Ch.1. ( ) c est donc un multiple de 5. ( ) = 1 1. Suites numériques : corrigé FICHE 2 ( ) ( n + 2) ( ) ( )( n + 2) ( n +1) n + 2.

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1 LFA / Termiale S exercices mathématiques Mme MAINGUY Termiale S Ch. Suites umériques : corrigé FICHE Exercice Ê Raisoemets par récurrece : a / Démotros par récurrece que, pour tout etier aturel, est u multiple de 5 : Iitialisatio : pour, Hérédité : o suppose la pté vraie au rag, motros qu elle est vraie au rag suivat + : Or est u multiple de, il existe doc u etier k tel que : k. O peut alors écrire : k k + + Coclusio :!, est multiple de 5. b / Démotros par récurrece, que pour tout etier, Iitialisatio : pour, + d 'où c est doc u multiple de La pté est iitialisée. Hérédité : o suppose la pté vraie au rag quelcoque fixé. Motros qu elle est vraie au rag suivat + : + + k k + k k + + k k ( + ) ( + ) ( + ) ( +) ( + ) + ( +) ( + ) + + ( + ) + ( +) + + CQFD Coclusio :!, k k k + +

2 LFA / Termiale S exercices mathématiques Mme MAINGUY Exercice O cosidère la suite ( u ) défiie pour tout etier aturel, par : u 5 et, pour tout etier ) a/ u + u b/ Les valeurs de u ; u ; u ; u5 ; u6 ; u7 ; u8 ; u9 ; u ; u sot respectivemet égales à : 5 ; 77 ;7 ;65 ; ; 85 ; 57 ; 7 ; 57 ; 6. Soit d la suite défiie sur! par : d u+ u. Il semble que la suite d 6, u + u +. soit arithmétique de raiso 8 et de er terme d u u 5 6. ) O cosidère la suite arithmétique ( v ) de raiso 8 et de premier terme v 6. S v k k 6 + v ( +) +. CQFD ) Démotros par récurrece que pour tout etier aturel, o a : u : u Iitialisatio : d 'où u + + 5, la pté est iitialisée. Hérédité : o suppose la pté vraie au rag, motros qu elle est vraie au rag + : u u ( + + 5) Posos P ( + + 5) , o observe que est ue racie évidete de P. ( +) ( a + b + c). Par idetificatio, o a : a et c. ( +) ( + b + ) + b b + + ( b + ) + + b O a alors : P P b + O résout : b + b D où : P ( +) ( + + ). Il e résulte que : u + + ( + + ) ( +) Coclusio :!, u ( +) + 5 +( +)

3 LFA / Termiale S exercices mathématiques Mme MAINGUY ) d ( +) +( +) O a alors : d + d 8( +) +6 ( 8 +6) cad : d + d + 8!. O recoaît la formule de récurrece d ue suite arithmétique de raiso r 8 et de premier terme d 6, ce qu il fallait démotrer. Exercice O cosidère la suite umérique ( u ) défiie par ) u u + + u + u + u et pour tout etier aturel, u + +. u ; u u u u u u ; u u u 5 5 Il semble que l o ait la relatio : u +. ) Démotros cette cojecture par récurrece : Iitialisatio : pour : u + d 'où u la pté est iitialisée. + Hérédité : o suppose la pté vraie au rag quelcoque fixé, motros qu elle est vraie au rag suivat + : u + + u + + u CQFD ( +) Coclusio : pour tout etier aturel, o a : u Exercice (extrait BAC S - Métropole 9) O cosidère la suite umérique ( ) dot les termes vérifiet, pour tout ombre etier > : ( + ) + et Le tableau suivat doe les dix premiers termes de cette suite

4 LFA / Termiale S exercices mathématiques Mme MAINGUY ) D'où. ) La suite ( ) semble être arithmétique de raiso r et de premier terme. Prouvos-le : Démotros par récurrece que, pour tout! o a : + r +. Iitialisatio : + +, la pté est iitialisée. Hérédité : o suppose la pté vraie à u rag quelcoque fixé, motros alors qu elle est vraie au rag suivat + : Coclusio : ( +) + ( + ) + ( + ) !#" # $. P Détermios les racies, si elles existet du polyôme de degré, P o observe que est ue racie évidete. De plus, P : O e déduit alors que le produit des racies est : x x x x. Aisi : ( +) ( ( + ) + + ) ( + ) ( +) + est ue suite arithmétique de raiso ( +) CQFD. Exercice 5 (extrait BAC S - Polyésie ) O cosidère la suite ( u ) défiie par : u et, pour tout etier aturel : u u ) u u ; u u ) O cosidère les deux algorithmes suivats : C est l algorithme qui permet d obteir la valeur de u pour etré par l utilisateur. ) À l'aide de l'algorithme, o a obteu le tableau et le uage de poits ci-dessous, où figure e abscisse et u e ordoée.

5 LFA / Termiale S exercices mathématiques Mme MAINGUY a/ La suite ( u ) semble croissate. Prouvos-le : Pour tout!, u + u +. Or est u etier aturel doc positif ou ul. Aisi, + >. O a doc u + > u pour tout!. CQFD. b/ La forme parabolique du uage de poits amèe à cojecturer l'existece de trois réels a, b, c tels que, pour tout etier aturel, u a + b+ c. Détermios les valeurs de a, b, c : u a + b + c c u a + b + c a + b + c u 6 a + b + c 6 a + b + c 6 O résout doc le système : c a + b a b a a a + b + c a + b 6 a + b 6 b a b a + b + c 6 c c c c O e déduit que :!, u ) O défiit, pour tout etier aturel, la suite ( v ) par : v u+ u. a/ v u + u +. La suite ( v ) est doc arithmétique de premier terme et de raiso. Nous disposos de deux méthodes de justificatio : méthode : v est de la forme a + b, avec a et b. C est doc ue suite arithmétique de er terme et de raiso. méthode : v + v + + ( + ) + + d où! v + v +. O recoaît la formule de récurrece d ue suite arithmétique de raiso r et de er terme v u u b/!, S v k k, S est la somme des + premiers termes de la suite arithmétique ( v ) : S ( +) v + v ( +) + + ( + ) ( + ) ( +) ( + ). CQFD c/ Démotros par récurrece que, pour tout etier aturel, S u+ u puis exprimer u e foctio de : S Iitialisatio : pour, v u u d 'où S u u, la pté est iitialisée. Hérédité : o suppose la pté vraie au rag, motros qu elle vraie au rag suivat + : + S + v k v k + v + u + u + v + u + u + u + u + u + u CQFD k k Coclusio :!, S u + u. Détermios l expressio de u e foctio de : d après les questios précédetes, o a : u S u + ( +).

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