Dénombrement. 1 Dénombrement pratique. POIRET Aurélien TD n o 20

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1 POIRET Aurélen TD n o 0 Dénombrement MPSI Dénombrement ratque Exercce N o : Sot E l ensemble des mots de longueur 7 dont les 7 lettres sont rses dans l ensemble des 6 lettres de l alhabet latn Détermner le cardnal de E Réonse : 6 7 Détermner le nombre de mots de E contenant exactement 4 fos la lettre K Réonse : Détermner le nombre de mots de E contenant au mons 4 fos la lettre K Réonse : Détermner le nombre de mots de E contenant exactement voyelles, dfférentes Réonse : Détermner le nombre de mots de E contenant exactement voyelles Réonse : Détermner le nombre de mots de E our lesquels dès que deux lettres dstnctes sont résentes alors elles se réètent au mons 3 fos Réonse : 776 Exercce N o : Quel est le nombre d anagrammes des mots suvants? a caher b stylos c bonbon d anagramme Réonses : a 70 b 360 c 90 d Exercce N o 3 : Une urne content 5 boules blanches et 8 boules nores On tre successvement 6 boules de l urne, en remettant à chaque fos la boule trée A/ Premère stuaton : les boules blanches sont numérotées de à 5 ; les boules nores sont numérotées de 6 à 3 Détermner le nombre de trages Réonse : 3 6 Détermner le nombre de trages amenant 5 boules nores et une boule blanche Réonse : Détermner le nombre de trages amenant une boule nore au lus Réonse : Détermner le nombre de trages amenant 3 boules nores et 3 boules blanches Réonse : Détermner le nombre de trages amenant une boule blanche au mons Réonse : B/ Deuxème stuaton : les boules blanches sont ndscernables ; les boules nores sont ndscernables Mêmes questons Réonses : 64 ; 6 ; 7 ; 0 ; 63 Exercce N o 4 : On dsose de 0 blles que l on veut lacer sur une même rangée On suose que les 0 blles sont de couleurs dfférentes De comben de façons eut-on les ranger? Réonse : 0! On suose qu l y a 5 blles rouges, blanches et 3 vertes, et que l on ne eut as dscerner les blles d une même couleur (a De comben de façons eut-on les ranger? Réonse : 50 (b De comben de façons eut-on les ranger s l on veut que les blles soent grouées ar couleur? Réonse : 6 (c Même queston s seules les rouges dovent être grouées Réonse : 70 Exercce N o 5 : Une urne content n boules numérotées de à n On tre successvement et sans remse toutes les boules de l urne et on note les numéros obtenus Quel est le nombre de trages ossbles? Réonse : n!

2 Quel est le nombre de trages our lesquels les numéros obtenus sont dans l ordre crossant? Réonse : 3 Sot [; n] Quel est le nombre de trages our lesquels les remers numéros obtenus sont dans l ordre crossant? Réonse : n!! Exercce N o 6 : Un groue de n ersonnes est nvté à un reas On dsose d une rangée de n chases Comben exste-t-l de dsostons dfférentes our lacer les nvtés? Réonse : n! On dsose mantenant d une table ronde avec n chases Sachant que deux dsostons sont dentques s chaque nvté à les mêmes vosns, comben exste-t-l de dsostons dfférentes our lacer les nvtés? Réonse : (n! Dénombrement théorque Exercce N o 7 : Soent A, B et C tros artes d un ensemble fne E Exrmer A B C en fonctons des cardnaux de A, B, C, A B, B C, C A et A B C Exercce N o 8 : Comben exste-t-l de relaton d ordre total sur un ensemble E de cardnal n? Exercce N o 9 : On trace dans un lan n drotes en oston générale (c est-à-dre deux d entre elles ne sont jamas arallèles n tros d entre elles concourantes Comben forme-t-on ans de trangles? Exercce N o 0 : Pour n N, rooser une démonstraton ar dénombrement de l égalté ( n Exercce N o : Sot E un ensemble de cardnal n ( n n Sot X une arte à éléments de E Comben y a-t-l de artes Y de E dsjontes de X? Comben y a-t-l de coules (X, Y formés de artes dsjontes de E? Exercce N o : Sot E un ensemble à n éléments Comben y a-t-l de artes X et Y de E telles que Y X? Exercce N o 3 : Sot A une arte d un ensemble E à n éléments On ose A Comben y a-t-l de artes X de E contenant A? Comben y a-t-l de artes X de E à m {,, n} éléments contenant A? 3 Comben y a-t-l de coules (X, Y de artes de E tels que X Y A? Exercce N o 4 : Sot E un ensemble fn de cardnal n Calculer X Calculer X E X,Y E X Y Exercce N o 5 : Pour n N et N, on note Σ n le nombre de n-ulets (x,, x n N n tels que x + + x n Détermner Σ 0 n, Σ n, Σ n, Σ et Σ Établr n N, N, Σ n+ Σ0 n + Σ n + + Σ n

3 3 En dédure que ( n + Σ n Exercce N o 6 : Sot E un ensemble fn de cardnal n N Sot f E E f f f s, et seulement s, our tout x f(e, f(x x Dénombrer l ensemble des alcatons f : E E telles que f f f On exrmera le résultat à l ade d une somme que l on ne cherchera as à calculer Exercce N o 7 : Sot E un ensemble fn de cardnal n Comben y a-t-l de los de comostons nternes sur E? Comben y a-t-l de los de comostons nternes commutatves sur E? 3 Comben y a-t-l de los de comostons nternes sur E ossédant un élément neutre? 4 Comben y a-t-l de los de comostons nternes commutatves sur E ossédant un élément neutre? 5 Comben y a-t-l de los de comostons nternes assocatves sur E s n? Exercce N o 8 : Sot E un ensemble fn de cardnal n Comben y a-t-l de relatons bnares sur E? Comben y a-t-l de relatons bnares réflexves sur E? 3 Comben y a-t-l de relatons bnares symétrques sur E? 4 Comben y a-t-l de relaton bnares antsymétrques sur E? 5 Comben y a-t-l de relatons bnares réflexves et symétrques sur E? 6 Comben y a-t-l de relatons bnares symétrques et antsymétrques sur E? 7 Comben y a-t-l de relatons bnares réflexves et antsymétrques sur E? 8 Comben y a-t-l de relatons bnares réflexves, symétrques et antsymétrques sur E? 9 Comben y a-t-l de relaton bnares transtves sur E s n? Exercce N o 9 : Un ensemble mun d une lo nterne assocatve ne ossède as nécessarement un élément neutre Mas, lorsqu l en ossède un, ar exemle e, alors e e Récroquement, montrer qu un ensemble fn, non vde, mun d une lo nterne assocatve, à défaut de ossède un élément neutre, ossède un élément e vérfant e e 3 Dénombrement et alcaton Exercce N o 0 : Soent E un ensemble fn, F un ensemble quelconque et f : E F une alcaton Montrer que f est njectve s, et seulement s, f(e E Exercce N o : Soent A et B deux artes de E et F Étant donnée une alcaton f : E F, est-l vra que S A est une arte fne de E alors f(a est une arte fne de F S f(a est une arte fne de F alors A est une arte fne de E 3 S B est une arte fne de F alors f (B est une arte fne de E 4 S f (B est une arte fne de E alors B est une arte fne de F? 3

4 Exercce N o : Soent E {,, n} et F {,, } avec n N Comben y a-t-l d alcatons strctement crossantes de E vers F? Exercce N o 3 : Sot E un ensemble fn de cardnal n Démontrer, à l ade d une bjecton que, P(E E Exercce N o 4 : On note P le sous ensemble de N formé des enter ars Montrer que P et N sont en bjecton et en dédure que l ensemble N est nfn Exercce N o 5 : Nombre de dérangements Sot E un ensemble fn et non vde à n éléments On aelle dérangement de E toute ermutaton de E ne lassant aucun élément nvarant On notera D n le nombre de dérangements de E Par conventon, on ose D 0 Le but de cet exercce est de montrer que D n n! n (! ar dverses méthodes S E comorte un seul élément, y-a-t-l des dérangements de E? En dédure D S E comorte deux éléments, comben y-a-t-l de dérangements de E? En dédure D 3 Comben y-a-t-l de ermutatons qu lassent exactement éléments de E nvarants? En dédure la formule suvante : ( n n! D ( 4 Méthode N o : Montrer le résultat en utlsant la formule d nverson de Pascal montré dans le TD de calculs algébrques Lemme : Formule d nverson de Pascal S (a 0 n et (b 0 n sont deux famlles de réels vérfant {0,, n}, b ( a, alors {0,, n}, a ( ( ( b 5 Méthode N o : En observant que {0,, }, q {,, }, ( ( q q ( (, q montrer le résultat ar récurrence 6 Méthode N o 3 : Notons E {x,, x n } en extenson et osons, our n, A {f S E / f(x x } En alquant la formule du crble généralsée, retrouver la valeur de D n 4

5 7 Alcaton : Cnq coules de danseurs se rendent à un bal masqué À l arrvée, on séare les hommes et les femmes : on numérote les femmes de à 5 et les hommes de à 5 On les fat ensute s élancer sur une ste, chaque homme chosssant au hasard une femme our artenare (a A chaque numéro de femme, on assoce le numéro de l homme avec lequel elle danse Comben y-a-t-l d assocatons ossbles? (b Donner la robablté our qu aucun coule légtme ne sot reconsttué (c Détermner la robablté our qu un seul coule légtme sot reconsttué (d Détermner la robablté our qu l y at lus de coules llégtmes sur la ste de danse que de coules légtmes Exercce N o 6 : Nombre de surjectons Soent E et F deux ensembles fns non vdes de cardnaux resectfs n et On note Sn le nombre de surjectons de E sur F Par conventon, on ose Sn 0 0 Le but de cet exercce est de montrer que S n Donner les valeurs S n, S n n, S et S n our > n Méthode N o : ( ( n ar dverses méthodes (a On consdère a un élément de E On observant qu une surjecton de E sur F réalse, ou ne réalse as, une surjecton de E\ {a} sur F, établr que (b En dédure S n 3 Méthode N o : S n (S n + S n (a Sot Comben y-a-t-l d alcaton de E dans F dont l mage ossède éléments? En dédure que ( n S n ( (b À l ade de la formule d nverson de Pascal, en dédure S n 4 Méthode N o 3 : Notons F {x,, x } en extenson et osons, our, A { f F E / x n a as d antécédant ar f } En alquant la formule du crble généralsée, retrouver la valeur de S n Exercce N o 7 : Nombre de Bell Pour n N, on note B n le nombre de arttons d un ensemble à n éléments Donner B 0, B, B et B 3 Montrer que, our tout n N, B n+ ( n B 3 On note Sn le nombre de surjectons d un ensemble à n éléments dans un ensemble à éléments Montrer que Sn B n! 5

6 4 On admet que Etablr que + B n e (! + e 5 En dédure le nombre de relaton d équvalence d un ensemble à n éléments Exercce N o 8 : Le lemme des bergers Sot E et F deux ensembles fns et ϕ une alcaton de E dans F surjectve Vérfer que les ( ϕ ({y} y F Montrer que E y F ϕ ({y} n! forment une artton de E 3 Montrer le lemme des bergers, c est-à-dre que s l exste N tel que y F, ϕ ({y} alors E F Remarque : Ce résultat sgnfe que our comter les moutons d un troueau, l sufft de comter les attes us de dvser ar 4 4 Soent n deux enters Notons I(, n l ensemble des alcatons njectves de [; ] dans [; n] En consdérant l alcaton retrouver la valeur de A n 5 Soent n deux enters En consdérant l alcaton retrouver la valeur de Ψ : I(, n I(, n f f [[; ]] Ψ : I(, n {A [; n] / A } f Im(f Exercce N o 9 : Soent H et K deux sous-groues d un groue fn G On note HK {h / h H et K} Montrer que HK H K H K Exercce N o 30 : Un mot M long de n lettres est consttué de r lettres dfférentes La j-ème lettre aaraît j fos dans le mot M et donc + + r n Comben d anagrammes du mot M eut-on consttuer? 6

7 Soluton Exercce N o : 6 7 ( ( ( ( ( ( ( (6 + ( ( Soluton Exercce N o : a 5! 70 b ( c ( 6 ( 4 90 d ( 9 3 ( Soluton Exercce N o 3 : A/ B/ 3 6 ( ( ( En consdérant le comlémentare, on a : ( ( ( En consdérant le comlémentare, on a : 8 63 Soluton Exercce N o 4 : n! Correcton des exercces On suose qu l y a 5 blles rouges, blanches et 3 vertes, et que l on ne eut as dscerner les blles d une même couleur (a ( 0 5 ( 5 50 (b 3! 6 (c 6! 70 Soluton Exercce N o 5 : n! usque l on tre toutes les boules 3 Sot [[; n]] Pour dénombrer les trages our lesquels les remers numéros obtenus sont dans l ordre crossant, on eut consdérer une arte de X de [[; n]] à éléments, ce qu offre chox, us on demande que les remers trages sot effectués ar ordre crossant dans X, ce qu offre chox, et enfn, on demande que les n trages restants sot effectués aléatorement dans X c, ce qu offre (n! chox Au total (n! n! trages our lesquels les remers numéros obtenus sont dans l ordre crossant! Soluton Exercce N o 6 : n! Notons X {x,, x n} l ensemble de ces n ersonnes Notons E S X qu corresond à l ensemble des dsostons dfférentes our lacer les nvtés sans ternr comte des vosns dentques Par exemle, s σ E alors on lace l ndvdu x σ( sur la remère chase, l ndvdu x σ( sur la seconde chase et ans de sute Enfn, on note Y l ensemble des dsostons dfférentes our lacer les nvtés en tenant comte des vosns dentques Pour N, on note r le reste de la dvson eucldenne de ar n et on défnt τ : x x r + E On défnt sur X la relaton d équvalence σ, σ E, (σrσ 0 n / σ σ τ 7

8 R est ben une relaton d équvalence et on observe que Y E (à médter très séreusement et que, our tout σ E, R σ {σ τ / 0 n } Sot σ E L alcaton ϕ : [[; n]] σ σ τ est njectve Ans toutes les classes d équvalence ont le même cardnal : n Ans Y E R E (n! n S vous n êtes as convancu ar l avant dernère égalté, je vous lasse le son d alquer le lemme des bergers à l alcaton ψ : E E R σ σ Soluton Exercce N o 7 : Par la formule de Poncaré, on a : A B C (A B C A B + C (A B C A B + C (A C (B C A + B A B + C A C B C + A C B C A + B + C A B A C B C + A B C Soluton Exercce N o 8 : Écrvons E {x,, x n} en extenson Une relaton d ordre total ermet d ordonner les éléments de E ar ordre crossant Inversement, s on ordonne les éléments de E ar ordre crossant alors on défnt sur E une relaton d ordre total Par conséquent, le nombre de relaton d ordre total sur E est le nombre de façon d ordonner les éléments de E ar ordre crossant, c est-à-dre n! Soluton Exercce N o 9 : Notons t n le nombre de trangles formés t 0 t t 0 Pour n 3, former un trangle revent à chosr les tros drotes défnssant ses côtés : l y a 3 ossbltés Chacune de ses ossbltés défnt un vértables trangle (car l y a n concourance, n arallélsme et les trangles obtenus sont deux à deux dstncts Fnalement t n 3 Soluton Exercce N o 0 : Soent E un ensemble à n éléments et X une arte de E à n éléments Pour calculer le nombre de artes de E qu ossèdent n éléments, qu sont en nombres de ( n n, on eut, our tout 0 n, regarder celles qu ossèdent éléments dans X, qu sont en nombre de, et celles qu ossèdent n éléments dans E \ X, qu sont en nombre de n us fare la réunon Ans ( n n n Soluton Exercce N o : Sot X une arte à éléments de E Pour trouver une arte de E dsjonte de X, l sufft de consdérer une arte de E \ X Ans, l y a E\X n artes Y de E dsjontes de X Notons A l ensemble des coules (X, Y formés de artes dsjontes de E A (X,Y A X X E n Y E, X Y n X X Y E, X Y n ( + n 3 n Soluton Exercce N o : Notons A l ensemble des coules (X, Y de artes de E vérfant Y X Soluton Exercce N o 3 : A (X,Y A X X E Y X X X Il y a en a autant que de artes de E \ A, sot P(E \ A n Y X ( + n 3 n 8

9 Il y a en a autant que de artes de E \ A à m éléments, sot m 3 Notons B l ensemble des coules (X, Y de artes de E tels que X Y A B (X,Y B m X E A X m n m m n X m Y E, X Y A A Y E, X Y A m m A X E X m n m m n ( + n 3 n A Y E, X Y A n m Soluton Exercce N o 4 : X E X n n X X n n n X Y X Y Z Z X,Y E Z E X,Y E, Z E X,Y E, Z E ZX Y ZX Y Z Z E Z X E Y E, Z E, Z ZX Y Z X Z E, Z Z X n Z E, Z n Z E, Z 3 n n Z X n n Z E, Z n3 n Z E, Z Z E, Z n n X,Y E, ZX Y Y E, ZX Y n 3 n Z X n 3 n Z E, Z n3 n n4 n Soluton Exercce N o 5 : Σ 0 n 0 usque x x n 0 Σ n n car arm les x,, x n un seul dot être égal à et les autres égaux à 0 Σ n car arm les x,, x n deux dovent être égaux à et les autres égaux à 0 Σ car x Σ + car x eut rendre + entre 0 et et, une fos la valeur de x mosée, x ne eut rendre qu une seule valeur 9

10 Soent n N et N Σ n+ {(x,, x n, x n+ N n+ / x + x n + x n+ } {(x,, x n, x n+ N n+ / x + x n x n+ } x n+ 0 x n+ 0 x n+ 0 x n+ 0 {(x,, x n, x n+ N n+ / x + x n x n+ } {(x,, x n N n / x + x n x n+ } Σ x n+ n x n+ 0 3 On commence ar montrer ar récurrence sur N, la rorété Σ x n+ n Σ n n N, + + S 0 alors La rorété est donc vrae au rang 0 On suose la rorété étable à un rang N Montrons-là au rang + En utlsant la formule de Pascal, on a : Ce qu achevée la récurrence On démontre ensute ar récurrence sur n N la rorété + N, Σ n Pour n alors Σ n et + ( donc la rorété est vrae au rang n On suose la rorété étable à un rang n N Montrons-là au rang n + On a : ( Σ n + + n+ Σ n Ce qu achevé la récurrence et ermet de réondre à la queston osée Soluton Exercce N o 6 : : Sot x f(e Alors l exste y E tel que x f(y Alors f(x f(f(y f f(y f(y x : Sot x E Alors f(x f(e Par conséquent, f(f(x f(x Ans f f f Soent 0 n et X une arte de E à éléments Pour obtenr une alcaton f : E E vérfant f f f et d mage égale à X, l sufft d avor, our x X, f(x x et, our x X c, f(x X Il y a donc autant d alcatons f : E E vérfant f f f et d mage égale à X, que d alcatons f : X c X, sot X X c n Notons A l ensemble des alcatons f : E E telles que f f f A f A X E X n f A, Im(fX f A, Im(fX X X n n 0

11 Soluton Exercce N o 7 : On eut suoser dans cet exercce que E {,, n} Une lo de comoston nterne sur E est une alcaton de E E dans E, l y en a donc E E E n n Une lo de comoston nterne sur E qu est commutatve vérfe la rorété x, y E, x y y x Ans, l sufft de donner la valeur de x y our tout x y n Pour chaque valeur de x y, l y a n chox ossbles Comme {(x, y E / x y n} n(n+ alors, l y a donc n n(n+ los de comostons nternes commutatves sur E 3 Une lo de comoston nterne sur E ossède un élément neutre s l exste e E tel que x E, x e e x x Il y a n chox our e Une fos celu-c chos, our tout x E, on mose les valeurs de x e et de e x : l reste donc (n valeurs à donner our défnr entèrement Ans, l y a n n (n n (n + los de comostons nternes sur E ossédant un élément neutre 4 Une lo de comoston nterne sur E et commutatve et ossède un élément neutre s l exste e E tel que x E, x e e x x et s x, y E, x y y x Il y a n chox our e Une fos celu-c chos, l reste à défnr x y, our tout x y n avec x, y e, autrement dt, l reste à défnr sur n(n valeurs Il y a donc n n n(n n n n+ los de comostons nternes commutatves sur E ossédant un élément neutre 5 Lstons tous les cas ossbles Assocatf Assocatf ( ( Assocatf ( ( Assocatf Assocatf Assocatf ( ( Assocatf ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Assocatf Il y a donc 8 los de comoston nternes assocatves sur un ensemble comortant deux éléments Soluton Exercce N o 8 : On eut suoser dans cet exercce que E {,, n} une relaton bnare sur E est une arte de E E Il y a donc P(E E n relatons bnares sur E

12 Une relaton bnare R est réflexve s our tout x E, xrx Cela corresond à une arte de E E contenant la remère bssectrce Il y a donc autant de relatons bnares réflexves que de artes de E E \ {(x, x / x E}, c est-à-dre n n 3 Une relaton bnare R est symétrque s our tous x, y E, xry alors yrx Il y a donc autant de relatons bnares symétrques que de artes de E E \ {(x, y / x, y E, x y}, c est-à-dre n(n+ 4 Une relaton bnare R est antsymétrque s our tous x, y E, xry et yrx entraînent x y Sot X une arte de E E corresondant à une relaton bnare antsymétrque sur E Ans, our chaque x E, (x, x eut aartenr ou non à X, ce qu donne n cas ossbles Pour tout (x, y E avec x y, s (x, y X alors (y, x / X Autrement dt, our tout (x, y E avec x < y, s (x, y X alors (y, x / X et s (y, x X alors (x, y / X, ce qu donne n(n cas ossbles Ans l y a n 3 n(n relatons bnares antsymétrques (n 3 n(n 5 Une relaton bnare R est réflexve symétrque s our tous x, y E, xry alors yrx et xrx Il y a donc autant de relatons bnares réflexves et symétrques que de artes de E E \ {(x, y / x, y E, x < y}, c est-à-dre n(n 6 Une relaton bnare R est réflexve symétrque et antsymétrque s our tous x, y E, xry entraîne x y Il y a donc autant de relatons bnares antsymétrques et symétrques que de artes de {(x, y / x E}, c est-à-dre n 7 Une relaton bnare R est réflexve et antsymétrque s our tous x, y E, xry et yrx entraîne x y et s our tout x E alors xrx Sot X une arte de E E corresondant à une relaton bnare réflexve et antsymétrque sur E Ans, our chaque x E, (x, x X, ce qu donne cas ossble Pour tout (x, y E avec x y, s (x, y X alors (y, x / X Autrement dt, our tout (x, y E avec x < y, s (x, y X alors (y, x / X et s (y, x X alors (x, y / X, ce qu donne n(n (n 3 n(n cas ossbles Ans l y a 3 n(n 3 n(n relatons bnares réflexves et antsymétrques 8 Il n y a qu une seule une relaton bnare est réflexve, symétrque et antsymétrque, celle corresondant à la arte {(x, x / x E} 9 On suose que n TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF TRANSITIF R, R, R TRANSITIF R, R, R TRANSITIF TRANSITIF

13 Il y a 4 relatons bnares transtves sur E s E ossède deux éléments Soluton Exercce N o 9 : Sot A un ensemble fn mun d une lo nterne assocatve Sot x E Selon le rnce des trors, l alcaton ϕ : N A n x n n est as njectve usque N est nfn et A est fn Ans, l exste n N, l exste N tels que x n x n+ On en dédut que la sute (x n est -érodque En effet, our tout n, x + x n+n+ x n x n+ x n x n x n+n x Comme la sute (x n est -érodque, on en dédut que N, n, x + x Sot u un multle non nul de suéreur à n Il exste alors N tel que u Ans (x u x u+u x + x x u Ans e x u convent Soluton Exercce N o 0 : : Comme f est njectve alors f f(e est bjectve Ans E f(e : L alcaton f f(e est surjectve Comme E f(e alors f f(e est bjectve, en artculer njectve En découle que f est njectve Soluton Exercce N o : OUI L alcaton f f(a A est surjectve En artculer f(a est fn et f(a A NON Consdérer l alcaton f : R R nulle et rendre A R 3 NON Consdérer l alcaton f : R R nulle et rendre B {0} 4 NON Consdérer l alcaton ex nulle et rendre B R Soluton Exercce N o : Une alcaton f : E F strctement crossante est entèrement détermnée ar son mage qu est une arte formée de n éléments de F Il y a ( n artes à n éléments dans F et donc autant d alcatons strctement crossantes de E vers F Soluton Exercce N o 3 : Consdérons l alcaton L alcaton ϕ est ben défne ϕ : P(E {0, } E A A Montrons que ϕ est njectve Soent A, B P(E tels que ϕ(a ϕ(b Ans A B Sot x A Alors A (x us B (x et us x B On en dédut l ncluson A B Par symétre des rôles de A et B, on a également B A Par double ncluson, on en dédut que A B Ans ϕ est njectve Montrons que ϕ est surjectve Sot f {0, } E Notons A f ( P(E Sot x E A (x s, et seulement s, x A s, et seulement s, f(x A (x 0 s, et seulement s, x A c s, et seulement s, f(x s, et seulement s, f(x 0 Ans f A ϕ(a On en dédut que ϕ est surjectve Fnalement ϕ est bjectve et donc P(E {0, } E {0, } E n 3

14 Soluton Exercce N o 4 : L alcaton n n est une bjecton de N dans P On note I l ensemble des enters de N mars On observe que l alcaton n n + est une bjecton de P dans I Rasonnons ar l absurde et suosons N fn Dans ce cas, P, I et N ont le même cardnal car sont en bjectons Comme I et P forment une artton de N alors N I + P Ans N N + N us N 0 C est absurde car N n est as vde Soluton Exercce N o 5 : S E alors S {Id} et donc D 0 S E alors S {Id, ( } et donc D 3 Sot 0 n Notons A l ensemble des ermutatons qu lassent exactement éléments de E nvarants Pour dénombrer A, on commence ar chosr une arte X de E à éléments, ce qu offre chox, on mose que la ermutaton nduse l dentté sur X, ce qu offre chox, et qu elle nduse un dérangement de X c, ce qu offre D n chox Ans A Or S n Dn A Comme (A 0 n sont deux à deux dsjonts, on en dédut que 0 n S n A D n En effectuant le changement d ndce n et en utlsant que ( n n, on obtent n! D On observe que la formule est valde en n 0 4 Méthode N o : Pour 0 n, on ose a D Pour 0 n, on ose b! Par la queston récédente, on a : Par la formule d nverson de Pascal, on en dédut que Ans, our tout n N, {0,, n}, b {0,, n}, a ( D n ( n! n! 5 Méthode N o : Pour tous {0,, }, q {,, }, ( ( q q ( a ( ( b ( n (n! n! n! q!( q! q!!(q!!!( q!(q!!!(! On montre ar récurrence forte que, our tout n N, ( D n n!! (! (! (q!( q! ( Comme D 0 alors la formule est vrae en n 0 Sot n N de sorte que la formule sot montrée our tout 0 n Montrons-là au rang n On a : n! D n Ans, en effectuant le changement d ndce, on obtent : D + D n n ( ( n ( D n n!! n!!! 0 0 n! (! ( 0 n ( (! ( q 4

15 Par la remarque rélmnare, on a : Ans ( D n n! n n! 0 n 0 ( n! Par le changement d ndce, on obtent n D n n! 0 n! Comme ( n δ,n alors n D n n! 0 n n! + 0 n n! + 0! n! ( n 0 n ( n ( n!! 0 n! δ,n + 0! ( n! ( n (! ( n ( n n! ( n n Or! n! donc en effectuant le changement de varable n, on obtent (n! n D n n! + 0 n! (n! ( n n! + n! (! n! 0 (! Ce qu achève la récurrence 6 Méthode N o 3 : Notons E {x,, x n} en extenson et osons, our n, A {f S E / f(x x } On observe que σ est un dérangement s, et seulement s, our tout n, σ A c Ans 7 (a 5! (b (c (d D n A c A n! ( I + A n n I {,,n} I I n! ( I + A n! ( + n! n! n! + D 5 5! 5D 4 5! D 5 + 5D 4 + ( 5 D3 5! 5! 3 5! I {,,n}, I ( + I {,,n}, I ( + (n! ( n!! n! n I S E\I n! I {,,n}, I (! ( + n! I {,,n}, I I {,,n}, I S E\I (n! ( + (n! 5

16 Soluton Exercce N o 6 : S n, S n n n!, S δ, et S n 0 our > n Méthode N o : (a Une surjecton de E sur F telle que sa restrcton à E \ {a} sot surjectve eut rendre n morte quelle valeurs en a Il y en a S n Une surjecton de E sur F telle que sa restrcton à E\{a} ne sot as surjectve dot rendre en a la valeur manquante Il y a ossblté our chosr la valeur en a et S n surjectons de E \ {a} sur F \ {f(a} Au total, l y en a S n Au fnal On observe que la formule est également valde en (b Montrons ar récurrence sur n N que Pour n, on a S δ, et ( ( n S n (S n + S n N, S n ( ( ( ( n ( ( Suosons la rorété étable à un rang n N Montrons-là au rang n + S 0 alors Sn 0 0 et ( ( n 0 donc la formule est vrae en 0 On suose dorénavant Par hyothèse de récurrence, on a : S n+ (S n + Sn Ans, ar la formule de Pascal, on obtent ( ( ( ( ( δ, n + ( ( n S n+ ( ( ( n ( + ( n( + ( n( ( ( n ( ( ( n ( n+ La récurrence est achevée 3 Méthode N o : (a Sot Notons A l ensemble des alcatons de E dans F dont l mage ossède éléments Pour dénombrer A, on commence ar chosr une arte X de F à éléments, ce qu offre ( chox, et on construt une surjecton de E dans F \ X, ce qu offre Sn chox Ans A ( S n Or F(E, F 0 n A Comme (A 0 n sont deux à deux dsjonts, on en dédut que F(E, F A ( S n On en dédut que n ( S n (b Pour N, on ose a S n Pour N, on ose b n Par la queston récédente, on a : N, b ( a 6

17 Par la formule d nverson de Pascal, on en dédut que N, a ( ( ( b Ans, our tout n N, S n ( ( n 4 Méthode N o 3 : Notons F {x,, x } en extenson et osons, our, { } A f F E / x n a as d antécédant ar f On observe que f S n s, et seulement s, our tout n, f A c Ans Soluton Exercce N o 7 : Sn A c A n ( I + A n n I {,,n} I I n ( I + A n ( + n n n + I {,,n}, I ( + I {,,n}, I ( + ( n B 0, B, B et B 3 5 ( ( n I F(E, F \ I n I {,,n}, I n ( + ( ( n I {,,n}, I I {,,n}, I ( + ( n ( ( n F(E, F \ I ( n Soent E un ensemble à n + éléments et x 0 E Pour former une artton de E, on eut chosr une arte X de E à éléments et contenant x 0 (avec n +, ce qu offre chox à fxé, us on comlète avec une artton de E \ X, ce qu offre Bn+ chox Ans n+ B n+ En effectuant le changement d ndce n +, on obtent B n+ B n+ B 3 Pour 0 n, on note Bn le nombre de arttons en artes d un ensemble à n éléments Il est clar que B n Bn Soent E un ensemble de n éléments et F {,, } Il y a Sn surjectons de E dans F Pour former l une d elles, l faut Regrouer les éléments de E qu vont avor la même mage Cela revent à arttonner E en artes Suosons qu une telle artton sot chose Il faut encore assocer bjectvement les artes aux éléments de F Cela eut se fare de! manères dfférente Ce dénombrement rouve que Sn!Bn Ans Sn B n! 7

18 4 En utlsant la valeur du nombre de surjectons, on obtent B n S n! + S n! + (! ( ( n + ( +! ( ( + + n ( (! n + + n ( ( + + n ( (!! + n +! ( + n + (!! (! Ans, d arès la rorété admse sur e, on obtent + B n e n! 5 Les classes d équvalences d une relaton d équvalence forment une artton Récroquement, étant donnée une artton de E, on eut construre une unque relaton d équvalence (ayant our classes d équvalences les éléments de la artton en queston Ans, l y a B n relatons d équvalences Soluton Exercce N o 8 : Comme ϕ est surjectve alors, our tout y F, ϕ ({y} est non vde Soent y, y F tels que ϕ ({y} ϕ ({y } Sot x ϕ ({y} ϕ ({y } Alors ϕ(x y et ϕ(x y us y y Sot x E Posons y ϕ(x Alors x ϕ ({y} Par conséquent, E ϕ ({y} y F Cela sufft à conclure que { ϕ ({y} } est une artton de E y F On en dédut que E ϕ ({y} y F ϕ ({y} y F 3 S l exste N tel que y F, ϕ ({y} alors, ar la queston récédente, E ϕ ({y} F y F y F y F 4 Montrons que l alcaton Ψ est surjectve Sot g I(, n L alcaton g Im(g est bjectve Ans Im(g Consdérons j [[; n]] \ Im(g (j exste car [[; n]] \ Im(g n + L alcaton f :[; ]] [[; n]] défne ar f [; ] g et f( j est njectve et vérfe Ψ(f g Sot g I(, n f Ψ ({g} s, et seulement s, f I(, n et f [; ] g Pour fabrquer une telle alcaton f, l sufft de donner la valeur de f( et, our cela, l sufft de chosr n morte qu elle valeur de [[; n]] \ Im(g Comme [; n]] \ Im(g n +, l y a donc n + alcatons f Ans Ψ ({g} n + Le lemme des Bergers ermet d affrmer que I(, n (n + I(, n On a donc rouvé que, our tous n, A n (n + A n On rouve alors asément ar récurrence smle sur N la rorété n, A n n! (n! 8

19 5 Montrons que l alcaton Ψ est surjectve Sot A [[; n]] tel que A Comme A et [[; ]] ont le même cardnal alors l exste une bjecton f : [[; ] A En artculer f I(, n et vérfe Ψ(f A Sot A [[; n]] tel que A f Ψ ({A} s, et seulement s, f I(, n et Im(f A Pour fabrquer une telle alcaton f, l sufft de se donner une bjecton de [[; ]] dans A Il y en a! Ans Ψ ({A}! Le lemme des Bergers ermet d affrmer que I(, n! {A [[; n]] / A } On a donc rouvé que, our tous n, A n! Comme A n n! (n! alors on en dédut que n!!(n! Soluton Exercce N o 9 : Consdérons l alcaton Ψ : H K HK (h, h Montrons que l alcaton Ψ est surjectve Sot y HK Par défnton, l exste h H, l exste K tels que y h Par conséquent, y Ψ((h, Sot y HK Alors l exste h H, l exste K tels que y h Détermnons les autres coules (h, K K envoyés sur y ar Ψ S (h, est un tel coule, on a h h et donc h h Notons a cette valeur Par oératons, l élément a est commun aux sous-groues H et K et ermet d écrre h ha et a Inversement, s h ha et a avec a H K alors h et sont des éléments de H et K de rodut y On en dédut que Ψ ({y} {(ha, a / a H K} L alcaton σ : H K Ψ ({y} a (ha, a est bjectve On en dédut que Ψ ({y} H K Le lemme des Bergers ermet d affrmer que Or H K H K donc H K H K HK HK H K H K Soluton Exercce N o 30 : S l on dstngue les lettres du mot même lorsque ce sont les mêmes (ar exemle, en leur affectant un ndce comme dans P O P I, l y a n! ermutatons ossbles des lettres dstnguées Parm celles-c, luseurs corresondent à une même anagramme (comme P I P O et P I P O Pour chaque anagramme, l y a exactement! r! ermutatons des lettres du mot condusant à celu-c car les ermutatons condusant à une même anagramme se dédusent les une des autres ar ermutatons entre elles des lettres dentques Au total, l y a n!! r! anagrammes ossbles Pour une reuve lus rgoureuse, on aurat u alquer le lemme des bergers à l alcaton Ψ : S n A σ L σ( L σ(n où A désgne l ensemble des anagrammes du mot et E {L,, L n} l ensemble de ses lettres comtées avec multlcté 9