Une Condition de Dominance pour l'ordonnancement à une Machine avec Minimisation du Nombre de Travaux en Retard

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1 Une Condton de Domnance pour l'ordonnancement à une Machne avec Mnmsaton du Nombre de Travaux en Retard Sama Ourar 1, Cyrl Brand 2 et Brahm Bouzoua 1 1 CDTA d'alger, Lot. du 20 août 1956, Baba Hassen, Alger, Algére {sour,bbouzoua}@cdta.dz 2 LAAS-CNRS, 7 av. du Colonel Roche 31077, Toulouse, France brand@laas.fr Abstract. Cet artcle s'ntéresse au problème d'ordonnancement d'un ensemble de n travaux sur une machne de capacté untare. À chaque traval est assocée une fenêtre d'exécuton, caractérsée par une date de début au plus tôt et une date de fn au plus tard. L'objectf de l'ordonnancement est de maxmser le nombre de travaux fnssant à l'heure. Ce problème, très smple dans sa formulaton, est NP-dffcle. Une condton de domnance est mse en évdence dans cet artcle qu permet de restrendre très fortement la talle de l'espace de soluton à explorer lors de la recherche de soluton optmale. Il est montré que cette condton est plus effcace que celle proposée par Dauzère-Pérès et Sevaux. (1999), en termes de réducton de l'espace de recherche. 1 Introducton En optmsaton, le concept de domnance d un sous ensemble de solutons permet de lmter la complexté algorthmque lée à la recherche de soluton. Un sous ensemble domnant est tel qu l garantt l exstence d au mons une soluton optmale, vs-à-vs d un crtère donné, dans les solutons qu l content. Un sous ensemble de solutons domnantes est caractérsé à l'ade de condtons de domnance. Mettre en évdence des condtons de domnance effcaces, vs-à-vs de la résoluton d'un problème d'optmsaton, condut généralement à la concepton de méthodes de résoluton elles mêmes très effcaces. Dans les années quatre-vngt, consdérant le problème d'ordonnancement à une machne avec fenêtres d'exécuton, Erschler et al. [6] mettent en évdence une nouvelle condton de domnance pour la recherche de solutons admssbles. Un ensemble V={1,,n} de n travaux est consdéré, chaque traval V étant caractérsé par une date de dsponblté r, une date échue d, et une durée opératore p. Un ordonnancement est dt admssble s la machne n'exécute jamas plus de deux travaux au même nstant et s les travaux fnssent à l'heure,.e. s la condton (1) est satsfate. Trouver une soluton admssble pour ce problème est NP-dffcle [11].

2 V, s r et f = s + p d (1) Les dates de début et de fn des travaux, s et f, étant entèrement détermnées par la connassance de la séquence des travaux sur la machne, l y a au plus n! séquences à examner pour trouver une soluton admssble. La condton de domnance proposée dans [6] permet heureusement de lmter l'étude de l'admssblté à un sousensemble de séquences beaucoup plus restrent. De plus, elle assure que s aucune des séquences de ce sous-ensemble domnant n'est admssble alors l n'exste pas de soluton admssble (certfcat d'absence de soluton). Dans [7] et [3], l est enfn montré que le sous-ensemble de séquences caractérsé par la condton d'erschler et al. est également domnante vs-à-vs des crtères régulers d'optmsaton, T max, plus grand retard vra et, L max, plus grand retard algébrque. Cet artcle s'ntéresse à généralser la condton de domnance d'erschler et al. au problème de mnmsaton du nombre de travaux en retard, noté 1 r U, où U =1 s le traval est achevé après sa date échue ( f = ( s + p ) > d ). Ce problème est également NP-dffcle [11]. Le paper est organsé comme sut. Dans la premère parte, les prncpaux résultats établs concernant le problème 1r U sont balayés. La condton de domnance, proposée par Dauzères-Pérès et Sevaux [5], est en partculer décrte, ans que la noton de séquence maître qu lu est lée. Dans un second temps, la condton de domnance défne par Erschler et al. est présentée. La noton de séquence maîtrepyramde est ensute défne. Enfn, nous montrons comment caractérser un ensemble de séquences domnantes pour le problème 1 r U à l'ade d'une ou pluseurs séquences maître-pyramdes. 2 Résultats antéreurs Le problème1 r U, du fat de sa complexté et de son ntérêt pratque, a suscté beaucoup d'ntérêt de la part de la communauté scentfque. De nombreux résultats ont été obtenus concernant sot drectement ce problème, sot une de ses nombreuses extensons : préempton autorsée ( 1 pmtn, r U ), durées opératores dentques ( 1 r, p = p U, 1 r, p = 1 U ) pods assocés aux travaux ( 1 r wu, 1 pmtn, r wu ), etc. En 1968, J.M. Moore [13] a étudé le problème dans le cas partculer où les dates de dsponblté des travaux sont dentques, ce problème est noté 1 U. Un algorthme en O(n log n) a été proposé pour le résoudre. Pour le même problème, avec durées opératores untares, C.L. Monma [12] a proposé un algorthme en O(n). Dans le cas où la condton r < r j d d j est respectée pour tous les travaux, H. Kse et al. [8] ont proposé en 1978 un algorthme en O(n 2 ) pour résoudre le problème. E.L. Lawler [9] a décrt un peu plus tard pour ce même problème un algo-

3 rthme plus effcace en O(n log n). E.L. Lawler a également proposé un algorthme en O(n 5 ) [10] pour le cas préemptf 1 pmtn, r U, complexté ramenée à O(n 4 ) par P. Baptse [1] plus récemment. Pour le cas général, une heurstque approchée très effcace et une borne nféreure ont été proposées dans [4] pour le problème 1 r U. Une méthode arborescente, basée sur la résoluton du problème préemptf et sur des technques de propagaton de contrantes, est proposée par P. Baptste, L. Perdy et E. Pnson dans [2]. Une autre méthode exacte est décrte par Dauzères-Pérès et Sevaux dans [6]. Ces deux méthodes sont très effcaces et peuvent être applquées à des problèmes comptant jusqu'à 200 travaux, des problèmes de telle talle étant abordés et résolus de façon exacte pour la premère fos. Focalsons-nous un nstant sur la méthode de Dauzères-Pérès et Sevaux. Un élément clé de l'effcacté de cette méthode est l'utlsaton d'une condton de domnance relatve au crtère U. Celle-c est exprmée par le théorème suvant. Théorème 1. Il exste nécessarement une séquence optmale dans laquelle tout pare de travaux consécutfs (, j) est telle qu'une des condtons (1) d < d j ou (2) d d j et, k séquencé avant j, r k r j sot vérfée ou, de façon équvalente, (3) d d j et k séquencé avant j tel que r k > r j ne sot pas vérfé. Cette condton de domnance a condut les auteurs à défnr la noton de séquence maître σ qu caractérse l'ensemble S σ de toutes les séquences satsfasant le théorème précédent. C'est cette noton de séquence maître qu, couplée avec des bornes nféreures de bonne qualté, rend leur méthode arborescente partculèrement performante. La séquence maître σ est construte selon l'algorthme suvant (les travaux sont supposés avor été trés par ordre de date de dsponblté crossant). Algorthme 1. (1998): Créaton de la séquence maître σ. Complexté O(n 2 ) CREATE-SIGMA() 1. for each job n V 2. do σ σ 3. J J 4. for each job j n J such that d j d 5. do σ σ j (n ncreasng order of due dates) Travaux r p d Table 1. Exemple à 5 travaux L'applcaton de l'algorthme précédent à l'exemple de la Table 1 fournt la séquence maître σ = {1,2,3,2,4,3,2,5}. Toute séquence de k=1 à 5 travaux, compatble

4 avec la séquence maître, est domnante. On entend c par compatblté le fat que l'ordre des travaux dans la séquence consdérée n'est pas en contradcton avec celu préconsé par la séquence maître. Par exemple, la séquence (1,5,4,3) n'est pas domnante pusque placer le traval 5 avant le traval 4 est contradctore avec l'ordre défn par la séquence maître. En revanche les séquences suvantes, toutes compatbles avec σ, sont domnantes (sur chaque lgne sont représentés les séquences domnantes à 1, 2,, 5 travaux). S σ = {(1),(2),(3),(4),(5)} {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5),(4,3),(4,2),(4,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5), (1,3,2),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,3),(1,4,2),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,3),(2,4,5),(3,2,4),(3,2,5),(3,4,2),(3,4,5),(4,3,2),(4,3,5),(4,2,5)} {(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,4,3),(1,2,4,5),(1,3,2,4),(1,3,2,5),(1,3,4,2),(1,3,4,5), (1,4,3,2),(1,4,3,5),(1,4,2,5),(2,3,4,5),(2,4,3,5),(3,2,4,5),(3,4,2,5),(4,3,2,5)} {(1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5),(1,3,2,4,5),(1,3,4,2,5),(1,4,3,2,5)} 3 Le théorème des pyramdes Avant de présenter la condton de domnance de Erschler et al., l est nécessare de défnr au préalable les concepts de sommet et de pyramde. Défnton 1. Un traval s est dt sommet s l n exste aucun autre traval V tel que r > r d < d. s s Les sommets sont ndcés par ordre crossant de leur date de dsponblté, ou en cas d'égalté, par ordre crossant de leur date échue. Défnton 2. Une pyramde P α assocée au sommet s α est le sous ensemble de travaux V tel que r < rs d > d s α α On remarque qu'un traval non sommet peut appartenr à pluseurs pyramdes. Le théorème suvant, appelé Théorème des pyramdes, défnt alors un ensemble de séquences domnantes, au sens de la recherche de séquences admssbles, pour le problème à une machne avec fenêtres d'exécuton. Théorème 2. Un ensemble domnant de séquences peut être consttué par les séquences telles que : les sommets sont ordonnés dans l'ordre de leur ndce ; avant le premer sommet, seuls sont placés les travaux appartenant à la premère pyramde rangés dans l'ordre crossant de leur date de dsponblté ou, en cas d'égalté, dans un ordre arbtrare ; après le derner sommet, seuls sont placés les travaux appartenant à la dernère pyramde rangés dans l'ordre crossant de leur date échue ou, en cas d'égalté, dans un ordre arbtrare ; entre deux sommets s k et s k+1, sont placés en premer les travaux appartenant à la pyramde P k et n'appartenant pas à P k+1 dans l'ordre crossant de leur date échue

5 (dans un ordre arbtrare en cas d'égalté), pus les travaux communs aux pyramdes P k et P k+1 dans un ordre arbtrare, et enfn les travaux appartenant à la pyramde P k+1 et n'appartenant pas à P k dans l'ordre crossant de leur date de dsponblté (dans un ordre arbtrare en cas d'égalté). Revenons à l'exemple de la Table 1. Il y a 3 sommets, s 1, s 2 et s 3, correspondant aux travaux 1, 4 et 5 respectvement. Les pyramdes assocées à ces sommets sont P 1 =, P 2 ={2,3} et P 3 =. Il y a donc 4 séquences domnantes pour la recherche de séquence admssble à 5 travaux : S = {(1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5),(1,3,4,2,5),(1,4,3,2,5)}. 4 Séquence maître-pyramde Pour évter d énumérer toutes les séquences S que le théorème des pyramdes caractérse, nous montrons c qu'l est possble, de la même façon que pour la condton de domnance de Dauzères-Pérès et Sevaux, de défnr une séquence partculère, que nous nommons maître-pyramde et notons σ dans la sute du texte. Cette séquence est de la forme σ = α 0 s 0 β 0 α 1 s 1 β 1 α m s m β m où : m est le nombre total de sommets ; α est l ensemble des travaux appartenant à la pyramde P classés par ordre crossant de leur date de dsponblté ; β est l ensemble des travaux appartenant à la pyramde P classés par ordre crossant de leur date échue. Comme on peut faclement s en assurer, toute séquence de n travaux compatble (au même sens que précédemment) avec σ respecte le théorème des pyramdes. Elle est donc domnante vs-à-vs de l'admssblté. Par exemple, la séquence maîtrepyramde assocée au problème de la Table 1 est σ = (1,2,3,4,3,2,5). Elle caractérse ben les 4 séquences décrtes dans la secton 3. Examnons à présent la complexté temporelle lée à la constructon d'une séquence maître-pyramde. L'algorthme de détermnaton des sommets et des pyramdes, nécesstant de comparer chaque pare de travaux, a une complexté en O(n 2 ) (cf [3]). Une fos les sommets et pyramdes détermnés, la constructon de la séquence maîtrepyramde se ramène a un ensemble de trs (deux pour chaque pyramde) de complexté O(n log n). La complexté au pre est donc en O(n 2 ). Pour construre une séquence maître-pyramde, nous proposons l'algorthme 2, drectement nspré de l'algorthme 1. On suppose que les travaux ont été trés par ordre de date de dsponblté crossant et que l'ensemble des travaux sommets est connu. Comme les travaux communs aux pyramdes P k et P k+1 peuvent être séquencés dans un ordre arbtrare (les permutatons sont temporellement équvalentes), on suppose également que seuls les travaux appartenant à P et pas à P -1 fgurent dansα. On observe que la seule dfférence entre les algorthmes 1 et 2 résde dans l'ajout de la lgne de programme n 4 au sen de l'algorthme 2. Il s'agt d'une condton restregnant l'utlsaton de la boucle "for" qu sut (cette boucle étant systématquement

6 réalsée dans l'algorthme 1). La séquence maître de Dauzères-Pérès et Sevaux est donc nécessarement plus longue que la séquence maître-pyramde (la 2 ème étant ncluse dans la 1 ère ). Ce résultat est réutlsé plus lon dans l'artcle. Algorthme 2. Créaton de la séquence maître-pyramde σ. Complexté O(n 2 ) CREATE-SIGMA-DELTA () 1. for each job n V 2. do σ σ 3. J J 4. f then 5. for each job j n J such that d j d 6. do σ σ j (n ncreasng order of due dates) 5 Théorème des pyramdes et mnmsaton du nombre de travaux en retard Trouver une soluton optmale au problème 1r U consste à détermner une séquence admssble pour une sélecton de travaux E * V la plus grande possble. Les travaux de E * sont donc à l'heure alors que les autres travaux sont tous en retard. Les travaux en retard peuvent être séquencés après ceux de E *, dans n'mporte quel ordre et à n'mporte quelle date. Lors de la recherche d'une soluton admssble à k travaux, les n-k travaux en retard peuvent donc être oms. Étant domnant vs-à-vs de l'admssblté, le théorème des pyramdes peut être applqué pour caractérser un sous-ensemble de séquences domnantes, autant de fos qu'l exste de sélectons dfférentes de k travaux. L'unon de tous ces sous-ensembles consttue de façon évdente un ensemble de séquences domnantes vs-à-vs du problème1 r U. Appelons S cet ensemble. Pour un problème à n travaux, l exste un nombre ggantesque de sélectons de travaux dfférentes ( k= 1L n A n ). Fort heureusement, comme démontré plus lon, l n'est k pas nécessare d'applquer le théorème des pyramdes à chaque sélecton pour détermner l'ensemble domnant S. En effet, la noton de séquence maître-pyramde permet de caractérser un ensemble de séquences domnantes pour un nombre très mportant de sélecton (et pas seulement celles à n travaux). Avant de démontrer cette proprété, le concept de graphe sommet-base dot être préalablement ntrodut Le graphe d'ntervalles sommet-base Défnton 3. Une graphe d'ntervalles sommet-base G=(X,U) est un graphe sans crcut dans lequel à tout nœud est assocé un ntervalle et où un arc u U rele le

7 nœud au nœud j (, j X) s et seulement s l ntervalle est strctement nclus dans l ntervalle j et s'l n exste pas d ntervalle k X tel que est strctement nclus dans k et k est strctement nclus dans j. Le graphe d'ntervalles sommet-base défnt une hérarche entre les ntervalles fondée sur la relaton d'ncluson strcte. Comme l ne content pas de crcut, le graphe sommet-base peut être structuré en nveaux. Les nœuds de nveau 0 correspondent aux ntervalles n'ncluant aucun autre ntervalle (ce sont des sommets au sens de la défnton 1). Les nœuds de nveau le plus bas correspondent aux ntervalles qu ne sont nclus dans aucun autre ntervalle (ces nœuds sont appelés bases). Un graphe d'ntervalles sommet-base peut être assocé à un problème à une machne avec fenêtres d exécutons. À ttre llustratf, la fgure 2 décrt le graphe assocé au problème de la Table 2. Les sommets sont les travaux 6 et 7. Il y a donc deux pyramdes. Remarquons que le sous-graphe assocé à la descendance d un sommet correspond à une pyramde au sens de la défnton 2. La premère (descendance de 6) est formée des travaux 0, 1, 2, 3, 4 et 5 ; la seconde (descendance de 7) est formée des travaux 3 et 0. Nveau 0 Sommets 6 7 Nveau Nveau Nveau 3 Base 0 Fg. 1. Graphe d'ntervalles sommet-base assocé à la Table 2 Travaux r d Table 2. Exemple de problème à une machne 5.2. Détermnaton des séquences maître-pyramdes Le théorème suvant montre que sous certanes hypothèses, la condton de domnance formulée par le théorème des pyramdes, vrae vs-à-vs de la recherche de

8 soluton admssble, est également vrae vs-à-vs du problème de mnmsaton du nombre de travaux en retard. Théorème 3. Étant donné un problème 1 r U et son graphe d'ntervalles sommetbase assocé G, s tout nœud de G est tel qu l ne possède au plus qu un seul successeur alors, la séquence maître pyramde σ = α 0 s 0 β 0 α 1 s 1 β 1 α m s m β m, construte à partr des n travaux, caractérse l ensemble S des séquences domnantes vs-à-vs de la mnmsaton du nombre de travaux en retard. Preuve. Le Théorème 3 stpule que la séquence maître-pyramde σ, caractérsant l'ensemble de toutes les séquences domnantes à n travaux, caractérse également les séquences domnantes à de k=1 à n-1. En effet, sous l'hypothèse que chaque nœud de G ne possède au plus qu un seul successeur, le graphe G est un ensemble de une ou pluseurs ant-arborescences. La séquence maître-pyramde σ = α 0 s 0 β 0 α 1 s 1 β 1 α m s m β m défnt alors un chemn dans cette ant-arborescence, ans que cela est llustré sur la fgure 2.a). La chaîne relant un sommet s à sa base (unque) correspond à α, lorsqu'elle est parcourue dans le sens base vers sommet, à β, dans le sens nverse. S on consdère une sélecton de k<n travaux, le nouveau graphe G' obtenu est également un ensemble de une ou pluseurs ant-arborescences. De plus, ans qu'llustré sur la Fgure 2.b), la séquence maître-pyramde σ' obtenue pour cette sélecton défnt alors un chemn dans G' qu est forcément nclus dans le chemn σ précédent. Autrement dt, toutes les séquences à k travaux que σ' caractérse sont déjà caractérsées par σ. s j s j+1 s j s j+1 s j+3 s j+3 s j+2 s j+2 Ant-arborescence de racne b -1 b Ant-arborescence de racne b +1 Ant-arborescence de racne b -1 a) Sélecton de n travaux b) Sélecton de k<n travaux Fg. 2. Ant-arborescence et séquence maître-pyramde b Ant-arborescence de racne b +1 Illustrons le Théorème 3 sur l exemple de la Table 1. Le graphe d'ntervalles sommet-base assocé à ce problème est présenté sur la Fgure 3. Tout nœud de ce graphe ayant au plus un successeur, les condtons du Théorème 3 sont vérfées. La séquence maître-pyramde σ = {1,2,3,4,3,2,5}, étable dans la Secton 4, caractérse donc non seulement les séquences domnantes à 5 travaux mas auss les séquences domnantes à 1, 2, 3, 4 travaux (vs-à-vs de la mnmsaton du nombre de travaux en retard) : S = {(1),(2),(3),(4),(5)}

9 {(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,2),(3,5),(4,3),(4,2),(4,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,2),(1,3,5),(1,4,3),(1,4,2),(1,4,5),(2,3,4), (2,3,5),(2,4,3),(2,4,5),(3,4,2),(3,4,5),(3,2,5),(4,3,2),(4,3,5),(4,2,5)} {(1,2,3,4),(1,2,3,5),(1,2,4,3),(1,2,4,5),(1,3,4,2),(1,3,4,5),(1,3,2,5), (1,4,3,2),(1,4,3,5),(1,4,2,5),(2,3,4,5),(2,4,3,5),(3,4,2,5),(4,3,2,5)} {(1,2,3,4,5),(1,2,4,3,5),(1,3,4,2,5),(1,4,3,2,5)} Nveau Nveau 1 3 Nveau 2 2 Fg. 3. Graphe d'ntervalles sommet-base assocé à la Table 1 Sur cet exemple smple, s on compare S avec l'ensemble domnant S σ (vor Secton 2), détermné grâce à la séquence maître de Dauzères-Pérès et Sevaux, on constate qu'l content 4 séquences de mons : (1,3,2,4), (3,2,4,5), (1,3,2,4,5) et (3,2,4). Cela état prévsble pusque, sous les condtons énoncées dans le Théorème 3, la séquence σ est nécessarement compatble avec la séquence σ (vor Secton 4). On a donc toujours S S σ et notre condton de domnance est donc toujours plus effcace. Consdérons à présent le cas général où un nœud du graphe d'ntervalles sommetbase peut avor pluseurs successeurs. Il n'est alors plus possble de caractérser les séquences domnantes à l'ade d'une seule et unque séquence maître-pyramde. Dans ce cas en effet, on ne peut plus assurer que la séquence maître-pyramde obtenue en enlevant un sommet sot ncluse dans la séquence maître-pyramde qu comprend ce sommet. Cela est llustré sur l'exemple de la Fgure 1. On constate que les travaux grsés 6 et 4 ont chacun deux successeurs. La séquence maître-pyramde obtenue lorsque le sommet 6 est sélectonné est σ (1) = (0,1,2,4,3,5,6,4,1,2,5,0,3,7,3,0) de longueur 16 (les sommets sont en gras). S le traval sommet 6 n'est pas sélectonné alors les travaux 4 et 5 devennent sommet à leur tour et la séquence maître-pyramde devent σ (2) = (0,1,2,4,1,2,0,3,5,0,3,7,3,0) de longueur 14. Enfn, s n le traval 6, n le traval 4, ne sont sélectonnés alors les travaux 1 et 2 devennent sommets et la nouvelle séquence maître-pyramde est σ (3) = (0,1,0,2,0,3,5,0,3,7,3,0) de longueur 12. On constate que ces 3 séquences ne sont pas compatbles du fat qu'à chaque retrat de sommet, une pyramde supplémentare non vde a été crée. Pour trater le cas général, l sufft d'énumérer toutes les séquences maîtrespyramdes non compatbles. Comme vu sur l'exemple, cela peut se fare en élmnant tour à tour dans le graphe sommet-base, les nœuds (et leur ascendance) ayant plus d'un successeur, pus en construsant la séquence maître-pyramde pour le graphe

10 (sous-problème) restant. S'l y a N nœuds de ce type, alors l faut énumérer N+1 séquences maîtres-pyramdes. Pour l'exemple de la Fgure 1, les 3 séquences maîtres-pyramdes peuvent être synthétsées par le graphe de la Fgure 4. On constate que σ (1) caractérse toutes les séquences domnantes ncluant toujours le sommet 6 (sot ~3200 séquences), σ (2) caractérse toutes les séquences domnantes n'ncluant jamas 6, mas toujours le sommet 4 (sot ~1260 séquences domnantes) et σ (3) caractérse toutes les séquences domnantes n'ncluant jamas n le traval 6, n le traval 4 (sot ~490 séquences). Au total, mons de 5000 séquences domnantes sont donc caractérsées. 6 présent et 6 présent absent et 6 absents 02 Fg. 4. Séquences maîtres-pyramdes du problème de la Table 2 À ttre de comparason, pour ce même problème, la séquence maître de Dauzères- Pérès et Sevaux est : σ=(0,1,0,2,0,4,1,2,0,3,0,5,3,0,6,4,1,2,5,3,0,7,3,0) (de longueur 24). Elle caractérse plus de séquences domnantes, sot 6 fos plus que les 3 séquences maître-pyramdes décrtes précédemment! 6 Concluson Dans cet artcle, la noton de séquence maître-pyramde, découlant du théorème des pyramdes, a été ntrodute. Celle de graphe d'ntervalles sommet-base a également été présentée. Il a ensute été montré sous quelles hypothèses et de quelle manère le théorème des pyramdes peut être utlsé pour le problème de mnmsaton du nombre de travaux en retard. Un ensemble de séquences domnantes pour le problème 1 r U peut ans être caractérsé par énumératon d'une ou pluseurs séquences maîtres-pyramdes. De plus, nous avons montré que cet ensemble est toujours plus restrent que celu caractérsé par la séquence maître de Dauzères-Pérès et Sevaux. Ce résultat est mportant car l lasse entrevor des possbltés de concevor des méthodes exactes de résoluton du problème 1 r U plus effcaces que celles exstantes. En effet, dans une méthode de type branch-and-bound, plus l'espace de solutons domnantes est restrent, et plus l'exploraton et la détermnaton d'une soluton

11 optmale est rapde. Les prncpales drectons de recherches futures sont donc d'une part, la recherche de nouvelles bornes nféreures pour le problème 1r U et d autre part la concepton d'une nouvelle méthode arborescente de résoluton. Références 1. Baptste P., A O(n 4 ) algorthm for preemptve schedulng of a sngle machne to mnmze the number of late jobs. Operatons Research Letters, , Baptste P., Perdy L and Pnson E., A Branch and Bound to Mnnmze the Number of Late Jobs on a Sngle Machne wth Release Tme Constrants. European Journal of Operatonal Research, 144 (1) (2003) Brand C., LA H.T. & Erschler J., Une approche pour l'ordonnancement robuste de tâches sur une machne. 4ème Conférence Francophone de MOdélsaton et SIMulaton (MOSI- M'03), pages , Toulouse, France, S. Dauzere-Peres, Mnmzng late jobs n the general one machne schedulng problem, European Journal of Operatonal Research 81 (1) (1995) pp Dauzère-Pérès S. and Sevaux M., An exact method to mnmze the number of tardy jobs n sngle machne schedulng. Journal of Schedulng, 7(6): , Erschler J., Fontan G., Merce C. et Roubellat F.. A new domnance concept n schedulng n jobs on a sngle machne wth ready tmes and due dates. Operatons Research. 1, , Erschler J., Fontan G., Merce C., Un nouveau concept de domnance pour l'ordonnancement de travaux sur une machne. RAIRO Recherche Opératonnelle/Operatons Research, Vol. 19, n 1, Kse H., Ibarak T. and Mne H., A solvable case of the one-machne schedulng problem wth ready and due tmes, Operatons Research, 26, , Lawler, E. L. (1982). Schedulng a sngle machne to mnmze the number of late jobs. Preprnt, Computer Scence Dvson, Unv. of Calforna Berkley. 10. E.L. Lawler, A dynamc programmng algorthm for preemptve schedulng of a sngle machne to mnmze the number of late jobs. Annals of Operatons Research, 26, , J. K. Lenstra, A. H. G. Rnnooy Kan, and P. Bruckner. Complexty of machne schedulng problems. In P. L. Hammer, E. L. Johnson, B. H. Korte, and G. L. Nemhauser, edtors, Studes n Integer Programmng, volume 1 of Annals of Dscrete Mathematcs, pages North-Holland, Amsterdam, NL, C.L. Monma, Lnear tme algorthms for schedulng on parallel processors. Operatons Research, 30, , Moore, J., An n-job, one machne sequencng algorthm for mnmzng the number of late jobs, Management Scence, 15 (1968)