Exemple de système asservi CONCEPT DU SCOOTER AUTOBALANCE

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1 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP Raidié des SLCI Uno I (Cone iniial) Uno III Le sooer Uno III es un arfai exemle de sysème asservi qui doi êre néessairemen sable our un bon fonionnemen. L équilibre du sysème es noammen obenu grâe à un sysème gyrosoique oulé à un alulaeur raian les informaions e ransmean les onsignes aux deux moeurs éleriques équian les deux groues roulsion. Exemle de sysème asservi CONCEPT DU SCOOTER AUTOBALANCE On évalue les erformanes d un sysème asservi, modélisé en SLCI, suivan 4 rières riniaux qui son la sabilié, la réision, la raidié e l amorissemen. Si le sysème asservi es sable on eu évaluer la raidié e la réision de elui-i. L objeif de ours es de raeler les élémens inervenan sur la raidié des sysèmes ainsi que les ouils ermean de l évaluer indéendammen des aures rières. - RAPIDITE - DEFINITION La raidié es araérisée ar le ems que me le sysème à réagir à une variaion brusque de la grandeur d'enrée. Ceendan, la valeur finale éan le lus souven aeine de manière asymoique, on reien alors omme rinial rière d'évaluaion de la raidié d'un sysème, le ems de réonse à n%. Dans la raique, on uilise le ems de réonse à 5% ( 5% ), 'es le ems mis ar le sysème our aeindre sa valeur de régime ermanen à ±5% rès e y reser. ±5% de la valeur asymoique Valeur asymoique s() e() u() s() e() u() ±5% de la valeur asymoique Valeur asymoique 5% m Plus les ems de réonse son faibles lus le sysème es raide. 5% Pour les sysèmes osillans on défini aussi le ems de monée ( m ) (ou ems de raideur) qui orresond au ems au bou duquel la réonse asse our la remière fois ar sa valeur finale. Floresan MATHURIN Page sur 6

2 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP - INFLUENCE DE L ORDRE.. Sysème du er ordre Pour une enrée éhelon uniaire e() u(), la réonse emorelle a our exression : s(). e τ.u().a,95..a Tangene à l origine e() a.u() s() Le ems de réonse à 5%, 5% orresond à 3 fois la onsane de ems τ : 5 % 3τ.,63..a Plus la onsane de ems es eie lus le sysème es raide. τ 3.τ.. Sysème du nd ordre Dans le as du sysème du nd ordre, il n exise as de formule simle our aluler le ems de réonse à 5% ar il déend de la valeur du oeffiien d amorissemen e de la ulsaion rore non amorie du sysème. On uilise l abaque i-onre qui donne la valeur du ems de réonse rédui 5%. en fonion du oeffiien d amorissemen ainsi que la valeur du ems de monée rédui m. en fonion du oeffiien d amorissemen. Le ems de réonse minimum es obenu our un déassemen relaif de 5% e qui orresond à un oeffiien d amorissemen de,69,7 : On a alors. 3 our,7. 5 % 5%. m. Coeffiien d amorissemen Pour une même ulsaion rore non amorie e : our << (amorissemen faible), les osillaions son mal amories e le ems de réonse es grand. our,7, le sysème résene un déassemen D faible (D 5%) ave le ems de réonse le lus faible. our, le sysème résene le ems de réonse le lus faible our une réonse sans déassemen. our >>, il n y a as de déassemen mais le sysème es hyer amori don le ems de réonse es rès grand. Pour un même oeffiien d amorissemen, lus augmene lus le ems de réonse à 5% diminue, don lus le sysème es raide. Floresan MATHURIN Page sur 6

3 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP Exemle de la haine de régulaion de l inlinaison du sooer en mode auo-balané : Afin de sabiliser l inlinaison du W() sooer, la grandeur de ommande, u() es en fai élaborée à arir des mesures de ψ& () (réalisée ar le gyromère) e de ψ () (réalisée ar ombinaison de la mesure du gyromère e du endule). - U P () U V () - Pendule gyromère Modèle de omoremen our l asservissemen d inlinaison H () Gyromère v. ψ () Le modèle de omoremen du sysème méanique de fonion de ransfer H () es onnu : ψ ( ) H () ave U() gain du sysème méanique (,4 rad/v) e ulsaion. rore du sysème méanique ( 4, rad/s). On souhaie déerminer les gains v e qui ermeen d obenir : un sysème sable (ondiions vues ours 8 à l aide du rière de Rouh : v. > e. ) > le ems de réonse à 5% du sysème le lus raide ossible our une ulsaion rore 6,5 rad/s (la ulsaion es hoisie elle qu elle soi rohe de elle du sysème méanique,5. 6,5 rad/s). Pour éudier la réonse du sysème il fau d abord déerminer sa FT qui résenée sous. forme anonique, s éri : H() v (. ).. Ave :. (. ). (. ).. v.. v.. (. ).. v.... (. ),5,5 Si,5. alors,5 (. ) 3,5 V/rad,4 Le ems de réonse le lus raide our un sysème du nd ordre es obenu our soi :... v (. ) v.. (. ).,4,7rad/V. 3,5,4 Le ems de réonse du sysème our. (3,5,4 ),5 rad/v.,4 4, 3 3 es de. 3 5 % 5 %, 49s. 6,5 Floresan MATHURIN Page 3 sur 6

4 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP 3 - INFLUENCE DU BOUCLAGE ε() Un sysème asservi eu oujours êre mis sous la E() S() A() forme d un sysème à reour uniaire si l'enrée E() e - la sorie S() son omarables (même dimension). L'avanage raique du boulage es qu il erme de modifier failemen les araérisiques du sysème. S() A() FTBO H() E() A() FTBO 3.. Boulage d un sysème du er ordre Dans le as d un sysème du er ordre A(). Arès boulage on obien : τ. τ. H() ave : τ. τ. τ. e τ τ τ. Le boulage d un sysème ayan une FTBO du er ordre erme : de onserver l ordre du sysème en obenan une FT du er ordre, de diminuer la valeur de la onsane de ems τ du sysème, e qui erme d obenir un ems de réonse lus faible lorsque l on augmene le gain de la FTBO. 3.. Boulage d un sysème du ème ordre Dans le as d un sysème du ème ordre A(). Arès boulage on obien :. FTBO H() FTBO... ( ). ( ). ave : ( ). ( )... ( ).. ( ). ( ). ( ) Le boulage d un sysème ayan une FTBO du ème ordre : erme de onserver l ordre du sysème en obenan une FT du ème ordre, augmene la valeur de la ulsaion rore du sysème lorsque l on augmene le gain de la FTBO, diminue la valeur du oeffiien d amorissemen lorsque l on augmene le gain de la FTBO. Par onséquen : - si rese suérieur à,7, le sysème sera lus raide, - si es inférieur à,7, le ems de monée m sera lus faible mais le ems de réonse à 5% 5% ne sera as foremen meilleur ar le régime ransioire omorera d avanage d osillaions. Floresan MATHURIN Page 4 sur 6

5 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP Exemle de la haine de régulaion de l inlinaison du sooer en mode auo-balané : La onsigne de la régulaion de l inlinaison du hâssis ψ () ar raor à la veriale es noée ψ ( ). ψ () - ε() Correeur C() W() Sysème de sabilisaion H () ψ () Sur le sysème il exise un orreeur de fonion de ransfer C() qui élabore le signal w() (de ransformée de Lalae W()) à arir de l éar ε( ) ψ() ψ(). C () e H () où.,7 rad/v, 6,5 rad/s e,7....,7.,7. Soi : FTBO.H().,77....,64.,3. 6,5 6,5 A arir de la FTBO on eu aluler la FT :.... H4().... H4() (. ). H4() (. ) (.) (. ). On onsae bien que l ordre du sysème es onservé e on a :.. (.). (.)... (. ).. (.). (. ). (. ) L augmenadon du gain diminue le oeffiien d amorissemen de la FT. Par onséquen omme,7 on obien <,7 e le sysème aura un ems de réonse à 5% moins bon arès boulage. Floresan MATHURIN Page 5 sur 6

6 Cours 9 - Raidié des SLCI Lyée Bellevue Toulouse - CPGE MP 4 - INFLUENCE DE LA BANDE PASSANTE DE LA FT La bande assane à -n db orresond à la bande de ulsaion où le gain es suérieur au gain asymoique en régime saique moins n déibels. Pour le sysème du er ordre défini sur la figure de droie, on a ar exemle défini la bande assane à -3dB. En éleronique on aelle e sysème filre asse bas ar la bande assane à -3dB se siue dans les ones de basse fréquene. H(j ) db Courbe asymoique 3dB Log (rad/s) Bande assane à -3dB. Courbe réelle On monre que lus la bande assane de la FT du sysème es imorane lus le sysème sera raide. On monre aussi que la bande assane à -3dB de la FT BP FT(-3dB) es raiquemen égale à la ulsaion de ouure de la FTBO o(ftbo) : BP FT(-3dB) o(ftbo). 5. INFLUENCE DES POLES DOMINANTS DE LA FT Ave N() : numéraeur de H(), i : ôles de H() e n : ordre de H(). La réonse s() d un SLCI déend des ôles de sa fonion de ransfer H(). L ériure en ole de H() donne : S() N() H() E() ( ).( )...( )...( ) i n Si l on solliie e sysème ave une imulsion de Dira en enrée (E() ), la sorie S() a our N() exression dans le domaine de Lalae : S() ( ).( )...( )...( ). i A A Ai An Ce qui donne S() arès déomosiion en ( ) ( ) ( i) ( n) élémens simles. n La ransformaion inverse erme ensuie d obenir la réonse emorelle qui a don exression :.. i. s () A.e n. i e n A.e... A.e... A. Mode Mode Mode i Mode n On onsae ainsi que la réonse s() du sysème orresond à une suerosiion de n modes qui déenden des ôles de la FT. Plus un ôle aura une arie réelle grande e lus il influenera la réonse globale du sysème. Au onraire, lus un ôle aura une arie réelle eie e lus il sera raidemen amori e influenera eu la réonse globale du sysème. Pôles négligeables 6 4 Faeur mini sur la arie réelle des ôles Pôles dominans Par onséquen, lorsque l'on éudie un sysème, on eu se onener de ne rendre en ome que les ôles dominans qui ermeen d obenir un modèle mahémaique lus simle à maniuler qui reflèe les araérisiques riniales du sysème. Im Re Floresan MATHURIN Page 6 sur 6