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1 I. Divisibilité dans Z Activité 1 1. Définition Soit a, b et c trois nombres entiers relatifs non nuls. On dit que b divise a, si et seulement si, il existe un entier relatif k tel que a = kb. On dit aussi que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b. Remarques Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de 0 ; 0 est un multiple de tous les entiers ; 1 et -1 divisent tout entier relatif. Exemples 32 = 4 8 ( ) ; 8!, donc 4 est un diviseur de 32. ( )( n +1) ; n 1! donc si n 1, alors n +1est un Soit n!, on a n 2 1= n 1 Notation diviseur de n 2 1. b divise a peut s écrire b a. On note D n Par exemple D Propriété ( ) l ensemble des diviseurs positifs de l entier relatif n. ( ) = { 1;2;3;5;6;10;15}. Si a divise b et si b divise c, alors a divise c. Exemple 4 divise 8 et 8 divise 24 donc 4 divise ne divise pas 1001, donc aucun nombre pair ne divise 1001 ( contraposée) Remarque Si b est un multiple de a et c est un multiple de b, alors c est un multiple de a. Démonstration a b alors il existe k! tel que b = ka. b c alors il existe k '! tel que c = k 'b. On a alors c = kk 'a. Or kk '! alors a c. 1

2 3. Propriété Si a divise b et si a divise c, alors a divise ub + vc (combinaison linéaire de b et c). Démonstration a b alors il existe k! tel que b = ka. a c alors il existe k '! tel que c = k 'a. On a alors ub + vc = uka + vk 'a = a uk + vk ' Cas particuliers ( ). Comme uk + vk '! alors a divise ub + vc. Si a divise b et a divise c, alors a divise b + c et a divise b c. Exemple Soit a et n deux entiers relatifs. Si a divise 3n +12 et si a divise n + 3, alors a divise 3. En effet a divise 3n n + 3 ( ) = 3. Ainsi les valeurs de a sont 1, 3, 1 ou 3. Exercice 1 1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 4 divise n Pour k!, démontrer que si un entier naturel d divise 10k + 3et 6k +1alors il divise 4. Réponses 1. ( n + 4 divise n + 4 et n +17 cad n +17 ( n + 4) = 13, donc n = 17 ou n = 5ou n = 3 ou n = 9 ). 2. d divise 3( 10k + 3) 5( 6k +1) = 4. Exercice 2 Démontrer par récurrence que, pour tout n! *, 3 2n 2 n est divisible par 7. Exercice 3 Résoudre dans! l équation x 2 4y 2 = 20. (( x 2y) ( x + 2y) = 20, x! et y!, donc x + 2y! et x 2y! et x 2y x + 2y. 20 = 1 20 = 2 10 = 4 5, il faut donc résoudre 3 systèmes. Solution ( x; y) = ( 6;2) ). 2

3 II. Division euclidienne Activité 2 1. Théorème : Division euclidienne dans N Soit a! et b!*, alors il existe un unique couple d entiers naturels ( q;r) tels que a = bq + r avec 0 r < b. Démonstration Existence Ø Si a est un multiple de b, alors!q! tel que a = bq. Ø Si a n est pas un multiple de b, alors il est compris entre deux multiples consécutifs de b, ainsi!q! tel que bq a < ( q +1)b. Unicité En posant r = a bq, il existe un couple q;r ( ), tel que a = bq + r, et 0 r < b. ( ) et( q 2 ;r 2 ) tels que : Supposons qu il existe deux couples q 1 ;r 1 a = bq 1 + r 1 et a = bq 2 + r 2, avec 0 r 1 < b et 0 r 2 < b. On a alors b < r 1 r 2 < b, cela signifie que r 1 r 2 est un multiple de b strictement compris entre b et b, cad r 1 r 2 = 0, soit r 1 = r 2. De plus r 1 r 2 = b q 1 q 2 Le couple ( qr ; ) est donc unique. Conséquence ( ). Comme b 0 alors q 1 = q 2. b divise a ssi le reste de la division euclidienne de a par b est nul. Application Moché possède n CD. S il les empile par 10 il lui en reste 7 et s il les empile par 7 il a 22 piles de plus et il lui en reste Combien a-t-il de CD? 2. Quels conseils peut-on lui donner afin que ses piles comportent le même nombre de CD? (1. n = 10q + 7 n = 7q'+ 3 q' = q n = 507, = 3 69 = ) 2. Théorème : Division euclidienne dans Z Soit a! et b! *, alors il existe un unique couple ( q;r), avec q! et r! tels que a = bq + r avec 0 r < b. 3

4 Vocabulaire a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient et r et le reste. ; Effectuer une division euclidienne c est trouver le couple ( qr) associé au couple ( ; ) Exemples Effectuer la division euclidienne de : 2013 par 7 : 2013 = En effet 2013/ 7 287,5714, et = par 7 : 2013 = par 7 : 2013 = par 7 : 2013 = 7 Exercice 3 ab. ( ) ( 287) + 4. ( ) + 3. En effet 2013/ 7 287,5714, et = 3. ( ) La division euclidienne de 523 par un entier naturel non nul b a un quotient égal à 17. Déterminer les valeurs possibles de b et du reste r. 2. La division euclidienne de 256 par un entier naturel non nul b a un reste égal à 25. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient q. ( = 17b + r, avec 0 < r < b. Or r = b cad 0 < b < b, < b < d où b = 30 et r = = bq + 25d où bq = 231avec 0 < 25 < b. Ainsi 0 < q < = 9,24. Soit q = 1et b = 231, Soit q = 3et b = 77, Soit q = 7et b = 33.) Exercice 4 Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise 3n 17. ( n 4 divise n 4 et 3n 17 cad n 4 divise 3n 17 3( n 4) = 5. Soit n 4 = 5, n = 1, Soit n 4 = 1, n = 3, Soit n 4 = 1, n = 5, Soit n 4 = 5, n = 9 ) III. Congruences Activité 3 1. Définition Soit n! *, on dit que a et b sont congrus modulo n ssi a et b ont le même reste dans la division euclidienne par n. 4

5 Notation On écrit a b n. Conséquence a r n, avec 0 r < n a a pour reste r dans la division euclidienne par n. Exemple 145 = et 119 = donc Remarque : Utilisation de tableur Avec Excel : MOD 177;5 Avec la TI89 : MOD 177;5 ( ) = 2 ( ) = 2 ( ) = 2 Avec la TI Nspire : remain 177;5 Conséquences a b n équivaut à ( a b ) est divisible par n. a 0 n équivaut à a est divisible par n. Si a b n et b c n, alors a c n. Démonstration Si a b n, alors on a a = nq + r et b = nq'+ r. On a alors a b = n q q' Réciproquement si n ( ), avec q q'!. Ce qui signifie que n ( a b). ( a b), alors il existe un entier k tel que a b = kn, cad a = b + kn. Notons r le reste de la division euclidienne de b par n, on a b = nq + r avec 0 r < n, cad a = ( q + k)n + r. a et b ayant le même reste dans la division euclidienne par n, ils sont congrus modulo n. Posons b = 0. n a b. 2. Propriétés ( ) et n ( b c) donc n divise leur somme cad a c. Donc a c n Soit n un entier naturel non nul. Soit a, b, c et d quatre entiers relatifs, tels que a b n et c d n, alors on a : 1. a + c b + d n 3. ac bd n 2. ka kb n, k! 4. a p b p n, p! 5

6 Démonstration 1. a b n donc k! tel que a = kn + b De même c = k 'n + d. Donc a + c = kn + b + k 'n + d = n k + k ' Donc a + c b + d n. De même pour 2. et par récurrence sur p. Pour p = 0 ou p = 1vrai Supposons p! tel que a p b p a p+1 = a a p b b p b p+1 n. Exemple n ( ) + b + d ( ). Or k + k '!. a 3 5 et b 1 5 alors 3a + b cad 3a + b2 est un multiple de 5. Exercice 5 Démontrer que pour tout n!, le nombre n( n 2 4)est divisible par 3. Méthode 1 : Disjonction des cas Il s agit d une division par 3. Donc n peut s écrire sous 3 formes : 3k, 3k +1ou 3k er cas : n = 3k, n n 2 4 ( ) = 3k ( 9k 2 4) donc divisible par 3. 2 ème cas : n = 3k +1, n( n 2 4) = 3k +1 par 3. 3 ème cas : n = 3k + 2, n n 2 4 par 3. Méthode 1 : Congruences ( ) = 3k + 2 ( ) ( ) ( 3k +1) 2 4 ( ) ( ) ( 3k + 2) 2 4 ( )donc divisible = 3( 3k +1) 3k 2 + 2k 1 = 3( 3k +1) ( 3k 2 + 4k) donc divisible 1 er cas : n 0 3 donc n n2 4 2 ème cas : n 1 3 donc n n2 4 par 3. 3 ème cas : n = 3k + 2 donc n n 2 4 Exercice 6 ( ) 0( 0 4) 0 3 ( ) 1( 1 2 4) ( ) 2( 2 2 4) donc divisible par 3. donc divisible par 3.donc divisible donc divisible par 3. Montrer que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 6. 6

7 Méthode : Déterminer le reste d'une division euclidienne à l'aide de congruences 1. Déterminer le reste de la division de par Déterminer le reste de la division de par 7. Correction 1. Toute puissance de 1 est égale à 1. On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 5. On choisit alors de décomposer 456 à l'aide du facteur 4 car , ( 2 ) Le reste est égal à 1., on applique la formule de congruences des puissances. 2. On cherche donc une puissance de 2 qui est égale à 1 modulo 7. On choisit alors de décomposer 437 à l'aide du facteur 3 car ( 2 ) Le reste est égal à 4. Méthode : Résoudre une équation avec des congruences 1. Déterminer les entiers x tels que 6 + x Déterminer les entiers x tels que 3x 5 4 Correction x x x 1 3 x 2 3 Les entiers x solutions sont tous les entiers de la forme 2 + 3k avec 2 + 3k 7

8 2. 3x 5 4 donc 3x 1 4 Or x est nécessairement congru à l'un des entiers 0, 1, 2 ou 3 modulo 4. Par disjonction des cas, on a : x modulo x modulo On en déduit que x 3 4. Les entiers x solutions sont tous les entiers de la forme 3+ 4k avec 3+ 4k Exercice 6 Montrer que N = est divisible par 17. Exercice 7 1. Déterminer l ensemble E des entiers x tels que x Déterminer l ensemble F des entiers x tels que 3x 7 8. Solution 1. x 4 8 cad x cad x = 8k x x Donc 3x 7 8 x 5 8 cad x = 8k + 5. Exercice 8 On considère l équation dans!, ( E): x 2 3y 2 = Montrer que si x; y ( ) est solution de ( E), alors x Déterminer les congruences modulo 3 de x 2 suivant les congruences modulo 3 de x. 3. Résoudre E ( ). Solution cad 3y2 0 3 cad x2 3y 2 = x 2 3, de plus donc x x Donc pas de solution. x

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