Polynômes en plusieurs indéterminées

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1 Polynômes en pluseurs ndétermnées Marc SAGE 29 octobre 25 Table des matères La A-algèbre A ( ) 2I 2. Dé ntons Écrture canonque des polynômes Isomorphsmes usuels 6 2. Injecton de A dans A ( ) 2I Injecton de A [( ) dans B [( ) s A, B Permtutaton des ndétermnées Réndextaton des ndétermnées Intégrté de A [( ) s A ntègre Fonctons polynomales Morphsme d évalutaton

2 Sot A un anneau untare. Nous généralsons c la noton de polynôme à une ndétermnée sur A en somme A [ au cas de pluseurs ndétermnées ndexées par un ensemble quelconque (non vde) typquement f; :::; ng, N... La A-algèbre A ( ) 2I Sot I un ensemble non vde, qu va servr à ndcer nos ndétermnées. On sat qu un polynôme à une ndétermnée s écrt P 2N où les sont presque tous nuls. S on veut étendre cec à des ndétermnées ( ) 2I, on posera naturellement P 2N I Q où 2 A est le coe cents de P assocé au I-uplet, avec les à support n. Pour dé nt le produt Q 2I, l faut que les soent presque tous nuls, ce qu s écrt 2 N (I). Ans, P peut se dé nr à partr d une famlle ( ) 2 A (N(I) ). 2I. Dé ntons Dé nton. On appelle polynôme sur A (à ndétermnées ndexées par I) toute applcaton de N (I) dans A à support n. On note A ( ) 2I : A (N (I) ) l ensemble des polynômes sur A. On abrégera en A [( ) s l n y a pas ambguïté sur l ensemble I d ndexaton. On ntrodut également le I-uplet élémentare correspondant à l ndce tout seul " 2 N (I) ans que la -ème ndétermnée A " 2 A [( ). Proposton (structure de A-algèbre sur A [( )). A [( ) est naturellement mun d une structure de A-algèbre untare pour l addton et la multplcaton scalare usuelles sur A (?) ans que le produt de Cauchy. Plus précsément : 8 N (I) A P + Q : 7 P ( ) + Q ( ) >< N (I) A a P : 7 ap ( ). N (I) A P Q : P 7 u + v P ( u ) Q ( v ) >: A[() : A D autre part, s P ; :::; P n sont n polynômes dans A [( ), on a P :::P n ( ) P ( u ) :::P n ( u n ) u +:::+ u n 2

3 Démonstraton. Il est clar que + est assocatve, commutatve, et admet l élément neutre De plus, on a faclement la dstrbutvté de sur + : On vér e en n que [(a + b) (P + Q) ( ) (a + b) [P + Q ( ) (a + b) (P ( ) + Q ( )) Ans, A [( ) est un A-module pour les los + et. ap ( ) + aq ( ) + bp ( ) + bq ( ) N (I) A u 7. [a P ( ) + [a Q ( ) + [b P ( ) + [b Q ( ) [a P + a Q + b P + b Q ( ). [ A P ( ) A P ( ) P ( ). La somme P u + v dé nssant le produt est ben ne car est à support n et à valeurs dans N, donc chacune des coordonnées de ne peut se décomposer que d un nombre n de façons Il est mons clar que est assocatve. On calcule de deux manères : [(P Q) R ( ) [P Q R ( w ) + P ( u ) Q ( v ) A R ( w ) + w u + v P ( u ) Q ( v ) R ( w ) u + v + w et [P (Q R) ( ) P ( u ) [Q R u + P ( u Q ( v ) R ( w ) A u + v + w P ( u ) Q ( v ) R ( w ). u + v + w Reste à vér er la dstrbutvté de sur + : [P (A + B) ( ) P ( u ) [A + B ( v ) u + v a P ( u ) (A ( v ) + B ( v )) u + v a P ( u ) A ( v ) + u + v a P A ( ) + P B ( ) u + v a P ( u ) B ( v ) et exactement parel à drote. En n, on s assure que A est ben le neutre pour : h A P ( u ) A v P ( w ) P ( u ). v + w u A [( ) est donc un anneau pour les los + et. 3

4 Montrons que ces deux structures sont compatbles. Soent P; Q deux polynômes et a 2 A. Alors [P (a Q) ( ) P ( u ) [a Q ( v ) u + v et dem pour [(a P ) Q ( ). P ( u ) aq ( v ) u + v a P ( u ) Q ( v ) u + v a [P Q ( ), On montre ensute par récurrence la formule donnant le produt P :::P n. Pour n, la formule est tautologque. Pour n 2, c est la dé nton du produt. Pour n 3, on écrt P :::P n ( ) [(P :::P n ) P n ( ) [P :::P n P n ( u n ) + un + un u +:::+ u n u +:::+ u n P ( u ) :::P n ( u n ). P ( u ) :::P n ( u n ) P n ( u n ).2 Écrture canonque des polynômes Proposton (commutatvté des ndétermnées). Les ndétermnées commutent deux à deux, de sorte que le produt Y a un sens pour 2 N (I). On a plus précsémenent Q 2I 2I. Démonstraton. Il su t d écrre j ( ) ( u ) j ( v ) u + v qu est ndépendant de l ordre entre et j. Ensute, on note que pour n on a n ( u ) ( u ) ::: ( u n ) On peut ans calculer Q 2I ( u ) u +:::+ u n P 6 2I v u Y 2I ( v ) " u + v u +:::+ u n u P 6 2I v u Y 2I u " j " v " + " j " u ::: " un n " u. P 6 2I " v u u. Corollare (écrture canonque des polynômes). 4

5 Tout polynôme P de A [( ) s écrt de façon unque sous la forme P Q où les 2 A sont à support n. On a en fat 2N (I) 2I P ( ). Démonstraton. Il su t d écrre 2 4 P ( ) Q 2N (I) 2I 3 5 ( u ) 2N (I) d où l exstence en posant P ( ). Concernant l uncté, s on a une décomposton P P ( Q ) ( u ) P ( ) u P ( u ), 2I 2N (I) 2N (I) Q 2I, le calcul c-dessus montre que nécessarement P ( ) pour tout. Remarques. Vue l égalté "ndcelle" P ( ), on lassera de côté la notaton fonctonnelle de P : son -ème coe cent sera désormas noté [P, à l nstar de l écrture matrcelle. Usuellement, on note ( ) 2I, et on lasse même tomber toutes les èches. La forme c-dessus s écrt alors P, vore 2N (I) où les a sont presque tous nuls. On dspose alors de la proprété fondamentale h () [8;. En outre, pour un produt de n polynômes, on a l dentté P :::P [P u ::: [P n A un u +:::+ u n (remplacer [P :::P n par sa valeur calculée précédemment). Plus précsément, on a : () ::: (n) u ::: (n) () u ;:::; u u +:::+ u n u n u +:::+ u n () par multdstrbutvté u ::: (n) A en regroupant les termes. u n On notera que, s A est commutatf, on a + +a ; ; et donc A [( ) est commutatve. Le passage de l ntégrté est plus délcat et utlse les somorphsmes usuels exposés en seconde parte. 5

6 2 Isomorphsmes usuels 2. Injecton de A dans A ( ) 2I Proposton. L anneau A (consdéré comme A-algèbre) se plonge canonquement dans l algèbre A [( ) va A, A [( ) : a 7 a où l on a noté le neutre de A [( ) par commodté. Démonstraton. L njectvté s obtent en écrvant le caractère morphque de découle de (a) (b) ) [a [b ) a b, (ab + c) (ab + c) ab + c (a) (b) + (c) (a) (b) + (c), de et de (a x) (a x) (a) (x) a (x) a (x) ( A ) A. 2.2 Injecton de A [( ) dans B [( ) s A, B Proposton. Soent ' : A, B un morphsme njectf d anneaux untares. On notera l mage ' () d un 2 A. Alors la A-algèbre A [( ) s njecte canonquement dans la B-algèbre B [( ) par A [( ), B [( : P ) 7 P. Démonstraton. Pour tros polynômes P; Q; R, on peut toujours écrre ap Q + R A + + a A + A. + En applquant, en utlsant que ' est un morphsme d anneaux, pus en remontant le calcul c-dessus, on vot que est un morphsme d algèbres. L njectvté découle de celle de '. 6

7 Applcaton. Le cas le plus courant est celu de l ncluson R, C, qu permet de vor un polynôme réel dans C a n de le scnder. Par exemple, sot A une matrce réelle nlpotente. Son polynôme caractérstque peut ne pas avor de racnes, à l nstar 2 +, mas en le plongeant dans C on lu trouve n A racne, lesquelle dovent toutes vér er n en térant par A su samment de fos. Cec montre que toutes les racnes de A dans C sont nulles, d où A n dans C [, donc dans R [ par njectvté du plongement R [, C [. Évdemment, ce rasonnement fonctonne en plongeant un corps quelconque dans sa clôture algébrque. On utlsera également cette njecton pour montrer que deux matrces de M n (k) semblables dans une extenson k, K sont en fat semblables dans le pett corps : vor le cours sur les nvarants de smltudes. Il peut également être ntéressant de plonger un anneau ntègre dans son corps des fractons, à l nstar de Z, Q. En e et, l étude des rréductbles de Z [ passe par celle des rréductbles de Q [. Corollare. Soent A et A deux anneaux untares somorphes, mettons A ' A, avec la notaton évdente ' () pour 2 A. Alors la A-algèbre A [( ) et la A -algèbre A [( ) sont canonquement somorphes va A [( ) ' B [( : P ) 7 P. 2.3 Permtutaton des ndétermnées Proposton (permutaton des ndétermnées). Sot I et J deux ensembles non vdes. On note I t J leur réunon dsjonte. On notera par commodté (Y j ) les ndétermnées de A h( j ) j2j et (Z k ) les ndétermnées de A ( k ) k2itj. Alors les A-algèbres A [( ) [(Y j ) et A [(Y j ) [( ) sont tous deux somorphes à A [(Z k ) par l applcaton canonque 8 < A [(Y j ) [( ) ' A [(Z k ) : P 7 P : 2N [[P (I) Y. 2N (J) Démonstraton. Soent P et Q dans A [(Y j ) [( ). Concernant la lnéarté, tout se passe ben : (ap + Q) ; ; ; Pour le produt, on s y prend en deux fos : (P Q) ; ; ; [[ap + Q Y [a [P + [Q Y a [[P + [[Q Y a [[P Y + ; ; a (P ) + (Q). [[P Q Y [[P [Q Y [[Q Y [[P [[Q Y 7

8 et (P ) (Q) ; [[P Y Y [[Q ; [[P [[Q + Y + ; ; [[P [[Q + Y + ; ; [[P [[Q Y. Montrons mantenant l njectvté : (P ) ) ;2N (I) N (J) [[P Y ) 8 2 N (I) ; 8 2 N (J) ; [[P ) 8 2 N (I) ; [P ) P. En n, pour la surjectvté, l su t de noter que N (ItJ) est en bjecton avec N (I) N (J) va 7 ji ; jj. Ans, tout R 2 A [(Z k ) s écrt R 2N (ItJ) Z Cec conclut les vér catons. 2N (ItJ) ji Y jj 2N (I) 2N (J) ; 2N ; Y A A. 2N (J) On notera par conséquent nd ; Y A ; Y ; Y ; ; Y ; Y selon que l on consdère le polynôme dans A [( ), A [(Y j ) ou A [(Z k ). 2.4 Réndextaton des ndétermnées Proposton (réndexaton des ndétermnées). Sot J un ensemble en bjecton avec I, dsons J ' (I). 8

9 Alors les A-algèbres A ( ) 2I et A h ( j ) j2j sont canonquement somorphes par : ( A h( j ) j2j A ( ) 2I P2N 7 P (J) 2N ' (J) où l on a noté ' Y 2I '(). Démonstraton. Comme toujours, on y va la tête haute... La lnéarté : (ap + Q) [ap + Q ' (a [P + [Q ) ' a [P ' + [Q ' a (P ) + (Q). La multplcatvté : (P Q) u [P Q ' [P u [Q v ' u+v u+v u+v [P u [Q v (u+v)' [P u [Q v u' v' [P u u' [Q v v' v (P ) (Q). L untarté : () ' Y '() Y Y. 2I 2I 2I Pour obtenr l njectvté, l faut tout d abord remarquer que les ' sont dstncts quand vare dans N (J) : ' ' ) Y 2I '() Y 2I '() ) 8 2 I; '() '() ) 8j 2 J; '(' (j)) '(' (j)) ) 8j 2 J; j j ). Ans, (P ) ) [P a ' ) 8 2 N (J) ; [P ) P. 9

10 La surjectvté découle de 2N (I) 2N (J) ' 2N (J) ' A. La dernère proposton nous dt que l on peut se ramener au cas où I est un ensemble de référence de cardnal xé. On prend naturellement la "sute" des cardnaux (@ ) ndcée par les ordnaux. Par exemple, lorsque I est n de cardnal n, on prend comme ensemble de réréférence le n-ème cardnal n f; :::; n g. Alors N (I) N I N n, donc tout polynôme P de A [ ; :::; n s écrt P ;:::; n :::n n ( ;:::; n)2n n où les ;:::; n sont à support n. On notera un léger abus de notatons : le produt carthésen étant dé n comme un espace de fonctons, par exemple N n : N n, N n est pas ensemblstement égal à N, ben que l on dspose d une bjecton évdente. Ces quatre somorphsmes par alleurs complètement naturels, l faut s en convancre étant acqus, on peut passer à l ntégrté de A [( ). 2.5 Intégrté de A [( ) s A ntègre A s njectant dans A [( ), une condton nécessare pour avor l ntégrté de A [( ) est évdemment que A sot ntègre. La récproque se trouve être vrae. Proposton. S A est ntègre, alors l algèbre A [( ) est ntègre. Démonstraton. On part d une relaton P Q où P et Q sont des polynômes. Regroupons toutes les ndétermnées j qu apparassent dans P et Q, lesquelles sont en nombre n, et notons J le sous-ensemble n de I qu les ndce. L égalté P Q peut donc se vor dans A h( j ) j2j en remontant les njectons permutaton h réndextaton A h( j ) j2j, A h( j ) j2j h( k ) k2 InJ ' A ( l ) l2jt InJ ' A ( ) 2I. On est donc ramené au cas où I n. De plus, vu l somorphsme A [ ; :::; n [ n+ ' A [ ; :::; n+, l su t de regarder le cas où I est rédut à un élément. Notons l ndétermnée correspondante. Dans l égalté P Q, s P P p p et Q P q j q j j sont non nuls, leurs degrés p et q sont, d où P Q p+q P () +jp+q

11 3 Fonctons polynomales Morphsme d évalutaton On consdère A une A-algèbre untare. Rappelons que cela ndut un morphsme d anneaux A A :. a 7 a A S A est une algèbre non nulle sur un corps, par exemple A M n (K) ou A K [, l est facle de vor que est njectf (d où la notaton ). Mas cela est faux en général : consdérer un anneau A non ntègre, dsons ab avec a et b non nuls, et A une algèbre de neutre a, par exemple A A ( a). L mage de a modulo ( a) est clarement le neutre A, mas alors l mage de b par est ab. Par exemple, en regardant a 3 et b 4 dans A Z 2Z, l déal consdéré s écrt ( a) ( 2) (2), de sorte que l algèbre A se rédut à Z 2Z (selon la parté des éléments de A). Un argument de cardnaux su rat pour conclure à la non njectvté de. Cec étant dt, sot P P un polynôme de A [( ) et a un I-uplet d éléments de l algèbre A. On peut leur assocer un élément de A en évaluant P en a,.e. en donnant aux ndétermnées la valeur spécale a pour tout. On dspose ans d une applcaton polynomale (pas d accent crcon exe sur l adjectf ) ep : A (I) A a 7 P a et d un morphsme d évaluaton (ou de spécalsaton) A [( ) A Eval a : P 7 P a Par exemple, pour A A [( ) et a, on trouve ep P. Cec just e la notaton P () pour un polynôme P à une ndétermnée : cela dt, cette notaton a l énorme nconvénent que l on peut rapdement confondre le polynôme formel P () avec le scalare P (x) où x est un pont donné, surtout dans les premers Proposton. S A est ntègre n n et njectf, alors P e est njectf. Eval a est un morphsme d algèbres untares. Démonstraton. En prenant les ndétermnées qu apparassent dans P, on se ramène au cas I n. Il s agt donc de montrer que s P 2 A [ ; :::; n vu en tant que foncton polynomale s annule sur A n tout enter, alors P est le polyôme nul. Le cas n est mmédat : on plonge A dans son corps des fractons K où P (en n, son plongé...) admet une n nté de racnes (A est n n ), d où la nullté du plongé et P. Dans le cas général, en consdérant l somorphsme A [ ; :::; n ' A [ ; :::; n [ n, on peut toujours écrre P ;:::; n ;:::; n :::n n ;:::; n ;:::; n ; {z } :P ( ;:::; n ) :::n n A n P ( ; :::; n ) n Tuons la dernère varable en évaluant en n a pour un a non nul dans A (possble car A est ntègre). Par hypothèse, le polynôme à n ndétermnées P P ( ; :::; n ) a s annule sur A n, donc est nul par récurrence, ce qu s écrt ;:::; n ; :::n n a, ;:::; n

12 ou encore ;:::; n ;a pour tout ( ; :::; n ; ), d où ;:::; n pour tout ( ; :::; n ),.e. P. Notons f l évaluaton en a pour alléger les notatons. P La lnéarté de f étant évdente, l s agt de vér er P f (P Q) f (P ) f (Q) pour deux polynômes Q P. Cela n est que du pur calcul formel : f (P Q) + A + A a a a f (P ) f (Q). Évdemment, on n ouble pas le caractère untare, n est-ce pas? De toute façon, l su t de dre que c est trval parce que ça l est vrament Remarques. Le premer pont nous dt qu l est nutle de dstnguer polynômes et fonctons polynomale (sous les bonnes hypothèses). Le cas le plus courant est celu de A A un corps n n, par exemple A R ou C. On notera par conséquent toujours P ( a ) au leu de P e ( a ), quand ben même P e ne serat pas njectf. Le second pont est très utle en algèbre lnéare lorsque l on parle de polynômes d endomorphsmes. Le cadre est alors A k un corps et A L (E) où E est un k-ev. Noter tout de sute que le neutre A de L (E) est l dentté Id E et non la foncton contante égale à, qu n a aucun sens ( peut-l appartenr à E?). La proprété sur le produt permet alors d écrre des choses agréables comme " ny n # Y ny (u Id) ( ) (u) (u Id) (u n Id) ou encore P (u) Q (u) P Q (u) QP (u) Q (u) P (u). On renvot pour une utlsaton de ces formules à l exercce de la premère feulle sur les polynômes (qu porte sur le caractère scndé et les opérateurs de dérvatons), ans qu au cours sur les nvarants de smltudes (réducton de Frobenus). 2