Contrôle du samedi 1 er octobre 2016 (2 heures) TS1. III. (4 points : 1 ) 2 points ; 2 ) 2 points)

Transcription

1 TS Cotrôle d samedi er octobre 6 ( heres) Préom et om : Note : / I ( poits : ) poit ; ) poit) O cosidère le polyôme 4 P avec ) Démotrer qe por tot ombre complexe o a : P 6 89 III (4 poits : ) poits ; ) poits) ) O pose i i Z x y x y où x et y sot dex ombres réels Exprimer la partie réelle et la partie imagiaire de Z e foctio de x et y O doera les résltats sos forme simplifiée Re Z Im Z i x y ) O pose Z ' où x et y sot dex réels tels qe x ; y ; x iy Exprimer la partie réelle et la partie imagiaire de Z ' e foctio de x et y O doera les résltats sos forme simplifiée e laissat le déomiater comme somme de dex carrés Re Z ' Im Z ' ) E dédire les racies das d polyôme P O doera les résltats sos forme algébriqe simplifiée Répodre par e phrase sas jstifier II ( poits : ) poit ; ) poits) O pose i ) Calcler IV (5 poits : ) poit ; ) poit ; ) poit ; ) poit ; 4 ) poit ; 5 ) poit) O cosidère la site complexe défiie sr par so premier terme et telle qe por tot etier atrel, i O e cherchera pas l expressio de e foctio de ) Das cette qestio, o sppose qe i Qe pet-o cojectrer por la site das ce cas? Répodre par e phrase sas jstifier Commet porrait-o démotrer cette cojectre? O e demade pas de faire la démostratio ) Le ombre 6 est-il réel? Jstifier brièvemet ) Détermier tel qe

2 ) Détermier tel qe 4i 4 ) Exprimer, por etier atrel qelcoqe, e foctio de Etrée : Saisir Iitialisatio : pred la valer v pred la valer Traitemet : Por i allat de à Faire a pred la valer pred la valer v v pred la valer a v FiPor Sortie : Afficher et v 5 ) Le pla complexe P est mi d repère orthoormé direct O,, v O ote V le poit d affixe i Por tot etier atrel, o ote M le poit d affixe Démotrer qe por tot etier atrel, o a VM VM où est réel (idépedat de ) à préciser VI (4 poits : ) poit ; ) poits) O cosidère la site défiie sr par so premier terme et telle qe por tot etier atrel, ) Calcler «à la mai» les premiers termes de la site o «retrer» la site das la calclatrice Cojectrer l expressio de e foctio de O e demade pas de jstifier O répodra iqemet par e phrase sr le modèle sivat à recopier : «O pet cojectrer qe» ) Por tot etier atrel, o pose v E tilisat la site v (o admettra qe por tot etier atrel, est o l), démotrer qe la cojectre émise a ) est vraie V ( poits) O cosidère l algorithme ci-cotre O précise qe totes les variables sot des etiers atrels O e demade pas de le programmer sr calclatrice Faire foctioer l algorithme «à la mai» lorsqe la valer de saisie e etrée est 4 Écrire les valers de et v affichées e sortie ( sel résltat à chaqe fois, sas égalité)

3 Coseil doé à l oral la veille : Utiliser le symbole d éqivalece à bo esciet (éqatios, éqatios, esemble de poit)

4 Corrigé d cotrôle d --6 ) E dédire les racies das d polyôme P O doera les résltats sos forme algébriqe simplifiée Répodre par e phrase sas jstifier I O cosidère le polyôme 4 P avec ) Démotrer qe por tot ombre complexe o a : P 6 89 Posos Q Q Q Q P Doc P 6 89 Les racies das d polyôme P sot i, i, 8 5i et 8 5i O pet vérifier à l aide de la calclatrice e tilisat l applicatio de résoltio des éqatios polyomiales 4 e demadat directemet à la calclatrice de résodre l éqatio das l esemble des ombres complexes O résot l éqatio P E d icoe E E 6 89 (o tilise le résltat d )) o 6 89 O résot séparémet les éqatios et i o i (résltat d cors) O retiedra la méthode qi cosiste à poser Q Beacop d élèves ot écrit : 4 P Q Je ai mis alors ac poit por la qestio Atre méthode effectée par Clémet Robi : Il s agit d e méthode directe, pe mois facile à trover P P P 6 89 Doc P 6 89 Por l éqatio, il s agit d e éqatio d secod degré à coefficiets réels O tilise le discrimiat rédit ' Comme ' ' qi se calcle immédiatemet, l éqatio admet dex racies complexes cojgées q o obtiet grâce ax formles tilisat le discrimiat rédit : 8 5i et 8 5i O e dédit l éqivalece : II E i o i o 8 5i o 8 5i O pose i ) Calcler i i i i i 8i

5 O pet assi tiliser l ideté remarqable v v v v q il fat absolmet coaître ) Le ombre i est-il réel? Jstifier brièvemet 6 est divisible par pisqe la somme de ses chiffres qi est égale à 9 est divisible par Nos allos tiliser le résltat de la qestio ) 6 6 i 67 8i i i i i Z x y x y x iy i Z x y x x x y y x Z i i i iy y (o développe itelligemmet) x x x y Z i y x iy Z i x xy y yx y iy Z i x y xy i x y ) O pose Z ' où x et y sot dex ombres réels tels qe x ; y ; x iy Exprimer la partie réelle et la partie imagiaire de Z ' e foctio de x et y O doera les résltats sos forme simplifiée e laissat le déomiater comme somme de dex carrés 67 4 Or 68 i i (o se réfère a cors sr les pissaces de i ; 67 est divisible par 4) 6 67 O pet doc écrire 8 6 O pet doc affirmer qe le ombre est réel et l o pet même préciser so sige : il est positif O pet égalemet dire qe tote pissace de i d exposat pair doe résltat réel (égal à o à ) La calclatrice est e dépassemet de capacité por 6 et doe résltat pas exact i x y Z ' x iy i x y Z ' x iy Re Z ' xy x Im Z' x y x y y III ) O pose i i Z x y x y où x et y sot dex réels Exprimer la partie réelle et la partie imagiaire de Z e foctio de x et y O doera les résltats sos forme simplifiée i x i x y x iy Z ' x y iy Z ' Z x y (o recoaît qe le mérater est égal à Z défii a ) Re Z xy Im Z x y i x y xy Z ' x y (o tilise le résltat d ))

6 IV O cosidère la site complexe défiie sr par so premier terme et telle qe por tot etier atrel, i O e cherchera pas l expressio de e foctio de ) Das cette qestio, o sppose qe i Qe pet-o cojectrer por la site das ce cas? Répodre par e phrase sas jstifier Commet porrait-o démotrer cette cojectre? O e demade pas de faire la démostratio E calclat les premiers termes, o observe qe i, i, i etc Il semble qe tos les termes de la site soiet égax à i Il semble doc qe por i, la site soit costate O pet démotrer ce résltat par récrrece ) Détermier tel qe O cherche tel qe i i (o e développe srtot pas i i i 5 i 5 ) Détermier tel qe 4i O cosidère l égalité 4i!) i 4i i 4i 4 4 4i i 4 4i i i i 4 i 4i 4i i 4i i 4i 4i i 4i i 4 5i 5i 5i 4 ) Exprimer, por etier atrel qelcoqe, e foctio de i i i i (o tilise les propriété des cojgés : cojgé d e somme et cojgé d prodit) i

7 5 ) Le pla complexe P est mi d repère orthoormé direct O,, v O ote V le poit d affixe i Por tot etier atrel, o ote M le poit d affixe Démotrer qe por tot etier atrel, o a VM VM où est réel (idépedat de ) à préciser Soit etier atrel fixé V a por affixe i [o pet écrire V i ] Le poit M a por affixe et le poit M a por affixe O «calcle» les affixes des vecters VM et VM (otées VM l affixe d vecter) i VM M V VM M V [o pet écrire M et VM et ] M selo la otatio habitelle de i i i i (o tilise le résltat de la qestio précédete) Comme il a été dit, il fat vraimet respecter la otatio de l affixe d vecter et veiller à e pas écrire VM i o VM i comme l ot fait certais élèves Etrée : Saisir Iitialisatio : pred la valer v pred la valer Traitemet : Por i allat de à Faire a pred la valer pred la valer v v pred la valer a v FiPor Sortie : Afficher et v Le miex est de dresser tablea d évoltio des variables i, a,, v Étape Étape Étape Étape Étape 4 i 4 O a doc VM VM O e dédit qe doc VM VM V O cosidère l algorithme ci-cotre O précise qe totes les variables sot des etiers atrels O e demade pas de le programmer sr calclatrice Faire foctioer l algorithme sivat «à la mai» lorsqe la valer de saisie e etrée est 4 Écrire les valers de et v affichées e sortie ( sel résltat à chaqe fois, sas égalité) a v Si l o e fait pas de tablea, o pet préseter les calcls sos la forme sivate Les valers iitiales de et v sot respectivemet et Por i, a pred la valer (valer iitiale de ) ; pred la valer ; v pred la valer 4 Por i, a pred la valer (valer précédete de ) ; pred la valer 7 ; v pred la valer Por i, a pred la valer 7 ; pred la valer 8; v pred la valer 9 Por i 4, a pred la valer 8 ; pred la valer 47; v pred la valer 76 O pet assi préseter aisi mais il fat faire attetio ax égalités i i i i 4 a a a 7 a v 4 v v 9 v 76 O se garde d écrire v a v 4 À la riger, o pet écrire v v a v 4

8 VI O cosidère la site défiie sr par so premier terme et telle qe por tot etier atrel, ) Calcler «à la mai» les premiers termes de la site o «retrer» la site das la calclatrice Cojectrer l expressio de e foctio de O e demade pas de jstifier O répodra iqemet par e phrase sr le modèle sivat à recopier : «O pet cojectrer qe» ) Por tot etier atrel, o pose v E tilisat la site v O travaille e calcl littéral v v (o admettra qe por tot etier atrel, est o l), démotrer qe la cojectre émise a ) est vraie v v v O e dédit qe la site v est e site arithmétiqe de raiso Ue variate cosiste à démotrer qe v v 4 O observe qe,,, 4, 5 etc 4 5 O pet cojectrer qe O tilise la formle explicite doat le terme gééral d e site arithmétiqe O sait doc qe v v U calcl immédiat doe v O e dédit qe v Par coséqet, La cojectre est démotrée