COURS de CINEMATIQUE PASCAL PARRILLIS
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- Armand Dumais
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1 COURS de CINEMATIQUE PASCAL PARRILLIS 1
2 1 Cinématique du point 1. Vecteur Vitesse. Par définition V M/R = d( OM) dt /R 2. Vecteur accélération. Par définition Γ M/R = d( V M/R ) dt /R avec comme repère : R (O; x, y, z ) avec comme repère : R (O; x, y, z ) 3. vecteur rotation d un référentiel par rapport à un autre. Ce vecteur noté : Ω Ri/Rj avec Ω Ri/Rj est exprimé en rd/s. Ce vecteur admet la propriété de décomposition suivante : Ω R1/Rn = n 1 Ω Rk /R k+1 k=1 Ce vecteur se déduit directement de la technique analytique de changement de bases. 4. Dérivée d un vecteur par rapport à un référentiel. Soient R1 et R2 deux repères. On notera Ω 2/1 = α β avec α; β; γ en rd/s γ Il vient alors que : d U dt /R1 = d U dt /R2 R + Ω 2/1 U. Ce calcul devra respecter les règles de calcul vectoriel. On notera également que les différents référentiels sont en général situés les uns par rapports aux autres. La plupart du temps les différents repères sont reliés par l intermédiaire d un seul vecteur commun. Cela renvoi directement au paramétrage du problème à résoudre! courslatexperso Page 2 sur 8 Le 11 septembre 2010
3 2 Cinématique du solide 1. Particularité des points d un solide Soit Rs un référentiel lié au solide. Soient A et B deux points appartenant effectivement au solide. On peut dire deux choses : AB = constante. d AB = 0 dt /Rs 2. Loi de distribution des vitesses d un solide. d AB = d AB dt /R dt /Rs au résultat suivant : + Ω Rs/R AB. Ceci conduit en décomposant le vecteur AB = OB OA V B Rs/R = V A Rs/R + Ω Rs/R AB 3. Torseur cinématique. Nous venons d établir que le champ de vitesse d un solide peut entièrement être déterminé à partir de la vitesse de l un de ses autres points et la connaissance du vecteur rotation (indépendant du point considéré). On peut donc en déduire que le mouvement d un solide peut être caractérisé par un torseur que nous nommerons : torseur cinématique du solide S dans son mouvement par rapport au référentiel R réduit au point A. Ω {V(Rs/R)} A = Rs/R V A Rs/R A 4. Composition de mouvements. Soit M un point du solide, donc fixe par rapport au solide. Supposons que solide soit en mouvement par rapport à un référentiel R1 (O 1 ; x 1, y 1, z 1 ) lui même en mouvement par rapport au repère de référence R(O; x, y, z ). En partant de la relation de CHASLES : OM = OO 1 + O 1 M que l on dérive par rapport au temps et surtout par rapport à R!. On V (M S/R1) + Ω R1/R O 1 M ce qui donne obtient : V (M S/R) = V (O 1 R1/R)+ en regroupant les termes : V (M S/R) = V (M S/R1) + V (M R1/R) 5. Règle de calcul de la vitesse d un point. Si le point appartient effectivement au solide alors vous pouvez au choix : effectuer le calcul en dérivant le vecteur position, appliquer la distribution des vitesses ou bien la composition de mouvements. Mais si le point n appartient pas vraiment au solide considéré la DERIVATION EST INTERDITE, il ne reste plus qu à passer par un point appartenant effectivement au solide. 6. Distribution des accélérations. On dérive l expression de la distribution des vitesses. On obtient alors : Γ B Rs/R = Γ A Rs/R + Ω Rs/R ( Ω Rs/R AB) 7. Composition des accélérations. Par une démarche similaire on obtient : Γ M Rs/R = Γ M Rs/R1 + Γ M R1/R +2 Ω R1/R V M Rs/R1 courslatexperso Page 3 sur 8 Le 11 septembre 2010
4 3 Cinématique des systèmes En fait la vitesse d un point ne nous intéresse pas vraiment, on recherche plus généralement à qualifier une transformation de mouvement au sein d un mécanisme. Un mécanisme est constitué d un ensemble de composants reliés entre eux par des liaisons qui possèdent toutes certaines caractéristiques. 1. Graphe des liaisons. Chaque solide (ou groupe cinématique) est représenté par un cercle, et les liaisons par des segments. On caractérisera ces dernières par un pointeur ou glisseur, voir un point uniquement. 2. Nombre cyclomatique. Il s agit du nombre de chaînes (ouverte ou fermée) indépendantes. Si nous notons : n le nombre de solides, l le nombre de liaisons et γ le nombre cyclomatique alors : γ = l n Fermeture géométrique. Il s agit d appliquer CHASLES sur les γ chaines en les parcourant de proche en proche. 4. Fermeture cinématique. Il s agit d appliquer la composition de mouvement sur les γ chaînes en les parcourant de proche en proche. Le choix du point d étude est fondamental afin de limiter les calculs, on choisira un des points de liaison présentant le plus d inconnues dans l expression du vecteur rotation. courslatexperso Page 4 sur 8 Le 11 septembre 2010
5 4 Cinématique du contact Le contact entre deux solides est quelque chose de particulier. Soit un point M appartenant àlazonedecontact.encepointilexistedeuxcasdefigure. 1. Vitesse de glissement Il y a roulement sans glissement et dans ce cas : V M S1/S2 = O Il y a glissement et dans ce cas : V M S1/S2 O Ce vecteur vitesse de glissement appartient uniquement au plan tangent commun. 2. Vecteur rotation. Le vecteur rotation se décompose en général en un vecteur appartenant au plan tangent commun (roulement) et en un vecteur normal au plan tangent commun (pivotement). 3. Incidence dans le calcul cinématique. Quand ils existent on effectuera la fermeture cinématique aux points de contact. courslatexperso Page 5 sur 8 Le 11 septembre 2010
6 5 Cinématique plane 1. Particularités. Le vecteur rotation est orthogonal au plan des déplacements. Ceci implique qu il existe systématiquement un point qui minimise le champ de vitesse et ici on démontre que V I S/R = 0 Cette vitesse est orthogonale au vecteur reliant I (C.I.R) au point considéré. La connaissance de I permet de mettre en la distribution des vitesses. Si nous connaissons deux vecteurs vitesses distincts d un même solide alors on peut déterminer I. Si nous connaissons un point d un solide dont la vitesse est nulle (RSG) il s agit du C.I.R de ce solide par rapport au référentiel considéré. 2. Equiprojectivité. Cette propriété vient tout naturellement de l invariant du champ de vitesse d un solide. 3. Mouvement plan/ plan de trois solides. Dans ce cas les trois C.I.R : I 12 ; I 23 ; I 13 sont alignés. Pour démontrer cela on utilise la composition de mouvements. 4. Méthode conseillée de résolution. On repère les C.I.R évidents. On met en place les directions évidentes de vitesse. En chaque point particulier de chaque liaison on écrit la composition des mouvements ce qui permet de déterminer de nouvelles directions ou bien de trouver par construction le vecteur vitesse résultant. On applique l équiprojectivité et/ou la distribution des vitesses On utilise l alignement des C.I.R pour en trouver d autres. Généralement on résout de proche en proche en fonction de la donnée de départ. Il n y a pas d ordre absolu... c est toute la difficulté... il faut s entraîner. courslatexperso Page 6 sur 8 Le 11 septembre 2010
7 6 Cinématique des engrenages, réducteurs et variateurs mécaniques Dans cette partie on s attachera à appliquer les résultats précédents. 1. Engrenage simple. 2. Train d engrenages. 3. Trains épicycloïdaux. Dans ce cas tous les calculs doivent être effectués par rapport au porte-satellite. La méthode la plus simple consiste, en se plaçant sur le porte-satellite, à traduire le non glissement pour chaque train simple. A l aide de toutes les équations on met en évidence la loi d entrée-sortie en éliminant les termes intermédiaires. 4. Variateurs. Le protocole de résolution est le suivant : Tracer le graphe des liaisons, Mettre en place les différents référentiels les uns par rapport aux autres. Déterminer le nombre de boucles indépendantes (nombre cyclomatique) Traduire les différentes fermetures cinématiques en utilisant les points de RSG en prenant soin de n en utiliser un seul par boucle. Éliminer les termes intermédiaires pour parvenir à la (ou les) loi(s) d entrée(s) sortie(s). courslatexperso Page 7 sur 8 Le 11 septembre 2010
8 7 Introduction à la théorie des mécanismes 1. Rappel sur le graphe des liaisons. 2. Liaisons en parallèle et/ou en série 3. Torseurs cinématique et statique d une liaison. 4. Invariants d un torseur. Le but est de déterminer l ensemble des points permettant d avoir les expressions les plus simples des différents torseurs afin de faciliter les différents calculs de liaisons équivalentes et d hyperstatisme. 5. Liaison équivalente de deux liaisons en série. Il s agira en : En cinématique d effectuer la somme des torseurs cinématiques élémentaires en un pt judicieusement choisi. En Statique d effectuer la compatibilité des différents torseurs statiques élémentaires. 6. Liaison équivalente de deux liaisons en parallèle. Il s agira en : En statique d effectuer la somme des torseurs statiques élémentaires en un pt judicieusement choisi. En cinématique d effectuer la compatibilité des différents torseurs cinématiques élémentaires. 7. Hyperstatisme et mobilité d un mécanisme Hyperstatisme, dont le degré est noté : h. Il traduit suivant le cas l impossibilité de déterminer une ou plusieurs composantes d efforts ou bien l interdiction à plusieurs reprises d une même mobilité. Mobilités internes et externes notée : m = m i + m u représentant respectivement les mobilités internes qui n influent pas sur la loi d entrée-sortie et les mobilités utiles qui permettent de définir la loi d entrée-sortie. 8. Calcul de l hyperstatisme. Au sein des torseurs cinématique et statique. Du point de vue global. On notera : I s le nomnbre d inconnues de la statique, E s le nombre d équations de la statique, I c le nomnbre d inconnues de la cinématique, E c le nombre d équations de la cinématique, n le nombre de solides (y compris le bâti) et l le nombre de liaisons. h m = I s E s = E c I c avec E s =6 (n 1) ; E c =6 γ ; I s + I c =6 n courslatexperso Page 8 sur 8 Le 11 septembre 2010
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