I Couverture d une vente par achat d options (4 points)

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1 IE : «Théories de la finance d entreprise» Master M1 Université Paris-Dauphine Thierry Granger Année universitaire 216/217 Session 1 Aucun document, calculette autorisée Durée 1h3 Respecter la numérotation des questions. Lire toutes les questions avant de commencer. Écrire lisiblement. La notation porte, pour au moins la moitié, sur la qualité des explications, donc : «faire des phrases...». Bon courage! I Couverture d une vente par achat d options (4 points) L entreprise Renault souhaite investir au Japon et la valeur future de cet investissement à la date 1 est 1554 (millions de) yen. La comptabilité de Renault étant en euros cette valeur doit être transformée en euros à la date pour être confrontée à l investissement évalué à (millions d ) euros. Le taux d actualisation (net) choisi par Renault est de 8 %. 1. (1 point) Calculer la valeur future et la valeur actuelle de l investissement en euros au taux de change de la date : 833,9769 e pour. La valeur future de l investissement au taux de change de la date est VF = , 9769 = 1296, 1 e. La valeur actuelle de l investissement au taux de change de la date est la VF actualisée au taux de 8 %, VA = VF = 12, 1 e. 1, 8 2. (1 point) Sachant que le taux de change futur e/ peut prendre deux valeurs possibles 764,4788 e pour, ou 93,4749 e pour, quelles sont les valeurs actuelles correspondantes de l investissement? Les valeurs actuelles correspondantes aux 2 taux de changes possibles en date 1 sont respectivement, en appliquant les formules précédentes, quand le yen est faible et quand le yen est fort. VA 1 = , 4788 = 11 e 1, 8 VA 2 = , 4749 = 13 e 1, 8 3. (2 points) Les banques vendent, à la date, des options de vente du yen de prix d exercice : Γ = 833, 9768 e /. Définir la quantité d options de vente que doit acquérir Renault pour couvrir une perte de 2 (millions d ) euros en cas de baisse du yen. Vous commencerez par poser l équation vectorielle qui permet d aboutir à cette solution. La «baisse du yen» signifie que le taux de change (e par ) en date 1 est inférieur au taux de change en date. (Le prix d exercice du put est le taux de change en date ). Ce put ne sera pas exercé en date 1, dans l état 2, parce que le yen est fort, mais il sera exercé en date 1, dans l état 1 parce que le yen est faible. Le vecteur de paiements du put est (en millions d euros),

2 P = avec K = 833, 9769/. max(k 764,4788, ) max(k 93,4749, ) = 69,4981 La quantité d options de vente à acquérir pour Renault est Q telle que 69,4981 Q = 2 Q = 2878 unités. En effet, ces 2878 unités d options, chaque option ayant un paiement de (69, 4981/) millions d euros dans l état 1, rapporteront à l entreprise Renault 2 millions d euros dans l état 1. II Évaluation d un investissement (4 points) Un investissement de 15 e (date ) a une espérance de revenu de E[Ỹ ] = 18 e (date 1). Dans l économie en général, le rendement moyen des investissements des entreprises est de 9 % et le rendement de l actif sans risque est de 1 %. 4. (1 point) On suppose que le bêta du rendement de cet investissement avec le rendement moyen des investissements (du «marché») est β 1 = 2, 6. Calculer le rendement espéré d équilibre (rendement «exigé») de cet investissement en adoptant le modèle d évaluation des actifs financiers (CAPM en anglais). En appliquant la formule d évaluation des rendements moyens issue du CAPM, le taux d actualisation d équilibre (ou taux de rendement exigé) est r = r + β (r m r ) =, 1 + 2, 6 (, 9, 1) =, 218 = 21, 8 % 5. (1 point) Quelle est la valeur actuelle de cet investissement? La valeur actuelle de cet investissement est la valeur future (18 euros) actualisée avec le taux d équilibre fourni par le CAPM, VA = 18 = 1477, 8325 euros. 1, (1 point) Quel est le taux de rendement interne de cet investissement? L investissement est-il rentable? [Utiliser les deux critères possibles pour répondre à cette question]. Le taux de rendement interne de l investissement est le taux d actualisation qui rend la valeur actuelle égale à l investissement initial, soit 1 + TRI = Y I = = 6 = 1, 2 = % 5 L investissement en question n est pas rentable puisque son taux de rendement interne (2 %) est inférieur au taux d actualisation d équilibre (21, 8 %). La même réponse peut être apportée en montrant que la valeur actuelle nette de cet investissement (VAN) est négative, VAN = VA I = 1477, = 22, 1675 <. Page 2

3 7. (1 point) Si la valeur du bêta est β 2 = 1, 5, quelle est la valeur actuelle de cet investissement? Quel est son taux de rendement interne? Cet investissement est-il rentable? [Utiliser les deux critères possibles pour répondre à cette question]. En appliquant la formule d évaluation des rendements moyens issue du CAPM, le taux d actualisation d équilibre (ou taux de rendement exigé) est r = r + β (r m r ) =, 1 + 1, 5 (, 9, 1) =, 13 = 13, % Ce taux d actualisation d équilibre étant inférieur au taux de rendement interne, l investissement est rentable. On le vérifie également en calculant la VAN, VAN = VA = VA I = 1592, = 92, 4 >. 1, 13 III Modigliani-Miller dans le CAPM (7 points) Dans un cadre temporel [, 1] il existe 5 états de la nature en date 1 et les probabilités sont de 1/5 par état de la nature. Une entreprise à responsabilité limitée réalise un investissement I = 8 et le revenu attendu, en date 1, est donné par le vecteur de paiements suivant, Y = 8. (1 point) Calculer, en date, l espérance mathématique du revenu de cette entreprise ou sa valeur future espérée VF. Sachant que le taux d actualisation du revenu de l entreprise (compte tenu de son bêta) est de 3 % quelle est la valeur actuelle, VA, de cette entreprise? La valeur future de l entreprise, mesurée en date, est l espérance mathématique des paiements futurs de cette entreprise, soit VF = = 13, tandis que sa valeur actuelle, au taux d actualisation de 3 % est VA = VF 1, 3 = (1 point) Comparer le taux d actualisation au rendement économique de l entreprise ou taux de rendement interne R E. L entreprise est-elle rentable? Le taux de rendement interne a été défini à la question 6, sa valeur est R E = VF I = 13 8 = 1, 625 = , 5 % L entreprise est rentable puisque le taux de rendement interne (62,5 %) est supérieur au taux d actualisation d équilibre de cet investissement (3 %). Page 3

4 1. (1 point) Un entrepreneur finance partiellement son entreprise en émettant une dette de valeur faciale D = 75 et de rendement 1 %. Quelle est la valeur de la dette à l émission (D )? La dette a une valeur faciale de 75 euros mais, du fait de la responsabilité limitée, elle ne peut rembourser l intégralité de cette dette dans l état du monde 4 et ne peut rien rembourser dans l état 5. L entreprise «fait défaut» dans les états du monde 4 et 5. Les paiements de la dette sont donc, Y = 75 5 et la valeur de ce vecteur de paiements est D = , 1 = (1 point) Quel est le rendement du capital K de cette entreprise (calculé par rapport au montant du financement de l investissement : I = D + K)? Utiliser la formule avec l effet de levier. Le rendement du capital d une entreprise est égal au rendement économique de l entreprise auquel s ajoute l effet de levier. Le levier est, dans cette formule, défini par (D /K). L effet de levier est égal au produit du levier par la différence entre le taux de rendement économique (question 9) et le taux de rendement sans risque, R K = R E + D K (R E R ) = R E + D I D (R E R ) d où R K = 1, (1, 625 1, 1) = 2, 5 = % (2 points) Expliquer la proposition 1 de Modigliani et Miller appliquée à la rentabilité du capital. Vous nommerez β K, β D les bêtas du capital et de la dette, respectivement. Vous noterez R m, R le rendement moyen du marché et le rendement du titre sans risque respectivement. La proposition 1 de Modigliani et Miller appliquée à la rentabilité du capital énonce que la rentabilité du capital corrigée du risque plus précisément l effet de levier est indépendante du levier financier de l entreprise. L effet de levier corrigé du risque, par définition est R K R E β K β E = R m R β m = cste, donc indépendante de D /K. 13. (1 point) Rappeler les conditions nécessaires afin que s applique la proposition 1 du «théorème» de Modigliani et Miller. La concurrence pure et parfaite : les agents sont preneurs de prix, il n y a pas d asymétrie d information ; un système complet de marchés ; l absence de taxes. Page 4

5 IV Arbitrage fiscal de la dette (5 points) En l absence d impôt et de coût de faillite, une entreprise a une valeur actuelle de V = 15. Elle a été financée par la dette D et des fonds propres de valeur K (valeur après la mise en œuvre des investissements). 14. (2 points) Quelle est la valeur de l entreprise s il existe une taxe proportionnelle sur le bénéfice de l entreprise de valeur τ =, 35? Représentation graphique de la valeur de l entreprise en fonction du niveau de la dette D. La valeur actuelle de l entreprise, sans taxe, est égale à V = K + D = 15 Un impôt sur les bénéfices de l entreprise est un impôt sur le capital, c est-à-dire sur les dividendes de l entreprise (dans le cadre temporel [, 1] il n y a que des dividendes en date 1). Donc la valeur de l entreprise devient V (τ, D ) = K (1 τ) + D = (K + D )(1 τ) + τ D = 15 (1 τ) + τ D. Représentation graphique : voir cours. 15. (2 points) On suppose qu il existe un coût de la faillite égal à C F = i 2 (D ) 2 où < i < est l intangibilité du capital physique. Quelle est la signification de i? Quelle est la valeur de l entreprise en tenant compte de l imposition et du coût de la faillite? Compléter la représentation graphique de la question précédente. La valeur de l entreprise devient V F (τ, D ) = K (1 τ) + D = (K + D )(1 τ) + τ D i 2 (D ) 2. Lorsque la dette est proche de, la valeur de l entreprise est croissante avec la dette parce que le taux d imposition marginal est supérieur au coût marginal de la faillite. Puis lorsque la valeur de la dette est élevée, la valeur de l entreprise est décroissante avec la dette (pour une raison opposée). Il existe donc une valeur optimale de la dette. Représentation graphique : voir cours. 16. (1 point) Quel est l endettement optimal de l entrepreneur en fonction de i? Définir l ensemble des valeurs possibles de la dette en fonction de i. Il faut choisir D qui maximise τ D i 2 (D ) 2 (puisque (K + D )(1 τ) est invariant). La CPO de cette maximisation est : τ i D = D = τ i =,35 i La dette optimale est proportionnelle au taux d imposition et inversement proportionnelle à l intangibilité du capital. Valeurs possibles de D : si i =, D = l entreprise ne s endette pas, Page 5

6 si i = 23/1, D = 15 l entreprise se finance exclusivement par la dette, si 23/1 < i <, D ], 15[ l entreprise choisit une valeur intermédiaire d endettement. Université Paris-Dauphine Page 6