Marcus Engel, le 7 mai 2003 traduit de l anglais par Maurice Starck

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1 Les Kaléïdoccles de M..Escer Marcus Engel, le 7 mai 3 traduit de l anglais par Maurice Starck Le but de ce tete est de répondre à quelques questions qui se posent à propos des kaléïdoccles : Quelles doivent être les propriétés des tétraèdres pour que l on puissent les utiliser pour réaliser des anneau tournant sur eu-mêmes? omment la rotation d un tel anneau peut-elle être décrite matématiquement? Pour quels nombres de tétraèdres eiste-t-il des kaléïdoccles? e plus nous voulons décrire brièvement quelques cas particuliers de kaléïdoccles. Kaléïdoccles réguliers abord nous ne considérerons que les kaléïdoccles formés de tétraèdres réguliers. I. Soient,,, les sommets d un tétraèdre régulier, P le milieu de l arête [] et Q le milieu de l arête [], et enfin M le milieu de [P Q] (alors M est aussi le centre de gravité du tétraèdre). On a alors : P Q. () On désigne par s la longueur des arêtes du tétraèdre. Soit m la auteur des faces (triangles équilatérau) et := P Q. On a alors : ( s et il vient ) ( s + = m = s ) m Q. M. P s s =. () II. Soient n N, n 8, Eα E := {(,, ) R 3 = } E le plan (O), où O désigne l origine. Soit α := π n (alors < α π 4 puisque n 8) et n α Q T E α := {(,, ) R 3 = } n α := ( sin α, cos α, ). Les plans E α et E se coupent selon l ae (O) et leur angle est alors α. Le vecteur n α est le vecteur normal au plan E α. P

2 III. Supposons qu un tétraèdre régulier T (notations comme dans I.) est positionné de la manière suivante : i),, P, Q sont dans le plan (O) ii),, P E iii),, Q E α vi),, Q ont des coordonnées positives en Un tel tétraèdre eiste et est déterminé de manière unique car < α π 4 e plus a une coordonnée positive en, en effet et () (pour donné). P = s = < (on a < car < α π 4 ). Notons aussi que : = P Q = OP les vecteurs les vecteurs, n α, forment un repère ortogonal direct, (3),, QP forment un repère ortogonal direct (4) En V. nous verrons qu un tétraèdre positionné comme ci-dessus peut tourner autour de l ae P Q sans violer les conditions ii),iii) et iv) (bien évidemment, les points P et Q se déplacent alors dans les plans E et E α ). IV. En plus de n 8 posons n pair. La réfleion du tétraèdre T par rapport au plan E α conduit à un autre tétraèdre T qui partage les sommets et avec T. Par rotations successives de T et T autour de l ae (O) d un angle α on obtient d autres tétraèdres (en tout n tétraèdres) qui forment (puisque n est pair et α = π n ) un anneau fermé (deu tétraèdres voisins ont une arête commune). et anneau est appelé un kaléïdoccle régulier. T V. Nous allons maintenant montrer comment un tétraèdre T peut tourner entre les plans E et E α de manière à ce que les conditions ii),iii) et iv) de III. restent réalisées. lors, par smétrie, il en résultera qu un anneau de tétraèdres assemblé comme en IV. peut être tourné sur lui-même (des tétraèdres voisins partagent une arête commune, et cette propriété est préservée). Nous coisissons le paramètre t [, π[ pour décrire la rotation du tétraèdre T ; t indiquant l angle courant entre et l ae positif (O). Notons par t, t, t, t, P t, Q t les positions des points correspondant au temps t [, π[.

3 insi u := t t t t = cos t sin t E. Par (), (3) on obtient ( désigne le produit vectoriel) v := = t t t t = u n α ( u n α) sin t + cos t cos α sin t cos α sin t sin α cos t cos α = + sin t tan α sin t sin t cos t E α e plus, posons w := ( u v) = (ainsi w = ). sin t + cos t cos α sin t sin α cos α sin t cos t sin α = + sin t tan α Par () et (4) on a w = P t Q t = Q t P t, que nous pouvons écrire sous la forme w q p w w 3 = q q 3 p p 3. ompte tenu du fait que P t E et Q t E α (i.e. p = et q = q ) on obtient q = w, q = w, p = q w = ( w w ). sin t cos t sin t Nous imposons au milieu M de [P t Q t ] de rester dans le plan (O). omme q 3 et w 3 ont le même signe, il vient q 3 = p 3 = w 3. Finalement nous avons (avec w défini ci-dessus) w w P t = E, Q t = w 3 w w w 3 E α et t, t, t, t sont définis par u, t = P t + u, t = P t v, t = Q t + v. t = Q t 3

4 En particulier, E et, E α. VI. Une autre possibilité pour décrire la position du tétraèdre au temps t est donnée par la transformation affine Φ t : R 3 R 3 u w v u w v u 3 w 3 v 3 + w w w Par Φ t tous les points d un tétraèdre centré sur l origine et vérifiant = P Q, =, P Q = sont envoés sur les points correspondants d un tétraèdre qui se trouve dans la position qu il occuperait au temps t. VII. Nous avons supposé n pair et n 8. Pour n 6 il n eiste pas de kaléïdoccle régulier capable de tourner sur lui-même : onsidérons un kaléïdoccle de n tétraèdres (n pair) au temps t =. Soit p la coordonnée en de P. e manière évidente, / p s = doit être vérifié, sinon plusieurs tétraèdres se couperaient en l origine. α P s Maintenant p = tan π n et puisque α = π n nous obtenons la condition qui, pour n pair, n est vérifiée que pour n 8. Il en résulte que des kaléïdoccles constitués de tétraèdres réguliers doivent avoir au moins 8 composants pour être capables de tourner sur eu-mêmes. Un kaléïdoccle régulier avec 6 tétraèdres peut être assemblé, mais ne peut pas être amené dans la position t = ; il ne peut donc pas tourner complètement sur lui-même. Et il est évident qu il faut au moins 6 tétraèdres pour construire un kaléïdoccle. ans le cas n = 6 il est néanmoins possible d obtenir un kaléïdoccle capable de tourner sur lui-même si on utilise des tétraèdres non réguliers. avantage sur ce sujet dans la partie suivante. 4

5 Kaléïdoccles normau VIII. En s appuant sur la partie précédente qui traite de kaléïdoccles réguliers, nous montrons ci-dessous comment toute une classe de kaléïdoccles peut être définie par l introduction de certains paramètres. Nous utilisons les mêmes notations que précédemment. En particulier soit n pair et n 6, et α = π n. Nous avons vu que les positions des sommets,,, (nous omettons maintenant l indice t) d un tétraèdre régulier dans un kaléïdoccle régulier sont déterminées par les positions des points P et Q ainsi que des vecteurs u et v (qui représentent les directions des vecteurs et ): = P u, = P + u, = Q v, = Q + v. Les vecteurs normés u et v ont été multipliés par de manière à ce que soit régulier. Si au lieu de cela nous posons maintenant = P λ u, = Q κ v, = P + µ u, = Q + ν v. avec des valeurs arbitraires (λ, µ, κ, ν) R 4, alors est encore un tétraèdre (non nécessairement régulier), avec, E,, E α. En plaçant d autres tétraèdres équivalents à de la même manière qu en IV. nous obtenons à nouveau un anneau fermé où des tétraèdres voisins partagent une arête commune. Pour qu un tel kaléïdoccle puisse tourner sur lui-même, on doit avoir λ P ν Q κ µ T λ, µ, κ, ν (sinon il aurait des positions du kaléïdoccle pour lesquelles plusieurs tétraèdres se couperaient à l origine, voir VII.) es restrictions étant faites pour les paramètres, il a encore différentes configurations qui conduisent au même kaléïdoccle (les configurations (λ, µ, κ, ν), (κ, ν, λ, µ) and (µ, λ, ν, κ) par eemple sont identiques). Nous pouvons donc restreindre davantage les valeurs des paramètres. Il est facile de voir que la définition suivante couvre toutes les configurations différentes : 5

6 Un kaléïdoccle de n composants construit par smétrie à partir d un tétraèdre avec = P λ u, = Q κ v, = P + µ u, = Q + ν v. où λ, κ [, ], µ [ λ, λ], ν [ κ, κ], est appelé un kaléïdoccle normal. Notation : K n (λ, µ, κ, ν). Remarque : après la définition de P, Q, u, v nous voons que les tétraèdres composant des kaléïdoccles normau ont la propriété suivante (cruciale dans notre contete) : deu arêtes opposées et et leur perpendiculaire commune sont deu à deu ortogonales. Kaléïdoccles spéciau En utilisant les paramètres n, λ, κ, µ, ν on peut désigner une grande variété de kaléïdoccles de formes et de tpes différents. Nous voudrions conclure en mentionnant quelques configurations spéciales intéressantes car les kaléïdoccles correspondants ont des propriétés géométriques supplémentaires. IX. Pour λ = µ, κ = ν on obtient des kaléïdoccles isocèles, toutes les faces de ces kaléïdoccles sont des triangles isocèles. On trouve les kaléïdoccles réguliers avec la configuration n 8, λ = µ = κ = ν = (traitée ci-dessus), les kaléïdoccles fermés avec la configuration λ = µ = κ = ν =, qui ont la propriété qu au temps t =, t = π, t = π, t = 3π des sommets des tétraèdres sont confondus en l origine, et donc l oeil de l anneau se ferme pour ces positions. X. Pour µ = ν = on obtient kaléïdoccles rectangles, i.e. toutes les faces sont des triangles rectangles. Il convient de mentionner le cube retournable défini par la configuration n = 6, λ = µ = 3, µ = ν =. Le nom ce kaléïdoccle devient un cube si on prolonge les vient du fait qu au temps t = arccos arêtes et (et de même les arêtes correspondantes des autres tétraèdres). 6