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1 EXERCICE (6 points ) Commun à tous les candidats Le graphique de l annexe sera complété et remis avec la copie Soit la fonction f définie sur l intervalle [0; ] par f(x) x + x + ) Etudier les variations de f sur l intervalle [0; ] Montrer que si x [; ] alors f(x) [; ] ) (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 et pour tout entier naturel n, u n+ f(u n ) v 0 et pour tout entier naturel n, v n+ f(v n ) a) Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l intervalle [0; ] Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u n ) et (v n ) en laissant apparents tous les traits de construction A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u n ) et (v n )? b) Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, v n Pour tout entier naturel n, v n+ v n On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, u n Pour tout entier naturel n, u n u n+ c) Montrer que pour tout entier naturel n, v n+ u n+ tout entier naturel n, 0 et v n+ u n+ ( ) En déduire que pour (v n + )(u n + ) d) Montrer que pour tout entier naturel n, e) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel α Déterminer la valeur exacte de α

2 Cette page sera remise avec la copie à la fin de l épreuve Annexe : exercice, 5, 0 0, 5 O 0, 5, 0, 5, 0 6

3 EXERCICE f est dérivable sur [0; ] en tant que fraction rationnelle définie sur [0; ] et pour x élément de [0; ], f (x) (x + ) (x + ) (x + ) (x + ) La dérivée de f est positive sur l intervalle [0; ] et donc la fonction f est croissante sur [0; ] Soit x un élément de [0; ] Puisque f est croissante sur l intervalle [; ], on a f() f(x) f() ce qui s écrit encore f(x) 5 Mais et 5 Par suite, f(x) On a montré que pour tout réel x de l intervalle [; ], on a f(x) [; ] a, 5 y x y f(x), 0 0, 5 u 0 u u v 0, 5, 0, 5 v, 0 v 0 Il semblerait que la suite (u n ) soit croissante, que la suite (v n ) soit décroissante et que les deux suites (u n ) et (v n ) soient convergentes et possèdent la même limite b Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, v n Pour n 0, on a v 0 et donc v 0 L encadrement à démontrer est donc vrai quand n 0 Soit n 0 Supposons que v n D après la question, on peut affirmer que f(v n ) ou encore que v n+ On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, v n Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, v n+ v n 0 Pour n 0, on a v v L inégalité à démontrer est donc vraie quand n 0 Soit n 0 Supposons que v n+ v n 0 D après ci-dessus, les deux expressions v n + et v n+ + sont strictement positives De plus v n+ v n+ v n+ + v n+ + v n + v n + (v n+ + )(v n + ) (v n+ + )(v n + ) (v n+ + )(v n + ) v n+ v n 0 (par hypothèse de récurrence) (v n+ + )(v n + ) http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

4 On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, v n+ v n c Soit n un entier naturel v n+ u n+ v n + v n + u n + u n + (v n + )(u n + ) (u n + )(v n + ) (v n + )(u n + ) (v n + )(u n + ) Pour tout entier naturel n, v n+ u n+ (v n + )(u n + ) Comme le produit (v n + )(u n + ) est strictement positif, le signe de v n+ u n+ est le signe de Ainsi, la suite ( ) est de signe constant à savoir le signe de son premier terme Or, v 0 u 0 et v 0 u 0 > 0 On en déduit que la suite ( ) est positive Pour tout entier naturel n, 0 Soit n un entier naturel Puisque u n et v n, on a u n + et v n + puis (u n + )(v n + ) et finalement (u n + )(v n + ) Mais alors, puisque 0, (v n + )(u n + ) ( ) Pour tout entier naturel n, v n+ u n+ ( ) d Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, ( ) 0 ( ) 0 Pour n 0, on a v 0 u 0 et Donc v 0 u 0 Ainsi l inégalité à démontrer est vraie quand n 0 Soit n 0 Supposons que Alors On a montré par récurrence que v n+ u n+ ( ) ( ) n pour tout entier naturel n, ( ) n+ e Ainsi, pour tout entier naturel n, on a 0 Comme <, on a lim des gendarmes permet alors d affirmer que la suite ( ) converge et que n + lim ( ) 0 n + 0 Le théorème En résumé, la suite (u n ) croît, la suite (v n ) décroît et lim n + (v n u n ) 0 Les deux suites (u n ) et (v n ) sont adjacentes et donc convergentes et ont même limite Les deux suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

5 Puisque pour tout entier naturel n on a u n, par passage à la limite quand n tend vers + on a encore a Puisque pour tout entier naturel n on a u n+ u n +, par passage à la limite quand n tend vers + on a encore u n + a a + a + Or a a + a + a(a + ) a + a a 0 Le discriminant de l équation x x 0 est 5 Cette équation admet donc deux solutions réelles : x + 5 et x 5 Seul x est un nombre supérieur ou égal à et donc a + 5 http ://wwwmaths-francefr c Jean-Louis Rouget, 007 Tous droits réservés

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