) k N j 1 j ) k. N k N N j=1 b. Clculer l espérce de X N. Quelle est l limite de cette espérce qud N ted vers+? c. E utilist le résultt obteu ds l première questio, détermier lim p N k). N + Que peut-o e déduire pour l suite de vribles létoires X N ) N N? CAPES extere

4 Problème 2 : foctio expoetielle, évolutio d ue popultio O étblit ds l prtie A l existece d ue uique solutio de l équtio différetielle y = y vérifit y) = 1 et o étudie ds l prtie B u exemple d équtio différetielle. Ds l prtie A, les foctios expoetielles et les foctios logrithmes sot supposées e ps être coues. Prtie A : l foctio expoetielle O s itéresse ds cette prtie à l équtio différetielle E) : y = y, vec l coditio y)=1. 1. Ds cette questio, o suppose qu il existe ue foctio f dérivble, solutio de E) sur R telle que f )=1.. Démotrer que : x R, f x) f x)=1. b. E déduire que f e s ule ps sur R. c. Démotrer que si g est ue foctio dérivble solutio de E) sur R telle que g )=1, lors g = f. O pourr cosidérer l foctio ϕ défiie sur R pr ϕx)= g x) f x). d. Démotrer que :, b) R 2, f + b)= f ) f b). O pourr fixer u réel et cosidérer l foctio ψ défiie sur R pr f + x) ψx)=. f ) e. Déduire des résultts précédets que f est strictemet positive sur R. 2. O v ds cette questio étblir l existece d ue foctio f défiie et dérivble sur R, solutio de E) telle que f )=1. Soit x R. O pose, pour tout etier > x : u x)= 1+ x ) 1 et v x)= u x). O v motrer que les suites u x)) > x et v x)) > x sot djcetes.. Justifier que les suites u x)) et v x)) sot bie défiies pour > x. b. Étblir pr récurrece l iéglité de Beroulli : ] 1 ; + [, N, 1+ ) 1+. c. Soit u etier tel que > x. i. Démotrer que : u +1 x)=u x) 1+ x ) 1+ x x ii. E utilist l iéglité de Beroulli, démotrer que : 1+ x ) x 1 1+ x. iii. E déduire que l suite u x)) est croisste. d. Démotrer que l suite v x)) est décroisste. e. Soit u etier tel que > x. i. Démotrer que : v x) u x)= v x) ii. E déduire que : v x) u x). ) ) 1 1 x2 2. )+1. CAPES extere

5 iii. E utilist l iéglité de Beroulli, démotrer que : v x) u x) v x) x2. f. Détermier, e utilist les résultts des questios précédetes, l limite de l suite v x) u x)) > x. Coclure. g. O désige pr f l foctio qui à tout réel x ssocie f x), limite commue des suites u x)) et v x)). O v démotrer que l foctio f est solutio de l équtio différetielle E) et vérifie f ) = 1. i. Démotrer que : f ) = 1. Ds les deux questios suivtes, o cosidère u réel x. ii. O dmet que :, k) R 2, f + k) f ) kf ). E utilist cette reltio, étblir que : h ] 1 ; 1[, h f x ) f x + h) f x ) h 1 h f x ). iii. E déduire que f est dérivble e x de dérivée f x ). Coclure. Prtie B : évolutio d ue popultio Pour étudier l évolutio d ue popultio de poissos u cours du temps, o utilise le modèle suivt. O dmet que l foctio N, représett le ombre de poissos e foctio du temps t exprimé e ées) vérifie les coditios suivtes : N est solutio de l équtio différetielle E) : y = r y 1 y ) K où r et K sot des costtes réelles strictemet positives ; N )= N, vec < N < K ; N est défiie sur u itervlle ouvert I cotet ; si g est ue solutio de E) défiie sur u itervlle J cotet et vérifit g )= N, lors J est iclus ds I. 1. Quel théorème permet de grtir l existece et l uicité de l foctio N? O dmet que I cotiet [ ; + [, et que pour tout réel t I, < N t)<k. 2. Étude qulittive. Démotrer que N est strictemet croisste sur I. b. E déduire que N dmet ue limite fiie l e+. c. Démotrer que l = K. O pourr risoer pr l bsurde. 3. Détermitio d ue expressio de N O pose, pour t I, g t)= 1 N t).. Démotrer que g est solutio sur I de l équtio différetielle E ) : y = r y+ r K. b. Résoudre l équtio différetielle E ), puis détermier ue expressio de N sur I. c. Retrouver l limite de N e +. CAPES extere