Sujet de révision n 3

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1 ème année Section : Maths Sujet de révision n AFIF BEN ISMAIL 00-0 Thèmes abordés : Similitude ; Arithmétique ; Espace ; Equations différentielles du second ordre ; primitives et intégrales. Eercice n : Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est eacte. ) On a représenté une epérience aléatoire par l arbre de probabilité ci dessous : 0. A A 0.8 B B B B Sachant que p(b) = 0. alors P(B A) = : (a) 0,. (b) 0,9. (c) 0,6. ) Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( Oi,, j). (C) est la courbe représentative de la fonction f définie par f() = + ln. On fait tourner autour de l ae des abscisses l arc de la courbe constitué par les points de (C) d abscisses comprises entre et e. Le volume de V du solide ainsi engendré est : (a). (b) e. (c) (e ). ) Une primitive sur IR de la fonction (a) ln ( ² + ) est : ² + (b) ln ( ² + ) (c) ln ( ² + ). Sujet de révision n. ème Maths

2 Eercice n : Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que ( AB, AD) [ ] On désigne par I le milieu du segment [AB] et par la droite qui porte la bissectrice intérieure de ( AB, AC) ) Soit f la similitude directe qui envoie I en O et B en C. (a) Déterminer le rapport et une mesure de l angle de f. (b) Montrer que le point A est le centre de f. En déduire la forme réduite de f. ) Soit R la rotation de centre A et d angle dont une mesure est. (a) Vérifier que R = S( AC) S. (b) Soit σ = f S. Prouver que σ est une similitude indirecte et déterminer sa forme réduite. ) Le plan est muni d un repère orthonormé direct (, uv, ) Ω... Soient z = + i ; z = i ; z = i et z = + i les affies respectifs des points A, C, E et F. A C E F (a) Montrer que la transformation complee de g qui à tout point M d affie z associe le point M + i d affie z tel que : z' = z + i( + ) est celle de la symétrie orthogonale d ae (AC). (b) Montrer que la forme complee de σ est ( ) z' = + i z + i. ) (a) Déterminer l affie du point G = σ( E ), puis vérifier que AF et AG sont orthogonau. (b) On considère un point M d affie z iy = +, où ( y, ) IR. Montrer que AF et AM ' avec M = σ (M) sont orthogonau si et seulement si 5+ y =. (c) Résoudre dans Z Z l équation : 5+ y =. (d) En déduire les points M dont les coordonnées sont des entiers appartenant à l intervalle [-6, 6] tels que AF et AM ' sont orthogonau. Eercice n : ) Résoudre dans Z ² l équation ( E ) : y =. ) Soit n un entier naturel non nul. (a) Montrer que le couple (n +, n + ) est une solution de ( E ). (b) En déduire que pgcd (n +, n + ) =. ) Soit d le plus grand commun diviseur de n + et n +. (a) Montrer que d = ou d =. (b) Montrer que n 6 (mod ) d =. ) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à, on pose : A = n² - 7n et B = 8n 8n² - 7n. (a) Montrer que A et B sont divisibles par n dans Z. (b) Déterminer en fonction de n, le pgcd de A et B. Sujet de révision n. ème Maths

3 Eercice n : Soit ABCDEFGH un cube d arête. On désigne par P le centre de gravité du triangle HGF et Q le centre de AAB,, AD, AE gravité du triangle FBG et on muni l espace du repère orthonormé direct ( ) ) (a) Donner une représentation paramétrique de la droite (BH). (b) Montrer qu une équation cartésienne du plan (ACF) est + y+ z = 0 (c) Déterminer les points W de la droite (BH) tel que le volume de tétraèdre ACFW est égale à 6 ) Soit K le milieu de [FG] et h l homothétie de centre K et de rapport (a) Montrer que h(h) =P et h(b) = Q (b) Donner l epression analytique de h. ) Soit le plan (R) : + y+ z = 0 (a) Montrer que (R) l image du plan (ACF) par h. (b) Vérifier que (BH) est perpendiculaire à (ACF) en un point N que l on déterminera les coordonnées. En déduire que (R) est perpendiculaire à (PQ) en un point N que l on déterminera les coordonnées. (c) Donner une équation cartésienne de la sphère S tangente au plans (R) et (ACF) et dont le centre appartient à la droite (NN ). Eercice n 5 :. Déterminer l ensemble des solutions définies sur IR, de l équation différentielle suivante : (E) : y + y = 0.. Soit g une fonction deu fois dérivable sur IR*. On définit la fonction f de IR* dans IR par : f( ) = g. Eprimer f () à l aide de g '' et de.. On considère l équation différentielle (E ) : y'' = y. Montrer que la fonction g est solution de (E ), si et seulement si, la fonction f définie pour tout réel non nul par f( ) = g est solution de (E).. En déduire toutes les solutions de (E ) définies sur chacun des intervalles ]-, 0[ et ]0, + [. 5. Soit g une solution de l équation (E ) définie sur ]0, + [. (a) Déduire des questions précédentes une primitive de la fonction g ( ) (b) Calculer la valeur de l intégrale sin d Sujet de révision n. ème Maths

4 ème année Section : Maths Sujet de révision n Corrigé AFIF BEN ISMAIL 00-0 Eercice n : ) P(B) = p(a) p(b A) + p( A ) p(b A ) p(b A) = = e e ) V = ( ln ) [ ln ] + d = + = e ) Une primitive sur IR de la fonction est : ln( ² + ) = ln ( ² + ) = ² + ² +. Eercice n : ) (, y) est une solution de ( E ) y =. (, ) est une solution particulière = ( ) (y ) = 0 ( ) = (y ) (y ), or Λ = (y ) il eiste k Z tel que y = k y = + k, or ( ) = (y ) ( ) = k = + k (, y) = ( + k, + k) ; k Z. Inversement : k Z, ( + k) ( + k) = ( + k, + k) est une solution de ( E ). { Z } Ainsi ( ) S Z² = + k, + k ; k ) Soit n un entier naturel non nul. (a) (n +, n + ) est une solution de ( E ). (b) (n + ) + (n + ) (-) =, avec (, - ) Z ² alors d après l identité de Bezout on a : n + et n + sont premiers entre eu pgcd (n +, n + ) =. ) Soit d le plus grand commun diviseur de n + et n +. (a) d n + et d n + d (n + ) (n + ) d, or d IN* d = ou d =. (b) n 6 (mod ) d =? Si n 6 (mod ) alors n + 0 (mod ) et n + 0 (mod ) n + et n + d, or d d =. Inversement : si d = n + et n + n + 0(n + ) n 6 n 6 0 (mod) n 6 (mod ). ) (a) A = n² - 7n = (n )(n + ) (n ) A B = 8n 8n² - 7n = (n )(8n² + 0n + ) = (n )(n + )(n + ) (n ) B (b) A Λ B = (n )(n + ) Λ (n )(n + )(n + ) = (n )[ (n + ) Λ (n + )(n + )], or pgcd (n +, n + ) = A Λ B = (n )[ (n + ) Λ (n + )] Sujet de révision n. ème Maths

5 Si n 6 (mod ) alors A Λ B = (n ) Si non alors A Λ B = n. Eercice n : ) (a) B(, 0, 0) et H(0,, ) BH (BH) : = α y = α ; α IR z = α (b) A(0, 0, 0) ; C(,, 0) et F(, 0, ) AC et AF 0 AC AF 0 Est un vecteur normal à (ACF) (ACF) : y z + d = 0, or A(0, 0, 0) (ACF) d = 0 (ACF) : y z = 0. AC AF AW = AC AF AW = 6 6 (c) W (BH) et V(ACFW) = 6 ( ) ( ) Or W ( - α, α, α) - α - α - α = - α = ou - α = - α = - 0 ou α = W 0 0,, ou W (-,, ). ) Soit K le milieu de [FG] et h l homothétie de centre K et de rapport (a) P est le centre de gravité du triangle HGF et Q le centre de gravité du triangle FBG KP = KH et KQ = KB h(h) = P et h(b) = Q. (b) h(m) = M ' = + K y' = y+ y z' = z + zk K, or K,, ' = + y' = y+ z' = z +. 5 Sujet de révision n. ème Maths

6 ) (a) (R) : + y+ z = 0 (R) et (ACF) ont même vecteur normal n (R) // (ACF) Or A(0, 0, 0) (ACF) et h(a) = A,, ( R ) h((acf)) = ( R ). (b) BH est un vecteur normal à (ACF) (BH) (ACF) Soit N le point d intersection de (BH) avec (ACF) les coordonnées de N vérifient : = α y = α z = α y z = 0 α = N,,. (BH) (ACF) en N, or h conserve l orthogonalité et le contact h ((BH)) h ((ACF)) en h(n) = N (PQ) (R) en N 8 7,, (c) S est la sphère tangente au plans (R) et (ACF) et dont le centre appartient à la droite (NN ). Soit I( abc,, ) le centre de la sphère On a : d(i, (ACF)) = d(i, ( R )) a b c+ a b c = a b c = a b c + impossible ou a b c+ = 0 a b c = a+ b+ c 6 Sujet de révision n. ème Maths

7 De plus on a : I (NN ) : a = + t 9 b = + t ; t IR 9 c = + t t t t+ = t = I,, N.B : I est le milieu de [NN ]. Soit R le rayon de la sphère R = d(i, (ACF)) R = = 8 S : = Eercice n 5 : ) (E) : y + y = 0 y() = a cos + b sin, où ( ab, ) R ² ) g une fonction deu fois dérivable sur IR* ; f( ) = g. f '( ) = g + g' g g' = ² f ''( ) = g' + g' g'' g'' ² ² = ² ) (E ) : y'' = y. f( ) = g est solution de (E) f ''( ) + f( ) = 0 '' g g + = 0 g'' = g, IR* = g est solution de ( E ). g'' ( ) g( ) 7 Sujet de révision n. ème Maths

8 ) g est solution de ( E ) f( ) = g est solution de (E) f( ) = g = acos+ bsin = + g ( acos bsin ) g = acos + bsin, IR* ( ) 5) Soit g une solution de l équation (E ) définie sur ]0, + [. g( ) = acos + bsin, ]0, + [. (a) Soit h: g ( ) h ( ) = g''( ), ]0, + [. une primitive de h sur]0, + [est H : g'( ) H( ) = acos bsin asin bcos + + ² b a H( ) = a+ cos b+ sin, ]0, + [. (b) sin d = sin d On prend a = 0 et b =, on aura g ( ) = sin [ ] sin d gd ( ) g'( ) g' g' = = = Avec g'( ) = sin cos sin d = 8 Sujet de révision n. ème Maths