Aperçu des lois qui régissent le monde quantique. Werner Heisenberg Paul Dirac Erwin Schrödinger

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1 Aperçu des los qu régssen le monde quanque Werner Hesenberg Paul Drac Erwn Schrödnger

2 Au delà du déermnsme e du réalsme? Au neau aomque, les los phsques parassen rès dfférenes de ce qu elles son à nore échelle De fa, les phoons e les parcules élémenares, élecrons, proons e neurons, de même que les édfces qu ls consrusen par assemblages mmédas, aomes e molécules, se comporen rès dfféremmen des objes qu peuplen le monde macroscopque S nous n aons prs conscence de ce fa qu asse ardemen, c es parce que la phsque s es, hsorquemen, déeloppée à reculons en paran des modèles aldes à l échelle humane A nore échelle, blles, pendules, amans,, éoluen dans l espace-emps en suan des rajecores ben défnes que des équaons d éoluon permeen de prédre à parr d un nombre suffsan de condons nales, pquemen de poson e de esse L ensemble des neracons mécanques e élecromagnéques formen le corpus de la phsque classque Les los de la phsque classque son déermnses Cela sgnfe que l éoluon de n mpore quel ssème classque peu êre préde aec une précson arbraremen grande pouru que les condons nales soen connues aec une précson «suffsane» On rappelle que la sgnfcaon du mo «suffsane» are selon que le ssème consdéré es chaoque ou non : - S le ssème n es pas chaoque, l'mprécson de la prédcon sera, en mean les choses au pre, une foncon polnomalemen crossane de l'mprécson des données Ans en a--l d une planèe orban auour d une éole fe (c es le cas le plus faorable car ce mouemen es pérodque), d une boule de bllard crculan sans froemen sur la surface plane d un bllard recangulare, crculare ou ellpque ou encore d un pendule smple sans froemen - S le ssème es chaoque, l fau crandre que cee mprécson so épsodquemen une foncon eponenellemen crossane de l mprécson des données Ce sera le cas de la boule de bllard crculan sur un bllard en forme de sade ou du pendule aaché à une corde élasque La dnamque des ssèmes phsques macroscopques, chaoques ou non, es non seulemen déermnse mas encore réalse On enend par là que, même s ces ssèmes son enfermés dans une boîe opaque e scellée, personne ne doue de la réalé objece d un mécansme qu en commande l éoluon Pour ou scenfque réalse, décourr les rouages de ces mécansmes n es qu une queson de emps e de moens epérmenau L mage es suggese d une médecne qu découre le phénomène d éléaon anormale (au-dessus de 37 C) de la empéraure du corps human e appose le erme «nfecon», ce qu es une façon saane d aouer qu on ne comprend pas ce qu se passe Le médecn réalse croî cependan en l esence d un agen responsable, qu l bapse mcrobe, e une fos qu l l a roué, sogne par eermnaon Touefos, la médecne n a pas oujours éé réalse A condon de remoner suffsammen lon dans le emps (en fa pas s lon que cela!), la malade éa perçue, au cho, comme une punon du cel, un masme amban,, le déal de l énuméraon es sans nérê Enre superson e réalsme, un rosème couran, d posse, a u le jour qu, dans le cas de la médecne, s en es enu au fas obserables sans penser à l éenualé d une cause sous-jacene C es cee médecne posse qu a sogné nos arrères grands-parens par raemen du smpôme e non de l agen responsable

3 Le possme a--l une rason d êre en phsque? La queson peu choquer s l on croî dur comme fer, comme le fasa Ensen, qu l ese oujours un élémen de réalé objece, éenuellemen prosoremen hors d aene, régssan l éoluon des ssèmes S le ssème éudé es macroscopque ou le monde es d accord de penser qu l es déermnse e chacun adme, sans effor, que même enfermé dans une boîe nore, l se roue oujours dans cee boîe les élémens de réalé qu en eplquen l éoluon Même s le ssème es chaoque e qu l se compore pseudo-aléaoremen une pare de son emps, personne ne doue que ce comporemen erraque résule, en fa, de l éoluon nsable de quelques arables cachées décran le ssème S le ssème es nanoscopque, le déba change radcalemen A l échelle aomque, les objes se comporen ssémaquemen aléaoremen Par eemple, un noau rado-acf éme des parcules α à des neralles de emps rrégulers e mprédcbles sauf qu ls respecen une lo générale de décrossance moenne eponenelle Les phscens réalses ameraen penser que ce hasard es de la même ene que celu des ssèmes chaoques e qu l se roue à l néreur des noau quelques mécansmes non découers obéssan à une dnamque suffsammen nsable Touefos, les derners décennes du XX ème sècle on monré que cee pse n es sans doue pas la bonne e qu à ce sade, le couran posse défendu par ohr prend une reanche éclaane : dans le monde quanque, le hasard paraî fondamenal e résse à oue enae d eplcaon en erme de arables cachées En d aures ermes, on peu obserer, procéder à des mesures e prédre les probablés d ssue de oue nouelle epérence mas la queson es e resera de de sens de se demander quels mécansmes se cachen derrère ce ndéermnsme radcal La héore quanque es le modèle qu décr correcemen l éoluon des ssèmes à l échelle aomque La compleé du monde quanque Tou ssème quanque es caracérsé par quelques propréés qu le renden réfracare à l'nuon classque : le probablsme, l nerférence, l nrcaon e l ndscernablé Dans l epérence d Young, lorsqu un phoon unque (ou une parcule élémenare quelconque) raerse un ssème de deu fenes éroes e rapprochées, l es mpossble de prédre en oue cerude lequel des nombreu déeceurs placés en aal enregsrera l arrée de la parcule Seule la probablé de déecon aachée à chaque déeceur peu êre calculée a pror e les règles de la mécanque quanque permeen de fare cee prédcon Ce probablsme es essenel e rréducble à oue cause cachée Dans l éa acuel de nos connassances, «Deu semble jouer au dés» Par alleurs, dans l epérence précédene e selon la héore quanque, le seul éénemen à prendre en consdéraon es la déecon de la parcule par celu des déeceurs qu en consere une race sensble e objece Par conre, la queson es de de sens de se demander par quelle ouerure la parcule es réellemen passée : c es, en effe, un nonéénemen qu n a lassé aucune race au neau d une des fenes A ce re, l n a pas à êre prs en consdéraon dans les calculs de prédcon quanque Ces calculs s effecuen, au conrare, en assuman que la parcule emprune ruellemen les deu rajes comme s ls ne formaen qu une seule rajecore superposée pus en calculan, 3

4 selon des règles approprées, le résula de l nerférence enre ces deu possblés S on ene une mesure aulare desnée à or par quelle fene la parcule es réellemen passée, on perurbe le ssème à el pon que l nerférence dsparaî : on ne parle plus du ou de la même epérence Ren ne ressemble plus à un élecron qu'un aure élecron e l es mpossble de les dsnguer en les pegnan de couleurs dfférenes! Deu objes quanques denques e confnés dans une régon de l espace perden oue noon d nddualé La rason en es que la noon de rajecore n ese plus en mécanque quanque C es une conséquence du prncpe d ncerude sur lequel nous aurons à reenr Il en résule que lorsque deu parcules denques, A e, se rapprochen pus s élognen, l es de de sens de se poser la queson de saor qu es A e qu es à la sore La éré es que des parcules denques son ndscernables e qu elles formen ensemble un ssème nséparable Par eemple, deu phoons de même fréquence éms smulanémen par un seul aome son ndscernables dès la nassance e ls doen êre raés par le modèle héorque comme s ls ne formaen qu un seul obje nrqué, quelle que so la dsance qu les sépare Cela rese ra an que le rese de l uners ne perurbe pas leur cohérence nerne De même, deu élecrons prsonners d un noau d hélum formen un ssème ndssocablemen nrqué Ce n es que lorsqu on assemble un nombre suffsan d objes quanques qu on fabrque des objes de dmensons crossanes qu perden progressemen leur cohérence au conac du mleu eéreur Leurs comporemens rejognen alors ceu que prédsen les los de la phsque classque Les prncpes de la mécanque quanque Il ese un modèle héorque qu décr correcemen les phénomènes quanques connus Nous le présenons en adopan la noaon de Drac Il repose sur quelques prncpes que nous présenons nformellemen ) Prncpe d obserablé La phsque quanque ne eu e ne peu répondre qu à des quesons don l ssue es epérmenalemen obserable e mesurable Toue aure sore de queson es consdérée comme ésoérque, mal posée e, de ce fa, de de sens Dans le même ordre d dée, un éénemen qu n a fa l obje d aucune mesure effece do êre consdéré comme un non-éénemen qu ne possède pas de réalé objece Eemple Il es dénué de sens de se demander quelle forme ou quelles dmensons caracérsen l'élecron Précser la forme de l élecron egera en effe de le sonder à l ade d un ssème aulare neemen plus pe que lu, ce qu es nconceable dès l nsan où l élecron es élémenare Par conre, on peu mesurer quelques propréés dscrèes qu le caracérsen, sa charge élecrque ou encore son momen magnéque propre, M On peu ans en dédure ndrecemen son momen angulare propre (spn, S ), en l occurrence +/( ) ou /( ) De fa, le spn d une parcule élémenare ne peu êre ms en édence par oe drece, donc mesuré, que s cee parcule es chargée : un momen magnéque es alors assocé au spn qu lu es drecemen proporonnel Dans le cas des parcules non chargées, l fau raaller auremen, par eemple en noquan les los de conseraon 4

5 Par alleurs, lorsqu une source éme une sue d'élecrons au compe-goues, la queson es de de sens de se demander s'ls possèden, a pror e relaemen à O, le spn +/ ou le spn / La seule nesgaon qu peu êre enée à leur égard es de mesurer cee composane de spn En général, on rouera aléaoremen - donc une fos sur deu en moenne - l'une ou l'aure aleur Touefos ce sera une erreur de penser que cee réponse réèle une aleur préesane Le rôle de la mesure quanque es rès dfféren de celu d une mesure classque : la perurbaon qu elle eerce sur le ssème peu êre ellemen olene qu elle ag comme un érable rage au sor parm oues les aleurs auorsées par le prncpe de l obserable eposé sous peu Quan à la aleur «réelle» du spn à la sore d'une source non préparée, personne ne la connaîra jamas e le fa es que la queson es sans obje Il n' a qu'un cas où la mesure ne perurbe pas l'éa du ssème, c'es lorsque celu-c a éé nenonnellemen préparé dans un éa de spn parculer par rappor à O, par eemple +/ Dans ce cas, la mesure effecuée selon le même ae, O, ne peu que confrmer l'éa de préparaon Le prncpe d'ncerude n'enre en fa en acon que lorsque l'obseraeur mesure une composane qu ne commue pas aec la composane préparée Ce sera le cas s l'obseraeur s'néressa à la mesure du spn relae à O ou O ) Prncpe de la descrpon d éa La mécanque quanque déeloppe la descrpon des ssèmes dans le cadre des espaces ecorels de Hlber Ce son des espaces ecorels semblables à ben des égards à l espace ordnare, à ros dmensons, sauf quelques changemens qu n alèren heureusemen pas rop l ensemble des noaons auquelles on es habué : - le nombre des dmensons peu êre quelconque allan de deu à l nfn, - les composanes des eceurs de même que les scalares peuen êre complees L éa d un ssème élémenare, une parcule par eemple, es ndfféremmen décr par un eceur d «ke»,, à n dmensons, ou par son dual, d «bra» Dans une représenaon marcelle, oujours agréable, les eceurs «kes» peuen êre assmlés à des eceurs colonnes ands que les «bras» correspondans son leurs adjons, donc les eceurs lgnes obenus en ransposan e en conjuguan les «kes» correspondans Chacun condense, à sa façon, l nformaon nécessare à la descrpon complèe de l'éa de la parcule L'espace de Hlber es rapporé à une base orhonormée, relaemen à un produ scalare nerne, bj b δ, j Tou eceur d éa es déeloppable selon les eceurs de base, b, c b c b, * où les coeffcens, c, se calculen comme su : c b Le produ scalare s'éend à ou couple de eceurs «bras», * u d j bj Il se noe : j c b e «kes», u * * * d jc bj b d jc, j j j u δ d c * 5

6 On défn encore le carré de la norme de : * c Au u de ce qu en d'êre d, peu se réécrre sous la forme : b b L opéraeur, P b b, d «produ eéreur», peu êre u comme l opéraeur qu projee ou eceur sur le eceur de base b S la base de Hlber es complèe, on do aor : b b ˆ Consdérons l'eemple d'un élecron ne possédan que deu éas possbles de spn, selon O,, +/ e /, noés ndfféremmen, + e La représenaon marcelle des eceurs de base de l espace de Hlber s'écr : b + e b Les projeceurs, P, assocés au eceurs de base s écren : Pˆ b b, ( ) e Pˆ b b ( ) e on a ben que la représenaon es complèe : Pˆ + Pˆ ˆ 3) Prncpe de superposon Un ssème nanoscopque, qu n a fa l obje d aucune préparaon parculère, peu coeser ruellemen dans ous les éas accessbles à la mesure e son eceur d éa s eprme comme combnason lnéare des eceurs de base de l espace de Hlber correspondan, c b Dans cee relaon, les coeffcens, c b, son réels ou complees e le carré de leur module au la probablé que le ssème so précsémen mesuré dans l éa, : p b La somme des probablés dean alor, on o que do êre normé à l uné : c 6

7 Seules les probablés, p, éan calculables, l en résule que ou eceur d éa,, n es défn ϕ qu à un faceur mulplcaf nessenel, e, près Auremen d l opéraon, ϕ e, es une opéraon de smére (de de jauge) du ssème 4) Prncpe de l obserable Toue grandeur obserable e donc mesurable es caracérsée par un opéraeur, O, hermen qu ag sur les eceurs d éas, ransforman les «kes» en «kes» ou les «bras» en «bras» en suan les règles suanes : O u O ~ * u Seules les aleurs propres, λ, de ce opéraeur, nécessaremen réelles, son obserables Elles son soluons de l équaon au aleurs propres : O λ Lorsqu on cherche à mesurer la grandeur assocée à un opéraeur, O, on a la cerude que les aleurs obserables son à chercher parm les seules aleurs propres de ce opéraeur Par conre, l es oalemen mpossble de dener à l aance quelle aleur sorra précsémen de la mesure car cela es aléaore Seule la probablé qu une aleur propre parculère so déecée es calculable selon le proocole suan : s l éa nal es décr par le eceur, c, où les formen la base des eceurs propres relaemen à la grandeur mesurée, la probablé qu on mesure la aleur propre, λ, au Tou opéraeur es décomposable, sous forme specrale, en ermes des aleurs propres e des projeceurs assocés, O λ λ P, d où l résule que ou opéraeur possède une représenaon marcelle Par eemple, les représenaons marcelles (hermennes) assocées au opéraeurs des composanes du spn de l élecron s écren (cfr Annee ) : c S S S La représenaon marcelle de l opéraeur assocé à la composane du momen magnéque, orenée selon O, se noe smlaremen : M 7

8 6) Prncpe de la mesure par projecon d éa Toue mesure d une grandeur phsque effecue un rage au sor parm les aleurs propres de l opéraeur assocé De plus, lorsqu une aleur propre es séleconnée, l éa du ssème es nsananémen projeé sur l espace des eceurs propres assocés à λ Technquemen cela sgnfe que la mesure ace l opéraeur de projecon assocé, P λ λ, éas propres( λ ) e qu elle ransforme le eceur d enrée normalsé en un eceur de sore renormalsé : P après renorm aan Lorsque les aleurs propres son non dégénérées, ce que nous supposerons afn de ne pas alourdr la présenaon, le sous-espace propre se rédu au seul eceur propre,, assocé à la aleur propre mesurée e l opéraeur de projecon se rédu smplemen au produ eéreur : P après renorm aan Du fa que P n es pas unare, cee égalé sous-enend de renormalser le eceur d éa, en fa : P aan après aan Alors que les opéraeurs d éoluon son, nous allons le or, unares, déermnses e réersbles, les opéraeurs de projecon acés par les mesures son non unares, probablses e rréersbles Toue mesure effecuée sur un ssème enérne prosoremen la aleur de la grandeur mesurée e précse le noueau eceur d éa en projean l ancen sur le sous-espace des eceurs propres de l opéraeur assocés à la aleur propre mesurée En parculer, s une mesure préalable a préparé le ssème dans un éa propre déermné, la probablé qu l so déecé dans le même éa lors d une deuème mesure au (cerude) e dans un éa dfféren au (mpossblé) Toue mesure uléreure de la même grandeur ne peu plus ren changer au fa que le ssème es désormas décr par ce eceur d éa parculer Nous errons que cela cesse d êre ra s on ene uléreuremen la mesure d une aure grandeur du ssème qu ne commuera pas aec la précédene : le eceur d éa sera modfé dans ce cas Un obseraeur qu reço un seul élecron se rouan dans un éa de superposon quanque, c c + + c, c es dans l'mpossblé de le cloner car en le mesuran l le projee auomaquemen dans l'un ou l'aure de ses éas de base Auremen d la mesure déru l'éa enran 8

9 5) Prncpe d'éoluon des ssèmes quanques Tou ssème quanque qu se roue dans un éa,, demeure dans ce éa auss longemps qu'l ne sub aucune neracon Toue neracon s'accompagne d'un changemen d'éa sous l'effe d'une ransformaon unare, U : U après aan Alors que les opéraeurs qu corresponden à des grandeurs obserables son hermens, H ~ * H, * ceu qu fon éoluer la foncon d onde son unares, U U ~, déermnses e réersbles Il ese un len éro enre ces deu pes d opéraeurs : ou opéraeur unare peu effecemen s écrre comme l eponenelle magnare d un opéraeur hermen so, U ep[ H Le eceur d éa d un ssème éolue en respecan l équaon de Schrödnger : Ψ H Ψ, don la soluon s écr, dans les cas fréquens où le hamlonen, H, ne dépend pas du emps : Ψ ( ) U( ) Ψ ( ) ep[ H Ψ ( ) L opéraeur d éoluon U() éan unare, la ransformaon qu l représene es nécessaremen réersble : elle es en effe nersble, U( ) U( ), e en préseran la norme, elle préen oue forme de dsspaon (dans le monde quanque pur, les froemens son en effe nesans) Dans cee formule, l eponenelle de l opéraeur H se calcule grâce au déeloppemen en sére classque ou encore sous la forme specrale : ep[ H ep[ ε ψ ψ, où l on o apparaîre, en eposan, les aleurs propres de H Le cas de l'élecron : l epérence de Sern-Gerlach Une epérence célèbre condense, à elle seule, quelques uns des ngrédens nécessares au déeloppemen de l nuon quanque On la décr schémaquemen comme su De l argen méallque es chauffé dans un four jusqu à obenr des aomes de apeur qu on éjece par une pee ouerure le long d un ae O sogneusemen collmaé On fa passer ces aomes dans l enrefer d un élecro-aman pussan (analseur de Sern-Gerlach) don le profl garan un graden nense d nducon selon l ae ransersal, O 9

10 N S Un aome d argen es élecrquemen neure e, dans son éa fondamenal, l ne possède aucun momen magnéque orbal On s aendra donc à ce qu l rese nsensble au champ magnéque e poursue son chemn sans êre déé pour abour au pon A sur l écran d obseraon La réalé epérmenale es dfférene : les aomes son ndduellemen e aléaoremen déés dans la drecon des posfs ou négafs e ce dans une proporon 5-5 : ls dessnen deu ones d mpacs ben conrasées, en e en C sur la fgure La sue que l on obsere, {CCCCC }, es complèemen aléaore au sens que la héore de l nformaon prêe à ce erme : sa compleé algorhmque au eacemen b/smb On nerprèe ces obseraons en posan que l aome d argen possède un momen magnéque nerne, C es l élecron de alence de l aome qu es poreur de ce momen, d de spn, e l aome en hére ou naurellemen A ce sade, on pourra penser aor complqué nulemen les choses en ulsan des aomes d argen Pourquo ne pas recommencer l epérence drecemen aec des élecrons? Cela sera ceranemen possble mas le fa que l élecron so chargé nrodu une complcaon supplémenare : l sera, en effe, rès foremen déé par le champ magnéque, dans le plan O, e sauf à profler l enrefer en arc de cercle, l échappera mmédaemen au graden d nducon Le fa que cerans aomes soen déés ers le hau e d aures ers le bas, résule--l d une pré-orenaon dfférene des momens magnéques ndduels par rappor à l ae O? On le comprendra en remplaçan les aomes par de pes amans, orenés au hasard : le graden d nducon enraînera une résulane de force, F ( / ), orenée, selon O, dans un sens ou dans l aure selon le sgne de Touefos la comparason aec des amans classques s arrêe là car des amans orenés au hasard feraen apparaîre une raînée connue d mpacs le long du segmen C or on obsere des mpacs solés à ses erémés De plus, la drecon de l ae O de l analseur ne joue aucun rôle parculer, sauf qu elle es perpendculare à l ae O de propagaon S l on fa ourner l analseur d un angle, θ, quelconque auour de l ae O, on consae que les mpacs de déecon sur l écran ournen eu auss du même angle en sore que ehbe en permanence une des aleurs, ± ( )! De oue édence l analseur joue un rôle naendu La héore quanque nerprèe ces résulas en posan que l analseur re aléaoremen les aomes en deu caégores seulemen, caracérsées par des momens magnéques,, don la aleur peu êre dédue de l écaremen ε des pons e C (, où es le magnéon de ohr) m e

11 On o que cee nerpréaon pose mmédaemen un problème à l nuon : le caracère aléaore des obseraons n es pas unquemen mpuable à la source : l analseur nerfère On peu ener d or plus clar en poursuan l nesgaon epérmenale On découre alors qu l fau effecemen fare able rase de l nuon déeloppée au conac du monde macroscopque Voc les fas On découre une aure source d éonnemens lorsqu on enchaîne en sére pluseurs analseurs Une dffculé epérmenale se présene ouefos, à ce sade, du fa qu l ne suff pas de dsposer les analseurs les uns derrère les aures En effe les aomes qu raersen le premer élecro-aman son néablemen déés ers le hau ou ers le bas Imagnons que nous connuons à raaller sur le fasceau supéreur Ce fasceau su manenan une rajecore selon un ae O qu ne coïncde plus aec l ae O e du coup l ae O s en roue modfé lu auss Nous n enrerons pas dans les complcaons lées à la recfcaon de la rajecore du fasceau dans l algnemen O prmf, d'alleurs le monage n'a nullemen ocaon praque, seulemen pédagogque On rouera dans le cours de Fenman une soluon ensageable mas l nous suff de saor que cela es possble Nous représenerons schémaquemen l analseur recfé comme su : % O 5% 5% + - Un premer analseur de Sern-Gerlach qu reço des parcules magnéques - dsons des élecrons - sépare le fasceau en deu sous-fasceau flrés chacun selon une aleur du momen magnéque, + ( ) ou ( ), mesuré selon l ae O Pour alléger les noaons, nous noons ndfféremmen, + (ou + ) e - (ou ), les éas flrés correspondans Débroullons-nous pour que les élecrons raersen ndduellemen l'analseur (au compegoues) A ce sade, l mpore de ne pas confondre les deu cas de fgure suans : ) On place des déeceurs à la sore de l'analseur, auremen d on effecue une mesure afn de saor quel déeceur a enregsrer l'élecron L'opéraeur hermen qu es assocé à cee mesure se noe M Les seules aleurs obserables son les aleurs propres de ce opéraeur, + ( ) e ( ),

12 L'élecron aan empruné le canal réélé par la mesure es nsananémen projeé dans l'éa propre correspondan, ou ) On ne place aucun déeceur derrère l'analseur, auremen d on lasse l'élecron ranser au raers de l'analseur sans nerenr Cee fos, c'es un opéraeur unare d'éoluon, SG, qu es assocé à l'analseur Il es consué à parr des eceurs propres de l'opéraeur précéden, rangés en colonnes successes L'élecron ressor de l'analseur dans un éa de superposon quanque, ou SG n SG Ce cas es smplssme car l'opéraeur es l'dené De fa, un élecron nalemen dans l'éa n (ou n ) demeure dans ce éa à la sore du fa qu'l a éé préparé selon un éa propre de l'opéraeur assocé à l'analseur Celu-c ne peu que confrmer cee préparaon Pour rendre les choses plus néressanes, l fau fare ranser l'élecron au raers d'un analseur orené auremen S des élecrons préparés dans l'éa n (par eemple par un premer analseur) enren dans un deuème analseur, ourné de 9 auour de O, dans un sens ou dans l aure, en sore que son ae bascule dans la poson O ±O, on consae que les élecrons son aléaoremen e équablemen déés dans les drecons pose e négae de O Il a plus for, s on absorbe le sous-fasceau orené selon - e qu on fa repasser celu qu rese dans un rosème analseur orené comme le ou premer, on obsere à noueau des déaons aléaores selon + e - Tou se passe comme s les élecrons ne se souenaen plus du premer flrage! + (5%) + (5%) (%) O O O (5%) - (5%) Cee sére d epérences semble confrmer que l analseur chos aléaoremen les aleurs obserées parm quelques aleurs auorsées, deu dans le cas du spn de l élecron, auremen d, que l analseur fonconne comme un flre de mesure aléaore On sa que, d une manère générale, oue mesure perurbe le ssème auquel elle s adresse C es sans conséquence en phsque classque car les ssèmes son de grande alle e on peu oujours s arranger pour que la perurbaon so rendue auss pee que l on eu e en ous cas nféreure à la précson des éalons ulsés Mas cela cesse d êre ra lorsqu on mesure une propréé d un ssème qu se sue ou en bas de l échelle dmensonnelle Dans ce cas, la perurbaon

13 peu aendre le même ordre de grandeur que celu de la arable que l on mesure à el pon que le résula de cee mesure deen aléaore Voons à présen le cas général, lorsque l élecron, préparé dans l éa, +, es analsé par un ème apparel de Sern-Gerlach ourné d un angle, θ, dans le sens drec, auour de O L'opéraeur hermen assocé au deuème analseur, noé, M θ, s'oben en applquan l opéraeur de roaon conenable à M M (cfr Annee ), so : R, θ M θ cos( / ) sn( θ / ) sn( θθ / ) cos θ / ) / cosθ snθ R, θ R, θ / snθ cosθ Le leceur érfera au passage que M M e que M π/ M Les aleurs propres n on pas changé, elles alen oujours, λ / ou λ - /, mas les eceurs propres on changé : R, θ cos( θ / ) sn( θ / ) e R, θ sn( θ / ) cos( θ / ) A l ssue de cee mesure, l élecron bascule dans l éa propre réélé par la mesure, so, ou ou ou Les aleurs propres λ (resp λ ) ne son pas équprobables Le calcul donne e la mesure confrme : p[ λ + ( / ) p[ λ ( / ) + + ( ( cos( θ / ) ) sn( θ / ) sn( θ / ) ) cos( θ / ) cos ( θ / ) sn ( θ / ) On noe que seuls deu cas mènen à une cerude : s θ, le deuème apparel confrme le flrage opéré par le premer ands que s θ π, la parcule préparée dans l éa de momen magnéque, +, se reroue asse naurellemen dans l éa, - Dans ous les aures cas, la 3

14 composane selon O es rrémédablemen perdue en échange de celle selon le nouel ae Nous errons que cec es en rappor drec aec le prncpe d ncerude : de fa les opéraeurs, M e M θ, ne commuen pas sauf s θ ou π S on lasse les élecrons ranser lbremen, le deuème analseur se o assocer un opéraeur unare, SG, qu ag sur le eceur d'éa de l'élecron enran : ou SG θ n SG θ cos( θ / ) sn( θ / ) sn( θ / ) cos( θ / ) Par eemple un élecron, nalemen dans l'éa n (ou n l'éa de superposon quanque, ou ), sor de l'analseur dans cos( θ / ) cos( θ / ) + sn( θ / ) sn( θ / ) Le cas du phoon : les los de Malus Les résulas éabls à propos de l'élecron son ransposables au phoon moennan quelques aménagemens Une premère dfférence en au fa que le phoon n'es sensble n au champs élecrques n au champs magnéques Auremen d, l n'es pas possble de lu mposer une drecon eéreure pouan serr d'ae de référence, O, pour mesurer la composane S de son spn Cee drecon, l fau la rouer à l'néreur e la seule ensageable es sa esse de déplacemen Il ne fau pas chercher alleurs la rason apparemmen érange d'orener dfféremmen les aes O dans les cas de l'élecron ou du phoon Une aure dfférence en à la aleur du spn qu au,, dans le cas du phoon, e, /, dans le cas de l'élecron Rappelons cependan (cf Annees) que, dans le cas du phoon, les seules aleurs obserables pour S son + e - car es mpossble En résumé, on peu ensager de noer les éas de spn + (resp -) sous la forme + ( ) ou - ( ), selon l'éa d'hélcé du phoon Ce erme barbare rappelle qu'un phoon el que S + es "ssé" à droe ands qu'l es ssé à gauche s S 4

15 Les opcens nerprèen auremen la dsncon enre ces deu modes : ls parlen de phoon polarsé crcularemen à droe (Rgh) e polarsé crcularemen à gauche (Lef) On noe habuellemen ces deu éas à l ade des eceurs de base, L e R Remarque Comme souen en phsque des conenons on éé adopées pour ceranes grandeurs (le couran élecrque, par eemple) à une époque où on ne connassa pas l agen aomque responsable C es égalemen le cas pour la dsncon enre polarsaon crculare gauche e droe Les opcens son resés fdèles à la conenon nerse, hérée de la héore élecromagnéque de Mawell, qu une lumère es polarsée crcularemen à droe (resp à gauche) s un obseraeur qu la regarde enr ers lu do un champ élecrque qu ourne comme les agulles d une monre (resp en sens nerse) Par bonheur, un élecron (négaf!) d un mleu absorban qu se rouera sur le passage d une lumère don le champ élecrque ournera à droe enrera en roaon conrare Pour pouor jusfer que ce élecron acquer un momen cnéque orené dans le sens de progresson de la lumère, l fau oblgaoremen qu l l a absorbé un phoon ssé à droe La base, L e R, n es pas la plus commode On préfère habuellemen ulser la base, plus nue, e, se référan au éas de polarsaon lnéare du phoon selon l'un ou l'aure ae, O ou O Edemmen l ese une ransformaon permean de passer de l'une à l'aure base : R L ( ( + ) / ) / ( R + L ) / ( R L ) /( ) On condense habuellemen ces relaons grâce à la marce de ransformaon, T : T L R T R L aec T Dsnguer les éas de polarsaon lnéares es parculèremen facle grâce au prsme séparaeur Ce monage opque a une foncon analogue à celu de Sern-Gerlach : l parage le fasceau nal en deu sous-fasceau ne comporan plus que des éas purs, ou Toues les epérences qu on éé faes aec les élecrons peuen êre refaes aec les phoons, aec des conclusons smlares, en parculer analser un phoon préparé dans un éa, à l'ade d'un analseur ourné de n'mpore quel angle, θ, auour de O La dscusson réclame cependan daanage de son, dans le cas du phoon, du fa que l'on souhae raaller dans la base nue 5

16 (, ) Dans la base, (R, L), ou aura éé smple car R e L corresponden au éas de spn, S + ou - L'opéraeur de spn se noera smplemen : σ e la marce de roaon à prendre en consdéraon sera (Cf Annees), R, θ cosθ snθ snθ cosθ Le fa de raaller dans une base dfférene ege de modfer cee marce de roaon : Ro, θ TR, θ T cosθ snθ snθ cosθ En cas de mesure effecuée par deu déeceurs sués en aal, l'opéraeur hermen assocé s'en dédu : S θ Ro, θ Ro, θ cos θ sn θ sn θ cos θ don les aleurs propres d'hélcé son oujours + e - e les eceurs propres s'écren : Ro, θ cosθ snθ e Ro, θ snθ cosθ En cas de rans, l'opéraeur unare assocé au prsme polarsan séparaeur se noe : Pol θ Ro, θ cosθ snθ snθ cosθ On noe que l'on a : P e P 9 Le calcul donne e la mesure confrme : p[ λ + p[ λ + ( ( cosθ ) snθ snθ ) cosθ cos θ sn θ On reroue la lo classque de Malus, alable pour le phoon 6

17 7 6) Prncpe d éoluon On ag sur une parcule poreuse d un momen magnéque en la soumean à une nducon magnéque consane, Le hamlonen correspondan s écr, dans la base, ), ( + : + M H Ce opéraeur jou de propréés algébrques remarquables, en parculer ( + + ) : ) ( H, d où l résule que l opéraeur unare qu fa éoluer le eceur d éa s écr : + + sn[ cos[ sn[ sn[ sn[ cos[ H ep[ ) U( Par eemple, un élecron préparé dans l éa, +, e soums à une nducon consane,, éolue comme su : sn[ sn[ cos[ H ep[ U + + Deu cas parculers alen le déour : - s l nducon es parallèle à O, on roue : ep[ U, d où on conclu que ren d obserable ne se passe du fa que le eceur d éa es smplemen mulplée par une phase nessenelle - s l nducon es parallèle à O, on roue : sn[ cos[ U + L élecron, es enré dans un éa de superposon arable au cours du emps : le flrage nal, selon +, es déru

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