Compléments de mathématiques

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1 Statut provincial : 201-EED pondération : bloc de l établissement préalable : Compléments de mathématiques L objet et la place du crs dans le programme Les mathématiques jent un rôle de premier plan dans la formation des futurs scientifiques. Les différents crs de mathématiques contribuent, chacun à leur façon, à développer cette formation. Les crs Compléments de mathématiques et Calcul différentiel se font concurremment lors de la première session pr le profil Sciences pures et appliquées. Dans le présent crs, l'utilisation d'tils technologiques (calculateur graphique logiciel de calcul symbolique) permettra de mieux intégrer les aspects numériques, graphiques et symboliques, et d'établir des liens entre les deux crs de mathématiques. De plus, par l étude des probabilités et des procédés itératifs, l étudiant sera mis en contact avec des modèles qui occupent une place grandissante dans notre société. La compréhension des concepts ainsi que l amélioration globale de la démarche mathématique seront privilégiées dans ce crs. Dans cet esprit, une insistance sera portée sur la familiarisation avec certaines méthodes de preuve, ainsi qu avec différentes stratégies de résolution de problèmes. Ts ces facteurs convergent vers une plus grande autonomie de l étudiant tant sur le plan mathématique que sur le plan de l apprentissage. Les objectifs généraux du crs 1. Les connaissances : l étudiant doit 1.1 connaître, comprendre et savoir appliquer les divers concepts liées à l étude des polynômes, des nombres complexes, des probabilités et des procédés itératifs; 1.2 connaître et utiliser correctement les définitions, la terminologie, le symbolisme et les conventions relatives à l étude des polynômes, des nombres complexes, des probabilités et des procédés itératifs; 1.3 connaître et savoir utiliser certaines méthodes de preuve : preuve directe, preuve par l absurde, preuve par induction; 1.4 connaître les étapes de résolution d un problème : comprendre le problème, concevoir un plan de résolution, mettre ce plan en action et faire un retr sur sa solution; 1.5 connaître et savoir utiliser des stratégies de résolution de problèmes; 1.6 connaître et savoir utiliser les fonctions de base d'un til technologique (calculateur graphique logiciel de calcul symbolique); 1.7 savoir situer dans un contexte historique, le développement des systèmes de nombres, l étude des zéros d un polynôme et le développement de la théorie des probabilités. 2. Les habiletés : l étudiant doit pvoir 2.1 lire et comprendre les textes mathématiques proposés dans le crs; en particulier, lire soigneusement et interpréter correctement les problèmes exercices smis; 2.2 développer son sens de l observation et son intuition afin de pvoir émettre une conjecture et comprendre son rôle dans l activité mathématique; 2.3 construire et interpréter correctement diverses représentations graphiques; 2.4 construire des modèles mathématiques correspondant à des situations données; 2.5 reconnaître hypothèse et conclusion, implication et équivalence; pvoir faire une preuve et juger de sa validité; 2.6 choisir et appliquer diverses stratégies de résolution de problèmes, en employant si nécessaire un til technologique, et faire un retr critique sur la solution d un problème; 2.7 rédiger une solution à un problème selon un dérlement logique, clair et complet, dans un français convenable, tt en employant correctement le symbolisme et la terminologie mathématiques ainsi que les notations reconnues; 2.8 relier, aussi svent que possible, avec les moyens appropriés, les aspects numérique, symbolique et graphique qui se présentent dans une démarche mathématique; Collège de Maisonneuve 1 Mathématiques-EED

2 2.9 établir des liens entre les notions vues dans ce crs dans d autres crs du programme utiliser un til technologique pr explorer les concepts mathématiques présentés en EEA et en EED. 3. Les attitudes : ce crs doit amener l étudiant à 3.1 développer sa créativité et cultiver sa curiosité intellectuelle; 3.2 être conscient de l importance d améliorer ses processus d apprentissage et se responsabiliser face à cette tâche; 3.3 développer sa capacité de travailler en équipe dans le respect des autres; 3.4 développer une rigueur intellectuelle personnelle et un sci d être clair, précis et méthodique autant dans ses écrits que dans ses communications verbales; 3.5 comprendre l importance de développer une compétence en résolution de problèmes et accepter d être confronté à des problèmes où la recherche de solutions est exigeante; 3.6 établir et maintenir sa confiance face aux activités de nature mathématique et se valoriser dans l effort; 3.7 être réceptif à l idée d utiliser ses connaissances mathématiques dans ts les crs de mathématiques et de sciences du programme; 3.8 prendre conscience de l importance des mathématiques en sciences et de leur contribution particulière à la formation intellectuelle. 3.9 afficher une verture d'esprit et exercer un sens critique quant à l'utilisation des technologies lors de résolution de problèmes. Les objectifs spécifiques (le contenu) Remarques Les éléments en italique sont des éléments d enrichissement qui peuvent être cverts au choix du professeur. Des notes historiques seront présentées au moment approprié tt au long du crs. Polynômes et nombres complexes (20 périodes) Définitions et résultats élémentaires relatifs aux polynômes L étudiant doit pvoir... énoncer la définition d un polynôme et identifier son degré, ses coefficients et son coefficient dominant évaluer directement un polynôme P(x) pr une valeur x égale à a énoncer et utiliser la définition d un zéro de polynôme et le repérer graphiquement effectuer les opérations élémentaires sur les polynômes (+,, x, ) énoncer et utiliser l algorithme de division énoncer et utiliser la définition d égalité de deux polynômes énoncer et utiliser la définition de facteur d un polynôme établir et utiliser le lien entre les notions de facteur et de zéro d un polynôme énoncer et utiliser la définition de l ordre de multiplicité d un zéro établir et utiliser le lien entre le degré d un polynôme et le nombre maximal de ses zéros énoncer, démontrer et utiliser le théorème du reste effectuer une division synthétique où le diviseur est un polynôme de degré un et l utiliser pr évaluer P(a) mathématiser des situations impliquant des polynômes Collège de Maisonneuve 2 Mathématiques-EED

3 Aspect graphique des polynômes Localisation des zéros réels d un polynôme produire et observer les tracés de crbes polynomiales de différents degrés et conjecturer le nombre possible de zéros, d extremums, de points d inflexion et le comportement aux infinis prver et utiliser les formules pr déterminer les zéros des polynômes de degré un deux utiliser la division synthétique pr déterminer un majorant (minorant) de l ensemble des zéros positifs (négatifs) déterminer la parité du nombre de zéros réels dans l intervalle [a, b] suivant les signes de P(a) et de P(b) déterminer la parité du nombre de zéros réels dans l intervalle ], 0] et [0, [ suivant les signes du coefficient dominant et de la constante du polynôme concerné Nombres complexes reconnaître les formes cartésienne et trigonométrique d un nombre complexe et passer d une forme à l autre énoncer et utiliser la définition d égalité entre deux nombres complexes énoncer et utiliser la définition de conjugué effectuer les opérations sur les nombres complexes prver et utiliser la formule quadratique à l aide de nombres complexes interpréter géométriquement z, z, z, z, 1 /z, z + w, z w, z w, z /w et z w dans le plan d Argand énoncer, prver et utiliser certaines propriétés des notions de conjugué et de module énoncer et utiliser le théorème de de Moivre Nature des zéros d un polynôme Méthodes d estimation des zéros réels d un polynôme énoncer le théorème fondamental de l algèbre énoncer, prver et utiliser le résultat relatif aux zéros imaginaires pr un polynôme à coefficients réels énoncer et utiliser le résultat relatif aux zéros rationnels pr un polynôme à coefficients entiers utiliser la méthode de bissection pr estimer des zéros réels d un polynôme résdre des problèmes impliquant la recherche de zéros réels pr des polynômes de degré inférieur égal à cinq Collège de Maisonneuve 3 Mathématiques-EED

4 Analyse combinatoire et probabilités (28 périodes) L étudiant doit pvoir... Vue globale établir le lien entre probabilité et statistique expliquer le rôle de la statistique dans la méthode scientifique distinguer le modèle déterministe du modèle probabiliste Définitions et résultats de base énoncer et utiliser les définitions d expérience aléatoire, d espace échantillonnal, d événement, d événement impossible et d événement certain décrire, pr une expérience aléatoire simple, l espace échantillonnal et un événement définir et effectuer les opérations sur les événements définir et identifier des événements incompatibles représenter graphiquement, à l aide de diagrammes de Venn, différents événements énoncer la définition axiomatique de la fonction de probabilité énoncer et utiliser certaines propriétés de la fonction de probabilité Approche empirique énoncer les définitions de fréquence relative et de fréquence limite identifier les différentes étapes de la méthode Monte Carlo et faire le lien entre cette méthode et la fréquence limite construire et utiliser des modèles physiques informatiques pr estimer des probabilités Analyse combinatoire utiliser les principes fondamentaux du dénombrement utiliser la notation factorielle utiliser les formules de permutation (éléments distincts non) et de combinaison résdre des problèmes concrets de dénombrement démontrer et utiliser certaines identités combinatoires Équiprobabilité reconnaître les espaces échantillonnaux équiprobables calculer des probabilités en utilisant la définition classique de probabilité construire un modèle géométrique à une deux dimensions pr résdre un problème de probabilité Probabilité conditionnelle et indépendance énoncer et utiliser la définition de probabilité conditionnelle utiliser le principe de multiplication utiliser le théorème de Bayes énoncer et utiliser la définition d événements indépendants résdre des problèmes concrets de probabilité énoncer et utiliser les définitions de variable aléatoire et d espérance mathématique Collège de Maisonneuve 4 Mathématiques-EED

5 Procédés itératifs (17 périodes) L étudiant doit pvoir... Suite énoncer la définition de suite conjecturer, dans des cas simples, le terme général d une suite à partir d une observation des premiers termes conjecturer le terme général d une suite de nature polynomiale à l aide d un système d équations définir une suite de manière récurrente (factorielles, suite arithmétique, suite géométrique,...) reconstituer une suite définie de manière récurrente (suite de Fibonacci, équation aux différences finies de premier ordre, triangle de Pascal,...) effectuer le passage d une suite définie de manière récurrente à une suite définie au moyen de son terme général (suite arithmétique, suite géométrique et équation aux différences finies de premier ordre,...) en utilisant le principe d induction résdre des problèmes concrets en utilisant des suites déterminer la somme des termes d une suite arithmétique, d une suite géométrique déterminer la somme des termes d une suite géométrique infinie de raison non nulle inférieure à un en valeur absolue. utiliser des polynomes pr analyser des suites Méthode de Newton utiliser la méthode de Newton pr calculer les zéros d un polynôme et d une fonction différentiable Aspect graphique de compositions itérées de fonctions énoncer les définitions de système dynamique et d orbite illustrer géométriquement la composition itérée des fonctions : f(x) = x, f(x) = x 2, f(x) = cos x, f(x) = ax + b, f(x) = x + (1/x) (nombre d or), f(x) = (x + (N/x))/2 (calcul de la racine carrée de N), f(x) = a x 2 + bx + c (introduction au chaos), f(z) = z 2 + c (ensembles de Julia) interpréter graphiquement et algébriquement des notions de point fixe, de point fixe attracteur et de point fixe répulsif calculer algébriquement les points fixes de certaines compositions récurrentes de fonctions directement à l aide de la méthode de Newton Ateliers Premier contact Aspect graphique des polynômes Méthode de Monte- Carlo (8 périodes au minimum) L étudiant doit pvoir, en se servant d'un til technologique (calculateu graphique logiciel de calcul symbolique),.... reconnaître et utiliser les principales fonctionnalités de son til technologique. représenter graphiquement une fonction polynomiale. vérifier graphiquement les résultats élémentaires relatifs aux polynômes. estimer les zéros réels par la méthode de bissection. trver les nombres critiques, les extremums et les points d'inflexion, en représentant graphiquement les fonctions dérivées premières et secondes. simuler différentes expériences probabilistes au moyen des fonctionnalités de son til technologique, y compris les fonctionnalités de programmation. comparer les résultats donnés par les trois méthodes d'estimation d'une probabilité : subjective, empirique et classique Collège de Maisonneuve 5 Mathématiques-EED

6 Méthode de Newton et procédés itératifs. estimer les zéros réels d'une fonction différentiable par la méthode de Newton. rechercher le terme général d'une suite. calculer des sommations finies et infinies. illustrer graphiquement la composition itérée de fonctions. construire des crbes fractales Autre atelier au choix. utiliser d'autres fonctionnalités de son til technologique. reconnaître et construire les graphiques des principales fonctions algébriques et transcendantes. effectuer l'analyse complète de fonctions algébriques. résdre des problèmes d'optimisation. effectuer des opérations sur les nombres complexes et visualiser les transformations géométriques correspondantes Évaluation L évaluation sommative de 100 points se fait dans le cadre suivant : un minimum de 3 examens durant la session; un maximum de 25 points pr un examen; entre 20 et 35 points pr d autres formes d évaluation (devoirs, travaux, rapports d'ateliers). Collège de Maisonneuve 6 Mathématiques-EED