Ch1 : Arithmétique. Tous les nombres utilisés dans cette leçon sont des nombres entiers positifs. Sur la calculatrice, 5 est un diviseur d'un

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1 Ch1 : Arithmétique Tous les nombres utilisés dans cette leçon sont des nombres entiers positifs. I- Multiples et diviseurs Multiples : Les multiples d'un nombre sont les résultats de la table de multiplication de ce nombre. Diviseurs : Savoir quand un nombre b est un diviseur d'un nombre Avec une division euclidienne de a par b Avec une division décimale de a par b (a : b) Avec des critères de divisibilité Le quotient obtenu Le reste de la division 2 est un diviseur d'un doit être un nombre entier. euclidienne doit être égal à nombre quand ce nombre zéro. est pair (il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou ou 8). Sur la calculatrice, Sur la calculatrice, 5 est un diviseur d'un la touche donne la touche donne nombre quand ce nombre le quotient. Q (le quotient) se termine par 0 ou par 5. et R (le reste). l'opérateur 10 est un diviseur d'un Sur le tableur, nombre quand ce nombre la formule MOD(A1 ; B se termine par 0. calcule le reste de la division euclidienne de A1 3 est un diviseur d'un par B1. nombre quand la somme des chiffres de ce nombre Sur Scratch, est un multiple de 3. l'opérateur calcule le quotient de la calcule le reste de la division décimale. division euclidienne. Sur le tableur, la formule A1 / B1 calcule le quotient de la division décimale de A1 par B1. Sur Scratch, Avec des décompositions du nombre a en produit de facteurs b doit être un facteur de la décomposition OU b doit pouvoir être obtenu en multipliant plusieurs facteurs de la décomposition. 9 est un diviseur d'un nombre quand la somme des chiffres de ce nombre est un multiple de 9. Exemple 1 : Donc 455 est un multiple de 91. Écrire un multiple de est-il un diviseur de 91? Expliquer la réponse. (Division décimale) (Division euclidienne) 3) 91 : Le quotient 7 est un nombre entier. Donc 13 est un diviseur de 91. En effectuant la division euclidienne de 91 par 13, on obtient Q 7 et R 0. Le reste est égal à 0. Donc 13 est un diviseur de est-il un diviseur de 91? Expliquer la réponse. (Division décimale) (Division euclidienne) 91 : 8 11,375. Le quotient 11,375 n est pas un nombre entier. Donc 8 n est pas un diviseur de 91. En effectuant la division euclidienne de 91 par 8, on obtient Q 11 et R 3. Le reste n est pas égal à 0. Donc 8 n est pas un diviseur de 91. Page 1 / 5

2 4) «27, 75, 253». Dans cette liste, quels sont les nombres divisibles par 5? Expliquer la réponse. 5 est un diviseur de 75 car 75 se termine par et 253 ne se terminent ni par 5 ni par 0. Donc 5 n est pas un diviseur de 27 ni de ) «27, 75, 253». Dans cette liste, quels sont les nombres divisibles par 3? Expliquer la réponse. ) est un multiple de 3. Donc 3 est un diviseur de est un multiple de 3. Donc 3 est un diviseur de n est pas un multiple de 3. Donc 3 n est pas un diviseur de 27. Décomposer de plusieurs façons 5 en produit de facteurs. A partir de ces décompositions, déduire des diviseurs de Donc 7 et 8 sont des diviseurs de Donc 2 et 4 sont aussi des diviseurs de 5. On peut regrouper par deux les facteurs et Donc 14 et 28 sont aussi des diviseurs de 5. 7) Trouver tous les diviseurs de 3. 3 : 1 3. Donc 1 et 3 sont des diviseurs de 3. 3 : Donc 2 et 18 sont des diviseurs de 3. 3 : Donc 3 et 12 sont des diviseurs de 3. 3 : 4 9. Donc 4 et 9 sont des diviseurs de 3. 3 : 5 7,2. Le quotient n est pas un nombre entier donc 5 n est pas un diviseur de 3. 3 :. Donc est un diviseur de 3. 3 : 7 5,1. Le quotient n est pas un nombre entier donc 7 n est pas un diviseur de 3. 3 : 8 4,5. Le quotient n est pas un nombre entier donc 8 n est pas un diviseur de 3. 3 : 9 4. Donc 9 et 4 sont des diviseurs de 3. 9 et 4 sont déjà des diviseurs de notre liste. On peut donc s arrêter. Les diviseurs de 3 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ; 9 ; 12 ; 18 ; 3. Page 2 / 5

3 8) Trouver le plus petit multiple commun à 3 et 48. Trouver d'autres multiples communs à 3 et 48. Méthode 1 : Les tables de multiplication. Méthode 2 : Les décompositions Donc 144 est le plus petit multiple commun à 3 et On entoure les facteurs communs dans les deux décompositions et on souligne les facteurs qui restent On complète le et le Donc et par les facteurs manquants Donc 144 est le plus petit multiple commun à 3 et 48. Pour trouver d autres multiples communs à 3 et 48, il faut trouver des nombres dans la table de 144. Donc 288 ( ) ; 432 ( ) ; ( ) sont des multiples communs à 3 et 48. II- Nombres premiers Un nombre premier est un nombre qui admet exactement deux diviseurs différents, 1 et lui-même. Exemple 2 : «5, 17, 3, 91». Dans cette liste, quels sont les nombres premiers? Expliquer la réponse. Les diviseurs de 5 sont : 1 et 5. 5 est donc un nombre premier. Les diviseurs de 17 sont : 1 et est donc un nombre premier. Les diviseurs de 3 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 3. Les diviseurs de 91 sont : 1 ; 7 ; 13 ; n'est pas un nombre premier. 91 n'est pas un nombre premier. Les nombres premiers de cette liste sont 5 et 17. Page 3 / 5

4 III- Nombres premiers entre eux Deux nombres sont premiers entre eux si 1 est leur seul diviseur commun. Exemple 3 : Écrire deux nombres qui sont premiers entre eux. Expliquer la réponse. Écrire deux nombres qui ne sont pas premiers entre eux. Expliquer la réponse. 15 et 8 sont deux nombres premiers entre eux car le nombre 1 est leur seul diviseur commun. En effet : - Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; Les diviseurs de 8 sont : 1 ; 2 ; 4 ; et 45 ne sont pas premiers entre eux car ils ont pour diviseur commun le nombre 5. En effet : - Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45. IV- Utilisation de la décomposition en produit de facteurs premiers La décomposition en produit de facteurs premiers permet : - de rendre une fraction irréductible, c'est-à-dire la simplifier au maximum. On obtient alors un numérateur et un dénominateur qui sont des nombres premiers entre eux. - de résoudre des problèmes faisant intervenir des multiples communs ou des diviseurs communs. Exemple 4 : Après avoir décomposé les nombres et, rendre irréductible la fraction Un fleuriste veut réaliser des bouquets identiques en utilisant la totalité de ses fleurs. Il possède roses et tulipes. Quel est le nombre maximal de bouquets que peut réaliser ce fleuriste? Expliquer la réponse. Chaque bouquet doit être composé de roses ET de tulipes. Le fleuriste veut utiliser toutes ses roses dans des bouquets identiques. Donc le nombre de bouquets doit être un diviseur de. Le fleuriste veut utiliser toutes ses tulipes dans des bouquets identiques. Donc le nombre de bouquets doit aussi être un diviseur de. Le fleuriste veut réaliser le nombre maximal de bouquets. Donc le nombre de bouquets doit être le plus grand diviseur commun à et. D après la question 1, et Donc le fleuriste peut réaliser 28 bouquets. Un bouquet sera composé de 11 roses ( : 28 1 et de 10 tulipes ( : 28 10). Page 4 / 5

5 3) Voici un engrenage formé de deux roues dentées. La petite roue blanche effectue deux tours complets dans le sens horaire. Indiquer en rouge sur le dessin la nouvelle position de la pastille sur la grande roue grise. Combien de tours complets doit effectuer la petite roue blanche pour que les deux pastilles reviennent à leur position de départ? Expliquer la réponse. La roue blanche possède 12 dents. Si elle fait deux tours complets dans le sens horaire, elle se déplace de 24 dents. La roue grise se déplace alors de 24 dents dans le sens antihoraire. La roue blanche possède 12 dents. Pour que la pastille sur la roue blanche revienne à sa position initiale, la roue blanche doit faire un nombre de tours complets. Elle doit donc se déplacer d un multiple de 12. La roue grise possède 15 dents. Pour que la pastille sur la roue grise revienne à sa position initiale, la roue grise doit faire un nombre de tours complets. Elle doit donc se déplacer d un multiple de 15. La roue blanche entraîne la roue grise. Les deux roues se déplacent du même nombre de dents qui doit donc être un multiple commun à 12 et On complète le et le par les facteurs manquants. Donc 5 et Donc 0 est le plus petit multiple commun à 12 et 15. Nombre de tours complets de la roue blanche Nombre de tours complets de la roue grise Nombre de dents correspondant au déplacement des deux roues Il faut que la roue blanche se déplace de 0 dents pour que les deux pastilles se retrouvent à leur position de départ. 0 : Il faut donc que la roue blanche fasse 5 tours complets. Page 5 / 5