Effet d un amortisseur non linéaire accordé sur un profil d aile en flottement

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Benjamin Duquette
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1 Effet d un amortisseur non linéaire accordé sur un profil d aile en flottement GDR DyNoLin 2016 A Malher 1, C Touzé 1, O Doaré 1, G Habib 2 et G Kerschen 2 11 Octobre IMSIA, ENSTA ParisTech, Université Paris-Saclay 2 LTAS-S3L, Department of Aerospace and Mechanical Engineering, Université de Liège

2 Introduction

Amortisseurs à masse accordée Structure primaire Amortisseur à masse accordée (TMD) Les TMDs sont efficaces pour des systèmes primaires linéaires sur

sont efficaces qu à partir d un seuil d énergie Un amortisseur combinant un NES et un TMD, appelé NLTVA, a été étudié 1 et a montré son efficacité sur

3 Amortisseurs à masse accordée Structure primaire Amortisseur à masse accordée (TMD) Les TMDs sont efficaces pour des systèmes primaires linéaires sur une faible gamme fréquentielle Ces limitations peuvent être dépassées à l aide d amortisseurs purement non linéaires appelés NES, mais les NESs ne sont efficaces qu à partir d un seuil d énergie Un amortisseur combinant un NES et un TMD, appelé NLTVA, a été étudié 1 et a montré son efficacité sur différents systèmes primaires non linéaires 1 R Viguié et G Kerschen (2009) Journal of Sound and Vibration Hermann Frahm Jacob Pieter Den Hartog

4 Instabilité de ﬂottement Exemples de ﬂottement d aile 2

5 Table des matières 1 Introduction 2 Modèle aéroélastique 3 Analyse de stabilité linéaire 4 Régime post-critique 5 Conclusion 3

6 Modèle aéroélastique

7 Couplage entre le profil et le NLTVA On considère que les cycles limites proviennent de non linéarités structurelles M a L c h (k h, k h3 ) U α h (k, k 3 ) l c α c (k α, k α3 ) x Amplitude des cycles limites (k h3, k α3 ) < 0 Effets désirés du NLTVA Décaler la vitesse de flottement U f Diminuer l amplitude des cycles limites U U f U f Assurer la supercriticalité 4

8 Équations du système couplé Profil-NLTVA U M a α h (k, k 3 ) L c h l c α c (k h, k h3 ) (k α, k α3 ) x Équations du mouvement M S α 0 ḧ S α I α 0 α 0 0 m ẍ k h + k k l k k l k α + k l 2 k l k k l k + h α x = c h + c c l c c l c α + c l 2 c l c c l c L M a 0 ḣ α + ẋ k h3 h 3 + k 3 (h x lα) 3 k α3 α 3 + k 3 l(x y + lα) 3 k 3 (x h + lα) 3 Avec L = ρ S U 2 π(α + ḣ/u) et M a = e L 5

9 Paramètres du NLTVA Paramètres linéaires Rapport de masse ϵ = m/m -> choisi égal à 5 % Position du NLTVA l -> au bord d attaque Fréquence réduite du NLTVA γ = ω 2 /ω 2 α -> paramètre de contrôle Taux d amortissement du NLTVA ζ = c/m ω α -> paramètre de contrôle Paramètre non linéaire Raideur cubique réduite du NLTVA ξ = k 3/(m ω 2 α) -> paramètre de contrôle Objectifs Décaler la vitesse de flottement U f Assurer la supercriticalité de la bifurcation Réduire l amplitude des cycles limites S α /M b Iα /M b 2 ρ S π/m ρ S e π/m ω h /ω α c α /M b 2 ω α c h /M ω α

10 Analyse de stabilité linéaire

11 Analyse de stabilité linéaire α, h et x de la forme exp(z t) -> le déterminant des équations du mouvement vaut det(b(z)) = a 6 z 6 + a 5 z 5 + a 4 z 4 + a 3 z 3 + a 2 z 2 + a 1 z + a 0 Le système est stable ssi les racines de det(b) ont une partie réelle négative Le critère de Routh-Hurwitz est utilisé pour déterminer leur signe Vitesse d écoulement réduite Ũ ζ = 015 b 5 d c 5 5 e 5 Stable Fréquence réduite du NLTVA γ 1 b 5 = (a 5 a 4 a 6 a 3 )/a 5 > 0, c 5 = b 5 a 3 a 5 b 4 > 0, d 5 = c 5 b 4 c 4 b 5 > 0, e 5 = d 5 c 4 d 4 c 5 > 0, avec b 4 = (a 5 a 2 a 6 a 1 )/a 5, b 3 = a 0, c 4 = (b 5 a 3 b 3 a 5 )/b 5, d 4 = b 3 7

12 Analyse de stabilité linéaire L analyse de stabilité est réalisée pour différents γ et ζ Taux d amortissement du NLTVA ζ Fréquence réduite du NLTVA γ Vitesse réduite de flottement Ũf Sans NLTVA, Ũ f = 093 -> Ũ f est augmentée au maximum de 345 % avec le NLTVA 8

13 Régime post-critique

14 Analyse de criticalité But Déterminer analytiquement la criticalité de la bifurcation et l évolution des cycles limites autour de Ũ f Réduire le système à sa dynamique locale lorsque Ũ est dans le voisinage Ũ f Forme normale d une bifurcation de Hopf dr/dt = λ α (Ũ Ũ f )r + ρ(ξ α, ξ h, ξ)r 3 Cycles limites ρ = 0 ρ > 0 ρ < 0 U U f 9

15 Validation de la solution analytique Profil d aile sans amortisseur, non-linéarité raidaissante αmax (deg) ymax Ũ Solution analytique Continuation Ũ Solution analytique Continuation Ũ f = 0933, la bifurcation est supercritique 10

16 Influence de la nonlinéarité du NLTVA Profil avec NLTVA αmax (deg) ξ = 006 ξ = ξc = ξ = 0217 ξ = 0218 LP 122 LP (a) NS NS 128 Ũ 13 LP 132 ymax ξ = 006 ξ = ξc = ξ = 0217 ξ = 0218 LP 122 LP (b) NS 128 Ũ NS 13 LP

17 Régime post-critique Influence du NLTVA pour un profil raidissant Sans amortisseur Avec NLTVA, ξ = 0 Avec NLTVA, ξ = αmax ymax Ũ Sans amortisseur Avec NLTVA, ξ = 0 Avec NLTVA, ξ = Ũ Vitesse de flottement U f décalée, amplitude des cycles limites diminuée et supercriticalité assurée 12

18 Conclusion

19 Conclusion et perspectives Travail réalisé Analyse de stabilité Optimisation des paramètres de contrôle linéaires Étude non linéaire Perspectives Règle d accordage pour le paramètre non linéaire du NLTVA Influence du NLTVA sur le régime post-critical Inclure un modèle aérodynamique plus réaliste Valider expérimentalement 1 les résultats trouvés 1 S Benacchio et al (2015) Nonlinear Dynamics 13

20 Merci de votre attention

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