Mesures et incertitudes

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1 Mesures et certtudes Mesurer ue gradeur phsque est ue actvté fodametale das les laboratores de recherche scetfque et das l'dustre Mas la mesure d'ue gradeur 'est jamas parfatemet précse et l faut doc sstématquemet s'terroger sur la coface à accorder au résultat obteu Il faut avor coscece de la varablté des résultats obteus lors du processus de mesure et e compredre les orges, pus eprmer u résultat epérmetal par ue valeur et ue certtude (évetuellemet lée à u veau de coface) I- Vocabulare La métrologe est la scece qu se cosacre à l étude des processus de, voc ue parte du vocabulare utlsé : ) Valeur vrae, mesurage La gradeur que l o souhate détermer se omme valeur vrae ou mesurade (otée par eemple X vrae ) otos que la valeur vrae est jamas coue parfatemet Pour e obter ue estmato ous fasos dfféretes ou mesurages (la valeur mesurée sera par eemple otée X mesurée ou plus smplemet X pour la eme mesure O a doc X mesurée X pour e pas alourdr les otatos) La dfférece etre la valeur vrae X vrae et la valeur mesurée X mesurée est l erreur de mesure : Cosdéros ue même mesure réalsée pluseurs fos (o dt qu l a pluseurs mesurages) O suppose que les dfférets mesurages sot réalsés rgoureusemet das les mêmes codtos opératores Les dfférets mesurages (o peut auss dre dfféretes ) sot otés : X mesurée X ; X mesurée X ; X mesurée X L erreur de mesure sur la mesure X est otée E X - X vrae ) Erreur aléatore Cosdéros à ouveau ue même mesure réalsée pluseurs fos (pluseurs mesurages) O suppose ecore que les dfférets mesurages (X, X, X, ) sot réalsés rgoureusemet das les mêmes codtos opératores La moee des dfféretes est otée X moee E toute rgueur la moee dot porter sur u très grad ombre de X moee X mesurée X Pour ue mesure, l erreur aléatore est : E aléa X - X moee L erreur aléatore est e gééral, lée à la varablté des codtos etéreures (température, presso) et à la fdélté de l apparel de mesure (sa capacté à doer des très voses lors de l applcato répétée d u même protocole) ) Erreur sstématque L erreur sstématque est E sst X moee - X vrae L erreur sstématque est gééralemet due à ue erreur d étaloage, l oubl d u paramètre, u protocole erroé, u «décalbrage» d u apparel de mesure La justesse d u apparel de mesure est sa capacté à doer des eemptes d erreurs sstématques 4 ) Erreur de mesure L erreur de mesure E pour ue mesure est la somme de l erreur aléatore et de l erreur sstématque E E aléa E sst X - X moee X moee - X vrae X - X vrae E X - X vrae

2 5 ) Représetato graphque X a) Erreur sstématque O cosdère ue sére de du mesurade réalsée das les mêmes codtos et doat chacue ue gradeur mesurée X X moee X vrae E sst b) Erreur aléatore et erreur de mesure O cosdère par eemple la mesure 7 du graphe c dessus O peut fare faclemet apparatre l erreur de mesure sur la mesure 7 : E 7 X 7 - X vrae et l erreur aléatore : E aléa 7 X 7 - X moee X X moee X vrae E aléa 7 E 7 X 7 - X vrae Esst 6 ) Justesse et fdélté d u apparel de mesure 7 Lorsqu'o reprodut eactemet la même mesure pluseurs fos, l'apparel doe des valeurs repartes sur u certa tervalle S l'apparel est correctemet «étaloé», ces valeurs se repartsset autour de la "valeur vrae" Plus la largeur de l'tervalle l tervalle est fable plus l apparel est «juste» X X X moee X vrae E sst X moee X vrae E sst Fgure : apparel «fdèle» (fables erreurs aléatores) mas «o juste» (erreur sstématque mportate) Fgure : apparel «peu fdèle» (erreurs aléatores mportates) mas «juste» (erreur sstématque fable) X X X moee X moee X vrae E sst X vrae Fgure : apparel «peu fdèle» (erreurs aléatores mportates) et «peu juste» (erreur sstématque mportate) Fgure : apparel «fdèle» (fables erreurs aléatores) et «juste» (erreur sstématque fable)

3 Remarque sur l erreur sstématque : Elle se produt de maère costate, toujours das le même ses Fare la moee sur u grad ombre de résultats 'effacera pas ce gere d'erreur Il faut évter de la commettre (e agssat par eemple sur les apparels de mesure) ou chercher à coatre sa valeur af de corrger le résultat de la mesure L erreur sstématque d u résultat de mesure e peut être rédute e augmetat le ombre d observatos, mas par l applcato d ue correcto Par la sute o fera l hpothèse que l erreur sstématque ulle ou be corrgée Cepedat aat fat cette hpothèse, l obteto au fal de résultats cohérets pourra être attrbuée à cette erreur sstématque talemet églgée Cocluso : à cause des erreurs de la valeur vrae est jamas coue précsémet c est pourquo le résultat d ue mesure devra être accompagé de l certtude sur cette mesure II- Vocabulare et présetato du résultat d'ue mesure ) Termologe S o ote X le résultat de la mesure de la gradeur mesurée s(x) l certtude tpe affectat X X l certtude élarge affectat X L certtude tpe s(x) est u paramètre assocé au résultat d u mesurage qu caractérse la dsperso des résultats d ue mesure L certtude-tpe élarge X est ue gradeur défssat u tervalle, autour du résultat du mesurage dot o pusse s attedre à ce qu l compree ue fracto élevée de la dstrbuto de valeurs pouvat être attrbuées au mesurade Elle est assocée à u veau de coface La dfférece etre s(x) et X est ssue de calculs statstques, o estme das u premer temps s(x) et o e dédut X (vor méthodes plus lo) L certtude élarge s eprme sous la forme X ks(x) où s(x) est doc l certtude-tpe et k le facteur d élargssemet C est X qu ous téresse, cette certtude tpe élarge sera le plus souvet appelée certtude sur la mesure de X par soucs de smplfcato a) Estmato de la mesure : La melleure estmato de X est comme o pouvat s attedre, la valeur moee : X Xmoee Xmesurée X S l a qu ue mesure X cela revet be sûr à X X b) Ecrture du résultat Comme o l a dt lorsque l o mesure ue gradeur X, à cause des erreurs de, o obtet ue valeur évtablemet dfférete de la "valeur vrae" X vrae (que l'o e coatra jamas parfatemet!) Détermer l'certtude élarge X c'est s'terroger sur l'écart possble (compte-teu de la précso de la mesure) etre X et X vrae O pourra alors doer u ecadremet probable de X vrae : X X < X vrae < X X comme o l a vu, o peut assocer à X u veau de coface O écrra le résultat de la mesure sous la forme X ± X (avec X postve) Eemple : O mesure l accélérato de la pesateur g 9,8 ms - S, après étude de la précso de la mesure (certtude tpe pus certtude élarge), o estme que ce résultat 'est fable qu à g 0, ms - près, o écrra g 9,8 ± 0, ms - Remarque : ous verros que des règles statstques peuvet permettre d assocer à l certtude élarge u veau de coface Par eemple s g 0,ms - avec u veau de coface de 95%, cela sgfe alors que das 95% des cas l erreur de mesure ecèdera pas 0, ms - O écrt alors : g 9,8 ± 0, ms -, 95% Cocluso : E l absece d erreur sstématque, X déft u tervalle autour de la mesure qu clut la valeur vrae avec ue probablté plus ou mos grade Eemple : S le résultat d ue mesure d ue résstace est R 5 Ω avec ue certtude élarge R Ω affectée du veau de coface stadard (95%) o pourra écrre R 5 Ω ± Ω ce qu sgfera que la probablté pour que la valeur de la résstace appartee à l tervalle [5Ω, 55Ω] est de 95%

4 ) Chffres sgfcatfs Le ombre de chffres sgfcatfs que l'o doe au résultat d'ue mesure dot être cohéret avec l'certtude E : S le résultat brut est g 9,87ms - et que g 0,ms -, les deu derères décmales "" et "7" sot e fat totalemet coues! C'est pourquo o écrt g 9,8 ± 0, ms - E revache, l est utle (et souvet dffcle) de doer plus d u chffre sgfcatf pour X o doera gééralemet l certtude X avec u seul chffre sgfcatf Par cotre s le résultat brut est g 9,87ms - et que g 0,04 ms - o écrra g 9,8 ± 0,04 ms - C est la valeur l certtude qu ous doe le ombre de chffres sgfcatf à garder pour le résultat de la mesure ) Icerttude relatve O préfère parfos dquer l'certtude relatve X assocée à la gradeur X que l'o eprme gééralemet par u pourcetage E : g 9,8ms - et g 0,ms - g 0,, 0, 0 sot % g 9,8 O pourra doc auss écrre g 9,8ms - ± % ou ecore g 9,8ms - ± %, 95% s o assoce u veau de coface de 95% à l certtude élarge III- Propagato des certtudes a) Présetato avec ue gradeur calculée à partr de gradeurs mesurées Sot ue gradeur calculée à partr des gradeurs mesurée, et z Cela revet à dre que est ue focto des gradeurs,, et z : (,,z) sot ue focto à varables Les certtudes sur les, et z (respectvemet,, z), etraet ue certtude sur la valeur de O parle alors d certtude composée E toute rgueur ous avos : z (formule de propagato de l certtude) où : z est la dérvée partelle de par rapport à est la dérvée partelle de par rapport à est la dérvée partelle de par rapport à z z Rappel sur les dérvées partelles : est la dérvée de par rapport à e cosdérat et z comme des costates est la dérvée de par rapport à e cosdérat et z comme des costates est la dérvée de par rapport à z e cosdérat et comme des costates z Eemple : ²zs() alors zs() ; ²zcos() et ²s() z Remarque : z peut s écrre : ( ) ( ) ( ) z z où est la «part» d certtude sur lée à l certtude sur la gradeur

5 est la «part» d certtude sur lée à l certtude sur la gradeur z z z est la «part» d certtude sur lée à l certtude sur la gradeur z b) Cas gééral où la gradeur calculée déped de valeurs mesurées Plus gééralemet, s déped de paramètres :,,, o aura : Formule géérale ce qu peut s écrre ( ) Chaque certtude sur la varable etraat «sa part» d certtude sur c) Cas d ue dfférece Supposos que l o at - Par eemple pour la mesure d ue dstace sur u bac optque après repérage des postos etrêmes et O veut alors l certtude sur la mesure de la dstace résultat des certtudes et sur les postos et doc s écrt c sot sachat que et : ( ) ( ) pour - d) Cas d ue somme Supposos que l o at O veut l certtude résultat des certtudes et sur les gradeurs et doc s écrt c sot sachat que et : ( ) ( ) pour O peut be sûr gééralser pour d) Cas de la multplcato par u réel parfatemet détermé Supposos que l o at k où k est u réel parfatemet détermé (pas d certtude sur k) et ue gradeur mesurée : par eemple Das ce cas k et s écrt ( ) k k k pour k avec k facteur réel parfatemet détermé Eemple : pour alors e) Cas d ue relato de la forme λ Avec λ,, et réels parfatemet détermés (pas d certtude sur ces gradeurs) pouvat être postfs ou égatfs (c est ue stuato très souvet recotrée)

6 Das ce cas λ doc o vot que l o peut écrre e multplat par : λ De la même maère ous avos λ doc o vot que l o peut écrre λ et be sûr o obtet auss As s écrt ² ² ² sot ecore ² ² ² As das cette stuato assez fréquete, e utlsat cette formule, o a pas à calculer de dérvées partelles : ² ² ² pour λ ou plus gééralemet ² pour λ Eemple : pussace P électrque estmée à partr de la mesure d ue teso U (certtude U) et d ue résstace R (certtude R) U² P P U²R - U R P P ² ( ) ² R U R Supposos que U 0V, U V ; R 50Ω ; R Ω P P ² ( ) U U R ² R 0² U R O a P 058W P P ² ( ) ² 058 ² ( ) ² 5W 50 U R 0 50 O e garde qu u chffre sgfcatf sur P P 50W du coup, o garde pour P : P 060 W pour être cohéret avec l certtude assocée présetato du résultat P 060 ± 50W Remarque : C est équvalet, mas o a auss l habtude d écrre : z ² β² γ² pour λ γ z z β Eemple U U UI R R ² ( ) I R ² I U I résstace est toujours postve U I R R avec R R pusqu ue U I Eemple Eerge cétque E c estmée à partr des de m et v (certtudes m et v) E c mv² E E ² ( ) m v m v c c ² Ec Ec 4 (E c toujours 0) m v m v

7 S o mesure v,5 ms - et m 54 g sachat que v 0,04 et m 6g o obtet E c mv² 0,54,5², 7 J m v 60 0,04 Ec Ec 4,7 4 0,07 m v 540 que l o arrodt à 0,0 (o e,5 garde qu u chffre sgfcatf) E c 0,0 J doc o dot arrodr E c à E C, J pour être cohéret O écrra alors E c, ± 0,0J Eemple 4 Pérode d u pedule de logueur l das l hpothèse des petts agles (g accélérato de la pesateur) l T π π l g T T g l 4 l T T g 4 g l l (T est toujours 0) g g IV- Détermato de l certtude tpe (s) et de l certtude élarge (X) ous devos à préset appredre à estmer l certtude de mesure à assocée à u mesurage Pour ue mesure de la gradeur X, c est l certtude tpe élarge X qu sera cosdérée comme l certtude de mesure Elle est détermée après avor obteu l certtude tpe otée s Le résultat s écrra alors X ± X ) Evaluato de tpe A Elle se fode sur l applcato de méthodes statstques à ue sére de valeurs epérmetales répétées pour ue même mesure X, X, X, X 4 X Il est doc écessare de réalser ue sére de mesurages L certtude tpe s est alors détermée par la formule : s où X moee Xmesurée X ( ) ( X X moee ) L certtude élarge X est doc X ks(x) X k ( ) ( ) X X moee Le facteur d élargssemet k (coeffcet de Studet) déped du ombre de k déped du veau de coface qu sera accordé et du ombre de mesure S les résultats se répartsset suvat ue lo ormale autour de la valeur moee, ous avos : * Pour u veau de coface à 68% k 68%,84,,0,4,,09,08,07,06,0,0 Dès qu l a quelques, pour smplfer, o pred souvet k pour u veau de coface à 68% quel que sot le ombre de mesure * Pour u veau de coface à 95% k 95%,7 4,,8,78,57,45,7,,6,09,0,96 Dès qu l a quelques, pour smplfer, o pred souvet k pour u veau de coface à 95% quel que sot le ombre de mesure Das ce cas très gééral, ous auros : ( ) X X X moee (veau de coface à 95%) ( )

8 ) Evaluato de tpe B L certtude de tpe B est la plus fréquete C est elle qu tervet lorsque l o réalse ue mesure uque Elle auss détermée à partr du calcul d u écart tpe mas celu-c est pas calculé sur ue sére de valeurs obteues par l opérateur Il est estmé à partr d formatos, d epéreces, certfcat d étaloage, classe des strumets, documetato costructeur Ecore ue fos o cosdère ue certtude tpe s (calculable par des formules coues ou grâce au doées du costructeur de l apparel de mesure) et ue certtude élarge X qu est la gradeur qu ous téresse au fal L certtude à predre e compte est doc X ks où le facteur d élargssemet k est k pour u tervalle de coface à 95 % et k pour u tervalle de coface à 99% E toute rgueur ces facteurs d élargssemet e sot valables que s les résultats se répartsset suvat ue lo ormale autour d ue valeur moee ous feros cette hpothèse (be qu e réalté, elle e sot pas toujours justfée) et de maère géérale ous chosros de travaller sur les tervalles de coface à 95%, o écrra doc smplemet X s a) Eemple de la lecture d ue échelle graduée uegraduato uegraduato uegraduato uegraduato s o a doc avec k X X, 95 % Par eemple pour la lecture de la température sur u thermomètre gradué de degré e degré X 0, 6 S la température mesurée est C o écrra θ, 0 ± 0,6 b) Mesure de dstace (double lecture) Supposos que l o veulle mesurer ue dstace avec u mètre, l s agt e fat d ue double mesure car la dstace d vérfe d - et des erreurs sot possbles sur les de et ous avos vu que das ce cas d ² ² or pour u tervalle de coface à 95% ous avos vu que uegraduato s X est obteu par lecture d ue échelle graduée X uegraduato uegraduato doc et cec va ous doer : d [ uegraduato ] uegraduato uegraduato ² ² ² (uegraduato) Au fal o obtet pour la mesure d ue dstace d 0,8 graduato (95%) sot pratquemet ue graduato de l échelle graduée qu a perms la mesure de cette dstace As das la pratque lorsque l o mesurera des dstaces par eemple sur u bac optque l e sera pas rare d écrre tout smplemet, sas se poser davatage de questo d mm (sachat que la plus pette graduato sur les bacs optques est mm) c) Eemple de l certtude résultat de mesure sur u apparel umérque p E gééral la otce de l apparel doe la précso p de ce derer et ous avos s doc X ks p doe X s pour u veau de coface à 95%, o aboutt à X E fat o aboutt as à X,5p sot ecore ue fos X p p As pour les apparels umérques e toute rgueur X et das la pratque X p Das la pratque ous ous coteteros souvet de la précso pour estmer l certtude élarge Précso p : elle est doée sur la otce par ue formule de la forme : «% de la valeur lue ombre de dgt» Eemple supposos que la otce d u apparel doe la précso : «5% de la valeur lue dgt» Cela sgfe par eemple pour u courat mesuré de 5,4 ma le dgt correspod à la derère décmale affchée (doc c 0,0 ma) 5 p p 5,4 0,0 0, 77 0,8mA as e toute rgueur I I 0, ma o garde chffre 00 sgfcatf I 0, ma Doc pour I o e dot garder que I 5, ma I 5, ± 0, ma (95%)