Analyse de Données Structurées - Cours 6

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1 Analyse de Données Structurées - Cours 6 Ralf Treinen Université Paris Diderot UFR Informatique Institut de Recherche en Informatique Fondamentale treinen@irif.fr 1 er mars 2017 c Ralf Treinen

2 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Construction d'un arbre de dérivation Règles de la grammaire : (1) S i (2) S [ S + S ] S [ S + S ] [ S + S ] [ [ i + i ] + [ i + i ] ] Choisir règle (1) : c'est la seule qui peut produire à partir de S un mot qui commence sur i.

3 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Grammaires LL(1) Intuition derrière les grammaires LL(1) : dans la construction d'une dérivation gauche, le symbole suivant de l'entrée nous indique quelle règle de la grammaire appliquer au non-terminal le plus à gauche de l'arbre de dérivation. Conséquence : toute grammaire LL(1) (ou même LL(k)) est non-ambiguë. Un critère très simple pour être LL(1) : Si tous les côtés droites de la grammaire pour le même non-terminal commencent sur des terminaux diérents, alors la grammaire est LL(1). Ce critère ne s'applique ni au cas des côtés droites qui commencent sur un non-terminal, ni au cas des côtés droites ɛ.

4 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Une caractérisation des grammaires LL(k) en général Théorème Une grammaire G = (V, Σ, S, P) est LL(k) ssi si A β et A γ sont deux règles diérentes et S waα une dérivation gauche, w Σ alors FIRSTk(βα) FIRSTk(γα) = Preuve omise (conséquence immédiate de la dénition) Attention, cette caractérisation générale prend en compte le contexte dans lequel on peut obtenir A. Elle parle de toutes les dérivations permises par la grammaire. Comment en obténir un critère qu'on peut appliquer à la grammaire?

5 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Un meilleur critère pour être LL(1) Dénition de FIRST 1 (α) : l'ensemble des symboles avec lesquelles un mot terminal dérivé à partir de α peut commencer (plus ɛ dans le cas où α ɛ). Vu au dernier cours : calcul de FIRST 1 dans le cas où aucun côté droite est ɛ. Critère vu la semaine dernière : Si tous les côtés droites de la grammaire pour le même non-terminal ont des ensembles FIRST 1 disjointes, et aucun non-terminal est annulant, alors la grammaire est LL(1).

6 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Exemple vu au dernier cours Grammaire G = ({a, (, ), +, F, S}, {a, (, ), +}, S, P) où P est F a S (F+S) S F Le première critère simple ne s'applique pas. On obtient pour les côtés droites des règles : FIRST 1 (a) = {a} FIRST 1 ((F+S)) = {(} FIRST 1 (F) = {a}

7 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Reconnaître la n de l'entrée Le programme vu au dernier cours a un défaut : il accepte aussi des expressions correctes, avec un texte quelconque ajouté à la n : (a+(a+a))%$#@ Solution : l'analyse lexicale envoie un jeton qui signale la n de l'entrée (par exemple, EOF pour end of le) remplacer l'axiome par S, avec une règle S S EOF où S est l'ancien axiome de la grammaire.

8 Rappel et Compléments : LL(1) et LL(k) dans des cas simples Le même exemple avec reconnaissance de la n G = ({a, (, ), +, EOF, F, S, S }, {a, (, ), +, EOF}, S, P) où P est F a S (F+S) S F S S EOF On obtient pour les côtés droites des règles : FIRST 1 (a) = {a} FIRST 1 ((F+S)) = {(} FIRST 1 (F) = {a} FIRST 1 (S EOF) = {a, (}

9 Analyse LL(1) dans le cas général Un exemple un peu plus avancé Une grammaire pour les expressions arithmétiques partiellement parenthésées. Terminaux : {i, +, *, (, ), EOF} Règles : S E EOF E E+T T T T*F F F (E) i Axiome : S

10 Analyse LL(1) dans le cas général L'exemple des expressions partiellement parenthésées Cette grammaire est non-ambiguë Intuition : Les + peuvent être produites seulement à partir du E. Tout mot engendré par E au-dessous d'un * est protégé par des parenthèses ( et ). (Il y a aussi une preuve formelle mais je vous en fait grâce.) Exercice : construire les arbres de dérivation pour i+i*i i+i+i Cette grammaire, est-elle aussi LL(1)? Ou au moins LL(k) pour quelque k N? Elle n'est pas LL(k), pour aucun k!

11 Analyse LL(1) dans le cas général Un critère pour ne pas pas être LL(k) Dénition Une grammaire G = (V, Σ, S, P) est récursive à gauche s'il y a un non-terminal N V Σ tel que N + Nα pour un α V. + : dérivation en au moins une étape. Exemple : notre grammaire pour les expressions partiellement parenthésées, car E E+T Lemme Si la grammaire G est réduite est récursive à gauche, alors G n'est pas pas LL(k), pour aucun k N.

12 Analyse LL(1) dans le cas général Preuve (simpliée) Supposons par l'absurde que G est LL(k) et récursive à gauche. Il y a donc une règle X X α (hypothèse simplicatrice) Il y a donc une dérivation gauche S wx γ (sinon X ne serait pas atteignable). Il y aussi une règle diérente X β (sinon X ne serait pas productif). Il existe donc une dérivation gauche S wx γ wx α k γ Par le théorème du début du cours : FIRSTk(X α k+1 γ) FIRSTk(βα k γ) =

13 Analyse LL(1) dans le cas général Preuve (2) On a : FIRSTk(X α k+1 γ) FIRSTk(βα k γ) = Donc, grâce à la règle X β : FIRSTk(βα k+1 γ) FIRSTk(βα k γ) = Contradiction (deux cas : α ɛ ou pas).

14 Analyse LL(1) dans le cas général Quoi faire? On peut transformer la grammaire en une grammaire équivalente (qui dénit le même langage), et qui est LL(1). C'est toujours possible, mais il y a deux inconvénients : la grammaire résultante peux être plus grande ; la structure de l'arbre de dérivation peut changer. Il y a un troisième inconvénient : la transformation peut introduire des règles N ɛ, il faut donc adapter la technique à ce cas.

15 Analyse LL(1) dans le cas général La grammaire transformée Une grammaire pour les expressions arithmétiques partiellement parenthésées. Terminaux : {i, +, *, (, ), EOF} grammaire originale grammaire tranformée S E EOF E E+T T T T*F F F (E) i Axiome : S S E EOF E T E E ɛ +E T F T T ɛ *T F (E) i

16 Analyse LL(1) dans le cas général Explication de la transformation Les deux règles originales pour le non-terminal E : E T E E+T Dans la grammaire d'origine, le non-terminal E engendre une séquence non-vide de non-terminaux T, séparés par des +. Dans la grammaire transformée, le non-terminal E engendre la suite de cette séquence après un T : E T E E ɛ +E Pareil pour le non-terminal T.

17 But de l'analyse d'une grammaire Détecter des propriétés des non-terminaux dans une grammaires Détecter des propriétés de grammaires Exemple : non-terminaux atteignables ou pas, productifs ou pas, annulable ou pas? Grammaires LL(1), LL(k) ou pas? Dés : récurrence entre les non-terminaux d'une grammaire. Dans certains cas on maîtrise une descente récursive sur un mot donné pour la construction d'une dérivation - cas des grammaires LL(k). Dans une analyse de la grammaire, on a pas de mot d'entrée xe donné mais on s'intéresse à une propriété générale de la grammaire.

18 Illustration du problème d'une descente récursive Un non-terminal N est productif s'il y a une règle N α telle que tous les non-terminaux dans α sont productifs. (C'est en particulier vrai quand α ne contient que des terminaux.) Imaginez les règles suivantes de la grammaire : A BCa B Cb C Ac Il faut éviter une descente récursive qui mène dans une boucle : A productif? B productif? C productif? A productif?...

19 Calcul d'un point xe Notre dénition de productivité est correcte, mais il faut organiser le calcul diéremment : Au début, on pose que tout non-terminal N pour lequel existe une règle N w, où w Σ, est productif. Puis, s'il y a une règle N α, où on a déjà reconnu tous les non-terminaux dans α comme étant productifs, alors on conclut que N est aussi productif. On s'arrête si on ne peu plus ajouter d'information de cette façon. Il s'agit d'un point xe!

20 Points xes En maths : un point xe d'une fonction f : D D est une valeur x D telle que f (x) = x. Application à notre algorithme : Soit N = V Σ. Le domaine D est 2 N, l'ensemble des parties de N. La fonction f transforme une partie de N en une autre, par propagation de l'information de productivité d'un non-terminal à un autre. On ne cherche pas un point xe quelconque, mais on commence avec une valeur initiale, puis on applique f jusqu'on obtient un point xe.

21 Calcul des symboles productives par point xe Nous utiliserons dans nos algorithmes la construction do... until X x. Exemple productivité : PROD = {A N (A α) P, α Σ } do PROD = PROD {A N (A α) P α (PROD Σ) } u n t i l PROD f i x Lemma Pour tout A N : A PROD ssi A est productif.

22 La construction do... until... x Le code // code i n i t i a l i s a t i o n de X do // code m i s e a j o u r de X u n t i l X f i x peut être traduit vers : // code i n i t i a l i s a t i o n de X do Xold = X // code m i s e a j o u r de X w h i l e (X!= Xold )

23 Exemple S ABC AD D BD A B B C C a Calcul de PROD : PROD = {C} PROD = {C, B} PROD = {C, B, A} PROD = {C, B, A, S} point xe atteint Donc : D n'est pas productif.

24 Remarques L'algorithme termine toujours car à chaque étape soit on incrémente PROD soit PROD reste constant, et on termine Donc, on fait au maximum tant d'itérations de la boucle qu'il y a de non-terminaux. Propagation de l'information de droite à gauche : quand tous les symboles de α sont productifs et A α, alors A est également productif.

25 Autre exemple : symboles atteignables Un non-terminal A est atteignable (à partir de l'axiome S) s'il existe une dérivation S αaβ. Calcul des non-terminaux atteignables : transparent suivant. Une grammaire est réduite si tous ses non-terminaux sont productifs et tous ses non-terminaux sont atteignables. Dans la suite nous supposons que toutes les grammaires sont réduites.

26 Calcul des non-terminaux atteignables Algorithme Donnée une grammaire G = (V, Σ, S, P). ATT = {S} do ATT = ATT {A N (B αaβ) P, B ATT } u n t i l ATT f i x Lemma Pour tout A N : A ATT ssi A est atteignable.

27 Exemple S A A B B CA C ab D a Calcul de ATT : ATT = {S} ATT = {S, A} ATT = {S, A, B} ATT = {S, A, B, C} point xe atteint Donc, D n'est pas atteignable.

28 Remarques L'algorithme termine toujours pour la même raison que pour le calcul de PROD. Schéma qui termine toujours : calcul du point xe en X, où l'action de mise à jour est X = X... dans le cas où on a une borne supérieure nie pour X. Propagation de gauche à droite : quand A est atteignable et A α, alors tous les symboles de α sont également atteignables.

29 Non-terminaux annulable Algorithme Donnée une grammaire G = (V, Σ, S, P). EPS = {A N (A ɛ) P} do EPS = EPS {A N (A α) P, α EPS } u n t i l EPS f i x Lemme Pour tout A N : A EPS ssi A ɛ.

30 Calcul de EPS sur l'exemple E T E E ɛ +E T F T T ɛ *T F (E) i S E EOF Initialisation : EPS = {E, T } C'est déjà un point xe!

31 Comment calculer FIRST 1 dans le cas général? Imaginez une règle A B C d E Tous les non-terminaux peuvent a priori engendrer ɛ. Si B EPS : dans cette règle, seulement FIRST 1 (B) peut contribuer à FIRST 1 (A). Si B EPS : FIRST 1 (C) peut aussi contribuer à FIRST 1 (A). Si B EPS et C EPS : d doit être dans FIRST 1 (A). Dans aucun des cas, FIRST 1 (E) ne peut contribuer car il se trouve derrière le terminal d.

32 Le calcul de FIRST 1 dans le cas général Pour des raisons techniques, il est plus facile de calculer d'abord une variante de FIRST 1 sans ɛ, et seulement pour les symboles non-terminaux : Fi(A) = {a Σ A aw, w Σ } Puis on en obtient FIRST 1 (α) en utilisant EPS que nous avons déjà calculé, et la fonction Fi.

33 Calcul de Fi dans le cas général Algorithme Donnée une grammaire G = (V, Σ, S, P). pour t o u t N V Σ : F i (N) = {a V T (N N 1... N n aα) P, N 1,..., N n EPS} do pour t o u t (N N 1... N n Mα) R t e l que M V N, N 1,..., N n EPS : F i (N) = F i (N) F i (M) u n t i l F i f i x Lemme Pour tout N V N : Fi(N) = FIRST 1 (N) {ɛ}

34 Calcul de Fi sur l'exemple Calcul E T E E ɛ +E T F T T ɛ *T F (E) i S E EOF EPS = {E, T } Initial Iteration1 Iteration2 Iteration3 S {i, (} E {i, (} {i, (} E {+} {+} {+} {+} T {i, (} {i, (} {i, (} T {*} {*} {*} {*} F {i, (} {i, (} {i, (} {i, (}

35 Calcul de FIRST 1 dans le cas général On déni maintenant FIRST 1 sur V : FIRST 1 (ɛ) = {ɛ} pour tout a Σ : FIRST 1 (aα) = {a} pour tout A V Σ : { Fi(A) si A EPS FIRST 1 (Aα) = Fi(A) FIRST 1 (α) si A EPS

36 Calcul de FIRST 1 des côtés droites dans l'exemple E T E E ɛ +E T F T T ɛ *T F (E) i S E EOF A Fi(A) S {i, (} E {i, (} E {+} T {i, (} T {*} F {i, (} EPS = {E, T } α FIRST 1 (α) T E {i, (} ɛ {ɛ} + E {+} F T {i, (} * T {*} ( E ) {(} i {i} S EOF {i, (}