L analyse des correspondances multiples - Version simple: - - sans pondération des lignes - Sandrine Pavoine

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1 L analyse des correspondances multiples - Version simple: - - sans pondération des lignes - Sandrine Pavoine Cours MNHN 22 octobre

2 Introduction 2

3 Introduction Cette analyse s apparente à la fois à l analyse d un tableau et à l analyse de plusieurs tableaux. On s intéresse à un ensemble de variables qualitatives et à des individus. Exemple: Couleur des yeux Couleur des cheveux Genre Individu 1 bleu brun Femme Individu 2 vert blond Femme Individu 3 marron blond Homme Individu 4 marron brun Homme Etc. 3

4 Introduction Objectif: Décrire les individus grâce aux variables. On discrimine donc les individus par leurs caractéristiques. Cela permet aussi de trouver des associations (correspondances) entre les variables qualitatives. Des variables qualitatives associées (ou qui se correspondent) discriminent les individus de la même façon. Pour information: En français, on parle souvent de variables qualitatives (ou nominales ou catégorielles) et de leurs modalités (ou attributs ou classes) En anglais: Qualitative (nominal or categorial) variables and their attributes (or levels) 4

5 Introduction Deux façons d écrire le tableau: altit deniv cloiso altit.1 altit.2 altit.3 deniv.1 deniv.2 deniv.3 cloiso.1 cloiso.2 cloiso altit: importance of the altitudinal area inhabited by bears, a factor with levels: 1 less than 50% of the area between 800 and 2000 meters; 2 between 50 and 70%; 3 more than 70% deniv: importance of the average variation in level by square of 50 km2, a factor with levels: 1 less than 700m; 2 between 700 and 900 m; 3 more than 900 m cloiso: partitioning of the massif, a factor with levels: 1 a great valley or a ridge isolates at least a quarter of the massif; 2 less than a quarter of the massif is isolated; 3 the massif has no split 5

6 Introduction Tableau disjonctif complet: altit.1 altit.2 altit.3 deniv.1 deniv.2 deniv.3 cloiso.1 cloiso.2 cloiso En anglais: dummy variables 6

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8 Un critère de maximisation: On cherche des axes qui soient orthogonaux et qui, successivement, maximisent la somme des rapports de corrélation (variance inter-classes/variance totale) pour l ensemble des variables Le rapport de corrélation: y=(y 1,,y i,,y I ) est un vecteur qui contient les coordonnées des individus Chaque variable qualitative sépare les individus dans des classes. On calcule la moyenne des coordonnées par classe. La variance pondérée de ces moyennes est la variance inter-classe. Pondération uniforme poids d une classe= nombre d individus présents dans la classe / (nombre total d individus). La variance totale est simplement la variance de toutes les coordonnées (sans considération des classes). 8

9 Exemple library(ade4) data(aviurba)?aviurba dat <- aviurba$traits row.names(dat) <- aviurba$species.names.fr T <- acm.disjonctif(dat) colsums(t) poidsclasses <- colsums(t)/nrow(t) feed.hab.insect feed.hab.grani feed.hab.omni feed.strat.ground feed.strat.aerial feed.strat.foliage breeding.ground breeding.building breeding.scrub breeding.foliage migratory.resident migratory.migrant

10 coa1 <- dudi.coa(t) acm1 <- dudi.acm(dat) # On n interprète pas les valeurs propres!! scatter(coa1) scatter(acm1) 10

11 Exemple s.label(acm1$li) s.label(acm1$co) 11

12 scatter(acm1) 12

13 acm1 Duality diagramm class: acm dudi $call: dudi.acm(df = dat) $nf: 8 axis-components saved $rank: 8 eigen values: vector length mode content 1 $cw 12 numeric column weights 2 $lw 40 numeric row weights 3 $eig 8 numeric eigen values data.frame nrow ncol content 1 $tab modified array 2 $li 40 8 row coordinates 3 $l row normed scores 4 $co 12 8 column coordinates 5 $c column normed scores other elements: cr 13

14 Analyse du premier axe: Rapport de corrélation pour la première variable: dat[,1] [1] omni omni omni grani grani grani insect insect insect insect [11] insect insect omni insect insect insect insect insect omni insect [21] insect insect insect insect insect insect grani grani grani grani [31] grani grani grani grani grani insect omni omni omni omni Levels: insect grani omni table(dat[,1]) insect grani omni nrow(dat) [1] 40 Coordonnée moyenne par classe: moy <- tapply(acm1$l1[,1], dat[,1], mean) Moyenne pondérée de ces moyennes: moy[1]*19/40+moy[2]*12/40+moy[3]*9/40 0! Variance pondérée de ces moyennes: VARINTER <- moy[1]^2*19/40+moy[2]^2*12/40+moy[3]^2*9/40 Variance totale: VARTOTALE <- var(acm1$l1[,1])*39/40 1! 14

15 Rapport de corrélation pour le premier axe de l ACM et la première variable qualitative: VARINTER/VARTOTALE acm1$cr RS1 RS2 RS3 RS4 feed.hab feed.strat breeding migratory RS5 RS6 RS7 RS8 feed.hab feed.strat breeding migratory

16 table(dat$feed.hab, dat$migratory) resident migrant insect 6 13 grani 12 0 omni 5 4 inertia.dudi(acm1, col=true)$col.abs[,1:2] Comp1 Comp2 feed.hab.insect feed.hab.grani feed.hab.omni feed.strat.ground feed.strat.aerial feed.strat.foliage breeding.ground breeding.building breeding.scrub breeding.foliage migratory.resident migratory.migrant

17 inertia.dudi(acm1, row=true)$row.abs[,1:2] Axis1 Axis2 Busard cendre Faucon crecerelle Mouette rieuse Pigeon domestique Tourterelle des bois Tourterelle turque Coucou gris Martinet noir Alouette des champs Hirondelle de cheminee Hirondelle de fenetre Bergeronnette printaniere Troglodyte Traquet tarier Traquet patre Rougequeue noir Rougequeue a front blanc Rossignol philomele Merle noir Hypolais polyglote Fauvette des jardins Fauvette a tete noire Pouillot fitis Pouillot veloce Mesange bleue Mesange charbonniere Bruant proyer Bruand zizi Moineau domestique Moineau friquet Pinson des arbres Verdier Chardonneret elegant Linotte melodieuse Serin cini Etourneau sansonnet Loriot jaune Pie bavarde Chouca des tours Corneille noire

18 Dans l ACM on interprète plus les axes que les valeurs propres. Exercice : Regarder tous les rapports de corrélations pour savoir quelles variables contribuent à quels axes. Représenter plus d axes si nécessaire pour voir les structures portées par chaque variable. En déduire des associations entre variables. 18

19 Les mathématiques (pour information): X est le tableau disjonctif complet. D m =diag(poids des classes, pour toutes les variables) Pondération uniforme poids d une classe= nombre d individus présents dans la classe / (nombre total d individus). Exemple: Couleur des yeux Couleur des cheveux Genre Individu 1 bleu brun Femme Individu 2 vert blond Femme Individu 3 marron blond Homme Individu 4 marron brun Homme Poids de la classe «yeux bleus» = ¼; «yeux marron» = 2/4= ½. Rq. Dans l acm les poids des colonnes ($cw) sont en fait égaux au poids des classes / nombre de variables. Dans l exemple ci-dessus il y a 3 19 variables.

20 Les mathématiques (pour information): Le tableau central de l analyse combine X et D m : Z XD 1 1 m nm z ij = n/n j -1 si l individu i appartient à la classe j et =-1 sinon. m : le nombre de modalités; v : le nombre de variables n : le nombre de variables; n j : nombre d individus dans la classe j D Z D ZD 1 1/2 t 1/2 t v m n m UΛU Λ contient les valeurs propres (matrice diagonale) Les coordonnées des lignes sont données par 1 v XD 1/2 m U celles des colonnes par vd U 1/2 1/2 m 20