Notations. A = A 0 A 1 A 2 A n. l ensemble de tous les mots sur A est noté A

Transcription

1 Langages Formels

2 Notations un alphabet A est un ensemble fini de symboles. un mot w sur A est une séquence finie a 0 a 1 a n 1 d éléments de A. on note w la longueur du mot w le mot vide, noté ε est l unique mot de longueur 0 l ensemble de tous les mots de longueur n (n 0) sur A est noté A n A 0 = {ε} A = A 0 A 1 A 2 A n l ensemble de tous les mots sur A est noté A

3 Notations un langage (formel) L sur A est un sous-ensemble de A est le langage vide, A est le langage universel sur A Remarque : {ε} notion d intersection, d union et de complément d un langage (dans A ).

4 Concaténation de mots La concaténation de 2 mots u et v sur A est notée uv Si u = a 1 a 2 a 3... a n et v = b 1 b 2... b m alors uv = a 1 a 2 a 3... a n b 1 b 2 b 3 b m C est une opération associative et non commutative, d élément neutre ε

5 Concaténation de langages On peut étendre aux langages la concaténation de mots. Pour deux langages L 1 et L 2 définis sur A : L 1.L 2 = {u 1 u 2 u 1 L 1 u 2 L2} L1.L2 est appelé concaténation des langages L 1 et L 2 Propriétés : L. = L.{ε} = {ε}.l = L L.A A Question : A quelle(s) condition(s) sur L a t-on L.A = A?

6 Fermeture de Kleene Pour un langage L défini sur A, on note : L 0 = {ε} L i+1 = L.L i L = i 0 L i L est appelé fermeture (de Kleene) du langage L, ou opération étoile L = {w k 0. w = w 1.w w k w i L} L est le plus petit langage qui contient ε est qui est fermé par concaténation 1 Remarque : L i {u i u L i 0} Pourquoi? 1. plus petit point-fixe

7 Quelques problèmes usuels appartenance d un mot w à un langage L L A, w A, w L? langage vide L A, L =? recherche d un motif (ou d un facteur) L A, t A, t 1, t 2, w tels que t = t 1 wt 2 w L? variantes : plus long mot w, plus court mot w? 1ère occurrence de w dans t? etc. égalité, inclusion L 1 A, L 2 A, L 1 = L 2? L 1 L 2?

8 2. ou Langages Rationnels Langages Réguliers 2

9 Langages réguliers La classe des langages réguliers sur A est la plus petite famille R de langages telle que : R, {a} R pour tout a de A R est fermée par concaténation, union et étoile. On note Rat A cette classe de langages. Exemples de langages réguliers : {ε}, A 1, A le langage des mots de longueur paire le langage des mots terminés par un élément a de A le langage des mots contenant un facteur u etc.

10 Expressions régulières : syntaxe Soit A un alphabet. L ensemble des expressions régulières ER A définies sur A est le plus petit ensemble tel que : ER A ε ER A a A a ER A e 1 ER A e 2 ER a e 1 + e 2 ER A e 1 ER A e 2 ER a e 1.e 2 ER A e ER A e ER A

11 Expressions régulières : sémantique A tout élément e de ER A est associé un langage défini sur A. Soit L : ER A 2 A définie par : L( ) =, L(ε) = {ε}, L(a) = {a} L(e 1 + e 2 ) = L(e 1 ) L(e 2 ) L(e 1.e 2 ) = L(e 1 ).L(e 2 ) L(e ) = L(e) Conventions de notations associativité des opérateurs + et. ordre décroissant de priorités : [,., +] parenthèses pour lever les ambiguités restantes... Si B = {a 1, a 2,... a n }, on note B pour (a 1 + a a n )

12 Décrire un langage régulier Propriété : L Rat A e ER A. L(e) = L Preuve : : induction sur la structure de Rat A L =, L = {ε}, L = {a} L = L 1 L 2, L = L 1.L 2, L = L1 : induction sur la syntaxe de ER A e =, e = ε, e = a e = e 1 + e 2, e = e 1.e 2, e = e 1 Conséquence : ER A est un formalisme de description de Rat A.

13 Exemples A = {a, b}, exemples de langages réguliers sur A : tous les mots commençant par a : aa mots n ayant que des a ou que des b : a + b mots ayant ab comme facteur? mots ayant toujours un a avant un b? mots ayant un nombre pair de a? mots ne contenants pas deux a consécutifs? etc.

14 Applications des expressions régulières définir l ensemble des lexèmes d un langage de programmation exemple : l outil Lex spécifier un motif de recherche (fichiers, chaîne de caractères, etc) exemple : commandes Unix grep, find, etc. moteurs de recherche spécifier une propriété sur les exécutions finies d un programme exemple : toujours ouvrir un fichier avant d y accéder etc.

15 Existence de langages non réguliers? un ensemble (infini) X est dénombrable ssi une une bijection entre X et N L ensemble des mots sur un alphabet fini A est dénombrable (bijection = classement lexicographique) ER A est dénombrable, donc Rat A est dénombrable (ensemble de mots sur un alphabet fini) L ensemble des parties d un ensemble (infini) dénombrable n est pas dénombrable L ensemble des langages définis sur A n est pas dénombrable (langage = sous-ensemble de mots = partie de A ) Conséquence : il existe des langages non réguliers...

16 Questions déterminer si un langage donné est régulier? décider (efficacement) si un mot appartient à un langage régulier donné? équivalence, inclusion entre langages réguliers?

17 Automates d Etats Finis

18 Automates d états finis déterministes Un AEFD A est un quintuplet (Q, A, q 0, δ, F ) tel que : Q est un ensemble fini d états A est l alphabet (ou vocabulaire) de l automate q 0 Q est l état initial la fonction δ : Q A Q est la fonction de transition F Q est l ensemble des états accepteurs Remarques : si δ est une application alors A est dit complet on notera p a q pour δ(p, a) = q

19 Langage accepté par un automate Soit un AEFD A = (Q, A, q 0, δ, F ) un chemin (fini) c dans A est une séquence finie c = (q 0, a 1, q 1 ), (q 1, a 2, q 2 ),..., (q n 1, a n, q n ) telle que q i 1 On dit alors : que le mot a 1 a 2 a n est l étiquette du chemin c que le chemin c est acceptant ssi q n F qu un mot w est accepté ssi un chemin acceptant d étiquete w Le langage accepté (ou reconnu) par A est l ensemble des mots acceptés : L(A) = {w w est accepté par A} Remarque : définition identique pour un automate non déterministe. a i qi

20 Exemples A = {a, b, c}, dessinez les automates (non nécesssairement déterministes) acceptant les langages suivants : les mots contenant un nombre pair de a les mots contenant un nombre pair de a et un nombre pair de b les mots dans lesquels b ne précède jamais a les mots contenant le facteur (sous-chaîne) abc A = {0, 1}, dessinez un automates reconnaissant les écritures des nombres pairs en base 2. A = {0, 1, 2,... 9}, dessinez un automate reconnaissant les écritues en base 10 des nombres inférieurs ou égaux à 278.

21 Compléter un AEFD Soit un AEFD A = (Q, A, q 0, δ, F ). Construire un AEFD complet A C acceptant le même langage? A C = (Q {q p }, A, q 0, δ C, F ) tel que : q p Q (nouvel état, appelé état puits ) δ C est une application de Q {q p } A sur (Q {q p }) définie par : δ C (q, a) = δ(q, a) pour tout (q, a) Dom(δ) δ C (q, a) = q p sinon Propriété : L(A) = L(A C ) Preuve?

22 Transformation d automates Il existe une infinité d automates (déterministes ou pas) acceptant le même lanagage (on dit qu ils sont équivalents). Méthodes permettant de : rendre un automate complet, rendre un automate déterministe, minimiser un automate (calculer l unique automate déterministe équivalent ayant le plus petit nombre d états).

23 AEFD = une procédure de reconnaissance efficace Etant donnés un AEFD A = (Q, A, q 0, δ, F ) et w A, w L(A)? existence d un chemin acceptant de A d étiquette w? Propriété : A déterministe et complet pour tout mot u A un chemin unique d étiquette u dans A. Cette propriété s applique donc à w et à chacun de ses préfixes. Algo pour décider si w L(A) : 1. construire l automate complet A C 2. parcours simultané de w et A C pour exhiber le chemin unique d étiquette w 3. w L(A) ssi ce chemin est acceptant (il se termine sur un état de F ) Cet algorithme ne nécessite qu un seul parcours de w.

24 Quelques propriétés de clôture Soient A 1 et A 2 deux AEFD. On peut construire un AEFND A tel que : L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ) L(A) = L(A 1 ).L(A 2 ) L(A) = L(A 1 ) L(A 2 ) L(A) = L(A 1 ) L(A) = L(A 1 )

25 Théorème de Kleene (1956) Soit A un alphabet et L A. L est un langage régulier il existe un AEFD A tel que L(A) = L De plus : 1. Il existe un algorithme qui transforme une expression régulière E en un AEFD A décrivant le même langage 2. Il existe un algorithme qui transforme un AEFD A en une expression régulière E décrivant le même langage

26 Résolution d équations Soit un AEFND 3 A = (Q, A, q 0, δ, F ). Pour chaque état q, on note X p = {u A p.u F } On a alors : L(A) = X q0 X p peut être définie comme un système d équations régulières : X p = Σ p a q ax q + (ε si p est final) Résolution? Elimimination de Gauss et Lemme d Arden : Soient L 1 et L 2 des langages sur A, alors 1. L 1 L 2 est la plus petite solution de l équation X = L 1 X + L 2 2. si ε L 1, L 1 L 2 est l unique solution de l équation X = L 1 X + L 2 3. Automate d états finis (non nécessairement) déterministe

27 Exemple A = {a, b, c}. L = {mots contenant la sous-chaîne abc}. Expression régulière : (a + b + c) abc(a + b + c) Automate non déterministe Automate déterministe Application du lemme d Arden : Est-ce le même langage?

28 Décider si un langage est régulier? Condition nécessaire : Lemme de l étoile Si L est régulier alors, il existe un entier n tel que pour tout mot f : f n f L u, v, w A tels que f = uvw v ε uv n uv w L Exemples d application : L 1 = {a n b n n 0} n est pas régulier L 2 = {w A w a = w b } n est pas régulier

29 En résumé Minimisation Identite Resolution d equations AEFD AEFND ER Determinisation Construction