L'ÉCRITURE FRACTIONNAIRE.
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- Florentin Mongeau
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1 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES L'ÉCRITURE FRACTIONNAIRE. 1. La fraction. 1.1 Ce qu'elle exprime. Une fraction exprime le rapport qu'il y a entre deux nombres. 4 exprime le rapport qu'il y a entre 4 et est le dénominateur : il nomme la catégorie de fraction dont il s'agit (ici ce sont des "cinquièmes" 4 est le numérateur : il désigne combien de cinquièmes on considère (ici, il y en a 4) 1. Estimation de la valeur d'une fraction Comparaison à un entier. 1. Comparaison à 1 : on a vu en 5 ème que : N Si N > D alors 1 D >, ainsi : = = 1+ donc il est clair que > N Si N < D alors 1 D <, ainsi : = = 1 donc il est clair que. Comparaison à un entier quelconque : En fait il faut chercher combien de fois le numérateur contient le dénominateur Ainsi la fraction 5 peut se comparer à 1 et à. 16 En effet : = = mais aussi : 5 3 = = Finalement : 5 1< < Ecriture décimale d une fraction : 3 1 < Pour calculer la valeur de cette fraction, il faut se rappeler que 5 placé au dénominateur, divise le numérateur 4. Donc : ,8 5 = = De même, 5 4 exprime le rapport qu'il y a entre 5 et 4 Classe de 4ème L écriture fractionnaire. 1
2 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE. On calculera : ,5 4 = = Remarques : Dans les exemples précédents, 4 5 et 5 4 peuvent s écrire sous une forme décimale (parce que la division tombe juste), mais ce n'est pas toujours le cas! Ainsi dans la fraction 3, la division de 3 par ne tombera pas juste. Donc elle ne correspond pas à un nombre décimal. EXERCICE 1 A chercher. Comparer les fractions : 1 15 et et et Valeurs approchées d'une fraction. A l'aide de la calculatrice, on calcule que 3 0,4851 = On donnera les valeurs approchées suivantes : Valeurs par défaut à Valeurs approchées de 3 1 près 3 0< < 1 0,1 près 3 0,4 < < 0,5 0,01 près 3 0,4 < < 0,43 0,001 près 3 0,48 < < 0,49 Valeurs par excès à 1 près 0,1 près 0,01 près 0,001 près L écriture fractionnaire
3 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 1.4 Intérêt de l'écriture fractionnaire. Une écriture fractionnaire représente une valeur exacte. Ainsi, écrire que 3 = 0,4 est inexact, puisque la division ne tombe pas juste. On écrira : 3 0,43 à 10 près par excès. On introduit donc une erreur au centième. Garder l'écriture 3 dans un calcul, permet de n'introduire aucune erreur. 1.5 Propriété des fractions. Multiplication ou division de N et de D On ne change pas la valeur d'une fraction, si on multiplie ou si on divise le numérateur et le dénominateur de cette fraction par un même nombre non nul. En effet, multiplier par 0 reviendrait à avoir un dénominateur nul, ce qui est impossible puisqu il est impossible de diviser par 0. a a k = b 0; k 0 b b k 5 10 = = On utilise cette propriété pour Mettre des fractions au même dénominateur. Soit les fractions 5 6 et 4. On remarque que 1 = 6 = 4 3 Donc : = = et que 3 1 = = Les deux fractions ont donc été mises au dénominateur commun 1. Classe de 4ème L écriture fractionnaire. 3
4 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE Simplifier une fraction. ( ) ( ) 18 9 = = Remarque : On présentera toujours un résultat fractionnaire sous une forme simplifiée. Une fraction ne s écrit jamais avec des nombres décimaux. EXERCICE A chercher Simplifier les fractions suivantes : 18 4 = 39 6 = = 0,5 1, 3 = Remarque : pour savoir par combien il faut simplifier, on décompose N et D en produit de facteurs.. Opérations avec les fractions..1 Addition et soustraction..1.1 Règle : Pour pouvoir additionner ou soustraire deux ou plusieurs fractions, il faut d'abord les mettre au même dénominateur. Ensuite, on additionne ou soustrait les numérateurs..1. Recherche du même dénominateur. Le dénominateur commun est un multiple commun aux dénominateurs, et c'est le plus petit possible. L écriture fractionnaire 4
5 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES 5 On veut réaliser l addition : Il serait très maladroit de prendre 18 4 = 43 pour dénominateur commun. La recherche du plus petit multiple commun peut se faire ainsi : On écrit la liste des multiples de chacun des nombres : M (18) : 18, 36, 54,, 90,... M (4) : 4, 48,, 96,... est donc le premier multiple commun rencontré. C'est donc le plus petit. Il existe une méthode plus intéressante. Le multiple commun à 18 et à 4, «contient» à la fois 18 et 4. On décompose 18 en écrivant que : 18 = 3 3 On décompose 4 en écrivant que : 4 = Le nombre 3 3= ou 3 3= contient à la fois 4 et 18, et il est constitué des plus petits facteurs : c est le plus petit multiple commun, donc le dénominateur commun. Ainsi on calculera : = = = 18 4 Retenir que : On ne multiplie les dénominateurs entre eux que lorsqu'ils sont premiers entre eux, c'est à dire lorsqu'ils ne possèdent pas de diviseur commun. Ainsi : = = = Règle fondamentale : Avant de commencer tout calcul : regarder d abord si on ne peut pas simplifier les fractions!!! = peut se simplifier-en : = = Ce qui a conduit à un calcul nettement plus simple! Classe de 4ème L écriture fractionnaire. 5
6 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE. EXERCICE 3 A rédiger. Effectuer les calculs suivants. Simplifier d abord!! = = = = = 5 3, 4 1 = 5,1 0, 6. Multiplication. Pour multiplier entre elles deux ou plusieurs fractions, on simplifie d'abord s'il y a lieu ( en divisant par les facteurs communs), puis on multiplie entre eux les numérateurs et les dénominateurs = = Si cela se présente, ne pas oublier d'appliquer la règle des signes! = = = Dans le cas particulier de la multiplication d'une fraction par un entier : on multiplie le numérateur de la fraction par cet entier = = 49 L écriture fractionnaire 6
7 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES EXERCICE 4 A chercher Effectuer les calculs suivants : 9 65 = = = 5.3 Division. Pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse = = = Rappel : le produit de deux inverses donne 1 Ainsi : 3 = 1 3 EXERCICE 5 A chercher Calculer : (penser à simplifier si cela est possible!!) 3 5 = = = Classe de 4ème L écriture fractionnaire.
8 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE A = + 1, A = A = A = B = B = B = B = C = C = C = C = D = D = L écriture fractionnaire 8
9 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES D = D = EXERCICE 6 A rédiger. Calculer en respectant les priorités = = = = = Calculer et simplifier. 1 4 = 5 15 Classe de 4ème L écriture fractionnaire. 9
10 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE. 3, 6 4,8 = 4,9 1, 4.4 Voici des exercices complémentaires, à faire sur le cahier d exercices. 1. Mettre les fractions suivantes au même dénominateur. 5 3 et et et 3 9. Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme la plus simple possible A= + ; B= C = ; D= E = ; F = Calculer astucieusement les expressions suivantes et donner le résultat sous la forme la plus simple possible. a) = b) 14 = L écriture fractionnaire 10
11 CLASSE DE 4EME ACTIVITÉS NUMÉRIQUES c) = c) = Calculer les expressions suivantes, et donner le résultat sous forme simplifiée A= ; B = ; C = D= ; E = Calculer les expressions suivantes, et donner le résultat sous forme simplifiée. ( ) ( ) ( ) 5 36 ; A= B= C = ; D= ; E = ; F = Calculer les expressions suivantes, et donner le résultat sous forme simplifiée A= ; B= C = ; D = Calculer les expressions suivantes, et donner le résultat sous forme simplifiée. Classe de 4ème L écriture fractionnaire. 11
12 L'ECRITURE FRACTIONNAIRE A= 15 9 ; B= Un transporteur expédie 18 tonnes de pommes de terres en deux lots. Le premier lot rreprésente les 3 de sa récolte, le second lot représente les 1 3 du reste. a) Quelle fraction de la récolte représente le deuxième lot? b) Quelle qunatité de pommes de terre reste-t-il après ces deux envois? 9. Un rectangle ABCD a pour mesure AB = 1 cm et AD = cm. On appelle M un point du côté [AB] et on pose AM = x Calculer la valeur de x pour que l aire du triangle AMD soit le tiers de l aire du rectangle ABCD. L écriture fractionnaire 1
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