BREVET BLANC N 2 samedi 14 mai 04

Transcription

1 L'usage de la calculatrice et des instruments de géométrie est autorisé. La présentation, la clarté de la rédaction, la précision des justifications et le soin apporté aux tracés seront pris en compte lors de la notation : REVET LC 2 samedi 14 mai 04 au maximum 4 points CTIVITÉS UÉRIQUES Exercice 1 Ecrire les calculs intermédiaires. 1. Ecrire = 6 5 : sous forme de fraction irréductible. = 6 5 : = 6 5 : 2 15 = = 2 5 = points 2. Ecrire = ( 2 1)( 2 + 1) 2 2 sous la forme d'un nombre entier. = = = 6 1 = 5.. Ecrire C = sous la forme a (avec a entier). 27 = 2 = 2 = 75 = 5 2 = 5 2 = 5 d'où C = = = 20. Exercice 2 points On considère l'expression : D = (x 1) 2 (x 1)(2x + ). 1. Développer et réduire D. D = (x) 2 2 x (x 2x + x 1 2x 1 ) D = 9x 2 6x + 1 (6x 2 + 9x 2x ) = 9x 2 6x + 1 6x 2 9x + 2x + = x 2 1x Factoriser D. D = (x 1)(x 1) (x 1)(2x +) D = (x 1)[x 1 (2x + )] = (x 1)(x 1 2x ) = (x 1)(x 4).. Résoudre l'équation (x 1)(x 4) = 0. Si un produit soit nul alors l'un au moins des facteurs est nul : x 1 = 0 ou x 4 = 0 x = 1 x = 4 x = 1 Les solutions de l'équation sont 4 et 1. Exercice points Pour la fête du village, le pâtissier dispose de 910 pains au chocolat et de 69 croissants. Il veut préparer le plus grand nombre de paquets identiques en utilisant tous ces gâteaux. Combien de paquets identiques pourratil préparer? Il faut calculer le PGCD de 910 et 69 (2 méthodes au choix) :

2 ou lgorithme d'euclide par soustractions successives : = = = = = = = = = 7 (etc ) on remarque que 7 est un diviseur de 42, donc le PGCD est 7. lgorithme d'euclide par divisions successives : Le PGCD est 7. Le pâtissier pourra préparer 7 paquets identiques. Combien y auratil de pains au chocolat et de croissants dans chaque paquet? Dans chaque paquet, il y aura : 910 : 7 = 10 pains au chocolat et 69 : 7 = 99 croissants. Exercice 4 Un commerçant augmente les prix de tous ses articles de 8 %. Un objet coûte x euros. près avoir subi cette augmentation, il coûte y euros. 1. Exprimer y en fonction de x. arrivée = départ coefficient avec coefficient = = 1,08 d'où y = 1,08x. 100 points 2. Un lecteur de DVD coûte, avant augmentation, 29. Combien coûteratil après? On remplace x par 29 et on calcule y : y = 1,08 29 = 55,2 Le lecteur de DVD coûtera 55,2 après l'augmentation.. Un téléviseur coûte, après augmentation, 540. Combien coûtaitil avant? On remplace y par 540 et on calcule x : 540 = 1,08x d'où x = 540 = 500. Ce téléviseur coûtait 500 avant la hausse. 1,08 CTIVITÉS GÉOÉTRIQUES Exercice 1 E H D F C G CDEFGH est un parallélépipède rectangle. On donne : FE = 12 cm ; FG = 9 cm ; F = cm ; F = 4 cm et F = cm. 1. Calculer la longueur. Dans le triangle F, rectangle en F, on applique le théorème de Pythagore : 2 = F 2 + F 2 2 = = 25 d'où = 25 = 5 cm. 4 cm 4 points cm F

3 2. ontrer que l'aire du triangle F est égale à 6 cm 2. côté hauteur F F F = = = 4 = = 6 cm2.. Calculer le volume de la pyramide (P) de sommet et de base le triangle F. V (P) = aire de la base hauteur = F F = 6 = 6 cm. Exercice 2 On précisera pour chacune des deux questions de cet exercice la propriété de cours utilisée. La figure cicontre n'est pas représentée en vraie grandeur. Les droites (C) et () sont parallèles. On donne : = 2,4 cm C = 5,2 cm ; = 7,8 cm et = 4,5 cm. 1. Calculer la longueur C. Dans le triangle C, (), (C) et ()//(C). On applique le théorème de Thalès : = C = C d où : 2,4 = 5,2 7,8 = C 4,5 donc C = 5,2 4,5 7,8 = cm. C P,5 points R 2. Sachant que P = 2,6 cm et R = 1,2 cm, montrer que les droites (PR) et (C) sont parallèles. Les points, P, C et, R, sont alignés dans le même ordre. D'une part P C = 2,6 5,2 = 0,5 D'autre part R = 1,2 Donc P 2,4 = 0,5 C = R. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (PR) et (C) sont parallèles. Exercice S Soit S un cône de révolution, S est le sommet du cône. Sa base est un disque de diamètre [] et de centre O. Sa hauteur est [SO]. On donne = 4 cm et SO = 4,5 cm. 4,5 points O 1. Calculer le volume V du cône et donner une valeur arrondie au cm près. aire de la base hauteur V = = π rayon2 hauteur = π O2 OS V = π 22 4,5 19 cm. avec O = 2 = 2 cm 2. Calculer l'angle a SO et donner une valeur arrondie au degré près. côté opposé Dans le triangle SO, rectangle en O, on utilise tan = côté adjacent S 4,5 cm 2 cm O

4 tan a SO = O OS = 2 4,5 d'où a SO 24. (en utilisant la touche tan 1 de la calculatrice). Un modèle réduit de ce cône a un rayon de 1,5 cm. a. Déterminer le coefficient de réduction qui transforme le grand cône en modèle réduit. nouvelle longueur nouveau rayon coefficient = = ancienne longueur correspondante ancien rayon = 1,5 2 = 0,75. b. En déduire la valeur arrondie au cm près du volume V' du cône en modèle réduit. V' = ancien volume V coefficient 19 0,75 V' 8 cm. PROLÈE Pour le paiement de la garderie dans une école, on propose deux formules : Formule : On paie 40 pour devenir adhérent pour l'année scolaire, puis on paie 10 par mois de garderie. Formule : Pour les nonadhérents, on paie 18 par mois. 1. Reproduire et compléter le tableau suivant : Durée de la garderie 2 mois 5 mois 10 mois Prix payé avec la formule (en ) Prix payé avec la formule (en ) vec la formule : = = = 140 vec la formule : 18 2 = = = On appelle x le nombre de mois de garderie. On note y le prix payé avec la formule et y le prix payé avec la formule. a. Exprimer y en fonction de x. Quelle est la nature de cette fonction? y = x ; c'est une fonction affine. b. Exprimer y en fonction de x. Quelle est la nature de cette fonction? y = 18x ; c'est une fonction linéaire.. Représenter graphiquement les fonctions suivantes dans un même repère : x y = 10x + 40 x y = 18x L'origine du repère sera placée en bas et à gauche de la feuille de papier millimétré. On prendra 1 cm pour 1 mois en abscisse. On prendra 1 cm pour 10 en ordonnée. 4. a. partir du graphique, déterminer le nombre de mois pour lequel les prix à payer sont les mêmes. Les prix sont les mêmes pour 5 mois. (pointillés bleus sur le graphique) b. Retrouver ce résultat par le calcul. y = y 10x + 40 = 18x 10x 18x = 40 18x = 40 x = 40 = 5 Pour 5 mois, les tarifs sont égaux. 18

5 5. partir du graphique, déterminer la formule la plus avantageuse si on ne paie que 4 mois dans l'année. Pour 4 mois, le tarif est inférieur au tarif (car la droite représentant le tarif est endessous de celle représentant le tarif ) (pointillés roses) donc le tarif est plus avantageux. 6. On dispose d'un budget de 11. Combien de mois de garderie au maximum pourraton payer si l'on choisit la formule? On pourra payer au maximum 7 mois de garderie (pointillés orange) prix (en ) tarif y = 18x tarif y = 10x mois