Espaces vectoriels normés.

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1 Esces vectorels ormés Ch : cours comlet ormes dstces Déto : orme ds u K-esce vectorel Exemles : ormes ds K ou C 0 ([b]k) Exemles : esces de octos tégrbles et de crré tégrble Déto et théorème : dstce dstce ssocée à ue orme Déto 3 : boule ouverte boule ermée shère ds u esce vectorel ormé Déto 4 : rte covexe Théorème : covexté des boules Déto 5 : (hors rogrmme) orme mtrcelle (ou orme d lgèbre) Exemle 3 : orme mtrcelle ds M (K) Sutes ds u K-esce vectorel ormé de dmeso e Théorème et déto : orme e ttchée à ue bse Déto : sute d élémets d u K-esce vectorel Déto : sute covergete ou dvergete ds u K-esce vectorel ormé de dmeso e Théorème : ucté de l lmte d ue sute covergete our ue orme Déto 3 : sute borée our ue orme Théorème : l covergece etrîe le crctère boré Théorème 3 : esce vectorel des sutes covergetes our ue orme Théorème 4 : covergece des sutes extrtes d ue sute covergete Théorème 5 : (dms) covergece crctère boré lmte d ue sute et chgemet de orme Théorème 6 : les etre sute et sutes coordoées ds ue bse de l esce 3 Toologe métrque élémetre ds les esces vectorels de dmeso e Déto 3 : Déto 3 : Théorème 3 : Déto 33 : Déto 34 : Théorème 3 : Théorème 33 : Théorème 34 : Déto 35 : ot téreur à ue rte ds u esce vectorel ormé téreur d u esemble ouvert ou rte ouverte d u esce vectorel ormé exemle des boules ouvertes ot dhéret à ue rte ds u esce vectorel ormé dhérece ermé ou rte ermée d u esce vectorel ormé exemle des boules ermées et des shères crctérsto séquetelle des ots dhérets crctérsto séquetelle des ermés rte borée d u esce vectorel ormé 4 Lmtes de octos etre esces vectorels de dmeso e Déto 4 : Théorème 4 : Théorème 4 : Théorème 43 : Théorème 44 : Théorème 45 : Théorème 46 : lmte e u ot d ue octo etre esces vectorels ormés coséqueces de l exstece d ue lmte e u ot crctérsto séquetelle de l exstece d ue lmte lmte et utlsto d ue bse de l esce d rrvée octos comostes lmte d ue combso lére lmte d ue comosée lmte d u rodut et d u quotet de octos réelles de vrble vectorelle 5 Cotuté Déto 5 : cotuté e u ot cotuté d ue octo etre esces vectorels ormés Théorème 5 : cotuté et utlsto d ue bse de l esce d rrvée octos comostes Théorème 5 : oértos sur les octos cotues Théorème 53 : (dmse our le trosème ot) cotuté et toologe Déto 5 : octo lschtzee Théorème 54 : cotuté des octos lschtzees Théorème 55 : cotuté des lctos léres etre esces vectorels de dmeso e Exemles 5 : octos olyomles rtoelles lcto détermt Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - -

2 Esces vectorels ormés Ch : cours comlet ormes dstces Déto : orme ds u K-esce vectorel Sot (E+) u K-esce vectorel O dt que est ue orme sur E s et seulemet s : c est ue lcto de E ds + x E (( 0) (x 0) x E λ K (λ λ ( (x E² (x + ( + ( O dt lors que (E) est u K-esce vectorel ormé Exemles : ormes Les lctos dées r : x (x x ) K ( x ( x + + x ( mx( x ) sot des ormes ds K Les lctos dées r : C 0 ([b]k) ( ) ( t) dt b b ( ) ( t) dt ( ) su ( t) t [ b] sot des ormes sur C 0 ([b]k) Les ormes ds les deux cs sot dtes ttchées u rodut sclre corresodt ds le cs d esces vectorels réels Démostrto : Commeços r les ormes ds K ( ) - Pour x ds K ( est dé est ost comme ue somme e de réels osts - De lus l est mmédt que : x K λ K λ λ ( ) ( x - Pus : x K s : ( 0 lors : 0 x ( 0 doc : x 0 us : x 0 - E : (x (K ) x + y x + y d où e sommt : ( x + ( + ( ( ) - De même our x ds K ( est correctemet dé usque c est le lus grd élémet d u ombre de réels osts qu est doc lu-même u réel ost - Pus : x K λ K ( doc : λ x λ x λ ( x et tous les termes étt morés r ue même costte o e dédut que : ( λ λ ( S esute λ est ul l églté cherchée est mmédte et s λ est o ul lors : ( λ x ( λ et o obtet s ue deuxème églté us l églté voulue λ λ - D utre rt : x K ( ( 0 ) ( 0 x ( 0 ) ( x 0 ) (x 0) - E : (x (K ) x + y x + y ( ( Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet et tous les termes étt morés r ue même costte o coclut : ( x + ( ( +

3 ( ) - Pour x ds K comme récédemmet ( est correctemet dé et rtet à + - Il est églemet clr que : x K λ K λ λ ( ) ( x - De même : x K s : ( 0 lors : 0 x ( 0 d où : x 0 et : x 0 - E our l églté trgulre o utlse l églté de Cuchy-Schwrz obteue our le rodut sclre coque dé ds r : (x ( ) ( x x y et doc : ( x ( ( O eut lors e dédure que : (x ( ) ( x + ( + ( + ( x ( + ( + ( ( ( ( + ( ) et l églté trgulre (our l orme) e découle O cosdère esute x et y ds et : Or : ( x x + y + + x y y ( x y ) et e sommt : ( x ( x' + y' ) x + où o osé : x ( x x ) et : y ( y y ) ' ' ( x + ( x' + y') ( x') ( y' Doc : + ) ( x + Et comme : x') x' + + x' x + + x ( ) de même our y o coclut que : ( x + ( x') + ( y') ( + ( ( ) - Pour ds E est cotue de [b] ds + doc so tégrle sur [b] exste et est u réel ost - Pus our : E s : ( ) 0 lors étt cotue et ostve sur [b] est ulle et uss - Esute : E λ K λ ) λ ( ) du t de l lérté de l tégrle sur [b] ( - E : (g) E t [b] ( + g)( t) ( t) + g( t) et e tégrt sur [b] : ( + g) ( ) + ( g) ( ) - Pour ds E est cotue et à vleurs réelles sur [b] doc elle y dmet u su ds + - S our ds E o : ( 0 lors : t [b] 0 ( t) ( t) 0 et est ulle sur [b] - Pus our : E λ K t [b] λ ( t) λ ( t) λ ( ) et usque l octo est morée sur [b] r ue costte o e dédut que : ( λ ) λ ( ) S esute λ est ul l églté cherchée est mmédte et s λ est o ul lors : ( ) λ ( λ ) et o obtet s ue deuxème églté us l églté voulue λ λ - E : (g) E t [b] ( + g)( t) ( t) + g( t) ( ) ( g) + et l octo étt morée sur [b] r ue costte o coclut que : ( + g) ( ) + ( g) ( ) - Pour ds E comme récédemmet ( ) est correctemet dé et rtet à + - Avec les mêmes rgumets que our s our ds E o : ( ) 0 lors est ulle - L lérté de l tégrle sur [b] doe ecore : E λ K (λ) λ () - E our l églté trgulre o utlse là ecore l églté de Cuchy-Schwrz obteue our le rodut sclre coque ds C 0 ([b]) dé r : (g) C 0 ([b]) ( g) ( t) g( t) dt E eet : (g) C 0 ([b]) ( + g) ( ) + ( g) + ( g) ( ) + ( g) + ( ) ( g) ( ( ) + ( g)) d où l églté trgulre ds C 0 ([b]) our Et ds C 0 ([b]) o écrt comme récédemmet our ds : (g) C 0 ([b]) b Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 3 -

4 b b ( + g) + g ( + g ) ( + g ) ( ( ) + ( g )) ( ( ) + ( g)) e utlst l églté trgulre ds C 0 ([b]) qu o vet d étblr et le t que : b ( ) ( vec l même églté our g ) Doc est ecore ue orme ds C 0 ([b]) Exemles : esces de octos tégrbles et de crré tégrble L esemble L cm(ik) des octos cotues r morceux de I ds K et tégrbles sur I orme u K-esce vectorel et l esemble L (IK) des octos cotues de I ds K et tégrbles sur I e est u sous-esce vectorel L lcto dée r : L (IK) ( ) ( t) dt est ue orme sur cet esce I L esemble L cm(ik) des octos cotues r morceux de I ds K et de crré tégrble sur I orme u K-esce vectorel et l esemble L (IK) des octos cotues de I ds K et de crré tégrble sur I e est u sous-esce vectorel L lcto dée sur L (I) r : (g) L (I) ( g) ( t) g( t) dt est u rodut sclre sur I cet esce L lcto dée r : L (IK) lors l cotuté et l ostvté de sur I etrîe l ullté de sur I Doc o obtet be s u rodut sclre sur L (I) L lcto est s ue orme sur L (I) ssocée à ce rodut sclre E sur L (I) o comme ds C 0 ([b]) : (g) L (I) ( + g) + g ( g ) ( g ) ( ( ) ( g )) ( ( ) ( g)) I I e s uyt à ouveu sur l églté trgulre étble ds L (I) Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet I ( ) ( t) dt est ue orme sur L (IK) Démostrto : L esemble L cm(ik) est u sous-esce vectorel de F(IK) - E eet l est be clus deds l est o vde usque l octo ulle de I ds K est be cotue r morceux et tégrble sur I E l est stble r combso lére cr : (g) L cm(ik) (λµ) K λ ( t) + µ g( t) λ ( t) + µ g( t) Pr comrso de octos à vleurs ostves o e dédut l tégrblté sur I de ( λ + µ g) - De même L (IK) est be clus ds L cm(ik) l est o vde et stble r combso lére - E l lcto est be ue orme sur L (IK) E eet elle y est correctemet dée (toutes les octos sot tégrbles sur I) et à vleurs ds + Il est mmédt r lleurs que : E λ K λ ) λ ( ) ( L églté trgulre découle de l morto : (g) E t I ( t) + g( t) ( t) + g( t) E l cotuté et l ostvté de sur I doe : E ( ( ) 0 ) ( 0 ) L esemble L cm(ik) est be u sous-esce vectorel de C 0 (IK) - E eet l est clus deds et l est o vde (l octo ulle est de crré tégrble sur I) - De lus our : λ K L cm(ik) λ est be de crré tégrble sur I et : (g) L cm(ik) g ( + g ) ce qu etrîe : + g + g + Re( g) + g + g + g + ( + g ) et l tégrblté sur I de ( + g) r comrso de octos à vleurs ostves Doc our tout coule (g) d élémets de L cm(ik) l somme est ecore élémet de L cm(ik) Pr lleurs l est lors mmédt que L (IK) est u sous-esce vectorel de L cm(ik) Pus l lcto roosée est lors correctemet dée de L (I) ds e utlst l morto récédete de g our : (g) L (I) De lus elle est clremet blére symétrque et ostve et s our : L (I) o : ( g) 0

5 Remrque : orme de l covergece uorme Ds C 0 ({b]k) l orme est uss elée orme de l covergece uorme tout comme ds l esce vectorel des octos cotues borées de I ds K où I est u tervlle quelcoque de Déto et théorème : dstce dstce ssocée à ue orme Sot (E+) u K-esce vectorel O dt que d est ue dstce sur E s et seulemet s : c est ue lcto de E E ds + (x E (d(x 0) (x (x E d(x d(y (xyz) E 3 d(xz) d(x + d(yz) (églté trgulre) S est ue orme sur E l lcto dée r : (x E d( x ( x est ue dstce sur E elée dstce ssocée (ou lée) à l orme Démostrto : Les dérets ots se démotret ss dculté : d est be ue lcto de E E ds + our : (x E (d(x 0) ((x 0) (x y 0) (x our : (x E d(y (y ( (x ) - (x (x our : (xyz) E 3 d(xz) (x z) ((x + (y z)) (x + (y z) d(x + d(yz) Déto 3 : boule ouverte boule ermée shère ds u esce vectorel ormé Sot (E) u esce vectorel ormé Pour x 0 élémet de E et r réel strctemet ost o dét : l boule ouverte de cetre x 0 et de ryo r our l orme r : B (x 0 r) {x E (x x 0 ) < r} l boule ermée de cetre x 0 et de ryo r our l orme r : B' (x 0 r) {x E (x x 0 ) r} l shère de cetre x 0 et de ryo r our l orme r : S (x 0 r) {x E (x x 0 ) r} Lorsqu l y s d mbguïté sur l orme o ote smlemet B(x 0 r) B (x 0 r) et S(x 0 r) Déto 4 : rte covexe Sot (E) u esce vectorel ormé Ue rte A de E est dte covexe lorsque : (x A t [0] ( t ) x + t y A Théorème : covexté des boules Sot (E) u esce vectorel ormé Pour x 0 élémet de E et r réel strctemet ost les boules B (x 0 r) et B (x 0 r) sot des covexes Démostrto : Soet doc : (x E et : t [0] Alors : ((( t) x + t x0 ) (( t)( x x0 ) + t( y x0 )) t ( x x0 ) + t ( y x0 ) Et usque t et ( t) sot osts o obtet : ((( t) x + t x0 ) ( t) ( x x0 ) + t ( y x0 ) S de lus o : (x B (x 0 r) lors : ((( t) x + t x0 ) < ( t) r + t r r De même s : (x B (x 0 r) lors : ((( t) x + t x0 ) ( t) r + t r r Ds les deux cs l élémet ( t ) x + t y est ds l même boule que celle où se trouvet x et y et ces deux boules sot be des covexes de E Déto 5 : (hors rogrmme) orme mtrcelle (ou orme d lgèbre) O dt qu ue orme est ue orme mtrcelle sur M (K) lorsque : (AB) M (K) ( A B) ( A) ( B) Plus géérlemet s u esce vectorel (E+) dsose d ue deuxème lo tere (otée ) qu t de (E+ ) u eu o dt que est ue orme d lgèbre sur E s : (x E ( x ( ( Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 5 -

6 Exemle 3 : orme mtrcelle ds M (K) L lcto dée sur M (K) r : A M (K) sur M (K) ( A) mx dét ue orme d lgèbre Démostrto : L lcto roosée est tout d bord be ue orme usque : Pour A xée (A) est dé comme le lus grd d ue mlle e de réels osts et est doc lumême u réel ost E reret l démostrto te our ds o : A M (K) λ K ( λ A) λ ( A) S our : A M (K) o : ( A) 0 lors : 0 ( A) 0 doc : 0 us : 0 d où : A 0 E : (AB) M (K) b + b + d où : + b + b ( A) + ( B) églté vre uss our l lus grde de ces sommes utremet dt : ( A + B) ( A) + ( B) De lus : (AB) M (K) b b b b us : b ( B) ( A) ( B) et ortor our l lus grde de ces sommes sot : ( A B) ( A) ( B) Sutes ds u K-esce vectorel ormé de dmeso e Théorème et déto : orme e ttchée à ue bse ds u esce vectorel de dmeso e Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e mu d ue bse : B (e e ) L lcto qu à u vecteur : x x e de E t corresodre : B ( mx( x ) est ue orme sur E elée orme e ttchée à l bse B et otée s l y s d mbguïté sur l bse Démostrto : Elle est ormellemet detque à celle qu étblt que est ue orme ds K Remrque : O eut doc touours mur u K-esce vectorel de dmeso e d ue orme Déto : sute d élémets d u K-esce vectorel Sot (E+) u K-esce vectorel Ue sute d élémets de E est ue lcto de (ou d u sous-esemble de de tye { }) ds E O l ote : x (x ) x (x ) ou : x x ) vec : (ou : 0 ) x E ( 0 L esemble E des sutes d élémets de E eut être mu d ue structure de K-esce vectorel Déto 3 : sute covergete dvergete ds u K-esce vectorel ormé de dmeso e Sot (E) u K-esce vectorel ormé O dt que (x ) sute d élémets de E coverge (our l orme ) s et seulemet s : L E > ( x Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 6 -

7 L est lors elée lmte de l sute (x ) (our l orme ) S ue sute e coverge s (our l orme ) elle dverge (vor le théorème 5) Théorème : ucté de l lmte d ue sute covergete our ue orme Sot (E) u K-esce vectorel ormé et (x ) ue sute d élémets de E S (x ) coverge (our l orme ) s lmte our cette orme est uque et o l ote lm x (vor à ouveu le théorème 5) Démostrto : Rsoos r l bsurde : suosos que (x ) dmette deux lmtes L et L dstctes (our l orme ) S o ose lors : ( L L') > 0 (usque : L L 0) lors : ( x et : 0 ( x L' ) Doc our : mx( 0 0 ) o : ( x et : ( x L' ) + Ms lors : ( L L' ) (( L x ) + ( x L')) ( L x ) + ( x L' ) ( L L' ) 3 ce qu est mossble usque (L L ) est suosé être u réel strctemet ost Déto 4 : sute borée Sot (E) u K-esce vectorel ormé et (x ) ue sute d élémets de E O dt que (x ) est borée (our l orme ) s et seulemet s : M + ( x ) M Théorème : l covergece etrîe le crctère boré Sot (E) u K-esce vectorel ormé et (x ) ue sute d élémets de E S (x ) coverge our l orme (x ) est borée our cette orme Démostrto : Sot (x ) ue sute covergete d élémets de E our l orme vers L Alors our : > 0 l exste u rg 0 ds tel que : 0 ( x O doc à l de de l églté trgulre : 0 ( x ) ( x + ( L) ( L) + E ost : M mx( ( x0 ) ( x ) + ( L)) 0 o lors : ( x ) M et l sute (x ) est be borée Théorème 3 : esce vectorel des sutes covergetes our ue orme Sot (E) u K-esce vectorel ormé L esemble des sutes d élémets de E covergetes our l orme orme u sous-esce vectorel E c du K-esce vectorel E L lcto qu à ue sute d élémets de E covergete our l orme t corresodre l lmte de cette sute our cette orme est ue lcto lére de E c ds E E rtculer o doc : ((x )(y )) (E c) (αβ) K lm ( α x + β y ) α lm x + β lm y + Démostrto : Soet doc (x ) et (y ) deux sutes coverget resectvemet vers L x et L y et : α K* Alors : > 0 x x ( x L x ) et : y y ( y L y ) Doc e ost : 0 mx( x y ) o be : 0 (( x + y ) ( Lx + Ly )) ( x Lx ) + ( y Ly ) + et l sute ((x ) + (y )) coverge vers [L x + L y ] our l orme Pus : α K > ( x L x ) d où : 0 ( α x α Lx ) α + et l sute α(x ) coverge vers αl x our l orme Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet

8 Cosdéros e l esemble E c des sutes d élémets de E coverget our l orme - Cet esemble est clus ds E est o vde usque l sute ulle coverge vers 0 our toute orme de E et o vet de motrer qu l étt stble r combso lére - C est doc be u sous-esce vectorel de E et l lcto qu à u élémet de E c ssoce s lmte our l orme est be ue lcto lére de E c comme o vet de le motrer Théorème 4 : covergece des sutes extrtes d ue sute covergete Sot (E) u K-esce vectorel ormé (de dmeso e) S (x ) est ue sute d élémets de E qu coverge (our l orme ) vers L lors toute sute extrte (x ϕ() ) de l sute coverge ecore vers L (our l orme ) Démostrto : Sot doc (x ) ue sute d élémets de E qu coverge vers L our l orme et sot (x ϕ() ) ue sute extrte de (x ) u mos d ue octo ϕ (doc strctemet crosste de ds ) E rtculer o vére mmédtemet r récurrece que : ϕ() Sot lors : > 0 et : 0 tel que : ( 0 ) ( ( x ) Alors : 0 ( 0 ) (ϕ() 0 ) ( x ) ) ( ϕ ( ) L O costte be que (x ϕ() ) coverge vers L (our l orme ) Remrque : O relle que c est s u moye de motrer qu ue sute dverge e trouvt deux sutes extrtes coverget vers des lmtes déretes Théorème 5 : (dms) covergece crctère boré lmte d ue sute et chgemet de orme Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e Alors les otos de covergece d ue sute lmte d ue sute et le crctère boré d ue sute e déedet de l orme chose ds l esce our les exrmer Remrques : L démostrto t el à l oto de «ormes équvletes» désorms hors rogrmme e PSI s qu u théorème étblsst que toutes les ormes sot équvletes ds u esce vectorel de dmeso e (lors que ce est s le cs e dmeso quelcoque) théorème dot l démostrto étt déà hors rogrmme e PSI Dorévt o ur doc lus beso de récser «our l orme» lorsqu o rler de covergece de lmte ou de sute borée ds u esce vectorel de dmeso e Atteto : les boules (ouvertes ou ermées) et les shères déedet touours de l orme chose Théorème 6 : les etre sute et sutes coordoées ds ue bse de l esce Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso mu d ue bse : B (e e ) Sot (x ) ue sute d élémets de E telle que : Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet x x e Alors l sute (x ) coverge ds E s et seulemet s les sutes coordoées (x ) coverget ds K et ds ce cs o : + lm ( x e ) ( lm x ) e + De même (x ) est borée s et seulemet s ses sutes coordoées (x ) sot borées Démostrto : [ ] S (x ) coverge vers : L > L e our l orme ttchée à l bse B lors : mx ( x L ) et doc : x L Doc toutes les sutes (x ) coverget resectvemet vers L [ ] S chque sute (x ) coverge vers L lors : > 0 x L Il est lors clr que e ott : 0 mx( ) o : 0 ( x L )

9 où o oté : L L e usque l orme e d u élémet de E est l lus grde de ses coordoées ds B et qu c elles sot toutes morées r our : 0 3 Toologe métrque élémetre ds les esces vectorels de dmeso e O dmettr que ds u esce vectorel (ormé) de dmeso e les otos qu suvet sot déedtes du chox de l orme (tteto : ue boule ou ue shère déedet elles de l orme chose ds l esce) Déto 3 : ot téreur à ue rte ds u esce vectorel ormé téreur d u esemble Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) et A ue rte quelcoque de E O dt qu u élémet de E est téreur à A s et seulemet s : r > 0 B(r) A L esemble des ots téreur à A (oté Å) est elé téreur de A Déto 3 : ouvert ou rte ouverte d u esce vectorel ormé Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) O dt que Ω est u ouvert (ou ue rte ouverte) de E our l orme s et seulemet s : Ω r > 0 B(r) Ω Remrques : Tout ot téreur à Ω rtet doc à Ω usque : B(r) Ω U esemble Ω est doc u ouvert de E s et seulemet s Ω est égl à so téreur : c est mmédt vec les deux détos récédetes Théorème 3 : exemle des boules ouvertes Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) Alors : E r > 0 l boule ouverte B(r) est u ouvert Démostrto : Sot : x 0 B(r) et osos : r ' r ( x0 ) > 0 Alors : x B(x 0 r ) x ) (( x x ) + ( x )) ( x x ) + ( x ) < r' + ( x ) r ( et doc : x B(x 0 r ) x B(r) utremet dt : B(x 0 r ) B(r) Pusque : x 0 B(r) r > 0 B(x 0 r ) B(r) l boule B(r) est doc be u ouvert Déto 33 : ot dhéret à ue rte ds u esce vectorel ormé dhérece Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) et A ue rte quelcoque de E O dt qu u élémet de E est dhéret à A s et seulemet s : r > 0 B(r) A L esemble des ots dhérets à A (oté Ā) est elé dhérece de A Déto 34 : ermé ou rte ermée d u esce vectorel ormé Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) O dt que F est u ermé (ou ue rte ermée) de E s et seulemet s so comlémetre ds E est u ouvert de E Théorème 3 : exemle des boules ermées et des shères Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) Alors : E r > 0 l boule ermée B (r) et l shère S(r) sot des ermés Démostrto : otos Ω le comlémetre de B (r) ds E doc dé r : Ω {x E ( x ) > r } Sot : x 0 Ω et otos : r ' ( x0 ) r > 0 Alors : x B(x 0 r ) ( x0 ) (( x0 + ( x )) ( x0 + ( x ) < r' + ( x ) doc : Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 9 -

10 ( x 0 ) r' < ( x ) sot ecore : r < ( x ) utremet dt : x Ω O vet doc de motrer que : x 0 Ω r > 0 B(x 0 r ) Ω et Ω est doc ouvert et B (r) u ermé S o ote de même Ω le comlémetre de S (r) ds E lors : Ω {x E ( x ) r } {x E ( x ) > r } {x E ( x ) < r } Ω B(r) Or Ω et B(r) sot des ouverts doc : - x 0 Ω r > 0 B(x 0 r ) Ω Ω - x 0 B(r) r > 0 B(x 0 r ) B(r) Ω utremet dt : x 0 Ω r > 0 B(x 0 r )à Ω et Ω est u ouvert de E doc S (r) u ermé Théorème 33 : crctérsto séquetelle des ots dhérets Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e et A ue rte de E Alors u élémet x de E est dhéret à A s et seulemet s l exste ue sute d élémets de A qu coverge vers x Démostrto : [ ] S x est dhéret à A lors : B( x ) A et doc : x A ( x < Il est clr que (x ) est lors ue sute d élémets de A qu coverge vers x [ ] S (x ) est ue sute d élémets de A qu coverge vers x lors : > 0 ( x < et : B(x) A cr x est ds cette tersecto Remrque : Tout ot de A est ds Ā usque est l lmte de l sute (costte) d élémets de A dée r : utremet dt o touours : A Ā Théorème 34 : crctérsto séquetelle des ermés Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e et A ue rte de E A est u ermé de E s et seulemet s our tout sute d élémets de A covergete o : x + lm A Démostrto : Trvllos r double mlcto et cotrosées [ ] S A est s ermé e ott Ω so comlémetre ds E Ω est s ouvert et doc : Ω B( - ) Ω doc : x B( - ) A L sute (x ) est lors ue sute d élémets de A qu coverge vers lmte qu rtet s à A [ ] S mtet (x ) est ue sute d élémets de A qu coverge vers rtet s à A doc u comlémetre Ω de A ds E lors : r r > 0 ( x ) < r usque (x ) ted vers Ms lors : B( r ) Ω usque cette boule cotet x qu est ds A doc s ds Ω Autremet dt Ω est s ouvert à cuse de Remrque : U esemble A est ermé s et seulemet s l est égl à so dhérece E eet : s A est ermé sot u ot de so dhérece Alors d rès le théorème 33 l exste ue sute d élémets de A qu coverge vers ms d rès le théorème 34 est lors ds A usque A est ermé Doc : Ā A et comme o st déà que : A Ā o e dédut que : A Ā s : A Ā sot ( ) ue sute d élémets de A covergete vers Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 0 -

11 Le théorème 33 motre lors que : Ā doc : A et le théorème 34 grtt que A est ermé Déto 35 : rte borée d u esce vectorel ormé Sot (E) u esce vectorel ormé (de dmeso e) et A ue rte quelcoque de E O dt que A est borée (our l orme ) s et seulemet s : M + x A ( M 4 Lmte d ue octo etre esce vectorels ormés Déto 4 : lmte e u ot d ue octo etre esces vectorels ormés Soet (E) et (F ) deux K-esces vectorels ormés de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F et sot u ot dhéret à A O dt que dmet ue lmte e s et seulemet s : L F > 0 α > 0 x A ( ( x ) α ) ( '( ) Théorème 4 : coséqueces de l exstece d ue lmte e u ot Soet (E) et (F ) deux K-esces vectorels ormés de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F et sot u ot dhéret à A S dmet our lmte L e : cette lmte est uque et o l ote lors : L lm lm Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - - x s est dée e A (sot ecore : A) lors : lm ( ) l exste ue boule B cetrée e telle que sot borée sur B A Démostrto : Suosos que dmette deux lmtes dstctes L et L e S o ose : '( L L' ) lors : α > 0 α > 0 tel que : 3 x A ( ( x ) α ) ( '( ) et : ( ( x ) α' ) ( '( L' ) ) Pusque est dhéret à A l esemble A B(α ) est o vde où : α '' m( α α' ) Sot lors : x A B(α ) O : ( x ) α ' ' α et doc : '( de même : '( L' ) Doc : ( L L') ( L + L') ( L ) + ( L') ( L L') ) 3 et ce derer résultt est mossble Doc s dmet ue lmte L e cette lmte est uque S est dée e et dmet our lmte L e lors our tout : > 0 α > 0 x A ( ( x ) α ) ( '( ) Or lu-même vére touours : ( ) 0 α et doc : '( ( ) Cec étt vr our tout : > 0 o e dédut que : ( ) L lm x Sot mtet : > 0 et otos : L lm Alors : α > 0 x A B(α) '( et doc : '( ) ' ( L + L) ' ( + ( L) + ( L) M et est lors be borée sur A B(α) r ce réel M Théorème 4 : crctérsto séquetelle de l exstece d ue lmte Soet (E) et (F ) deux K-esces vectorels ormés de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F et sot u ot dhéret à A Il y équvlece etre : dmet ue lmte e our toute sute ( ) d élémets de A qu coverge vers l sute (( )) est covergete S l u des deux ots est véré lors l octo dmet ue lmte L e qu est l lmte commue de toutes les sutes ( ) évoquées u-dessus x

12 Démostrto : Suosos que dmette our lmte L e et sot ( ) ue sute d élémets de A covergete vers Alors : > 0 α > 0 x A ( ( x ) α ) ( '( ) Pusque ( ) coverge vers o eut trouver : 0 tel que : ( 0 ) ( ( ) α ) Pour : 0 o doc : ( ( ) et o costte que (( )) coverge be (vers L) Suosos mtet que our toute sute d élémets de A coverget vers l sute (( )) coverge et soet tout d bord deux telles sutes (x ) et (y ) (d élémets de A coverget vers ) E ost : z x et : z + y o costte que (z ) coverge ecore vers Doc ((z )) coverge Ms les sutes ((x )) et ((y )) étt extrtes de ((z )) elles dovet coverger vers l même lmte otos lors L l lmte commue de toutes les sutes (( )) lorsque ( ) est ue sute d élémets de A coverget vers Suosos lors que dmette s L our lmte e Alors : > 0 α > 0 x A tel que : ( ) α et : '( > E rtculer : α > 0 et : x A ( x ) α et : '( ( x ) > O vet s de costrure ue sute (x ) d élémets de A qu coverge vers et telle que ((x )) e coverge s vers L ce qu est mossble vu ce qu o démotré u-dessus Doc dmet be our lmte L e Remrques : Pusque l covergece d ue sute e déed s (ds u esce vectorel de dmeso e) du chox de l orme l e résulte e rtculer que l exstece d ue lmte our ue octo etre esces vectorels ormés de dmesos es e déed s o lus du chox des ormes ds ces esces O eut églemet oter que s o trouve deux sutes coverget vers et telles que les sutes mges r coverget vers des lmtes déretes lors s de lmte e Théorème 43 : utlsto d ue bse de l esce d rrvée octos comostes Soet (E+) et (F+) deux K-esces vectorels de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F et sot u ot dhéret à A O ote : B (e e ) ue bse de F et ( ) les octos comostes de ds l bse B c est-à-dre : e ' Alors dmet ue lmte e s et seulemet s les octos (à vleurs ds K) dmettet des lmtes e et o lors : lm (lm( )) e ' E rtculer ue octo de A ds qu s écrt : Re( ) + Im( ) où Re( ) et Im( ) sot des octos de A ds dmet ue lmte e s et seulemet s Re( ) et Im( ) dmettet des lmtes e et lors : lm lm Re( ) + lm Im( ) Démostrto : O eut utlser ds F morte quelle orme r exemle l orme e ttchée à l bse B [ ] S dmet ue lmte L e : x A L ( L L e ' e remrqut que : ' ( mx ( x ) l est mmédt que chque octo dmet our lmte L e usque : > 0 α > 0 x A ( ( x ) α ) ( ' ( L et doc : L ) Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - - L [ ] S mtet chque octo dmet our lmte L e lors : > 0 α > 0 x A ( ( x ) α ) ( L ) et vec : α mα > 0 o :

13 x A ( ( x ) α ) ( ' ( mx L ) et dmet be our lmte L e Théorème 44 : lmte d ue combso lére Soet (E+) et (F+) deux K-esces vectorels de dmeso e Soet et g des octos dées d ue rte A de E ds F λ et µ des élémets de K et sot u ot dhéret à A S et g dmettet des lmtes e lors ( λ + µ g) dmet ue lmte e et : lm ( λ + µ g) λlm + µ lm g Démostrto : Il sut d exmer les octos coordoées de ( λ + µ g) ds ue bse B de F qu sot combsos léres de celles de et de g et qu à ce ttre ot des lmtes e et qu véret : dm(f) lm ( λ + µ g ) λlm + µ lm g Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet O e dédut que ( λ + µ g) dmet églemet ue lmte e (vec le théorème 43) qu vére be l églté océe Théorème 45 : lmte d ue comosée Soet (E+) (F+) (G+) tros K-esces vectorels de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds B clus ds F g ue octo dée de B ds G et sot u élémet dhéret à A S dmet ue lmte b e vec b dhéret à B et s g dmet ue lmte c e b lors go dmet our lmte c e Démostrto : O ote et des ormes ds E F et G Pour : > 0 α > 0 y B ( '( y b) α ) ( ''( g( c) ) Pour u tel α o eut trouver : η > 0 tel que : x A ( ( x ) η ) ( '( b) α ) Doc : x A ( ( x ) η ) ( '( b) α ) et : ( B doc : ''( g( ) c) Autremet dt go dmet be our lmte c e Théorème 46 : lmte d u rodut et d u quotet de octos réelles de vrble vectorelle Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e Soet et g deux octos d ue rte A de E ds K et sot u élémet dhéret à A S et g dmettet des lmtes e lors ( g) dmet ue lmte e et : lm ( g) lm lm g De lus s l lmte de g e est o ulle lors l exste ue boule ouverte B cetrée e telle que g lm x e s ule s sur A B et l octo dmet ue lmte e telle que : lm ( g x g lm g( Démostrto : S o ote L et L les lmtes resectves de et de g e lors : x A g( L L' ( g( L') + ( L' g( L' + L L' Fxos mtet : > 0 Le théorème 4 grtt l exstece de : r > 0 et : M 0 tels que : x A B(r) De lus : - α > 0 x A ( ( x ) α ) ( L ) et : ( L' + ) - α > 0 x A ( ( x ) α' ) ( g( L' ) ( M + ) Doc e ost : α '' m( α α' r) o doc : x A ( ( x ) α' ' ) ( g( L L' M + L' ) ( M + ) ( L' + ) x M

14 et ( g) dmet be our lmte LL e otos à ouveu L l lmte de g e et suosos : L 0 Alors s o ote : L' > 0 o eut trouver : α > 0 tel que : x A ( ( x ) α ) ( g ( L' ) et doc vec l deuxème églté trgulre sur le module o obtet : g ( L' g( L' et doc : + L' g( sot : 0 < L' g( O s motré que g e s ule s sur A B(α) E r comosto de g et de l octo verse de * ds * l octo est dée sur A B g et dmet our lmte E r rodut g lm g e dmet our lmte lm x lm g( x e 5 Cotuté Déto 5 : cotuté e u ot cotuté d ue octo etre esces vectorels ormés Soet (E+) et (F+) deux K-esces vectorels de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F Pour : A o dt que est cotue e s et seulemet s dmet ue lmte e (qu est doc ()) O dt que est cotue sur A s et seulemet s est cotue e tout ot de A Théorème 5 : utlsto d ue bse de l esce d rrvée octos comostes Soet (E+) et (F+) deux K-esces vectorels de dmeso e Sot ue octo dée d ue rte A de E ds F et sot : A O ote : B (e e ) ue bse de F et ( ) les octos comostes de ds l bse B c est-à-dre : e ' Alors est cotue e s et seulemet s les octos (à vleurs ds K) sot cotues e De même est cotue sur A s et seulemet s les octos sot cotues sur A Démostrto : C est ue coséquece mmédte du théorème 43 Théorème 5 : oértos sur les octos cotues Soet (E+) et (F+) deux K-esces vectorels de dmeso e Soet et g des octos dées d ue rte A de E ds F λ et µ des élémets de K S et g sot cotues e : A (ou cotues sur A) ( λ + µ g) est cotue e (ou sur A) Soet (E+) (F+) (G+) tros K-esces vectorels de dmeso e Soet ue octo dée d ue rte A de E ds : B F g ue octo dée de B ds G S est cotue e : A (ou sur A) et s g est cotue e : b () B (ou sur B) lors go est cotue e (ou sur A) Sot (E+) u K-esce vectorel de dmeso e Soet et g deux octos d ue rte A de E ds K S et g sot cotues e : A (ou sur A) lors ( g) est cotue e (ou sur A) De lus s g e s ule s e : A (ou sur A) lors est dée u vosge de et est g g cotue e (ou sur A) Démostrto : C est ue coséquece mmédte des théorèmes et 46 Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 4 -

15 Théorème 53 : (dmse our le trosème ot) cotuté et toologe Soet (E+) u K-esce vectorel de dmeso e et ue octo cotue de E ds Alors : les esembles {x E > 0 } {x E < 0 } et {x E 0 } sot des ouverts de E les esembles {x E 0 } {x E 0 } et {x E 0 } sot des ermés de E s A est ue rte ermée et borée de E est borée sur A et y ttet ses bores Démostrto : (dmse our le trosème ot) otos : Ω {x E > 0 } et sot : Ω doc tel que : () > 0 ( ) Pusque est cotue e e ott : > 0 o eut trouver : α > 0 tel que : x E ( ( x ) α ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) + ) ( ) ( ) Doc : x E o : ( ( x ) < α ) ( ( x ) α ) ( 0 < ( ) ) (x Ω) Doc : B(α) Ω et Ω est be u ouvert de E O motre de même que les deux utres esembles roosés sot ecore des ouverts de E otos mtet : F { x E 0 } et sot ( ) ue sute d élémets de F coverget vers Alors : ( ) 0 et le théorème 4 motre que l sute ( ) ) coverge vers () usque est cotue e (et doc dmet ue lmte e égle à ()) E sst à l lmte ds l mlle d égltés récédetes o e dédut que : ( ) 0 et : F F est doc be u ermé de E et o motre de l même ço que les deux utres esembles sot ecore des ermés de E Sot mtet A ue rte ermée et borée de E et suosos o borée sur A Alors o eut trouver ue sute ( ) d élémets de A telle que : ( ) > usque est ms u mort de sur A Cosdéros lors ue bse : B (e e ) de E et otos : Pusque A est borée o e utlst l orme e ttchée à B : M x A Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet ( e ( x M et e rtculer : ( ) M ) Pusque ( ) est ue sute borée de réels (ou de comlexes) o eut e extrre ue sute covergete ( ϕ() ) Ms l sute ( ϕ() ) est elle-même borée et o eut à ouveu e extrre ue sute covergete ( ϕoψ() ) l sute ( ϕoψ() ) restt covergete cr extrte de ( ϕ() ) elle-même covergete O cotue s à extrre usqu à l dce des sutes covergetes des sutes costrutes récédemmet et o boutt à ue octo extrctrce θ telle que : ( θ() ) coverge L sute vectorelle ( θ() ) est lors covergete (usque ses sutes coordoées ds l bse B le sot) et e ott s lmte o : A cr A est ermée Or : ) > ( ) usque θ est strctemet crosste ( θ ( ) θ Et comme l exste ue sute d élémets de A qu coverge vers et telle que l sute des mges dverge (usque cette sute d mges ted e orme vers + et est doc s borée) e eut vor de lmte e et ortor e eut être cotue e Cocluso : l hyothèse te est usse et est borée sur A ; otos lors : M su Alors : x A M ( x ) M usque M est le lus ett des morts de sur A et que ( M ) e more ms sur A Comme récédemmet o eut extrre de (x ) ue sute (x β() ) covergete ds A vers u élémet x et : M β ( ) ( x ) M β ( ) β étt à ouveu ue octo strctemet crosste o : lm β ( ) + et le théorème des gedrmes motre que : lm ( x ( ) ) M x + β Ms usque (x β() ) coverge vers x et que est cotue e x o uss : lm ( x ( ) ) et doc + x + x A β

16 lemet : M De même o motre que dmet ue bore éreure ttete églemet e u mos u ot de A Déto 5 : octo lschtzee Soet (E) et (F ) des esces vectorels ormés de dmeso e et sot de E ds F O dt que est lschtzee de (E) ds (F ) s et seulemet s : + (x E ' ( ( ) ( x Cette oto est déedte des ormes s E et F sot de dmeso e ms le coecet déed du chox des ormes ds E et F (o rle lors d lcto -lschtzee) Remrques : S est ue costte qu covet toute vleur suéreure covet églemet Ue combso lére de octos lschtzees est ecore lschtzee Ue comosée de octos lschtzees est ecore lschtzee Théorème 54 : cotuté des octos lschtzees Soet (E) et (F ) des esces vectorels ormés de dmeso e et sot -lschtzee de E ds F Alors est cotue sur E Démostrto : Sot : E et sot : > 0 Alors e ost : α 0 + > o costte que : x E ( ( x ) α ) ( '( ( )) ( x ) ) + et est be cotue e doc sur E Théorème 55 : cotuté des lctos léres etre esces vectorels de dmeso e Soet (E) et (F ) des esces vectorels ormés de dmeso e et sot : u L(EF) Alors u est lschtzee de E ds F doc cotue Démostrto : Sot B ue bse de E et otos l orme e ttchée à l bse B et ue orme de F Alors : x E '( u( ) ' u x e' ' x u( e' ) x '( u( e' )) ( C où o oté : C '( u( ' )) 0 (et même o ulle) e Doc : (x E ' ( u( u( ) '( u( x ) C ( x Autremet dt u est C-lschtzee our les ormes et et doc cotue de E ds F Exemles 5 : Les lctos coordoées ds ue bse d u K-esce vectorel de dmeso e sot cotues Des lctos olyomles e les coordoées d u vecteur ds ue bse sur u K-esce vectorel de dmeso e sot cotues (de même que des lctos rtoelles sur leur dome de déto) L lcto détermt est cotue de M () ou M () ds ou L esemble Gl () des mtrces réelles versbles est doc u ouvert de M () Démostrto : E eet : Sot : B (e e ) ue bse de K-esce vectorel de dmeso e Alors s our x ds E o ote : x x e les lctos dées r : Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 6 -

17 x x sot léres de E ds K doc cotues De même s dée sur E r le t que our : x E ( est u olyôme e x x lors rît comme ue somme de roduts de octos cotues de E ds K (les octos récédetes) et à ce ttre est cotue sur E Le même résultt vut our ue octo rtoelle e les coordoées d u vecteur Pour : A M (K) lors e dévelot successvemet det(a ) suvt les coloes de l mtrce (sot e tout! termes à l ) o costte que det(a ) rît comme ue somme de roduts (vec des sges ±) de coecets de l mtrce A utremet dt det est ue somme de roduts de octos coordoées ds l bse coque A ce ttre det est cotue sur M (K) O e dédut que : Gl () {A M () det(a) 0} est doc u ouvert de M () Chtre : Esces vectorels ormés Cours comlet - 7 -